Ayudantia espacios metricos y topologiaHugo Cornejo
Este documento introduce los conceptos básicos de los espacios métricos y la topología. En primer lugar, define un espacio métrico como un par (X, d) donde X es un conjunto y d es una distancia definida en X que cumple con las propiedades de una distancia. Luego, introduce las nociones de bolas abiertas y cerradas, conjuntos abiertos y cerrados, y subconjuntos notables como frontera, interior y clausura. Finalmente, provee ejemplos y ejercicios para reforzar estos conceptos fundamentales.
Este documento trata sobre los números reales. Explica que los números reales incluyen tanto los números racionales como los irracionales. Luego presenta la historia del desarrollo de los diferentes tipos de números como naturales, racionales e irracionales por diferentes civilizaciones. Finalmente, define los principales axiomas y teoremas relacionados con los números reales.
El documento trata sobre ecuaciones diofánticas. Explica que son ecuaciones lineales con coeficientes enteros que requieren soluciones también enteras. Describe cómo encontrar una solución particular y la solución general de una ecuación diofántica usando el máximo común divisor de los coeficientes y el algoritmo de Euclides. También incluye ejemplos para ilustrar los conceptos.
Este documento resume tres métodos para resolver ecuaciones diferenciales: 1) ecuaciones exactas resolviéndolas mediante una expresión general, 2) ecuaciones exactas con un factor integrante que las hace exactas, y 3) ecuaciones diferenciales lineales de primer orden mediante tres métodos como encontrar un factor integrante, resolver la homogénea asociada o descomponer la función. El documento concluye que explica bien los temas vistos en clase sobre estos métodos y proporciona las herramientas para resolver problemas.
El documento presenta los fundamentos de los números reales como un cuerpo ordenado. Introduce el conjunto de los números reales R y define las operaciones de suma y multiplicación. Establece propiedades como la conmutatividad, asociatividad, existencia de elementos neutros e inversos. Luego demuestra una serie de teoremas relacionados con las operaciones y la relación de igualdad en R. Finalmente, define subconjuntos como los números positivos R+ y negativos R- y establece propiedades de la relación de orden "<" en R.
Este documento describe las rectas en R3, incluyendo su definición, ecuaciones y representaciones paramétricas. Explica que una recta se define por un punto y un vector director paralelo, y proporciona las fórmulas para encontrar las ecuaciones de una recta dados estos elementos o dados dos puntos. También incluye ejemplos y ejercicios para que el estudiante practique encontrar ecuaciones de rectas en R3.
Este documento contiene las respuestas a varios ejercicios propuestos sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Se dividen en 8 secciones que abordan temas como ecuaciones diferenciales separables, homogéneas, de Bernoulli, lineales y no lineales. Cada sección contiene entre 1 y 14 ejercicios resueltos con detalle.
Ayudantia espacios metricos y topologiaHugo Cornejo
Este documento introduce los conceptos básicos de los espacios métricos y la topología. En primer lugar, define un espacio métrico como un par (X, d) donde X es un conjunto y d es una distancia definida en X que cumple con las propiedades de una distancia. Luego, introduce las nociones de bolas abiertas y cerradas, conjuntos abiertos y cerrados, y subconjuntos notables como frontera, interior y clausura. Finalmente, provee ejemplos y ejercicios para reforzar estos conceptos fundamentales.
Este documento trata sobre los números reales. Explica que los números reales incluyen tanto los números racionales como los irracionales. Luego presenta la historia del desarrollo de los diferentes tipos de números como naturales, racionales e irracionales por diferentes civilizaciones. Finalmente, define los principales axiomas y teoremas relacionados con los números reales.
El documento trata sobre ecuaciones diofánticas. Explica que son ecuaciones lineales con coeficientes enteros que requieren soluciones también enteras. Describe cómo encontrar una solución particular y la solución general de una ecuación diofántica usando el máximo común divisor de los coeficientes y el algoritmo de Euclides. También incluye ejemplos para ilustrar los conceptos.
Este documento resume tres métodos para resolver ecuaciones diferenciales: 1) ecuaciones exactas resolviéndolas mediante una expresión general, 2) ecuaciones exactas con un factor integrante que las hace exactas, y 3) ecuaciones diferenciales lineales de primer orden mediante tres métodos como encontrar un factor integrante, resolver la homogénea asociada o descomponer la función. El documento concluye que explica bien los temas vistos en clase sobre estos métodos y proporciona las herramientas para resolver problemas.
El documento presenta los fundamentos de los números reales como un cuerpo ordenado. Introduce el conjunto de los números reales R y define las operaciones de suma y multiplicación. Establece propiedades como la conmutatividad, asociatividad, existencia de elementos neutros e inversos. Luego demuestra una serie de teoremas relacionados con las operaciones y la relación de igualdad en R. Finalmente, define subconjuntos como los números positivos R+ y negativos R- y establece propiedades de la relación de orden "<" en R.
Este documento describe las rectas en R3, incluyendo su definición, ecuaciones y representaciones paramétricas. Explica que una recta se define por un punto y un vector director paralelo, y proporciona las fórmulas para encontrar las ecuaciones de una recta dados estos elementos o dados dos puntos. También incluye ejemplos y ejercicios para que el estudiante practique encontrar ecuaciones de rectas en R3.
Este documento contiene las respuestas a varios ejercicios propuestos sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Se dividen en 8 secciones que abordan temas como ecuaciones diferenciales separables, homogéneas, de Bernoulli, lineales y no lineales. Cada sección contiene entre 1 y 14 ejercicios resueltos con detalle.
Demostraciones de teoremas acerca de límitesJames Smith
Los teoremas acerca de límites de funciones básicas nos proporcionan una estucha de herramientas con las que podemos encontrar límites de funciones compuestas y complejos. En este documento, se demuestran seis de los teoremas más útiles, para luego usarlos en la resolución, paso a paso, de un problema un poco complicado.
Este documento presenta 20 problemas de conjuntos resueltos. Cada problema contiene la definición de los conjuntos involucrados, los datos numéricos proporcionados y los pasos de solución para determinar el resultado requerido. Los problemas involucran operaciones básicas de conjuntos como unión, intersección y diferencia.
1. El documento presenta una práctica propuesta de 20 preguntas sobre conceptos de álgebra superior relacionados con polinomios. Las preguntas cubren temas como evaluación de polinomios, división de polinomios, grado de polinomios, y factores y raíces de polinomios. El objetivo es que los estudiantes identifiquen y elijan la definición o procedimiento correcto en cada caso.
1. El documento presenta fórmulas para transformar expresiones trigonométricas de suma o diferencia a producto y viceversa. Incluye ejemplos como transformar Sen6x + Sen2x a 2Sen4x • Cos2x.
2. Se explican identidades para transformar expresiones como SenA + SenB, CosA + CosB, SenA - SenB, etc. a formas de producto.
3. El documento concluye con problemas aplicativos que involucran usar las transformaciones presentadas.
La topología tiene sus orígenes en los trabajos de Euler, Cantor y Möbius. En 1895, Poincaré publicó su libro Análisis Situs, que es considerado como el punto decisivo en el desarrollo de la topología como disciplina matemática. En 1914, Hausdorff creó la teoría de espacios topológicos abstractos usando la noción de vecindario, lo que estableció formalmente la topología conjuntista.
Interior, exterior y frontera de un conjuntowalexander03
1) El documento presenta definiciones y propiedades relacionadas con el interior, exterior y frontera de subconjuntos en espacios topológicos. 2) El interior de un subconjunto A es el conjunto de puntos interiores a A, es decir, puntos para los cuales existe una vecindad contenida en A. 3) La frontera de un subconjunto A es el conjunto de puntos que no están ni en el interior ni en el exterior de A.
Este documento define funciones racionales y explica cómo graficarlas y resolver ecuaciones racionales. Las funciones racionales son expresiones donde el polinomio está en el numerador y el denominador. Para graficarlas, se identifican las asíntotas verticales y horizontales. Para resolver ecuaciones racionales, se factoriza, se halla el denominador común, y se multiplica la ecuación por este para obtener una expresión no racional que puede resolverse. También explica operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división de expresiones rac
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones e inecuaciones trigonométricas. Explica que las ecuaciones trigonométricas relacionan funciones trigonométricas con variables angulares, y que su solución es encontrar el valor principal del ángulo. También cubre las inecuaciones trigonométricas y métodos para resolver inecuaciones elementales. Finalmente, propone 20 problemas de ecuaciones e inecuaciones trigonométricas para practicar estos conceptos.
El documento describe las ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo su definición, clasificación, orden, grado y métodos de solución. Explica que una ecuación diferencial ordinaria contiene una función incógnita de una sola variable independiente, a diferencia de las ecuaciones diferenciales parciales que contienen funciones de más de una variable. Además, provee ejemplos para ilustrar conceptos como comprobar que una función es solución de una ecuación diferencial dada y obtener soluciones particulares a partir de la sol
El documento resume brevemente la historia de los números complejos, desde su uso por Fibonacci en el siglo XIII para resolver ecuaciones cúbicas numéricamente hasta la formulación de la fórmula de Cardano para cúbicas en el siglo XVI y el surgimiento de los números complejos para poder tomar raíces cuadradas de números negativos.
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenKike Prieto
El documento presenta los objetivos y contenidos del capítulo 2 sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden. Se explica cómo encontrar soluciones generales y particulares de este tipo de ecuaciones, así como su análisis cualitativo y estabilidad dinámica. Se detalla el tratamiento de ecuaciones homogéneas y no homogéneas con coeficientes constantes, incluyendo métodos para hallar las raíces de la ecuación auxiliar y las soluciones complementarias y particulares. Finalmente, se proponen algunos ejercicios resuelt
Este documento presenta las operaciones básicas con conjuntos, incluyendo unión, intersección, diferencia, complementario y diferencia simétrica. También describe las propiedades algebraicas de estas operaciones, como las leyes idempotentes, conmutativas, asociativas y distributivas. El documento proporciona definiciones formales de cada operación y propiedad junto con ejemplos ilustrativos.
