2. Agenda
Planteamiento del problema
Método dePunto Fijo
Método deNewton
Variantes del método deNewton
•
•
•
•
•
•
•
Evaluación diferida del jacobiano
Aproximación por diferencias finitas
Newton unidimensional
3. Introduccion
• Se pretende que al final de la exposición el estudiante pueda
reconocer los sistemas de ecuaciones no lineales y pueda
resolverlos por medio de adaptaciones a los métodos Newton-
Raphson eIteración dePunto Fijo
f1 (x1, x2 ..........., xn ) = 0
f2 (x1, x2 ..........., xn )= 0
.
.
.
• La solución de este sistema
consta de valores xi que
simultáneamente hacen que
todas las ecuaciones sean
iguales a cero
=fn (x1, x2 ..........., xn ) 0
4. Teoría de sistemas de Ecuaciones
No lineales
• La forma generaldeun sistema de ecuacionesno lineales es:
f1(x1, x2 x3,
f2(x1, x2 x3,
…, xn) = 0
…, xn) = 0
f3(x1, x2 x3, …, xn) = 0
....................................
fn(x1, x2 x3, …, xn) = 0
Definiendo unafunción F
F(x1, x2 x3, …, xn) = [f1(x1, x2 x3, …, xn),f2(x1, x2 x3, …, xn),
f3(x1, x2 x3, …, xn) , fn(x1, x2 x3, …, xn)]
Usando una notacion vectorial pararepresentarlas variables X1,X2,…,Xn ).
El sistema puederepresentarsepor F(x)=0
La solución aestesistema esel vector X=[x1, x2 x3, …, xn]
que hace que simultaneamente todas las ecuaciones seanigual a0.
5. Teoría de sistemas de Ecuaciones
No lineales
Métodos deSolución :
• Método deIteración dePunto Fijo para sistemas de
ecuacionesno lineales (Método depunto fijo multi
variable).
• Método de Newton para sistemasdeecuacionesno
lineales.
10. Resolución iterativa
x(0)• estimación inicial de la solución
x(1), x(2), x(k)• Iteraciones: …,
• Criterio deconvergencia
• | x(k+1) − x(k) | < tol
• Criterio deparada
• k > máxima iteración
11. Método de Iteración de Punto fijo para
Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Anteriormente se desarrollo el método de iteración de
punto fijo para resolver la ecuación
mando estaecuación enuna ecuación
x= g(x),
f(x)=0 transfor-
dela forma
usando el criterio de convergencia
|g’(x)|<1 enel intervalo [x1,x2]
donde g(x) pertenece [x1,x2]
para x que pertenece a[x1,x2]
12. Método de Iteración de Punto fijo para
Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Para el caso de un conjunto de Ecuaciones No lineales
utilizaremos un procedimiento similar
criterio
extendiéndolo a
todas lasecuaciones, usando un de convergencia:
x1 x1 x2 x2
Para todos los puntos (x1,x2) de la región del
plano que contiene todos los valores (x1k, x2k )
y la raíz buscada.
Una condición suficiente aunque no necesaria,
para asegurar la convergencia es que
|
g1
| + |
g2
| M 1; |
g1
| + |
g2
| M 1;
13. Método de Punto Fijo
• Punto fijo
F(x) =
inicial
0 x = G(x)
• Estimación
(0) (0) (0)
= (x1 ,..., xn )x
• Iteraciones
(k+1) (k)
= G(xCriterio de paradax )•
x( k+1)
x( k)
− tol
14. MÉTODO DE PUNTO FIJO EN
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
1. Considera la intersección dedos funciones no lineales f(x, y)
=0 y g(x, y)=0.
La intersección delas curvas f(x, y)=0 y g(x, y)=0 nos da la
raiz (xr, yr).
El método consiste enobtener las funciones que tengan las
mismas raices (xr, yr):
x-F(x, y) = 0
y-G(x, y) = 0
Considerar un valor inicial (x0, y0), como aproximación ala
2.
3.
4.
raíz, evaluar: x1=F(x0,
y0)
y1=G(x0, y0)
5. El proceso serepite n veceshastatener valores muy cercano
salas raíces.
