Este documento describe las álgebras de Boole. Define una álgebra como un conjunto con operaciones de suma y producto que cumplen ciertas propiedades. Un álgebra de Boole es un álgebra que además tiene un complementario para cada elemento. Se dan ejemplos como los subconjuntos de un conjunto, las proposiciones lógicas y los circuitos digitales. También se define el álgebra libre generada por un conjunto, los morfismos de álgebras y los ideales.

1. ´Algebras de Boole
1. ´Algebras
Definici´on 1.1. Un conjunto A se dice que es un ´algebra si dispone de dos opera-
ciones:
+ : A × A −→ A · : A × A −→ A
(a, b) −→ a + b (a, b) −→ a · b
verificando:
a) Elemento neutro para ambas operaciones: Existen 0 ∈ A y 1 ∈ A tales que:
a + 0 = a y a · 1 = a para todo a ∈ A.
b) Propiedad asociativa para ambas operaciones: Para todo a, b, c ∈ A se verifica
que (a + b) + c = a + (b + c) y (a · b) · c = a · (b · c).
c) Propiedad conmutativa para ambas operaciones: Para todo a, b ∈ A se verifica
que a + b = b + a y a · b = b · a.
d) Propiedad distributiva: El producto distribuye la suma, es decir :
(a + b) · c = a · c + b · c para todo a, b, c ∈ A.
e) Idempotencia: a2
= a para todo a ∈ A.
f) Absorci´on: a + 1 = 1 para todo a ∈ A.
Si adem´as A verifica la propiedad de abajo entonces diremos que el ´algebra A es
un ´algebra de Boole:
g) Todo elemento a ∈ A tiene complementario; es decir existe ¯a ∈ A tal que
a + ¯a = 1 y a · ¯a = 0.
Observaci´on 1.2. En un ´algebra de Boole no se puede ni restar ni dividir y por tanto
no se verifica la ley de cancelaci´on; es decir no se verifica que
{
a + x = a + y ⇒ x = y
a · x = a · y ⇒ x = y
Ejemplos
1. Si X es un conjunto entonces el conjunto de los subconjuntos de X con las
operaciones de uni´on e intersecci´on es un ´algebra de Boole. Lo denotaremos por P(X).
2. A = { proposiciones } donde p + q = p y q ; p · q = p ´o q. (Ver el cuadro del
final)
3. A = { circuitos digitales } donde p + q = montar en serie p y q ; p · q = montar
en paralelo p y q.
El 0 de esta ´algebra es un circuito donde siempre pasa corriente. El 1 de esta
´algebra es un circuito donde nunca pasa corriente.
4. B = {0, 1} donde 0+0 = 0 ; 1+1 = 1 ; 0+1 = 1+0 = 1 = 1·1 ; 1·0 = 0·1 = 0.
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2. 5. Sea X es un conjunto y B = {0, 1}. Llamaremos funciones booleanas de X
y la denotaremos por FB(X) al conjunto de aplicaciones de X valoradas en B; es
decir FB(X) = { aplicaciones f : X → B} . Es un ´algebra donde las operaciones son:
(f + g)(x) = f(x) + g(x) y (f · g)(x) = f(x) · g(x).
Un ejemplo de estas funciones son las funciones caracter´ısticas: Si Y ⊂ X es un
subconjunto de X entonces la funci´on caracter´ıstica de Y es
χY
(x) =
{
1 si x /∈ Y
0 si x ∈ Y
Se verifica que: χY
+ χZ
= χY ∩Z
y χY
· χZ
= χY ∪Z
1.1. ´Algebra de los polinomios booleanos
Sea W un conjunto, queremos construir el ´algebra de Boole libre generada por
W ; es decir el conjunto de todas las expresiones algebraicas posibles construidas con
los elementos {x, ¯x}x∈W . A esta ´algebra la denotaremos por B[W] y la llamaremos
´algebra libre generada por W o el ´algebra de polinomios booleanos de variables libres
W.
Definici´on 1.3. Construcci´on de B[W]: Supongamos que Wn = {x1, x2, . . . , xn} es
finito. Vamos a construir An = B[x1, . . . , xn] por inducci´on sobre n.
Para n = 0, A0 = k y An = An−1[xn] = {a · xn + b · xn / a, b ∈ An−1} donde
sus elementos se suman y multiplican como sigue : (a · xn + b · xn) + (c · xn + d · xn) =
(a + c) · xn + (b + d) · xn y (a · xn + b · xn) · (c · xn + d · xn) = a · c · xn + b · d · xn.
1 = 1 · xn + 1 · xn y 0 = 0 · xn + 0 · xn.