Este documento explica las funciones lineales, incluyendo su forma, pendiente, ordenada al origen y cómo representarlas gráficamente. También cubre conceptos como máximos, mínimos, dominio e imagen. Finalmente, incluye ejemplos de funciones como la función módulo y función signo.
Este documento presenta ecuaciones paramétricas y cómo usarlas para representar gráficamente curvas. Explica que las ecuaciones paramétricas expresan las variables x e y en términos de un parámetro t común, y muestra ejemplos como una circunferencia, cicloide y cómo eliminar el parámetro t para obtener una ecuación rectangular. El propósito es evaluar conjuntos de ecuaciones paramétricas y trazar curvas representadas por ellas.
Este documento define y da ejemplos de grupos, subgrupos, anillos y cuerpos en matemática discreta. Define un grupo como un conjunto con una operación interna que cumple cuatro axiomas relacionados con la clausura, asociatividad, elemento neutro e inverso. Define un subgrupo como una parte de un grupo que también forma un grupo. Define un anillo como un grupo abeliano con una segunda operación de multiplicación que cumple ciertos axiomas, y un cuerpo como un anillo donde toda operación distinta de cero tiene inverso multiplicativo.
Este documento presenta los conceptos básicos de sucesiones y criterios de convergencia. Introduce las definiciones de sucesión, sucesión convergente y divergente. Explica cómo calcular el límite de una sucesión y determinar si es convergente. También cubre propiedades de límites de sucesiones como adición y multiplicación.
Este documento describe ecuaciones cuadráticas, incluyendo su forma canónica, discriminante, tipos de ecuaciones cuadráticas (completas e incompletas), conjunto solución, y métodos para resolver ecuaciones cuadráticas como factorización, completando el cuadrado, y la fórmula general. Explica que el valor del discriminante determina si una ecuación cuadrática tiene 0, 1, o 2 soluciones reales.
El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con funciones cuadráticas. Incluye representar gráficamente funciones cuadráticas, hallar el vértice y eje de simetría de parábolas, determinar puntos de corte con los ejes, y calcular valores para funciones cuadráticas dados puntos o condiciones. Las respuestas resuelven cada uno de los ejercicios de manera detallada.
1. El documento presenta ejercicios propuestos relacionados con funciones de variable real, incluyendo determinar dominios y rangos, identificar gráficas de funciones, y analizar propiedades como monotonía, simetría y asíntotas. Se proponen más de 30 ejercicios con diferentes niveles de complejidad sobre este tema.
Este documento presenta conceptos básicos sobre el cálculo diferencial de funciones de varias variables, incluyendo: 1) Definiciones de derivadas parciales y direccionales; 2) Propiedades de derivadas parciales y direccionales; 3) Ejemplos de cálculo de derivadas parciales de funciones específicas. Además, incluye problemas resueltos que ilustran conceptos como la existencia de derivadas parciales pero no direccionales, y que la existencia de derivadas direccionales no garantiza la contin
Este documento presenta conceptos clave sobre el cálculo diferencial de funciones de varias variables, como derivadas parciales, derivadas direccionales y derivadas de orden superior. Introduce las definiciones formales de derivadas parciales y direccionales, y discute propiedades como que las derivadas parciales se pueden obtener como componentes de la derivada direccional. Luego, presenta una serie de problemas resueltos como ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Demostraciones de teoremas acerca de límitesJames Smith
Los teoremas acerca de límites de funciones básicas nos proporcionan una estucha de herramientas con las que podemos encontrar límites de funciones compuestas y complejos. En este documento, se demuestran seis de los teoremas más útiles, para luego usarlos en la resolución, paso a paso, de un problema un poco complicado.
Este documento presenta 20 problemas de conjuntos resueltos. Cada problema contiene la definición de los conjuntos involucrados, los datos numéricos proporcionados y los pasos de solución para determinar el resultado requerido. Los problemas involucran operaciones básicas de conjuntos como unión, intersección y diferencia.
1. El documento presenta una práctica propuesta de 20 preguntas sobre conceptos de álgebra superior relacionados con polinomios. Las preguntas cubren temas como evaluación de polinomios, división de polinomios, grado de polinomios, y factores y raíces de polinomios. El objetivo es que los estudiantes identifiquen y elijan la definición o procedimiento correcto en cada caso.
1. El documento presenta fórmulas para transformar expresiones trigonométricas de suma o diferencia a producto y viceversa. Incluye ejemplos como transformar Sen6x + Sen2x a 2Sen4x • Cos2x.
2. Se explican identidades para transformar expresiones como SenA + SenB, CosA + CosB, SenA - SenB, etc. a formas de producto.
3. El documento concluye con problemas aplicativos que involucran usar las transformaciones presentadas.
La topología tiene sus orígenes en los trabajos de Euler, Cantor y Möbius. En 1895, Poincaré publicó su libro Análisis Situs, que es considerado como el punto decisivo en el desarrollo de la topología como disciplina matemática. En 1914, Hausdorff creó la teoría de espacios topológicos abstractos usando la noción de vecindario, lo que estableció formalmente la topología conjuntista.
Interior, exterior y frontera de un conjuntowalexander03
1) El documento presenta definiciones y propiedades relacionadas con el interior, exterior y frontera de subconjuntos en espacios topológicos. 2) El interior de un subconjunto A es el conjunto de puntos interiores a A, es decir, puntos para los cuales existe una vecindad contenida en A. 3) La frontera de un subconjunto A es el conjunto de puntos que no están ni en el interior ni en el exterior de A.
Este documento define funciones racionales y explica cómo graficarlas y resolver ecuaciones racionales. Las funciones racionales son expresiones donde el polinomio está en el numerador y el denominador. Para graficarlas, se identifican las asíntotas verticales y horizontales. Para resolver ecuaciones racionales, se factoriza, se halla el denominador común, y se multiplica la ecuación por este para obtener una expresión no racional que puede resolverse. También explica operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división de expresiones rac
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones e inecuaciones trigonométricas. Explica que las ecuaciones trigonométricas relacionan funciones trigonométricas con variables angulares, y que su solución es encontrar el valor principal del ángulo. También cubre las inecuaciones trigonométricas y métodos para resolver inecuaciones elementales. Finalmente, propone 20 problemas de ecuaciones e inecuaciones trigonométricas para practicar estos conceptos.
El documento describe las ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo su definición, clasificación, orden, grado y métodos de solución. Explica que una ecuación diferencial ordinaria contiene una función incógnita de una sola variable independiente, a diferencia de las ecuaciones diferenciales parciales que contienen funciones de más de una variable. Además, provee ejemplos para ilustrar conceptos como comprobar que una función es solución de una ecuación diferencial dada y obtener soluciones particulares a partir de la sol
El documento resume brevemente la historia de los números complejos, desde su uso por Fibonacci en el siglo XIII para resolver ecuaciones cúbicas numéricamente hasta la formulación de la fórmula de Cardano para cúbicas en el siglo XVI y el surgimiento de los números complejos para poder tomar raíces cuadradas de números negativos.
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenKike Prieto
El documento presenta los objetivos y contenidos del capítulo 2 sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden. Se explica cómo encontrar soluciones generales y particulares de este tipo de ecuaciones, así como su análisis cualitativo y estabilidad dinámica. Se detalla el tratamiento de ecuaciones homogéneas y no homogéneas con coeficientes constantes, incluyendo métodos para hallar las raíces de la ecuación auxiliar y las soluciones complementarias y particulares. Finalmente, se proponen algunos ejercicios resuelt
Este documento presenta las operaciones básicas con conjuntos, incluyendo unión, intersección, diferencia, complementario y diferencia simétrica. También describe las propiedades algebraicas de estas operaciones, como las leyes idempotentes, conmutativas, asociativas y distributivas. El documento proporciona definiciones formales de cada operación y propiedad junto con ejemplos ilustrativos.
Este documento explica las funciones lineales, incluyendo su forma, pendiente, ordenada al origen y cómo representarlas gráficamente. También cubre conceptos como máximos, mínimos, dominio e imagen. Finalmente, incluye ejemplos de funciones como la función módulo y función signo.
Este documento presenta ecuaciones paramétricas y cómo usarlas para representar gráficamente curvas. Explica que las ecuaciones paramétricas expresan las variables x e y en términos de un parámetro t común, y muestra ejemplos como una circunferencia, cicloide y cómo eliminar el parámetro t para obtener una ecuación rectangular. El propósito es evaluar conjuntos de ecuaciones paramétricas y trazar curvas representadas por ellas.
Este documento define y da ejemplos de grupos, subgrupos, anillos y cuerpos en matemática discreta. Define un grupo como un conjunto con una operación interna que cumple cuatro axiomas relacionados con la clausura, asociatividad, elemento neutro e inverso. Define un subgrupo como una parte de un grupo que también forma un grupo. Define un anillo como un grupo abeliano con una segunda operación de multiplicación que cumple ciertos axiomas, y un cuerpo como un anillo donde toda operación distinta de cero tiene inverso multiplicativo.
Este documento presenta los conceptos básicos de sucesiones y criterios de convergencia. Introduce las definiciones de sucesión, sucesión convergente y divergente. Explica cómo calcular el límite de una sucesión y determinar si es convergente. También cubre propiedades de límites de sucesiones como adición y multiplicación.
Este documento describe ecuaciones cuadráticas, incluyendo su forma canónica, discriminante, tipos de ecuaciones cuadráticas (completas e incompletas), conjunto solución, y métodos para resolver ecuaciones cuadráticas como factorización, completando el cuadrado, y la fórmula general. Explica que el valor del discriminante determina si una ecuación cuadrática tiene 0, 1, o 2 soluciones reales.
El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con funciones cuadráticas. Incluye representar gráficamente funciones cuadráticas, hallar el vértice y eje de simetría de parábolas, determinar puntos de corte con los ejes, y calcular valores para funciones cuadráticas dados puntos o condiciones. Las respuestas resuelven cada uno de los ejercicios de manera detallada.
