Este documento presenta los axiomas de cuerpo y proposiciones relacionadas con las operaciones de adición y multiplicación en los números reales. Se demuestra que el producto de un número por su opuesto es cero y que el producto de dos números es cero si y solo si uno de los números es cero. Estas proposiciones permiten resolver ecuaciones de segundo grado obteniendo soluciones únicas. También se definen notaciones para exponentes enteros y racionales siguiendo ciertas convenciones.

1. AXIOMA DE CUERPO
Proposición:
(­a) (­b) = ab , ∀ a , b∈IR
Demostración
(­a)(­b) = (­a)(­b) + {ab+(­ab)}
= (­a) (­b) + { (­ab) + ab}
= (­a)(­b) + {a (­b)+ab }
= { (­a)(­b)+a (­b)} + ab
= {(­a)+ a} (­b) + ab
= 0 + ab
= 0
Proposición:
∀ x , y∈IR : xy=0⇔ x=0∨ y=0
Demostración
⇒ Se debe probar que : xy=0 ⇒ x=0∨y=0
El número real x puede ser cero o distinto de cero
i) Si x = 0 la proposición está probada
ii) Si x≠0 , entonces existe x­1 un número real de modo que :
−1 −1
xy=0 ⇒ x ⋅ xy =x ⋅0
⇒  x−1⋅x  y=0
⇒1⋅y=0
⇒ y=0
⇐ Se debe probar que x=0∨y=0 ⇒ xy=0
Supongamos que y = 0
Esto es : x 0 = x ( 0 + 0)
= x 0 + x 0 /adicionando (­ x . 0)
(­x . 0) + x . 0 = {(­x . 0) + x . 0 } + x . 0
{(­x) + x }. 0 = {(­x)+x }. 0 + x . 0
0 = x . 0 , ∀ x ∈ IR
Ejemplo. Aplicando la proposición anterior, resolver x2 + 2x = 0
Solución
La ecuación x2 +2x = 0 es equivalente a:
x ( x + 2) = 0 ⇔ x =0∨x2=0

2. ⇔ x =0∨x=−2
Proposición:
x 2 = y2 ⇔ x= y∨ x=−y
Demostración
x 2 = y 2 ⇔ x 2 − y2 =0
⇔  x y  x−y =0
⇔ x y =0∨x −y =0
⇔ x =−y∨x=y
Ejemplo
Resolver : x2 ­ 4x + 1 = 0
Solución
x2 – 4x + 1 = 0 ⇔ x 2−4x4=3
⇔ x−2 2 =3
⇔ x−2 2 = 3 2
⇔ x −2= 3∨x −2=− 3
⇔ x =2 3∨x =2− 3
A partir de los axiomas de cuerpo, se han obtenido proposiciones importantes, que
permiten obtener las soluciones de ecuaciones de segundo grado sin tener que recurrir
a fórmulas matemáticas y con la seguridad que si existen son únicas.
A partir de estos axiomas y de las operaciones de adición y multiplicación es posible
dar sentido a expresiones como:
“ El producto de un número real “x” por si mismo se puede abreviar de la siguiente
forma:
x2 = x . x
En general:
xn =x . x . x . . . . .x ( n veces)
Esta notación se extiende al caso en que “n” es negativo, y se escribe:
−1 1
a = , a≠0
a
−2 1 −1 −1
a = 2 =a ⋅a
a
Es inmediato verificar que para exponentes n y m enteros se cumplen las propiedades:
1) am+n = am . an
2) am­n = am . a­n
3) (a . b)m = am . bm, si a y b son no ceros.
Los exponentes se pueden considerar también en Q como números racionales, sujeto a
las siguientes convenciones de notación:
1
1º 2 , donde el número b es tal que b2 = a
 a=a

3. 1
2º 3 3 , donde el número b es tal que b3 = a
 a=a
1
3º n a=a n , donde el número b tal que bn = a

Con estas convenciones se define :
1 m
a = a
m
n  
n
Y se cumplen las propiedades:
m p m p

1º n q n q
a ⋅a =a
m p mp
2º n q nq
 a  =a