An−1 ⊂ An porque a = a · xn + a · xn.
Cuando W es infinito : W =
∪
Y ⊂W
Y donde Y recorre los subconjuntos finitos
de W y se tiene que B[W] =
∪
Y ⊂W
B[Y ].
Se llama ´Algebra de Proposiciones de proposiciones elementales W al ´algebra
libre B[W]. Se llama ´Algebra de Circuitos de interruptores W al ´algebra libre B[W].
Observaci´on 1.4. Todo elemento p(x1, . . . , xn) ∈ B[x1, . . . , xn] puede pensarse como
una funci´on booleana en el conjunto de las sucesiones finitas de ceros y unos de longitud
n como sigue:
Bn p
−→ B
(a1, a2, . . . , an) −→ p(a1, a2, . . . , an)
1.2. Propiedades de las ´algebras
Proposici´on 1.5. Si A es un ´algebra se verifica:
a) Para todo a ∈ A : a + a = a y a · 0 = 0.
b) La suma distribuye al producto: a · b + c = (a + c) · (b + c).
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3. Demostraci´on:
a) a + a = a + a2
= a · (1 + a) = a · 1 = a.
a · 0 = a · 0 + 1 · 0 = (a + 1) · 0 = 1 · 0 = 0.
b) (a+c)·(b+c) = a·b+c·b+a·c+c2
= a·b+c·b+a·c+c = a·b+c·(b+c+1) = a·b+c.
Estas propiedades permiten deducir que si a un ´algebra A le intercambiamos las
operaciones de suma y producto se obtiene a su vez otra ´algebra. Luego:
Principio de dualidad: Todo enunciado para las ´algebras produce otro enunciado
intercambiando + por · y 0 por 1 llamado enunciado dual.
As´ı todo concepto tiene su concepto dual. Por ejemplo el concepto dual del 0 (ele-
mento neutro con +) es el 1 (elemento neutro con el ·).
Un enunciado es cierto si y solo si es cierto su enunciado dual.
Proposici´on 1.6. Propiedades del complementario
a) Si existe el complementario de a es ´unico.
b) a = a ; 0 = 1 ; 1 = 0.
c) Leyes de De Morgan: Para todo a, b ∈ A se verifica que: a · b = a + b y
a + b = a · b.
Demostraci´on:
a) Sea a′
, a ∈ A tal que a + a′
= 1 = a + a y a · a′
= 0 = a · a. Se tiene
que: a = 1 · a = (a + a′
) · a = a · a + a′
· a = a′
· a. Del mismo modo se tiene que
a′
= a′
· 1 = a′
(a + a) = a′
a + a′
a = a′
· a y se concluye que a′
= a.
b) El complementario de a es a porque a + a = 1 y a · a = 0.
An´alogamente se comprueba que el complementario de 0 es 1 y el complementario
de 1 es 0.
c) Veamos que el complementario de a · b es a + b :
a · b + (a + b) = (a + a) · (b + a) + b = 1 · (b + a + b) = 1 + a = 1
(a · b) · (a + b) = b · a · a + a · b · b = 0 + 0 = 0
Veamos que el complementario de a + b es a · b :
a + b + (a · b) = a + (b + a) · (b + b) = a + (b + a) · 1 = 1 + b = 1
(a + b) · (a · b) = a · a · b + a · b · b = 0 + 0 = 0
Observaci´on 1.7. El concepto dual de “ser el complementario” es “ser el complemen-
tario”. La segunda ley de De Morgan es el enunciado dual de la primera y no hacia
falta, por tanto, demostrarla.
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4. 2. Producto de ´algebras
Definici´on 2.1. Si A y B son dos ´algebras, se llama producto de A y B al
conjunto A × B con la suma y producto como sigue:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ; (a, b) · (c, d) = (a · c, b · d)
El producto de ´algebras de Boole es de Boole pues (a, b) = (a, b).
As´ı Bn
= {a1a2 . . . an / ai = 0 ´o 1} es un ´algebra de Boole.
3. Morfismos de ´algebras
Definici´on 3.1. Una aplicaci´on f : A → B entre dos ´algebras se dice que es un
morfismo de ´algebras si verifica:
f(a + b) = f(a) + f(b)
f(a · b) = f(a) · f(b)
f(0) = 0 y f(1) = 1
Si f : A → B es un morfismo entre ´algebras de Boole, entonces f(a) = f(a) para
cada a ∈ A ya que f(a) + f(¯a) = f(a + ¯a) = f(1) = 1 y f(a) · f(¯a) = f(a · ¯a) =
f(0) = 0.