1. El documento presenta ejercicios propuestos relacionados con funciones de variable real, incluyendo determinar dominios y rangos, identificar gráficas de funciones, y analizar propiedades como monotonía, simetría y asíntotas. Se proponen más de 30 ejercicios con diferentes niveles de complejidad sobre este tema.
Este documento presenta conceptos básicos sobre el cálculo diferencial de funciones de varias variables, incluyendo: 1) Definiciones de derivadas parciales y direccionales; 2) Propiedades de derivadas parciales y direccionales; 3) Ejemplos de cálculo de derivadas parciales de funciones específicas. Además, incluye problemas resueltos que ilustran conceptos como la existencia de derivadas parciales pero no direccionales, y que la existencia de derivadas direccionales no garantiza la contin
Este documento presenta conceptos clave sobre el cálculo diferencial de funciones de varias variables, como derivadas parciales, derivadas direccionales y derivadas de orden superior. Introduce las definiciones formales de derivadas parciales y direccionales, y discute propiedades como que las derivadas parciales se pueden obtener como componentes de la derivada direccional. Luego, presenta una serie de problemas resueltos como ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento presenta definiciones y teoremas relacionados con topología y funciones continuas entre espacios métricos. Define funciones inducidas, continuidad en puntos y conjuntos, y teoremas como que la imagen de un conjunto compacto bajo una función continua es compacta, y que una función continua desde un espacio compacto es uniformemente continua.
Este documento define y explica las propiedades del rotacional y la divergencia de un campo vectorial. El rotacional representa la circulación del campo alrededor de un punto y la divergencia representa la compresibilidad de un fluido. Se proporcionan ejemplos para calcular el rotacional y la divergencia de campos vectoriales específicos.
1) Se describen funciones reales de varias variables cuyo dominio es un subconjunto de Rn y cuya imagen son números reales. Se definen el dominio, imagen y gráfica de estas funciones.
2) Se presentan ejemplos de funciones de dos variables donde se calcula el dominio de definición e imagen.
3) Se define la noción de curvas de nivel como el conjunto de puntos donde la función toma un valor constante c.
1. El documento presenta una serie de ejercicios de derivadas parciales, incluyendo hallar derivadas parciales de primer y segundo orden, demostrar identidades, y aplicar conceptos como la regla de la cadena y derivación implícita.
2. También incluye aplicaciones de las derivadas parciales en economía y administración, como el análisis de productos marginales del capital y la mano de obra, y una aplicación de la derivación implícita en microeconomía relacionada con curvas de indiferencia.
1) El documento presenta el teorema para calcular la integral de línea de una función escalar a lo largo de una trayectoria. 2) Explica que un campo vectorial es conservativo si cumple ciertas condiciones de derivadas parciales iguales. 3) Proporciona un ejemplo de campo conservativo y cómo calcular su potencial asociado.
1. El documento explica cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales y de Bernoulli. Para las lineales, se simplifica la ecuación, se iguala términos a cero para separar variables, y se sustituye en la ecuación original. Para las de Bernoulli, se cambia la variable, se obtiene una ecuación lineal equivalente que se resuelve de la misma forma.
1. Resume los resultados sobre la convergencia de la serie según los valores de x. Converge si |x|<2, diverge si |x|>2, y diverge también para x=2 y x=-2.
2. Explica que usa el criterio de la raíz para determinar las condiciones de convergencia en función de x, y analiza los casos límite x=2 y x=-2.
3. Revisa la convergencia para valores específicos de x estudiando la serie resultante en cada caso.
Este documento presenta nueve problemas resueltos sobre cálculo de integrales múltiples y de línea. En el primer problema se calcula la integral de una función definida en un rectángulo sobre la región donde no es nula. En el segundo problema se calcula el volumen de un sólido limitado por una superficie y dos planos. En el tercer problema se calcula una integral doble sobre una región delimitada por hipérbolas y líneas rectas.
Este documento presenta nueve problemas resueltos sobre cálculo de integrales múltiples y de línea. En el primer problema se calcula la integral de una función definida en un rectángulo sobre la región donde no es nula. En el segundo problema se calcula el volumen de un sólido limitado por una superficie y dos planos. En el tercer problema se calcula una integral doble sobre una región delimitada por hipérbolas y líneas rectas.
Este documento presenta nueve problemas resueltos sobre cálculo de integrales múltiples y de línea. En el primer problema se calcula la integral de una función definida en un rectángulo sobre la región donde no es nula. En el segundo problema se calcula el volumen de un sólido limitado por una superficie y dos planos. En el tercer problema se calcula una integral doble sobre una región limitada por hipérbolas y líneas rectas.
Este documento presenta nueve problemas resueltos sobre cálculo de integrales múltiples y de línea. En el primer problema se calcula la integral de una función definida en un rectángulo sobre la región donde no es nula. En el segundo problema se calcula el volumen de un sólido limitado por una superficie y dos planos. En el tercer problema se calcula una integral doble sobre una región delimitada por hipérbolas y líneas rectas.
Este documento introduce los conceptos de integrales múltiples. Explica cómo se calcula el volumen de un prisma rectangular limitado por una función de dos variables mediante una integral doble. Luego define la integral doble sobre un rectángulo y sus propiedades, y cómo se puede calcular la integral doble sobre regiones más generales. Finalmente, introduce brevemente los conceptos de integral triple y cambio de variables en integrales dobles.
Este documento describe los conceptos fundamentales de la integración o antiderivación. Explica que una función F es una primitiva de f si su derivada es f, y que cualquier función de la forma F(x)+C también es una primitiva de f. Además, introduce las nociones de integral indefinida, integral definida, y el Teorema Fundamental del Cálculo.
El documento presenta ejercicios resueltos sobre cálculo de áreas, volúmenes y aplicaciones de la integral definida. Incluye problemas sobre hallar áreas de regiones planas limitadas por funciones, calcular volúmenes generados al girar funciones sobre ejes, y aplicaciones como distancias y velocidades en movimientos rectilíneos uniformemente acelerados.
Ejercicios Resueltos de Integrales (Cálculo Diferencial e Integral UNAB)Mauricio Vargas 帕夏
El documento presenta la solución de varios problemas de cálculo integral resueltos mediante diferentes métodos como sustitución, integración por partes y trigonométricas. En menos de 3 oraciones resume los principales puntos tratados: la resolución de 8 integrales indefinidas utilizando sustitución y 5 integrales utilizando integración por partes con diferentes funciones integrandas.
1) El documento presenta métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo variables separables y ecuaciones homogéneas. 2) Se definen ecuaciones de variables separables y se explica cómo separar las variables para integrar la ecuación. 3) Las ecuaciones homogéneas pueden transformarse en ecuaciones de variables separables mediante sustituciones adecuadas.
Este documento trata sobre funciones convexas y optimización convexa. Introduce conceptos clave como funciones convexas y cóncavas, desigualdad de Jensen, y condiciones necesarias y suficientes para óptimos locales y globales de problemas de optimización convexa. También describe operaciones que preservan la convexidad y presenta el problema general de optimización convexa.
a) Resume el documento sobre ejercicios de cálculo integral propuestos por el profesor Antonio Chong. Incluye 11 problemas que abarcan conceptos como integral definida, suma de Riemann, funciones continuas e integrables.
Alojamiento web gratis actualizado 2019-10-20Antonio Sanchez
This document lists and compares various free web hosting providers. It notes whether they have ads ("no ADs") and what programming languages and features they support, such as PHP, MySQL, and whether they allow reselling ("R"). Many providers listed offer 1GB of storage with no ads and support PHP and MySQL. Some are resellers of other services, while others do not allow user programming and are for simple websites only.
El documento lista varios servicios de almacenamiento en la nube que ofrecen espacio de almacenamiento gratuito, variando entre 2GB y 200GB. Algunos servicios como ruu.cloud, degoo.com y syncplicity.com obligan al usuario a configurar carpetas de backup, mientras que otros permiten usar el espacio como disco duro en línea o como copia de seguridad según se desee. El documento incluye enlaces a cada uno de los servicios listados.
This document lists various free web hosting providers, noting whether they have advertisements (ADs) or not, and what programming languages and features they support. It separates the providers into categories like those that do not add ads, resellers of other hosting, and those that only allow front-end pages without custom programming. Many of the providers listed offer 1GB of storage or less without ads.
This document lists and compares various free web hosting providers. It categorizes them based on whether they have ads, support PHP and MySQL, are resellers, or only offer frontend hosting. Many providers offer 1GB of storage with no ads and support for PHP and MySQL. Resellers offer similar services under different domain names. Some providers only offer frontend hosting and others don't support programming.
This document lists and compares various free web hosting providers. It separates them into categories based on whether they have ads, support certain programming languages like PHP and MySQL, and whether they are resellers of other hosting services. Many of the providers listed offer 1GB of storage and do not include ads on hosted websites.
El documento lista varios servicios de almacenamiento en la nube que ofrecen espacio de disco duro en línea gratuito, incluida la cantidad de almacenamiento gratuito que proporcionan. Algunos servicios como degoo.com, syncplicity.com y asuswebstorage.com requieren que los archivos se guarden como copias de seguridad en lugar de como un disco duro en línea. La mayoría de los demás permiten usar el espacio como disco duro en línea o para copias de seguridad.
Este documento lista y clasifica varios servicios de almacenamiento en la nube que ofrecen espacio de disco duro en línea gratuito, incluyendo la cantidad de almacenamiento gratuito que proporcionan y si requieren o no configurar copias de seguridad.
El documento lista varios servicios de almacenamiento en la nube que ofrecen espacio de almacenamiento gratuito, incluyendo la cantidad de espacio gratuito que ofrece cada uno. Algunos servicios como degoo.com, syncplicity.com y asuswebstorage.com enfatizan la funcionalidad de copia de seguridad, mientras que otros permiten usar el espacio como disco duro en línea o para copias de seguridad. El documento proporciona una lista comparativa de las opciones de almacenamiento en la nube gratuitas disponibles
Este documento lista numerosas páginas web de Telefónica y sus subsidiarias, incluyendo sitios corporativos, de productos y servicios para diferentes países, operadores móviles, contenidos, investigación e innovación, educación, fundaciones, capital riesgo, talento, seguridad y más.
