Este documento describe los spline cúbicos, una técnica de interpolación que usa polinomios cúbicos para cada subintervalo entre nodos. Los spline cúbicos cumplen con ciertas condiciones como que los valores, las primeras y segundas derivadas sean continuas en los nodos. Se presenta la fórmula general para construir los spline cúbicos naturales y no naturales, y se resuelve un ejemplo numérico para ilustrar el proceso de construcción de un spline cúbico natural.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA “
DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA
ÁREA DE TECNOLOGÍA
Trazadores cúbico “Spline”
El objetivo de los spline es obtener un polinomio de tercer grado para cada intervalo entre los nodos,
con la finalidad de minimizar los errores de redondeo que pudieran aparecer al utilizar cualquiera de
los métodos de interpolación ya estudiados.
De estas nuevas funciones generadas se debe cumplir lo siguiente:
1.- Los valores de la función deben ser iguales en los nodos interiores.
2.- la primera y última función deben pasar a través de los puntos extremos.
3.- Las primeras y segundas derivadas en los nodos interiores deben ser iguales.
4.- Las segundas derivadas en los nodos extremos son cero.
Buscamos una función que interpole n puntos datos dados (xi, yi). Suponiéndose que x1 < x2 < ...< xn y
sean x1 = a y xn = b. Entonces se quiere construir una nueva función la cual denotaremos como S(x)
tal que sobre [a,b], se cumpla que S(xi)=yi.
Se quiere que sobre [a,b], S(x) sea una función suave por lo tanto S´(x) y S´´(x) deben ser continuas.
Decir que S(x) sea suave sobre [a,b] implica que la curvatura sea pequeña, eso es equivalente a decir
a S´´(x) dx
b 2
que el valor de: debe ser pequeño.
La solución a lo planteado viene dada mediante una función interpolante que cumpla con dos
condiciones:
 La función S(x) es un polinomio cúbico sobre cada subintervalo [xi ,xi+1], i = 1,2,3,...,n –1
 S´´(x1)= S´´(xn) = 0
Una función que cumpla con estas condiciones nos lleva a lo que se denomina segmentaria cúbica
natural (Spline natural).
Para construir los Spline en el subintervalo [xi ,xi+1] trabajaremos en base a la siguiente fórmula:
   3
 
S ( x)  w  y i 1  w  y i  hi2 w 3  w M i 1  w  w M i de donde :
hi es el tamaño del subintervalo donde se va a construir la función cúbica y se obtiene mediante la
siguiente expresión: hi = xi+1 – xi.
x  xi
w es el único parámetro que no es constante. w  1  w es el complemento. Las constantes M
hi
son parámetros que se pueden determinar mediante la siguiente ecuación:
hi 1 M i 1  2hi 1  hi M i  hi M i 1   i   i 1 (*)
y i 1 y i
siendo  i 
hi

2. 2
Con (*) se genera un sistema de n – 2 ecuaciones con n incógnitas que junto con Mo = Mn= 0
determinan un Spline cúbico natural de manera única.
Observación: De la definición del polinomio cúbico se tiene:
Uno de las dos siguientes condiciones de frontera se satisface:
(i) S’’(x1) = S’’(xn) = 0, en este caso la Spline cúbica se denomina Natural
(esto es equivalente a decir que Mo = Mn= 0)
(ii) Si f es derivable en los extremos tal que S’(x1) = f’(x1) y S’(xn) = f’(xn), se dice
entonces que f tiene un adaptador cúbico no natural o fijo.
Ejercicio:
Dados los puntos (1, 1), (2, 1/2), (3, 1/3), (4, 1/4) Determine la Spline cúbica natural para este
conjunto de puntos con hi = 1.
Solución: Como se pide que la Spline sea natural entonces Mo = M3 = 0.
Al ser cuatro puntos se tienen tres subintervalos y n = 4, por lo tanto para i = 1,2 se tiene:
   3
S ( x)  w  y i 1  w  y i  hi2 w 3  w M i 1  w  w M i  
Trabajamos con i = 1 e i = 2 para generar un sistema de ecuaciones que nos permita determinar las M
faltantes.
y1  y 0 1 / 2  1 1 y 2  y1 1 / 3  1 / 2 1 y3  y 2 1 / 4 1 / 3 1
0    1    2   
h0 1 2 h1 1 6 h2 1 12
i=1
0
h0 M 0  2h0  h1 M 1  h1 M 2  1   0
4M1 + M2 = 1/3 (**)
i=2
0
h1 M 1  2h1  h2 M 2  h2 M 3   2  1
M1 + 4M2 = 1/12 (***)
Como se puede notar (**) y (***) forman un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas cuya solución
es:
M1 = 1/12 M2 = 0
Los Spline para cada subintervalos serán:
1x2
  
S ( x)  w  y 2  w  y1  h12 w3  w M 2  w  w M 1
3
 

3. 3
x  x1
w  ( x  1) y w  1  ( x  1)  2  x y se sustituyen en la ecuación para obtener la función
hi
cúbica: este proceso se repite para los otros spline de los demás subintervalos.
 
