Este documento presenta un ejemplo numérico para calcular la pendiente de una recta secante y tangente utilizando funciones. Primero, calcula la pendiente de la recta secante entre 8 y 10 toneladas utilizando la fórmula dada. Luego, grafica la recta secante para valores de 1 a 2 y calcula su pendiente. Finalmente, obtiene la ecuación de la recta tangente en el punto 1 sustituyendo valores en la fórmula dada.

1. A

2. Módulo18. Cálculoenfenómenosnaturalesyprocesossociales
UnidadI. El movimientocomo razónde cambioy la derivada
Semana2
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Autor: María Guadalupe Serrano Briceño
Actividad Integradora. Secante y Tangente.
Imagina que es posible generar una función que modela para x toneladas de jitomate el costo
necesario de su producción f(x). Supongamos que lafunción que modela el costo por toneladas está
dada por:
f(x) = 6x2
+ 5x
Recuerda que las funciones son usadas para modelar el comportamiento de algún fenómeno y así
poder estimar los valores de la función cuando hay una variación en x. La fórmula para calcular la
pendiente de la recta secante a una función dada es:
1.- A partir de la fórmula mencionada, determina la pendiente (m) de la recta secante para la
función de costo de producción de 8 a 10 toneladas.
Como se aprecia de las instrucciones, para determinar la pendiente de la recta secante, utilizaremos
la fórmula:
𝑚 =
𝑓( 𝑥2)− 𝑓(𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1
X1 = 8
𝑓( 𝑥) = 6𝑥2
+ 5𝑥 = 6(8)2
= 6(64)+ 5(8) = 384 + 40 = 424
X2 = 10
𝑓( 𝑥) = 6𝑥2
+ 5𝑥 = 6(10)2
+ 5(10) = 6(100)+ 5(10) = 600 + 50 = 650
P1 P2
X = 8 X = 10
𝑚 =
𝑓( 𝑥2) − 𝑓(𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1
𝑚 =
𝑓( 𝑥2)− 𝑓(𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1
P1 =(x1, y1=f(x1)) P2 = (x2, y2=f(x2))
P1 = (4, 424) P2 = (10, 650)
𝑚 =
𝑓( 𝑥2) − 𝑓(𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1
=
650 − 424
10 − 8
=
226
2
= 113
La pendiente de la recta secante (m) = 113

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Con el objeto de validar nuestros resultados, mostramos en la siguiente gráfica los valores de x1 = 8
(P1) y x2 = 10 (P2), así como los valores de y1 = 424 y de y2 = 650, contenidos en los datos tabulados.
Así mismo, a lado izquierdo de la gráfica con color rojo, tenemos el valor y = 113x – 480, donde 113
corresponde al valor de la pendiente de la recta, esto es, coinciden todos los valores.
2. Realiza la gráfica de la recta secante de la función x = 1.
f(x) = 6x2 + 5x
Función de costo de producción derivada o costo marginal
f’(x) = 12x + 5
Con la aplicación de Geogebra, fácilmente obtenemos los datos requeridos como se expone en la
gráfica que adelante se muestra. Sin embargo, se harán las operaciones en forma manual para
corroborar y dar validez a los datos de la gráfica de Geogebra.
Para poder graficarla recta de lasecantenecesitamos lafunción que encontraremos con lasiguiente
fórmula: y = m(x-1) + f(x1), donde m = a la pendiente que se encuentra con la fórmula:
𝑚 =
𝑓( 𝑥2)− 𝑓(𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1
Ahora bien, sólo tenemos el valor de x = 1, por lo que nos es preciso otro valor. En el caso al valor
que necesitamos lo designaremos 2 por ser el valor más cercano a 1. De esta manera, tenemos que
x1 = 1 y x2 = 2.

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Para x1:
𝑓( 𝑥1) = 6𝑥2
+ 5𝑥 = 6(1)2
+ 5(1) = 6 + 5 = 𝟏𝟏
Para x2:
𝑓( 𝑥1) = 6𝑥2
+ 5𝑥 = 6(2)2
+ 5(2) = 24 + 10 = 𝟑𝟒
Conociendo los datos, aplicamos la fórmula:
𝑚 =
𝑓( 𝑥2)− 𝑓(𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1
=
34 − 11
2 − 1
=
23
1
= 23
La pendiente de la recta secante (m) = 23
Ahora, para encontrar la función de la recta secante, observando la ley de los símbolos:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 11 = 23(𝑥 − 1)
𝑦 − 11 + 11 = 23𝑥 − 23 + 11
𝑦 = 23𝑥 − 12
Entones tenemos que la función de la secante es: y = 23x – 12

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3. En seguida saca la recta tangente y represéntala en una gráfica.
Recuerda que si quieres obtener “y” y realizar la gráfica de la recta tangente debes utilizar la función
del costo de producción y sustituir el valor de x=1.
Posteriormente utiliza esta fórmula para obtener la tangente despejando y.
𝑦 − 𝑦1 = 𝑓′(𝑥)(𝑥 − 𝑥1)
Para estar en aptitud de obtener la recta tangente, se nos hace necesario obtener su ecuación con
la siguiente fórmula y = m(x-1) + f(x1).
Contamos con la función f(x) = 6x2 + 5x, donde función de costo de producción derivada es:
f’(x) = 12x + 5
Así mismo, tenemos que x = 1
Procedemos a tomar la función derivada y sustituimos los valores:
12𝑥 + 5 = 12(1) + 5
12 + 5 = 17
Así conocemos que el valor de la pendiente de la recta tangente m es = 17
Ahora utilizamos la función f(x) = 6x2
+ 5x, y procedemos a sustituir valores:
𝑓(𝑥1) = 6(1)2
+ 5(1) = 6 + 5 = 11
Por último, aplicamos la fórmula y = m(x-1) + f(x1) para obtener la ecuación buscada cuidando
observar la ley de los símbolos:
𝑦 = 17( 𝑥 − 1) + 11
17𝑥 − 17 + 11 = 17𝑥 − 6
Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es: 17x - 6
Estos resultados quedan confirmados con la grafica y datos contenidos en la captura de pantalla de
la aplicación Geogebra que se utilizó en el caso.

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Fuentes:
1. SEP. s/f. El movimiento como razón de cambio y la derivada. Unidad I. Págs. 51-63. (Contenido
extenso. Módulo 18: Calculo en fenómenos naturales y procesos sociales. Semana 2).
2. SEP. s/f. Rectatangente. Unidad I. Págs.1.(Infografía. Módulo 18: Calculoen fenómenos naturales
y procesos sociales. Semana 2).
3. SEP. s/f. Aplicaciones de la Recta tangente. Unidad I. Págs. 1-3. (Recurso en PDF. Módulo 18:
Calculo en fenómenos naturales y procesos sociales. Semana 2).
4. SEP. s/f. Pendiente de una Recta tangente a un punto de la Curva. Unidad I. Págs. 1. (Recurso.
Módulo 18: Calculo en fenómenos naturales y procesos sociales. Semana 2).
5. Fuenlabrada, S. (2008). Calculo Diferencial. Tercera Edición. (McGraw-Hill Editores). México. Págs.
165-173. PDF recuperado el 15 de enero de 2018 de
https://www.freelibros.org/matematicas/calculo-diferencial-3ra-edicion-samuel-fuenlabrada.html