El documento lista varios servicios de almacenamiento en la nube que ofrecen espacio de disco duro en línea gratuito, incluyendo la cantidad de almacenamiento gratuito que proporcionan. Algunos servicios como degoo.com, syncplicity.com y asuswebstorage.com enfatizan también la funcionalidad de copia de seguridad.
Este documento lista las páginas web de Telefónica y sus subsidiarias, incluyendo sitios corporativos, de productos y servicios para cada país, operadores móviles, contenido, investigación, educación, emprendimiento, responsabilidad social y seguros. Cubre más de 200 dominios agrupados por área de negocio en España, Latinoamérica, Alemania, Reino Unido y Brasil.
Este documento lista y compara varios servicios de almacenamiento en la nube, incluyendo la cantidad de almacenamiento gratuito que ofrecen y si requieren o no configurar carpetas de backup. Algunos servicios como degoo y syncplicity obligan a configurar carpetas de backup, mientras que otros como mega.nz y hubic funcionan como discos duros en línea sin requerir backup. La mayoría permiten ambas funcionalidades de forma opcional.
Este documento lista y compara varios servicios de almacenamiento en la nube, incluyendo la cantidad de almacenamiento gratuito que ofrecen y si requieren o permiten realizar copias de seguridad. Algunos servicios como Degoo y Syncplicity requieren configurar copias de seguridad, mientras que otros como Mega y Hubic ofrecen almacenamiento en la nube sin esta limitación. La mayoría de los servicios listados ofrecen entre 1 y 25 GB de almacenamiento gratuito.
Una unidad de medida es una cantidad de una determinada magnitud física, definida y adoptada por convención o por ley. Cualquier valor de una cantidad física puede expresarse como un múltiplo de la unidad de medida. Para entender mejor las mismas, hay que saber como se pueden convertir en otras unidades de medida.
¿Qué es?
El VIH es un virus que ataca el sistema inmunitario del cuerpo humano, debilitándolo y dejándolo vulnerable a otras infecciones y enfermedades.
Se transmite a través de fluidos corporales como sangre, semen, secreciones vaginales y leche materna.
A medida que avanza, el VIH puede desarrollarse en SIDA, una etapa avanzada de la infección donde el sistema inmunitario está severamente comprometido.
Estadísticas
Más de 38 millones de personas viven con VIH en todo el mundo, según datos de la ONU.
Las tasas de infección varían según la región y el grupo demográfico, con una prevalencia más alta en África subsahariana.
Modos de Transmisión
El VIH se transmite principalmente a través de relaciones sexuales sin protección, compartir agujas contaminadas y de madre a hijo durante el parto o la lactancia.
No se transmite por contacto casual como estrechar la mano o compartir utensilios.
Prevención y Tratamiento
La prevención incluye el uso de preservativos durante las relaciones sexuales, evitar compartir agujas y acceder a la profilaxis preexposición (PrEP) para aquellos con mayor riesgo.
El tratamiento del VIH implica el uso de terapia antirretroviral (TAR), que ayuda a controlar la replicación viral y permite que las personas con VIH vivan vidas más largas y saludables
1891 - Primera discusión semicientífica sobre Una Nave Espacial Propulsada po...Champs Elysee Roldan
La primera discusión semicientífica sobre una nave espacial propulsada por cohetes la realizó el alemán Hans Ganswindt, quien abordó los problemas de la propulsión no mediante la fuerza reactiva de los gases expulsados sino mediante la eyección de cartuchos de acero que contenían dinamita. Supuso que la explosión de una carga transferiría energía cinética a la pared de la nave espacial y la impulsaría en la dirección deseada. Supuso que múltiples explosiones proporcionarían suficiente velocidad para alcanzar la órbita y la velocidad de escape.
El 27 de mayo de 1891, pronunció un discurso público en la Filarmónica de Berlín, en el que introdujo su concepto de un vehículo galáctico(Weltenfahrzeug).
Ganswindt también exploró el uso de una estación espacial giratoria para contrarrestar la ingravidez y crear gravedad artificial.
Priones, definiciones y la enfermedad de las vacas locasalexandrajunchaya3
Durante este trabajo de la doctora Mar junto con la coordinadora Hidalgo, se presenta un didáctico documento en donde repasaremos la definición de este misterio de la biología y medicina. Proteinas que al tener una estructura incorrecta, pueden esparcir esta estructura no adecuada, generando huecos en el cerebro, de esta manera creando el tejido espongiforme.
Es en el Paleozoico cuando comienza a aparecer la vida más antigua. En Venezuela, el Paleozoico puede considerarse concentrado en tres regiones positivas distintas:
Región Norte del Escudo Guayanés.
Cordillera de los Andes venezolanos.
Sierra de Perijá.
Cardiopatias cianogenas con hipoflujo pulmonar.pptxELVISGLEN
Las cardiopatías congénitas acianóticas incluyen problemas cardíacos que se desarrollan antes o al momento de nacer pero que normalmente no interfieren en la cantidad de oxígeno o de sangre que llega a los tejidos corporales.
Cardiopatias cianogenas con hipoflujo pulmonar.pptx
Exámenes resueltos de Topología
1. Exámenes resueltos
Asignatura: Topología General
Código de asignatura: 233
Ciclo: segundo
Profesor: Francisco Gallego Lupiáñez
Exámenes en mi poder: Febrero y Septiembre de 2000, Febrero de
2001, Febrero de 2002, Febrero y Septiembre de 2003, Septiembre
de 2005, Junio y Septiembre de 2006, Febrero y Septiembre de
2007
Autor de este informe: alumno Antonio Sánchez Fernández
Procesador de textos utilizado: LATEX
I) Teoría
1. Propuesto al menos en Septiembre de 2005
1.1. Enunciado
[Admitiendo el Axioma de Zorn] Sea X conjunto y F ltro de X. Entonces
existe algún ultraltro en X más no que F.
1.2. Solución
Sea S el conjunto de todos los ltros de X más nos que F. F ∈ S ⇒ S = ∅.
(S, ⊂) es conjunto ordenado.
Sea {Fj}j∈J cadena en S. Veamos que
j∈J
Fj es cota superior de la cadena.
1)∀F1, F2 ∈
j∈J
Fj ⇒ ∃j1, j2 ∈ J, , Fk ∈ Fjk
({Fj}j∈J cadena, supongo
Fj1
⊂ Fj2
) ⇒ F1, F2 ∈ Fj2
ltro ⇒ F1 ∩ F2 ∈ Fj2
⊂ ∪j∈J Fj
2)∀F ∈ ∪j∈J Fj, ∀F ⊂ X, , F ⊂ F ⇒ ∃j0 ∈ J, , F ∈ Fj0 ltro ⇒ F ∈ Fj0 ⊂
∪j∈J Fj
1) y 2) ⇒ (∀j ∈ J)Fj ⊂ ∪j∈J Fj ltro en X más no que F y es cota superior
de la cadena.
(Axioma de Zorn) ⇒ ∃G elemento maximal de S ⇔ G es ultraltro en X más
no que F2
1
2. 2. Propuesto al menos en Febrero de 2002 y Junio
de 2006
2.1. Enunciado
Sea (X, T) espacio topológico, x ∈ X, s red en X. Entonces x es un punto
de aglomeración de s si, y sólo si, existe una subred de s que converge a x.
2.2. Solución
Sea s = (sd)d∈D la red del enunciado.
(⇒)x punto de aglomeración de s ⇒ ∀U entorno de x∃d ∈ D, , sd ∈ U.
Sea Λ = {(d, U)|d ∈ D, U entorno de x sd ∈ U}
(d1, U1) ≤ (d2, U2)
def.
⇔ d1 ≤ d2, U2 ⊂ U1 ⇒ (Λ, ≤) es un conjunto dirigido.
Sea
ϕ : Λ −→ D
(d, U) → d
aplicación.
ϕ es creciente y conal ⇒ s ◦ ϕ ≡ t, t es subred de s.
∀Ux
entorno de x. ∀d0 ∈ D∃d1 ∈ D, , d0 ≤ d1,
sd1
∈ Ux
⇒ ∃(d1, Ux
) ∈ Λ, ∀(d, U) ∈ Λ, , (d1, Ux
) ≤ (d, U)(⇒ U ⊂ Ux
)
t(d, u) = (s ◦ ϕ)(d, U) = s(d) ∈ U ⊂ Ux
⇒ t −→ x
(⇐)∃Λ conjunto dirigido. ∃ϕ : Λ −→ D aplicación creciente y conal tal que
s ◦ ϕ −→ x.
∀Ux
entorno de x∃λ0 ∈ Λ, , ∀λ ≥ λ0(s ◦ ϕ)(λ) ∈ Ux
∀d1 ∈ D∃λ1 ∈ Λ, , ϕ(λ1 ≥ d1 (pues ϕ es conal)
∃λ2 ∈ Λ, , λ0, λ1 ≤ λ2 ⇒ ϕ(λ2 ≥ ϕ(λ0), ϕ(λ1 ≥ d1
d∗
≡ ϕ(λ2)
s(d∗
) = s(ϕ(λ2)) = (s ◦ ϕ)(λ2) ∈ Ux
⇒ x es punto de aglomeración de la
red s2
2
3. 3. Propuesto al menos en Febrero de 2000, Fe-
brero de 2002 y Febrero de 2003
3.1. Enunciado
Sea {(Xj, Tj)}j∈J familia = ∅ de espacios topológicos. Entonces (
j∈J
Xj,
j∈J
Tj)
es completamente regular si, y sólo si, ∀j ∈ J(Xj, Tj) es completamente regular.