Un morfismo se dice que es isomorfismo cuando es inyectivo y epiyectivo.
Un ejemplo de isomorfismo es ψ : P(X)
∼
→ FB(X) definida por ψ(Y ) = χY
.
Definici´on 3.2. Se llaman valoraciones de verdad de A a los morfismos de ´algebras
de A en B = {0, 1}. Pondremos { valoraciones de verdad de A } = V = Mor (A, B).
Se llama tabla de verdad de a ∈ A a (v(a))v∈V siendo V el conjunto de todas
las valoraciones de verdad de A.
Ejemplo: Dar una valoraci´on de verdad v : B[x1, . . . , xn] → B es equivalente a dar
una aplicaci´on v : {x1, . . . , xn} → B ; es decir basta dar la imagen de las variables:
v(xi) = ai pues si p(x1, . . . , xn) es un polinomio booleano, entonces v(p(x1, . . . , xn)) =
p(a1, . . . , an).
4. Ideales
Definici´on 4.1. Un subconjunto I de una ´algebra A se dice que es un ideal si
verifica:
a) Para todo x , y ∈ I se tiene que x + y ∈ I.
b) Para todo x ∈ I y a ∈ A se tiene que a · x ∈ I.
Ejemplos: Si a ∈ A es un elemento de un ´algebra, entonces (a) = {a · b / b ∈ A}
es un ideal de A. Luego {0} = (0) y (1) = A son ideales.
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5. Los ideales de la forma (a) se llaman ideales principales.
Si I y J son ideales, entonces la suma I + J = {x + y / x ∈ I, y ∈ J} ; el producto
I · J = {
n∑
i=1
xi · yi /xi ∈ I, yi ∈ J, n ∈ N} y la intersecci´on I ∩ J son ideales.
Adem´as I · J = I ∩ J pues si x ∈ I ∩ J , entonces x = x · x ∈ I · J.
Definici´on 4.2. Dado un conjunto Y ⊂ A, llamaremos ideal generado por Y a
< Y >= {a1y1 + · · · + anyn / ai ∈ A, yj ∈ Y }.
Proposici´on 4.3. Propiedades de los ideales principales
a) b ∈ (a) ⇐⇒ b = a · b ⇐⇒ ¯a · b = 0.
b) (a) + (b) = (a + b) y (a) ∩ (b) = (a · b)
c) (a) = (b) ⇐⇒ a = b.
Demostraci´on: a) Si b = a · c, entonces a · b = a · a · c = a · c = b.
Si b = ab, multiplicando por ¯a se obtiene que ¯a · b = ¯a · ab = 0.
Si ¯a · b = 0, se tiene que b = b · 1 = b(a + ¯a) = ba + b¯a = ba.
b) Es evidente que (a + b) ⊆ (a) + (b). Para ver que (a) + (b) ⊆ (a + b) basta ver
que a y b ∈ (a+b) : a·(a+b) = a2
+a·b = a+a·b = a(1+b) = a. Lo mismo para b.
c) (a) = (b) =⇒ a ∈ (b) y b ∈ (a) =⇒ a = a · b y b = b · a =⇒ a = b.
Corolario 4.4. Si A es un ´algebra de Boole finita, todo ideal de A es principal.
Demostraci´on: Sea I un ideal de un ´algebra finita. Si I = {a1, . . . , an}, entonces
I = (a1) + · · · + (an) = (a1 + · · · + an).
4.1. Deducciones
Definici´on 4.5. Sea (A, +, ·) un ´algebra de Boole. Diremos que a ≤ b si y solo si
a · b = b. Por la proposici´on 4.3 a) es equivalente a que b ∈ (a) ´o a que ¯a · b = 0.
En el ´algebra de conjuntos decir que a ≤ b es decir que a ⊆ b.
En el ´algebra de proposiciones decir que p ≤ q es decir que p implica q ( o q
se deduce de p ) o equivalentemente decir que “Si p entonces q” es una tautolog´ıa.
Definici´on 4.6. Diremos que q se deduce de las premisas {p1, . . . , pn} si q se
deduce de p = p1 y p2 y . . . y pn = p1 + p2 + · · · + pn.
Diremos que q se deduce de un conjunto Y ⊂ A si q se deduce de alg´un
subconjunto finito de Y .
Proposici´on 4.7. q se deduce de Y si y solo si q esta en el ideal generado por Y .
Demostraci´on: q ∈< Y > ⇔ q = a1p1 + · · · + anpn para alg´un p1, . . . , pn ∈ Y ⇔
q ∈< p1, . . . , pn >=< p1 + · · · + pn > para alg´un p1, . . . , pn ∈ Y ⇔ q se deduce de
p1 + · · · + pn para alg´un p1, . . . , pn ∈ Y ⇔ q se deduce de {p1, . . . , pn} ⊆ Y .