16. • Punto Fijo condesplazamientossimultáneos
1 2
(x( k )
)
3
0.1
x( k+1)
+ sen x( k )
+ 1.06 −= 1
9
3 1 2
• Punto Fijo condesplazamientos sucesivos
1 2 3
− 0.1
(x ( k +1)
)x ( k +1)
+ sen x ( k )
+ 1.06= 1
9
3 1 2
x( k +1)
= cos(x( k )
x( k )
) / 3 + 1
6
2
2 1 3
x ( k +1)
= 1
20 (1 − exp(− x ( k +1)
x ( k +1)
))− / 6
x( k+1)
= cos(x( k)
x( k )
) / 3 + 1
6
2
2 1 3
x( k+1)
= 1
20 (1 − exp(− x( k )
x( k )
))− / 6
17. Método de Iteración de Punto fijo para
sistemas de Ecuaciones
Ejemplo
no Lineales
Encuentre unasolución del sistemadeecuaciones no lineales
f 1(x1, x2) = x1
2
−10 x1 + x2
2
+ 8 = 0
f 2(x1, x2) = x1x2
2
+ x1 −10x2 + 8 = 0
Solución
Con el despeje de X1 del termino (-10X1) en la primera ecuación y de
X2 del termino de (-10X2) en la segunda ecuación resulta.
X1=(X1
2+X2
2 + 8 )/ 10
X2=(X1X2
2+X1 + 8 ) / 10
18. Por medio deIteración por desplazamientossimultáneos
x1
k+1
x2
k+1
g1(x1
k
g2(x1
k
x2
k
x2
k
=
=
,
,
)
)
x1
0 x2
0Con los valores iniciales
Primera iteración
= 0, = 0 seinicia el proceso
X1
1=(02+02 + 8 )/ 10= 0.8
X2
1=(0(0)2 + 0 + 8 ) / 10 =
0.8
19. Segundaiteración
X1
2=((0.8)2+(0.8)2 + 8)/ 10 = 0.928
X2
2=(0.8(0.8)2 + 0.8+ 8 ) / 10 = 0.9312
Al continuar el procesoiterativo, seencuentra la siguiente
sucesión de valores
X1 X2
k
k k
0 0.00000 0.00000
1
0.80000 0.80000
2 0.92800 0.93120
21. • Cualquiera que sea el sistema que se va a resolver
con este método, puede aumentarse la velocidad de
convergencia usando desplazamientos sucesivos
en lugar de los desplazamientos simultáneos es
decir se itera mediante
k+1 k kx1 = g1(x1 , x2 )
)k+1 k+1 kx2 = g2(x1 , x2
Si laiteración por desplazamientos simultáneos
diverge generalmente el método por desplazamientos
sucesivos divergiría mas rápido; es decir se detecta
mas rapido la divergencia, por lo que en general se re
comienda el uso de desplazamientos sucesivos
.
en
lugar de desplazamientos simultáneos
22. Un sistema de ecuaciones no lineales
con dos incógnitas “x” y “y”
x2
u(x, y) =
v(x, y) =
+ xy −10 = 0
2
y + 3xy − 57 = 0
Así la solución de este sistema son los valores de ( x , y ) que
hacen a las funciones u y v iguales a cero.
Para resolver estas ecuaciones se utilizan extensiones de los
métodos abiertos antes vistos.
23. Resolución del sistema de ecuaciones
no lineales
• Utilizando la iteración depunto fijo.
La aproximación dela iteración depunto fijo, vista
anteriormente, sepuede modificar pararesolver dos
ecuacionessimultáneas no lineales
Las modificaciones y las desventajas de estemétodo se
ilustra en el siguiente ejemplo.
24. Ejemplo
Sistema de ecuaciones no lineales.
Valores iniciales x=1.5 y=3.5.
La solución es x=2
u(x, y) = x2
+ xy −10 = 0
v(x, y) = y + 3xy2
− 57 = 0
Solución
y=3
2
10 − x i
2
= 57 −y 3x yx = i +1 i ii +1
y i
Con base en los valores iniciales
2
10 − (1.5)
x = = 2 .21429
3 .5
− 3( 2.21429 ) (3 .5) 2
=y = −24 .3751657
La aproximación diverge, pero si se cambia
los resultados difieren.