3.2. Solución
(⇒) trivial
(⇐)∀x = (xj)j∈J ∈
j∈J
Xj
∀C = ∅ cerrado de (
j∈J
Xj,
j∈J
Tj), , x ∈ C ⇒ x ∈
j∈J
Xj C ∈
j∈J
Tj ⇒
∃B =
n
n=1
p−1
jk
(Uk), , x ∈ B ⊂
j∈J
Xj C ⇒ ∀k = 1, . . . , n,
xjk
∈ Uk(= Xjk
) ∈ Tjk
⇔ ∀k = 1, . . . , n, xjk
∈ Xjk
Uk = ∅ cerrado de
(Xjk
, Tjk
)
(Hipótesis) ⇒ ∀k = 1, . . . , n, ∃fk : (Xjk
, Tjk
) −→ [0, 1] continua
fk(xjk
) = 0, fk(Xjk
Uk) = {1}
Sea f : (
j∈J
Xj,
i∈J
Tj) −→ [0, 1],
∀z = (zj)j∈J , f(z)
def
= m´ax{fk(zjk
)|k = 1, . . . , n} ⇒ f aplicación continua,
f(x) = 0, f(C) = {1}
(∀z ∈ C ⇒ z ∈ B ⇔ ∃k0 ∈ {1, . . . , n}, , zjk0
∈ Uk0 ⇒ fk0 (zjk0
) = 1 ⇒
f(z) = 1)2
3
4. 4. Propuesto al menos en Septiembre de 2003
4.1. Enunciado
Todo espacio topológico metrizable es normal.
4.2. Solución
∀C1, C2 cerrados disjuntos de (X, T), , T = Td, con d métrica sobre X. Si
C1 = ∅, trivial. Supongo C1, C2 = ∅.
∀x ∈ C1∀y ∈ C2 ⇒
∃εx 0, , Bεx
(x) ∩ C2 = ∅
∃δy 0, , Bδy
(y) ∩ C1 = ∅
C1 ⊂
x∈C1
Bεx
3
(x) ≡ U1 ∈ T; C2 ⊂
y∈C2
Bδy
3
(y) ≡ U2 ∈ T
Si ∃z ∈ U1 ∩ U2 ⇒
∃x0 ∈ C1, , z ∈ Bεx0
3
(x0)
∃y0 ∈ C2, , z ∈ Bδy0
3
(y0)
Supongo δy0
≤ εx0
d(x0, y0) ≤ d(x0, z)+d(z, y0)
εx0
3 +
δy0
3 ≤ 2
3 εx0
εx0
⇒
y0 ∈ C2
y0 ∈ Bεx0
(x0)
contradicción ⇒ U1 ∩ U2 = ∅2
5. Propuesto al menos en Febrero de 2007
5.1. Enunciado
Enunciar y demostrar el Lema de Jones.
5.2. Solución
Lema de Jones: Sea (X, T) espacio topológico. Si ∃D subconjunto denso de
(X, T) y E cerrado de (X, T), (E, T|E) discreto y card E ≥ 2cardD
, entonces
(X, T) no es normal.
Demostración: Si (X, T) normal y E cerrado de (X, T), , (E, T|E) discreto
⇒ ∀C ⊂ E, C y E C cerrados disjuntos de (E, T|E) (y E cerrado) ⇒ C y E C
4
5. cerrados disjuntos de (X, T) ⇒ ∃UC, VC ∈ T disjuntos C ⊂ UC, E C ⊂ VC
UC ∩ D ⊂ D. Sea f : P(E) −→ P(D) aplicación
c −→ f(C)
def
= UC ∩ D
Si C1, C2 ∈ P(E), , C1 = C2 ⇒ ∃x ∈ C1, , x ∈ C2 ⇒ x ∈ C1 ⊂ Uc1
, x ∈
E C2 ⊂ VC2
⇒ UC1
∩ VC2
= ∅ abierto de T (y D denso en (X, T)) ⇒ UC1
∩
VC2
∩ D = ∅ ⇔ ∃y ∈ UC1
∩ VC2
∩ D ⇒
y ∈ UC1
∩ D = f(C1)
y ∈ VC2
∩ D ⇒ y ∈ f(C2)
⇒
f(C1) = f(C2) ⇒ f inyectiva ⇒ card E card P(E) ≤ card P(D) = 2cardD
,
contradicción. 2
6. Propuesto al menos en Febrero de 2001, Sep-
tiembre de 2006 y Septiembre de 2007
6.1. Enunciado
Sea (X, T) espacio topológico regular. Entonces (X, T) es paracompacto si y
sólo si para cada recubrimiento abierto de (X, T) existe una partición continua
de la unidad subordinada.
6.2. Solución
(⇐) trivial
(⇒)∀U = {Uj}j∈J recubrimniento abierto de (X, T) ⇒ ∃{Vs}s∈S rena-
miento abierto localmente nito.
∀s ∈ S∃j(s) ∈ J, , Vs ⊂ Uj(s).∀j ∈ J
j(s)=j
Vs ≡ Vj ⇒ ∃{Vj}j∈J renamiento
abierto localmente nito de U, , Vj ⊂ Uj(∀j ∈ J), (y (X, T) es paracompacto y
regular) ⇒ ∃{Fj}j∈J renamiento cerrado localmente nito Fj ⊂ Vj, ∀j ∈ J ⇒
(∃{Fh}h∈H renamiento cerrado localmente nito de {Vj}j∈J .∀h ∈ H∃j(h) ∈
J, , Fh ⊂ Vj(h); ∀j ∈ J
j(h)=j
Fh ≡ Fj cerrado)
⇒ Fj y X Vj cerrados disjuntos (∀j ∈ J)
(Paracompacto: lema de Urysohn:) Si Fj = ∅ y Vj = X ⇒
5
6. ∃gj : (X, T) −→ [0, 1] continua,
gj(Fj) = {1}, gj(X Vj) = {0}
SiFj = ∅.Sea gj : (X, T) −→ [0, 1], , gj ≡ 0(⇒ gjcontinua)
SiX = Vj.Sea gj : (X, T) −→ [0, 1], , gj ≡ 1(⇒ gjcontinua)
⇒
∀j ∈ J, X Vj ⊂ g−1
j (0) ⇒ ∀j ∈ J sopAgj ⊂ Vj ⇒ {sopAgj}j∈J localmente
nito en (X, T) ⇒ ∃g =
j∈J
gj : (X, T) −→ [0, →) continua
{Fj}j∈J recubrimiento de X ⇒ ∀x ∈ X∃j0 ∈ J, , x ∈ Fj0
⇒ gj0
(x) = 1 ⇒
g(x) = 0
Sea ∀j ∈ Jfj : (X, T) −→ R, , fj(x) =
gj (x)
g(x) ⇒ fj continua ∀j ∈ J
fj(x) ≥ 0∀x ∈ X, ∀j ∈ J. sopAfj = sopAgj ⇒ {sopAfj}j∈J localmente
nito.
∀x ∈ X (
j∈J
fj)(x) =
j∈J
gj(x)
g(x)
= 1 ⇒ {fj}j∈J partición continua de la
unidad subordinada a U 2
7. Propuesto al menos en Septiembre de 2003,
Junio de 2006 y Febrero de 2007
7.1. Enunciado
Sean (X, T), (X , T ), (X , T ) espacios topológicos. Si α : (X, T)×(X , T ) −→
(X , T ) es aplicación continua, entonces
ˆα : (X, T) −→ (C(X , X ), Tc)
x −→ ˆα(x) = α(x, ·)
es
continua.
7.2. Solución
Sea x0 ∈ X, considero ˆα(x0) = α(x0, ·) ∈ C(X , X )
Subbase de (C(X , X ), Tc) : K , G con K compacto ⊂ X , G abierto
⊂ X
ˆα(x0) ∈ K , G entorno abierto de ˆα(x0)
Quiero V x0
⊂ X entorno abierto de x0 tal que ˆα(V x0
) ⊂ K , G
α(x0, ·) ∈ K , G ⇔ α(x0, ·)(K ) ⊂ G ⇔ α−1
(G ) (abierto por ser α
6
7. continua) ⊃ {x0} × K en X × X ⇒ ∃V x0
x0 entorno abierto tal que
V x0
× K ⊂ α−1
(G ) ⇔ α(V x0
, K ) ⊂ G ⇔ α(V x0
, ·)(K ) ⊂ G ⇔
ˆα(V x0
)(K ) ⊂ G ⇒ ˆα(V x0
) ⊂ K , G 2
8. Propuesto al menos en Septiembre de 2000,
Febrero de 2001, Febrero de 2003, Septiembre
de 2005, Septiembre de 2006 y Septiembre de
2007
8.1. Enunciado
Sea (X, T) espacio topológico T2 y (X , d ) espacio métrico. Si s = (sd)d∈D
es red en C(X, X ) y f ∈ C(X, X ), entonces s converge a f en la topología
compacta-abierta si y sólo si ∀K ⊂ X, subconjunto compacto,
∀ε 0 ∃d0 ∈ D, , ∀d ≥ d0 d (sd(x), f(x)) ε(∀x ∈ K).
8.2. Solución
⇐)f ∈ K, G entorno abierto, K compacto en X, G abierto en X ⇔
f(K) ⊂ G ⇒ ε := d (f(K), X G ) 0
Quiero: d0 ∈ D tal que sd ∈ K, G ∀d ≥ d0
s −→ f (uniformemente) ⇒ ∃d0 ∈ D tal que d (sd(x), f(x)) ε
∀x ∈ K, ∀d ≥ d0 ⇒ sd(x) ∈ G ∀d ≥ d0∀x ∈ K ⇔ sd ∈ K, G ∀d ≥ d0
⇒)K compacto ⊆ X, ε 0, f continua ⇒ x ∈ K, f(x) ⊆ X . Considero
Bε
2
(f(x)) entorno abierto de f(x).
∃x ∈ V x
entorno abierto de x en X tal que f(V x
) ⊂ Bε
2
(f(x))
K compacto. V x
abierto en X ⇒ V x
∩ K abierto en K.
{V x
∩ K|x ∈ K} recubrimiento abierto de K.