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6. 5. Ideales primos
Definici´on 5.1. Un ideal I del ´algebra A se dice que es primo si verifica que:
Si x · y ∈ I, entonces x ∈ I o y ∈ I.
Definici´on 5.2. Un ideal I se dice m´aximo si no esta contenido en ning´un otro ideal
excepto el mismo y el total.
Lema 5.3. Sea I un ideal del ´algebra A. x + y ∈ I ⇐⇒ x ∈ I e y ∈ I.
En particular a + b = 0 ⇐⇒ a = 0 y b = 0.
Demostraci´on: Supongamos que x + y ∈ I. Entonces x · (x + y) = x2
+ x · y =
x · (1 + y) = x ∈ I. Lo mismo para y.
Teorema 5.4. Relaci´on entre los ideales primos y las valoraciones. Sea A un
´algebra. Si v : A → B es un morfismo de ´algebras entonces, pv = {a ∈ A, v(a) = 0}
es un ideal primo y rec´ıprocamente si p es un ideal primo entonces vp : A → B
definido por vp(a) =
{
0 si a ∈ p
1 si a /∈ p
es un morfismo de ´algebras.
Esto da un equivalencia entre el conjunto de los ideales primos de A
y el conjunto de las valoraciones de verdad de A.
Demostraci´on: Se comprueba trivialmente que pv es un ideal y que es primo.
vp es un morfismo de ´algebras:
vp(x + y) = 0 ⇔ x + y ∈ p
lema 5.3
⇔ x ∈ p e y ∈ p ⇔ vp(x) = 0 y
vp(y) = 0 ⇔ vp(x) + vp(y) = 0.
vp(x·y) = 1 ⇔ x·y /∈ p ⇔ x /∈ p e y /∈ p ⇔ vp(x) = 1 y vp(y) = 1 ⇔ vp(x)·vp(y) = 1.
Para probar que es una equivalencia hay que comprobar que pvp = p y que vpv = v.
Proposici´on 5.5. En un ´algebra, todo ideal m´aximo es primo y si el ´algebra es de
Boole, entonces todo ideal primo es m´aximo.
Demostraci´on: Sea I m´aximo y supongamos que x · y ∈ I y que x /∈ I. Entonces
I ⊂ I + (x). Por maximalidad I + (x) = A. Por tanto 1 = b + a · x donde b ∈ I.
Luego y = y · 1 = y · (b + a · x) = y · b + a · (x · y) ∈ I.
Supongamos ahora que A es de Boole. Sea pv un ideal primo y pv′ un ideal
m´aximo que lo contiene. Si pv ̸= pv′ , entonces existe a ∈ pv′ tal que a /∈ pv. Luego
v′
(a) = 0 y v(a) = 1. Por tanto v(¯a) = 0 y se tiene que ¯a ∈ pv ⊂ pv′ . Es decir
1 = a + ¯a ∈ pv′ y por tanto pv′ = A.
Teorema 5.6. Teorema de Euclides. Todo ideal, I, de un ´algebra de Boole es la
intersecci´on de los ideales primos que lo contienen. Es decir: I = ∩
I⊆p
p.
Demostraci´on: Es evidente que I ⊆ ∩
I⊆p
p . Veamos que ∩
I⊆p
p ⊆ I. Si a ∈ ∩
I⊆p
p,
entonces I +(a) no esta contenido en ning´un ideal m´aximo. En efecto: Si I +(a) ⊂ p,
entonces I ⊂ p y por tanto a ∈ p. Pero como a ∈ p, se tendr´ıa que 1 = a + a ∈ p.
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7. Por tanto I + (a) = A y se tiene que 1 = b + a · x donde b ∈ I. De aqu´ı se
concluye que a = a · 1 = a · b + a · a · x = a · b ∈ I.
Corolario 5.7. Si I es un ideal de A , entonces I = ∩
v(I)=0
pv.
Demostraci´on: Es el teorema de Euclides teniendo en cuenta que I ⊆ pv si y solo
si v(I) = 0.
Corolario 5.8. Dos elementos de un ´algebra de Boole son el mismo si y solo si tienen
la misma tabla de verdad. Es decir:
a = b ⇐⇒ v(a) = v(b) para toda valoraci´on v de A.
Demostraci´on: Si v(a) = v(b) para toda valoraci´on v , entonces (a) = ∩
v(a)=0
pv =
∩
v(b)=0
pv = (b) . Luego por la proposici´on 4.3 c), a = b.
