El documento describe tres métodos para determinar la relación lineal entre una variable dependiente (y) y una variable independiente (x) a partir de un conjunto de datos: el método gráfico, el método de los promedios y el método de los mínimos cuadrados. Este último se considera el más preciso al minimizar la suma de los cuadrados de las desviaciones entre los valores reales y los estimados por la recta de regresión.

1. Ajuste lineal.
Al graficar un conjunto de datos y vs x, donde y es la variable dependiente
y x es la variable independiente uno puede obtener una relación funcional.
Si los puntos presentan un comportamiento aproximadamente lı́neal
entonces dicha relación funcional es descrita por:
y = f(x, m, n), (1)
donde y: Variable dependiente,
x: Variable independiente,
f: función lı́neal,
m: pendiente,
n: coeficiente de posición (punto donde la recta corta al eje x.
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2. Al obtener k mediciones de las variables, se tiene que:
y1 = f(x1, m, n)
y2 = f(x2, m, n)
.
.
.
yk = f(xk, m, n)
Con esto se desea buscar los valores más probables de m y n. Para ello
existen tres métodos:
Método gráfico.
Método de los promedios.
Método de los mı́nimos cuadrados.
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3. Método gráfico.
Se usa para un número de
puntos de moderada precisión.
La fı́gura muestra que los
datos presentan un
comportamiento
aproximadamente lı́neal.
Seleccionamos dos puntos
representativos P1 = (x1, y1) y
P2 = (x2, y2).
La pendiente es dada por
m =
y2 − y1
x2 − x1
.
Se construye la ecuación de la recta
seleccionando uno de los puntos que
se uso para calcular la pendiente. Por
ejemplo usando P1, se tiene:
y − y1 = m · (x − x1).
Desarrollando n = y1 − mx1.
y finalmente y = m · x + n
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4. Método de los promedios
Consiste en que la suma de las desviaciones ri del punto experimental a la
recta es cero. X
ri = 0, (2)
donde ri = yi − (m · xi + n).
Para estimar el valor de la pendiente m y del coeficiente de posición n, se
necesitan dos ecuaciones. Para ello se escriben las cuaciones de la recta de
la siguiente manera:
y1 = (m · x1 + n)
y2 = (m · x2 + n)
.
.
.
yp = f(xp, m, n)
yp+1 = (m · xp+1 + n)
yp+2 = (m · xp+2 + n)
.
.
.
yk = f(xk, m, n)
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5. Luego se suman ambos grupos de ecuaciones, obteniendose:
p
X
i=1
yi =
p
X
i=1
xi · m + p · n,
k−p
X
i=1
yi =
k−p
X
i=1
xi · m + (k − p) · n,
donde p es un número entre 1 y k-1. Una vez echo esto, se resuelve el
sistema de ecuaciones y se obtiene el valor de m y n.
Este método se recomienda cuando la cantidad de datos es menor que 10
y la precisión de los datos es moderada.
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6. Método de los Mı́nimos cuadrados I
Este método se basa en que la sumatoria del cuadrado de las desviaciones
ri sea mı́nima.
ε =
k
X
i
r2
i , (3)
donde ri = yi − (m · xi + n). Para encontrar la pendiente m, se calcula:
∂ε
∂m
= 0, (4)
∂ε
∂n
= 0. (5)
De esta forma se encuentra el sistema de ecuaciones dado por:
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7. Método de los Mı́nimos cuadrados II
k
X
i=1
xiyi = m
k
X
i=1
x2
i + n
k
X
i=1
xi,
k
X
i=1
yi = m
k
X
i=1
xi + kn,
Al resolverlo se encuentra que la pendiente es dada por:
m =
k ·
k
X
i=1
xi · yi −
k
X
i=1
xi ·
k
X
i=1
yi
k ·
k
X
i=1
x2
i
!
−
k
X
i=1
xi
!2 (6)
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8. Método de los Mı́nimos cuadrados III
y el coeficiente de posición es dado por:
n =
k
X
i=1
x2
i
!
·
k
X
i=1
yi
!
−
k
X
i=1
xi
!
·
k
X
i=1
xi · yi
!
k ·
k
X
i=1
x2
i
!
−
k
X
i=1
xi
!2 (7)
El error asociado al calculo de la pendiente es dado por:
∆m = ∆y
v
u
u
u
u
u
u
u
u
t
k
X
i=1
x2
i
k
k
X
i=1
x2
i −
k
X
i=1
xi
!2 , (8)
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9. Método de los Mı́nimos cuadrados IV
mientras que el error asociado al coeficiente de posición es:
∆n = ∆y
v
u
u
u
u
t
k
k
k
X
i=1
x2
i −
k
X
i=1
xi
!2 . (9)
Para las ecuaciones (8) y (9) ∆y, corresponde al error experimental
asociado a las medidas de la variable independiente. En caso de que este
error ∆y no sea constante se busca el mayor error experimental asociado a
la yi medida.
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10. Coeficiente de correlación r
El coeficiente de correlacion indica que tan bueno es el ajuste lı́neal. Este
valor puede encontrarse entre −1 < r < 1.
Si r > 0 la pendiente de la recta es positivo.
Si r < 0 la pendiente de la recta es negativa.
Si |r| = 1, entonces la recta se ajusta de forma perfecta.
Si r = 0, entonces no hay relación lı́neal.
Mientras más se acerca |r| a 1 los puntos se ajustan mejor a la recta.
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11. El coeficiente de correlación (o también conocido como r2) se calcula
mediante:
r =
k ·
k
X
i=1
xi · yi −
k
X
i=1
xi ·
k
X
i=1
yi
v
u
u
u
t

k ·
k
X
i=1
x2
i −
k
X
i=1
xi
!2

 ·

k ·
k
X
i=1
y2
i −
k
X
i=1
yi
!2


(10)
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