∃n ∈ N tal que K =
n
i=1
(V xi
∩ K)
K compacto T2 ⇒ ∃Ki ⊂ V xi
∩ K, Ki compacto, ∀i = 1, . . . , n, tal que
K =
n
i=1
Ki
7
8. ∀x ∈ K, f(V x
) ⊂ Bε
2
(f(x)).Ki ⊆ V xi
∩ K ⊂ V xi
⇒
∀i = 1, . . . , n, f(Ki) ⊆ Bε
2
(f(xi)) ⇔ f ∈ Ki, Bε
2
(f(xi)) ∀i = 1, . . . , n ⇔
f ∈
n
i=1
Ki, Bε
2
(f(xi)) = V f
entorno abierto básico (de una base) de f en
Tc.
f ∈ Lim s
Tc
⇒ ∃d0 ∈ D : sd ∈ V f
∀d ≥ d0.xi ∈ Ki
Sea x ∈ K.∃i ∈ {1, . . . , n} tal que x ∈ Ki.
d (sd(x), f(x)) ≤ d (sd(x), f(xi))
ε
2
+ d (f(xi), f(x))
ε
2
ε 2
9. Propuesto en Febrero de 2000
9.1. Enunciado
Sea X espacio topológico T2. Entonces Cc(X) es espacio vectorial topológico
real.
9.2. Solución
1) Veamos que la operación + en C(X) es continua de Cc(X) × Cc(X) en
Cc(X).
Sea (f0, g0) ∈ C(X) × C(X), K un compacto en X y G un abierto de R tales
que f0 + g0 ∈ K, G .
∀x ∈ K, como f0(x) + g0(x) ∈ G, existe un entorno abierto V f0(x)
de f0(x)
en R y un entorno abierto V g0(x)
de g0(x), tales que V f0(x)
+ V g0(x)
⊂ G.
Por la continuidad de f0 y g0, existe un entorno abierto V x
de x en X, tal que
f0(V x
) ⊂ V
f0(x)
1 y g0(V x
) ⊂ V
g0(x)
1 , donde V
f0(x)
1 y V
g0(x)
1 son entornos cerrados
de f0(x) y g0(x) respectivamente, con V
f0(x)
1 ⊂ V f0(x)
y V
g0(x)
1 ⊂ V g0(x)
. Como
K es compacto, ∃x1, . . . , xn ∈ K tales que K ⊂ V x1
∪ . . . ∪ V xn
.
∀i ∈ {1, . . . , n}, Ki = K ∩ f−1
0 (V
f0(x0)
1 ) ∩ g−1
0 (V
g0(x0)
1 ) es compacto,
K =
n
i=1
Ki, f0(Ki) ⊂ V f0(xi)
y g0(Ki) ⊂ V g0(xi)
8
9. V f0
=
n
i=1
Ki, V f0(xi)
y V g0
=
n
i=1
Ki, V g0(xi)
son entornos abiertos
de f0 y g0, respectivamente en Cc(X).
+(V f0
× V g0
) ⊂ K, G . Así, + es continua en (f0, g0).
2) Veamos que la operación · de R × C(X) en C(X) es continua de (R, Tu) ×
Cc(X) en Cc(X).
Sea (λ0, f0) ∈ R × C(X), K compacto en X y G abierto en R tal que
λ0 · f0 ∈ K, G .
∀x ∈ K, como λ0f0(x) ∈ G, existe un entorno abierto V λ0
x de λ0 en R y
existe un entorno abierto V f0(x)
de f0(x) en R, tales que V λ0
x · V f0(x)
⊂ G.
Por la continuidad de f0, existe V x
entorno abierto de x en X tal que
f0(V x
) ⊂ V
f0(x)
1 , donde V
f0(x)
1 es un entorno cerrado de f0(x) contenido en
V f0(x)
.
Como K es compacto existen x1, . . . , xn ∈ K tales que K ⊂ V x1
∪. . .∪V xn
.
∀i ∈ {1, . . . , n}, Ki = K ∩ f−1
0 (V
f0(x)
1 ) es compacto, K =
n
i=1
Ki, y f0(Ki) ⊂
V f0(xi)
. Entonces, V f0
=
n
i=1
Ki, V f0(xi)
es un entorno abierto de f0 en
Cc(X) y V λ0
=
n
i=1
V λ0
xi
es un entorno abierto de λ0 en R.
·(V λ0
× V f0
) ⊂ K, G . Así · es continua en (λ0, f0). 2
II) Problemas teorícos
10. Propuesto al menos en Septiembre de 2003 y
Septiembre de 2006
10.1. Enunciado
Sean (X, T) espacio topológico, {(Xj, Tj)}j∈J familia = ∅ de espacios topo-
lógicos y F = {fj : X −→ Xj|j ∈ J} una familia de aplicaciones que distingue
puntos y cerrados. Demostrar que la aplicación
e = (fj)j∈J : (X, T) −→ (e(X),
j∈J
Tj|e(X)) es abierta.
9
10. 10.2. Solución
F distingue puntos y cerrados de (X, T) ⇒ ∀F cerrado de (X, T), ∀x ∈ X
tal que x ∈ F, ∃fjx
∈ F : fjx
(x) ∈ fjx
(F).
e es abierta si para todo abierto A de (X, T), e(A) es abierto en (e(X),
j∈J
Tj|e(X)).
Si el abierto es el vacío: e(∅) = ∅, que es abierto.
Si el abierto es el total: e(X) es abierto en
j∈J
Tj|e(X).
Veamos el caso general: Sea A ∈ T, A ∈ {∅, X}.
Deno C = X A ⇒ C es cerrado y C = ∅.
Si x ∈ C ⇒ e(x) ∈ e(C).
e(x) ∈ e(C) ⇒ x ∈ C ⇔ x ∈ A.
e(C) ⊂
j∈J
fj(C) ⇒ e(C) ⊂
j∈J
fj(C) =
j∈J
fj(C)
x ∈ C ⇒ ∃fjx ∈ F : fjx (x) ∈ fjx (C) ⇒ e(x) ∈
j∈J
fj(C) =
j∈J
fj(C) y
e(C) ⊂
j∈J
fj(C) ⇒ ∀x ∈ A, e(x) ∈ e(C) ⇒ e(A) ∩ e(C) = ∅ ⇒ e(A) ∩ e(C) = ∅
X = A ∪ C ⇒ e(X) = e(A ∪ C) = e(A) ∪ e(C)
e(C)
e(X)
= e(C) ∩ e(X) = e(C) ∩ (e(A) ∪ e(C)) = [e(C) ∩ e(A)
=∅
] ∪ [e(C) ∩
e(C)] = ∅ ∪ e(C) = e(C) ⇒ e(C) es cerrado en (e(X),
j∈J
Tj|e(X)) ⇒
e(X) e(C) = e(A) es abierto en (e(X),
j∈J
Tj|e(X)) ⇒ e es aplicación abierta.
2
10
11. 11. Propuesto al menos en Septiembre de 2000,
Septiembre de 2005 y Febrero de 2007
11.1. Enunciado
Sea {(Xj, Tj)}j∈J familia = ∅ de espacios topológicos y ∀j ∈ J Aj un sub-
conjunto compacto de (Xj, Tj). Si W es un abierto de
j∈J
Tj que contiene a
j∈J
Aj, probar que existen abiertos Uj ∈ Tj(∀j ∈ J) con Uj = Xj sólo en una
subfamilia nita de índices y
j∈J
Aj ⊂
j∈J
Uj ⊂ W.
11.2. Solución
Por el teorema de Tychono
j∈J
Aj es compacto.
Se estudirá el problema por casos, en función del cardinal del conjunto J de
índices.
A) card(J)= 1.
Se cumple trivialmente haciendo U1 ≡ W. A1 ⊂ U1(= W) ⊂ W.
B) card(J)= 2.
J = {1, 2}.
A1 × A2 es subconjunto compacto de X1 × X2.
W es abierto ⇒ W es unión de abiertos de la base.
W =
λ∈Λ
(Gλ × Hλ) donde ∀λ ∈ Λ, Gλ ∈ T1, Hλ ∈ T2
A1 × A2 compacto
A1 × A2 ⊂
λ∈Λ
(Gλ × Hλ)
⇒ ∃F conjunto nito de índices F ⊂ Λ, tal
que A1 × A2 ⊂
f∈F
Gf × Hf ⊂ W.
Deno WF ≡
f∈F
Gf × Hf
11
12. WF es abierto.
∀x ∈ A1, sea Gx
≡
x∈Gf
Gf ⇒ Gx
es entorno abierto de x.
∀y ∈ A2, sea Hy
≡
y∈Hf
Hf ⇒ Hy
es entorno abierto de y.
∀(x, y) ∈ A1 × A2, Gx
× Hy
es entorno abierto de (x, y)
∀(x, y) ∈ A1 × A2, ∃f ∈ F : (x, y) ∈ Gf × Hf
⇒
Gx
× Hy
⊂ Gf × Hf ⊂ WF
A1, A2 compactos ⇒ ∃x1, . . . , xm ∈ A1, ∃y1, . . . , yn ∈ A2 :
A1 ⊂
m
i=1
Gxi
∈ T1, A2 ⊂
n
j=1
Hyj
∈ T2
Deno U1 ≡
m
i=1
Gxi
, U2 ≡
n
j=1
Hyj
∀i ∈ {1, . . . , m}, ∀j ∈ {1, . . . , n}, ∃f(i, j) : (xi, yj) ∈ Gf(i,j) × Hf(i,j) ⇒
Gxi
× Hyj
⊂ Gf(i,j) × Hf(i,j) ⊂ WF ⇒
m
i=1
n
j=1
Gxi
× Hyj
⊂ WF
m
i=1
n
j=1
Gxi
× Hyj
=
m
i=1
(Gxi
×
n
j=1
Hyj
) = (
m
i=1
Gxi
) × (
n
j=1
Hyj
) =
U1 × U2 ⊂ WF
A1 × A2 ⊂ U1 × U2 ⊂ WF ⊂ W
C) card(J) nito.
J = {1, . . . , n}.
Se prueba por inducción. Ya se ha probado si n = 1 ó n = 2.
Paso de inducción: supuesto que se cumple el enunciado si card(J)≤ n, ver
que también se cumple si card(J)= n+1. Por tanto suponemos card(J)= n+1.