S ( x)  1 / 2( x  1)  (2  x)  ( x  1) 3  ( x  1) 1 / 12
2x3
 
S ( x)  1 / 3( x  2)  1 / 2(3  x)  (3  x) 3  (3  x) 1 / 12
3x4
S ( x)  1 / 4( x  3)  1 / 3(4  x)
EJERCICIOS PORPUESTOS
1.- Desarrolle las siguientes funciones en series de Taylor:
1 1
a ) f ( x)  a=1 b) f(x) = tan(x) a = 0 c) f ( x)  a=0 d) f(x) = ln (1 + x) a = 0
1 x 2
1 x
2.- Desarrolle los siguientes límites utilizando los polinomios de Taylor:
senx cos x  1 tan x
lim lim 2
lim
x0 x x0 x x0 x
ex 1
3.- El cociente g ( x) 
x
no está definido para x = 0. aproxime ex usando polinomios de Taylor de grados 1, 2 y 3 y a su vez,
determine la definición natural de g(0).
4.- Escriba una fórmula de interpolación lineal que aproxime sen(x) en el intervalo 0 x  /4
utilizando los valores en x = 0 y x = /4. grafique el error para determinar el error máximo de la
interpolación y en qué x ocurre.
5.- Use los siguientes valores y la aritmética de redondeo a 4 cifras significativas para construir una
aproximación de f(1,09) utilizando polinomios de Lagrange. La función que va a ser aproximada es
f(x) = log10(tanx). Conociendo lo anterior, calcule una cota del error en la aproximación.
X0 = 1.00 X1 = 1.05 X2 = 1.10 X3 = 1.15
6 a) Escriba la fórmula de interpolación de Lagrange a través de los siguientes datos:
x 0 0,4 0,8 1,2
f(x) 1,0 1,491 2,225 3,320
b) Conociendo fiv(0,6) = 1,822 estime el error en x = 0,2, 0,6 y 1,0 utilizando la fórmula del error
en la interpolación de Lagrange con c igual al punto medio.

4. 4
a) Dado el hecho de que la tabla de datos se obtuvo de f(x) = ex, evalúe el error de la fórmula de
interpolación en x = 0,2, 0,6 y 1,0, usando las fórmulas de error absoluto y relativo.
7.- Para los datos:
x -1 0 1 2
y 1/3 1 3 9
Encuentre: a.) El polinomio de interpolación de Lagrange
b.) El polinomio de Interpolación de Newton
c.) El Spline cúbico natural.
8.- Para los datos:
x 0 ½ 1 3/2
y 1 2 1 0
Encuentre: a.) El polinomio de interpolación de Lagrange
b.) El polinomio de Interpolación de Newton
c.) El Spline cúbico natural.
9.- Para los datos:
x -1 -0,75 -0,25 0,25 0,75 1
y 0 -0,7 -0,7 0,7 0,7 0
Encuentre: a.) El polinomio de interpolación de Lagrange
b.) El polinomio de Interpolación de Newton
c.) El Spline cúbico natural.
d.) El Spline cúbico no natural.
Compare los valores interpolados en x = -0,5 y x = 0,5 con los valores de f(x) = sen(x)
10.- Construya un Spline cúbico no natural para aproximar f(x) = sen(ex – 2) utilizando los valores
dados por f(x) en x = 0.7 ; 0.8 ; 0.9 ; 1.0, para aproximar f(0.85). Use las derivadas del Spline para
aproximar f ´(0.85), compare las aproximaciones con los valores reales.
11.- Con una función f la fórmula de las diferencias divididas interpolantes de Newton da el
polinomio interpolante
16
P3(x) = 1 + 4x + 4x(x – 0.25) + x(x – 0.25)(x – 0.5)
3
En los nodos x0 = 0, x1 = 0.25, x2 = 0.5 y x3 = 0.75. Obtenga f(0.75)
12.- Haga la tabla de difrencias divididas a partir de la siguiente tabla de valores:
i 1 2 3 4 5 6
x 0.5 1 1.5 2 2.5 3
y 1.143 1 0.828 0.667 0.533 0.428
por medio de las fórmulas de Newton, escriba los polinomios de Interpolación ajustados a:
a) i = 1,2,3

5. 5
b) i = 4,5,6
c) i = 2,3,4,5
13.- Dada la tabla.
i 0 1 2 3
xi 1 1.35 1.70 1.90
f(xi) 0 0.30010 0.53063 0.64185
Construya una tabla de diferencias divididas para aproximar f(x) en x = 1.5. utilice un polinomio de
Newton de segundo grado.
14.- Cierta función discreta relaciona las variables “x” y “y” a través de la tabla:
x 0 1 2 2.5 3 3.5 4
y 2.50 1.15 0.50 1.20 1.50 1.125 0
a. Calcule el valor de y para un x = 1.125
b. Calcule el valor de x que corresponda a un y = 1.089
(Aplique para ambos casos polinomios de Newton y Polinomios de Lagrange).
15.- a.- Construya un Spline cúbico no natural para aproximar f(x) = ln(x4+ 3) utilizando los valores
para f(x) dados en x = 0, 0.3, 0.5, 0.75 y 1.
b.- Integre el spline sobre 0,1 y compare su resultado con el valor exacto.
c.- Use las derivadas del spline para aproximar f´(0,5) y f´´(0,5) compare con los valores
verdaderos.