Corolario 5.9. Teorema de completitud de Godel: q es una deducci´on ´o con-
clusi´on obtenida a partir del conjunto de premisas Y si y solo si v(q) = 0 para toda
valoraci´on de verdad v de A tal que v(Y ) = 0.
Demostraci´on: Ded(Y ) = ideal generado por Y = ∩
v(Y )=0
pv de donde se concluye.
6. Teorema de representaci´on de Stone
Sea A un ´algebra de Boole y V el conjunto de sus valoraciones de verdad.
La aplicaci´on ϕ : A → FB(V ) definida por: ϕ(a)(v) = v(a) es un morfismo
de ´algebras inyectivo. Por tanto, toda ´algebra de Boole es una sub´algebra de
funciones booleanas o una sub´algebra de conjuntos.
Adem´as si A es un ´algebra de Boole finita entonces ϕ es isomorfismo.
Demostraci´on: : Para ver que es morfismo, hay que probar que:
- ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b).
- ϕ(a · b) = ϕ(a) · ϕ(b).
- ϕ(0) = 0 y ϕ(1) = 1.
Veamos que son iguales aplic´andoselo a cada v ∈ V .
- ϕ(a + b)(v) = v(a + b) = v(a) + v(b) = ϕ(a)(v) + ϕ(b)(v) = (ϕ(a) + ϕ(b))(v).
- ϕ(a · b)(v) = v(a · b) = v(a) · v(b) = ϕ(a)(v) · ϕ(b)(v) = (ϕ(a) · ϕ(b))(v).
- ϕ(0)(v) = v(0) = 0(v) y ϕ(1)(v) = v(1) = 1(v) .
Es inyectivo porque si ϕ(a) = ϕ(b) entonces ϕ(a)(v) = ϕ(b)(v). Luego v(a) = v(b)
para todo v ∈ V . Por el corolario 5.8 se concluye.
Veamos que ϕ es epiyectiva cuando A es finita.
Sea f : V → B una funci´on booleana y Y = {v1, . . . , vs ∈ V tales f(vi) = 0}.
Sabemos que pv1 = (a1), pv2 = (a2), . . . , pvs = (as). Comprobemos que si a =
a1 · a2 · . . . · as , entonces ϕ(a) = f.
ϕ(a)(v) = v(a) = v(a1) · . . . · v(as) = 0 ⇔ v(ai) = 0 para alg´un i .
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8. f(v) = 0 ⇔ v = vi para alg´un i .
Solo queda probar que v(ai) = 0 si y solo si v = vi. En efecto si v(ai) = 0, entonces
pvi
= (ai) ⊂ pv. Por maximalidad v = vi.
Corolario 6.1. Toda ´algebra de Boole finita A tiene 2n
elementos, siendo n el
n´umero de valoraciones de verdad de A.
Demostraci´on: A ≃ FB(V ) donde V es el conjunto de sus valoraciones de verdad
y |FB(V )| = 2|V |
.
Corolario 6.2. Dos ´algebras de Boole finitas con el mismo n´umero de elementos son
isomorfas.
Demostraci´on: Por el corolario anterior, si dos ´algebras de Boole tienen el mismo
n´umero de elementos, sus respectivos conjuntos de valoraciones V y V ′
tienen el mismo
n´umero de elementos y podemos establecer una biyecci´on φ : V → V ′
. La aplicaci´on
FB(V ′
) → FB(V ) dada por f → f ◦ φ es un isomorfismo .
7. DICCIONARIO L´OGICA-´ALGEBRA
L´ogica conjunto de proposiciones P p ´o q
p∨q
p y q
p∧q
No p
¬ p
“ falso”
Contradicci´on
“ verdad”
tautolog´ıa
Si p entonces q
p→q
´Algebra ´algebra de Boole P p · q p + q ¯p 1 0 ¯p · q
L´ogica p si y solo si q
p↔q
Principio del tercero excluso Principio de no contradicci´on
´Algebra p · q + p · q p · p = 0 p + p = 1
L´ogica valoraci´on de verdad ´algebra de proposiciones proposici´on elemental
´Algebra morfismo en {0, 1} ´algebra de polinomios booleanos variable libre
L´ogica q se deduce del conjunto de premisas Y
´Algebra q ∈ < Y >= ideal generado por Y
BIBLIOFRAF´IA
Grimaldi Ralph. P. “Matem´atica discreta y combinatoria”. Addison -Wesley.
Kenneth H.Rosen. “Matem´atica Discreta y sus aplicaciones”. McGrawHill.
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