(
n+1
j=1
Xj,
n+1
j=1
Tj) ≈ ((
n
j=1
Xj) × Xn+1, (
n
j=1
Tj) × Tn+1)
Deno (Xp, Tp) ≡ (
n
j=1
Xj,
n
j=1
Tj)
12
13. Deno Ap ≡
n
j=1
Aj(Ap es compacto)
Sabemos que Ap × An+1 ⊂ W
Por el caso n = 2(J = {p, n + 1}), ∃Up, Un+1 abiertos cumpliendose:
Ap ⊂ Up, An+1 ⊂ Un+1
Ap × An+1 ⊂ Up × Un+1 ⊂ W
Por el caso card(J)= n: Up es abierto de (
n
j=1
Xj,
n
j=1
Tj)
n
j=1
Aj ⊂ Up ⇒ ∃{Uj}n
j=1, Uj ∈ Tj(∀j, 1 ≤ j ≤ n) tales que
n
j=1
Aj ⊂
n
j=1
Uj ⊂ Up ⇒
n+1
j=1
Aj ⊂
n+1
j=1
Uj ⊂ Up ×Un+1 ⊂ W con lo que queda demostrado
el paso de inducción, y por tanto el caso nito.
D) Caso general (cantidad innita arbitraria de índices).
j∈J
Aj ⊂ W
Por el teorema de Tychono: ∀j ∈ J, Aj compacto ⇔
j∈J
Aj compacto.
W abierto ⇒ ∃{Bλ}λ∈Λ, siendo cada Bλ abierto de la base de
j∈J
Tj tales
que W =
λ∈Λ
Bλ.
j∈J
Aj ⊂
λ∈Λ
Bλ = W
Que ∀λ ∈ Λ, Bλ sea abierto de la base quiere decir que Bλ =
j∈J
Gl
j, con
Gl
j ∈ Tj∀j ∈ J, y Gl
j = Xj sólo en una cantidad nita de índices.
{Bλ}λ∈Λ es recubrimiento abierto de un compacto ⇒ existe un subrecubri-
miento nito de K =
j∈J
Aj,
m
l=1
Bl. Es decir,
j∈J
Aj ⊂
m
l=1
Bl ⊂ W
Bl =
j∈J
Bl
j
13
14. Llamo Fl al conjunto nito de índices en los que Bl
j diere del total.
Bl =
j∈J
Bl
j, Bl
j ∈ Tj∀j ∈ J, Bl
j = Xj ⇔ j ∈ Fl
Deno el conjunto de índices F =
m
l=1
Fl
F es unión nita de conjuntos nitos ⇒ card(F) es nito.
f∈F
Af es compacto
Deno BF
l ≡
f∈F
Bl
f .
Deno WF ≡
m
l=1
BF
l abierto.
j∈J
Aj ⊂
m
l=1
Bl ⇒
f∈F
Af ⊂
m
l=1
BF
l = WF
Por el caso nito ∃Uf ∈ Tf (∀f ∈ F) tales que
f∈F
Af ⊂
f∈F
Uf ⊂ WF =
m
l=1
BF
l ⇒ ∀f ∈ F, Af ⊂ Uf
Deno Uj =
Uj, j ∈ F
Xj, j ∈ F
⇒
j∈J
Aj ⊂
j∈J
Uj ⊂
m
l=1
Bl ⊂ W, con Uj = Xj
sólo en una cantidad nita de índices. 2
12. Propuesto al menos en Febrero de 2000, Fe-
brero de 2002 y Septiembre de 2005
12.1. Enunciado
Sea X espacio topológico normal, C ⊂ X. Probar que C es cerrado e in-
tersección numerable de abiertos si y sólo si existe una aplicación continua
f : X −→ I C = f−1
(0).
14
15. 12.2. Solución
Lema. Sea X espacio topológico, {hn}n∈N sucesión de funciones continuas
de X en (R, Tu). Si existe una serie convergente de números reales no negativos
∞
n=1
rn = r tal que |hn(x)| ≤ rn∀x ∈ X entonces la función
h =
∞
n=1
hn : X −→ R
x −→ h(x) =
∞
n=1
hn(x)
es continua. Además |h(x)| ≤ r ∀x ∈ X.
DEMOSTRACIÓN
Sea x0 ∈ X, ε 0.
∞
n=1
rn es convergente ⇒ ∃n0 ∈ N :
∞
n=n0+1
rn ≤
ε
3
.
n0
n=1
hn es continua ⇒ ∃V x0
entorno de x0 en X:
|
n0
n=1
hn(x) −
n0
n=1
hn(x0)|
ε
3
∀x ∈ V x0
.
∀x ∈ V x0
: |h(x)−h(x0| ≤ |
∞
n=1
hn(x)−
n0
n=1
hn(x)|+|
n0
n=1
hn(x)−
n0
n=1
hn(x0)|+
|
n0
n=1
hn(x0) −
∞
n=1
hn(x0)|
ε
3
+
ε
3
+
ε
3
= ε ⇒ h es continua en x0. 2
Solución del problema planteado:
⇐)f continua: f−1
({0}) = C ⇒ C = f−1
({0}) = f−1
(
n∈N
[0,
1
n
)) =
n∈N
f−1
([0,
1
n
)) ⇒
C es Gδ (intersección numerable de abiertos). {0} cerrado en (I, Tu) y f continua
⇒ f−1
({0}) = C es cerrado.
⇒)C es Gδ ⇒ ∀n ∈ N, ∃Gn abierto en X tal que C =
n∈N
Gn.
∀n ∈ N, C ⊂ Gn ⇒ ∀n ∈ N, (X Gn) ∩ C = ∅.
∀n ∈ N, Gn es abierto ⇒ ∀n ∈ N, X Gn es cerrado.
Por el lema de Urysohn, existe una aplicación continua fn : X −→ [0, 1] tal
que fn(C) = {0} y fn(X Gn) ⊂ {1}.
15
16. Sea hn : X −→ R
x −→ hn(x) = fn(x)
2n
|hn(x)| = hn(x) ≤ 1
2n
Deno f : X −→ R
x −→ f(x) =
∞
n=1
hn(x)
0 ≤ f(x) =
∞
n=1
hn(x) =
∞
n=1
fn(x)
2n
≤
∞
n=1
1
2n
= 1
Por el lema, f está denida y es aplicación continua de X en [0, 1] = I.
Si x ∈ C, ∃n0 ∈ N : x ∈ Gn0 ⇒ x ∈ X Gn0 ⇒ 0 1
2n0
=
fn0 (x)
2n0
≤ f(x) ⇒
x ∈ f−1
({0}) ⇒ f−1
({0}) = C. 2
13. Propuesto al menos en Febrero de 2003
13.1. Enunciado
Sea X espacio topológico T0. Probar que X tiene una base formada por
conjuntos simultáneamente abiertos y cerrados si y sólo si existe D conjunto
discreto de cardinal ≥ 2 tal que X se puede sumergir en DJ
para algún conjunto
J.
13.2. Solución
⇒) Llamo T a la topología de X.
(X, T) es T0.
A = {Aj}j∈J base de X formada por conjuntos simultáneamente abiertos y
cerrados.
∀x ∈ X, sea A(x) ≡ {Aj ∈ A|x ∈ Aj} ⊂ A.
∀x ∈ X, A(x) es base de entornos de x formada por conjuntos abiertos y
cerrados a la vez, en particular cerrados ⇒ (X, T) es regular.
(X, T) es regular y T0 ⇒ (X, T) es regular y T2 ⇒ (X, T) es T3.
El conjunto D que se va a considerar es D = {0, 1}
16
17. card(D)= 2
El que sea conjunto discreto quiere decir que el conjunto se considera con la
topología discreta TD = P(D).
Así, el conjunto discreto queda (D, TD) = ({0, 1}, TD).
DJ
es la abreviatura para la topología producto: DJ
=
j∈J
D
Haciendo explícita la topología: (D, TD)J
= (
j∈J
D,
j∈J
TD).
A cada elemento de la base Aj le asocio una función
fj : /X, T) −→ (D, TD)
x −→
1, si x ∈ Aj
0, si x ∈ Aj
∀j ∈ J, fj es continua, pues Aj es abierto y cerrado a la vez.
Aj cerrado ⇒ X Aj abierto.
TD = {∅, {0}, {1}, {0, 1}}
f−1
j (∅) = ∅ abierto
f−1
j (D) = X abierto
f−1
j ({1}) = Aj abierto
f−1
j ({0}) = X Aj abierto
→ fj es continua
F ≡ {fj|j ∈ J}
∀x, y ∈ X, , x = y
(X, T) es T1
⇒ ∃Aj0
∈ A(x) ⊂ A, , y ∈ Aj0
, x ∈ Aj0
⇒
fj0 (x) = 1
fj0
(y) = 0
⇒
fj0
(x) = fj0
(y) ⇒ F separa puntos de X.
Sea F cerrado de (X, T), x ∈ F
Sea G = X F abierto, x ∈ G, G ∩ F = ∅
En (D, TD) todos los conjuntos son cerrados → fl(F) = fl(F)
x ∈ G =
l∈L
Al ⇒ ∃l0 ∈ L, , x ∈ Al0 ∈ A y Al0 ⊂ G = X F ⇒ Al0 ∩ F =
∅ ⇒ fl0
(x) = 1yfl0
(F) = {0} ⇒ 1 = fl0
(x) ∈ fl0
(F) = fl0
(F) = {0} ⇒ F
separa puntos y cerrados de (X, T).
Por el lema de inmersión la aplicación evaluación de F
e : (X, T) −→ (
j∈J
D,
j∈J
TD) = (D, TD)J
es inmersión topológica ⇒ X se
17
18. puede sumergir en DJ
, con J =card(A).
e = (fj)j∈J es la aplicación parentesis.
⇐)(X, T) es espacio topológico T0.
∃D conjunto discreto, card(D)≥ 2.