la formulación,
25. x = 10 − xy
57 − y
Como se observa en esta ocasión
la aproximación no diverge.y =
3x
Evaluando
x = 10 − 1.5 3.5
57 − 3.5
3(2.17945 )
= 2.17945
y = = 2.86051
2º Iteración
x = 10 − 2.17945
57 − 2.86051
3(1.94053 )
2.86051 = 1.94053
y = = 3.04955
3º Iteración
Et _ x
Et _ y
= 1.02%
= 0.55%
= 3.96%
= 2.22%
E a _ x
E a _ y
x = 10 − 1.94053 3.04955 = 2.02046
57 − 3.04955
3(2.02046 )
y = = 2.98340
26. Problema Propuesto
• Resuelva el sistema del ejemplo anterior utilizando
el método de punto fijo para sistemas no lineales
con desplazamientos sucesivos.
f 1(x1, x2) = x1
2
−10x1 + x2
2
+ 8 = 0
f 2(x1, x2) = x1x2
2
+ x1 −10x2 + 8 = 0
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Partimos de la forma
39. Método de Newton para sistemas
de ecuaciones
Todas las ecuaciones deben deser
no lineales
•
•
cero enlasraíces
Sedefine la matriz J(x) como:
f1,i f1,if1,i
..........x nx2
f2,i
x1
f2,iJ(x) = 2,i
..........
x2 xnx1
.................................
.i ....f.n..,i....... fn
..........
x2 xnx1
f
...f.n
., ,i
40. Método de Newton para sistemas
ecuaciones no lineales
F(x)+XiJ(x)=Xi+1 J(x)
de
• Entonces podemos escribir
• Dividiendo J(x) y reacomodando:
Xi-J(x)-1 F(x)Xi+1=
Esta es la Ecuación de Newton para sistemas No Lineales
Puesto que en cada iteración se tiene que calcular la inver
sa de la matriz J(x)y esto implica un considerable esfuerzo
de cálculo , para evitar este paso se utiliza el artificio de en
contrar un vector Y que satisfaga
J(x)Y= -F(x)
Se establece un esquema iterativo donde cada nueva aproxi-
mación se obtiene como:
•
X(k+1) +x(k)= y
Se resuelve el sistema tomando como valores iniciales
41. Método de Newton
• Sistema de ecuaciones
n n
→F : IR IR
F(x) = 0
x = ( x1 ,..., x n )→ ( f1 ( x), ... f n(x))
• Aproximación por el plano tangente
F(x) F(x(0)
) + DF(x(0)
) (x −x(0)
)
• Paso de Newton
x(1)
x(0)
DF(x(0)
)−1
F(x(0)
)= −
42. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
y
y1
v(x, y)
x1 x
No se p u ede mo strar la imag en en este mo mento.
u(x, y)
43. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
• Este procedimiento corresponde, analíticamente, a extender
el uso de la derivada, ahora para calcular la intersección
entre dos funciones no lineales.
Al igual que para una sola ecuación, el cálculo se basa en
la expansión de la serie de Taylor de primer orden, ahora de
múltiples variables, para considerar la contribución de más
de una variable independiente en la determinación de la raíz.
•
• Para dos variables, la serie de Taylor de primer orden se
escribe, para cada ecuación no lineal:
i+1 i+1 i+1i i i
x y
i+1 i i+1 i i+1 i
x y
u = u + (x − x )
ui
+ (y − y )
ui
v = v + (x − x )
vi
+ (y − y )
vi
44. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
• Pero ui+1 = vi+1 = 0 :
i+1 i+1i i i
x x y y
i i+1 i i+1 i
x x y y
• Que reescribiendo enel orden conveniente:
i+1 i+1 i i i
x y x y
i+1 i+1 i i i
x y x y
ui
x +
ui
y = −u +
ui
x +
ui
y
vi
x +
vi
y = −v +
vi
x +
vi
y
u +
ui
x −
ui
x +
ui
y −
ui
y = 0
v +
vi
x −
vi
x +
vi
y −
vi
y =0
45. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
• Y cuya solución es:
i i i i
y y x x
• Donde Jesel determinante jacobiano del sistema es:
ui vi
ui vi
J = x x
y y
v
ui
− u
vi
yi+1 = yi −
J
u
vi − v
ui
xi+1 = xi −
J
46. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Ejemplo
47. Variantes del Método de Newton
Actualización periódica del
Jacobiano
Aproximación del Jacobiano
diferencias divididas
Newton con desplazamiento
unidimensional
◼
por◼
◼
48. Conclusiones
Una seria desventaja de la iteración es que•
la convergencia depende de la manera en
que se formula la ecuación
• El método Newton Raphson para dos
paraecuaciones se puede generalizar
resolver n ecuaciones simultáneas.