(D, TD).TD topología discreta
X se puede sumergir en DJ
DJ
es (
j∈J
D,
j∈J
TD)
∃e : X −→ DJ
; e = (fj)j∈J
(X, T) ≈ (f(X),
j∈J
TD|f(X))
fj : X −→ D
F = {fj|j ∈ J} familia de funciones que separa puntos.
D = {0, 1} es discreto y card(D)= 2
(D, TD) es T1
B = {{0}, {1}} es base formada por abiertos y cerrados a la vez.
Ambas propiedades son multiplicativas ⇒ (
j∈J
D,
j∈J
TD) es T1 y tiene base
formada por conjuntos abiertos y cerrados simultáneamente.
Sea m =card(X). Tomo conjunto de índices J tal que card(J)= m.
La base A de abiertos y cerrados de X, va a ser A = {Aj}j∈J , con card(J)=
m
fj : X −→ D = {0, 1} es continua
f−1
j (0), f−1
j (1) son abiertos y cerrados a la vez.
Aj = f−1
j (1)
A = {f−1
j (1)}j∈J
e es unmersión topológica ⇒ e es inyectiva ⇒ ∀x, y ∈ X, x = y, ∃fj0
∈
F, , fj0 (x) = fj0 (y)
18
19. e inmersión ⇒ e es continua en el total, inyectiva y abierta ben f(X).
Abiertos de DJ
: unión de abiertos de la base:
Base de DJ
: D = {
j∈J
Gj|Gj ∈ Tj∀j ∈ F nita, Gj = D∀j ∈ J F}
Sea B = {BD}i∈I base de DJ
B = {
j∈J
Gj|Gj ∈ Tj ∀j ∈ J, Gj = D∀j ∈ J F, F nito}
Al ser (D, TD)J
, Tj = P(TD) queda B = {
j∈J
Gj|Gj ⊂ D∀j ∈ J, Gj = D∀j ∈
J F con F nito}
D tiene la topología discreta ⇒ ∀E ⊂ D, E = E, o sea todos los conjuntos
son cerrados.
En DJ
, un conjunto que se pueda poner como E =
j∈J
Ej, E =
j∈J
Ej =
j∈J
Ej =
j∈J
Ej = E.
En particular eso pasa para la base de la topología producto, es decir todos
los elementos de B son abiertos y cerrados a la vez.
B base de DJ
⇒ Be = {e(X)∩Bi|Bi ∈ B} es base en (e(X),
j∈J
TD|e(X)) ⇒
Be está formada por conjuntos abiertos y cerrados simultáneamente en e(X)
Sea Be = {Be}e∈E la base de DJ
.
e homeomorsmo entre X y e(X)
A ∈ T ⇒ e(A) abierto en e(X) ⇒ e(A) =
l∈L
{Bl|Bl ∈ Be}
Deno Ce = {Ce = e−1
(Be)|e ∈ E, Be ∈ Be}
∀e ∈ E, Ce ∈ T, pues e es homeomorsmo.
e−1
(e(X) Be) = X Ce
Be abierto y cerrado ⇒ e(X) Be abierto y cerrado, en particular abierto
⇒ Ce cerrado ⇒ Ce familia de conjuntos abiertos y cerrados a la vez.
A ∈ T ⇒ e(A) abierto, e(A) =
l∈L
Bl
19
20. (e inyectiva) A = e−1
(e(A)) = e−1
(
l∈L
Bl) =
l∈L
e−1
(Bl) =
l∈L
Ce, es decir,
todo abierto de A se puede poner como unión de elementos de Ce ⇒ Ce es base
de (X, T), Ce formado por abiertos y cerrados simultáneamente. 2
14. Propuesto al menos en Febrero de 2001, Ju-
nio de 2006 y Septiembre de 2007
14.1. Enunciado
Dado un espacio topológico T1 y II axioma de numerabilidad, probar que,
si tiene una base formada por conjuntos simultáneamente abiertos y cerrados,
entonces se puede sumergir topológicamente en el conjunto de Cantor.
14.2. Solución
Lema 1. Si (X, T) es II axioma de numerabilidad y B es base de T, entonces
existe B∗
⊂ B tal que B∗
es base numerable de T.
DEMOSTRACIÓN
(X, T) es II axioma de numerabilidad ⇒ ∃A = {An}n∈N base numerable de
T.
∀n ∈ N, An =
m∈In
Bm, Bm ∈ B ∀m ∈ In
(X, T) es II axioma de numerabilidad ⇒ (X, T) es de Lindelöf ⇒ ∃Jn ⊂ In,
con Jn numerable tal que An =
m∈Jn
Bm
B∗
= {Bm ∈ B|m ∈ Jn, n ∈ N} ⊂ B
B∗
es base de T. B∗
es numerable por ser unión numerable de conjuntos
numerables.
card(B∗
)=
n∈N
card(Jn) =
n∈N
ℵ0 = ℵ0 2
Lema 2. Sea X espacio topológico, {hn}n∈N sucesión de funciones continuas
de X en (R, Tu). Si existe una serie convergente de números reales no negativos
∞
n=1
rn = r tal que |hn(x)| ≤ rn∀x ∈ X entonces la función
20
21. h =
∞
n=1
hn : X −→ R
x −→ h(x) =
∞
n=1
hn(x)
es continua. Además |h(x)| ≤ r ∀x ∈ X.
DEMOSTRACIÓN
Sea x0 ∈ X, ε 0.
∞
n=1
rn es convergente ⇒ ∃n0 ∈ N :
∞
n=n0+1
rn ≤
ε
3
.
n0
n=1
hn es continua ⇒ ∃V x0
entorno de x0 en X:
|
n0
n=1
hn(x) −
n0
n=1
hn(x0)|
ε
3
∀x ∈ V x0
.
∀x ∈ V x0
: |h(x)−h(x0| ≤ |
∞
n=1
hn(x)−
n0
n=1
hn(x)|+|
n0
n=1
hn(x)−
n0
n=1
hn(x0)|+
|
n0
n=1
hn(x0) −
∞
n=1
hn(x0)|
ε
3
+
ε
3
+
ε
3
= ε ⇒ h es continua en x0. 2
Solución del problema planteado:
El conjunto de Cantor es
C = {x|x =
∞
n=1
εn
3n
, εn ∈ {0, 2}∀n ∈ N} ⊂ [0, 1] ⊂ R y topológicamente se
considera con la topología usual de R (Tu) heredada, (C, Tu|C).
Llamo (X, T) al espacio topológico del enunciado.
Sea A = {Ai}i∈I base de T formada por conjuntos abiertos y cerrados si-
multáneamente.
Por el lema 1 ∃B = {Bn}n∈N base numerable de T tal que B ⊂ A
(X, T) es II axioma de numerabilidad ⇒ (X, T) es I axioma de numerabili-
dad, es de Lindelöf y separable.
∀x ∈ X, sea A(x) = {Ai ∈ A|x ∈ Ai} ⊂ A
∀x ∈ X, A(x) es base de entornos de x formada por conjuntos abiertos y
cerrados simultáneamente, en particular cerrados.
∀x ∈ X, x tiene una base de entornos cerrados en (X, T) ⇒ (X, T) es regular.
21
22. (X, T) es regular y de Lindelöf ⇒ (X, T) es paracompacto.
(X, T) es T1 ⇒ (X, T) es T0. Por el teorema de metrización de Urysohn,
(X, T)T0, regular y segundo axioma de numerabilidad ⇒ (X, T) es metrizable.
(X, T) es metrizable ⇒ (X, T) es T4.
∀n ∈ N deno fn : X −→ R
x −→
2, si x ∈ Bn
0, si x ∈ Bn
Bx = {Bn ∈ B|x ∈ Bn} es base numerable de entornos de x.
(X, T) es T1 ⇒ ∀x ∈ X, {x} =
Bn∈Bx
Bn
Sean x1, x2 ∈ X, , x1 = x2 ⇒ Bx1
= Bx2
{x1} =
Bn∈Bx1
Bn
{x2} =
Bn∈Bx2
Bn
x1 = x2 ⇒ ∃Bn1
∈ B : x1 ∈ Bn1
, x2 ∈ Bn1
f(x1) = f(
Bn∈Bx1
Bn)
f(x2) = f(
Bn∈Bx2
Bn)
Deno f : X −→ C ⊂ [0, 1] ⊂ R
x −→
∞
n=1
xn
3n
con xn =
2, si x ∈ Bn
0, si x ∈ Bn
Deno ∀n ∈ N, fn : X −→ R
x −→
2, si x ∈ Bn
0, si x ∈ Bn
∀n ∈ N fn es continua.
Deno hn : X −→ [0, 1]
x −→ hn(x) = fn(x)
3n
|hn(x)| = hn(x) ≤ 2
3n = rn∀x ∈ X
hn es continua.
22
23. r =
∞
n=1
rn =
∞
n=1
2
3n
= 1
f =
∞
n=1
hn es continua por el lema 2.
x1, x2 ∈ X, , x1 = x2
(X, T) T1
⇒ ∃V x1
entorno de x1, , x2 ∈ V x1
Bx1
base de entornos de x1
V x1
entorno de x1
⇒ ∃Bn1 ∈ Bx1 , , x1 ∈ Bn1 ⊂ V x1
y x2 ∈
V x1
⇒ x2 ∈ Bn1
⇒ x1n1
= 2 y x2n1
= 0 ⇒ f(x1) =
∞
n=1
x1n
3n
= f(x2) =
∞
n=1
x2n
3n
⇒ f es inyectiva.
Falta ver que f es abierta para tener inmersión topológica.
A ∈ T ⇒ A =
j∈J
Bj, A es unión de abiertos de la base.
x ∈ B1 ⇒ f(x) ≥ 2
31 = 2
3 ⇒ f(x) ∈ [2
3 , 1] ⊂ (2
3 − 1
2·3 , 1 + 1
2·3 ) ∩ f(X)
x ∈ B1 ⇒ f(x) ≤ 1
3 ⇒ x ∈ [0, 1
3 ] ⇒ x ∈ (2
3 − 1
2·3 , 1 + 1
2·3 )
f(B1) = (2
3 − 1
2·3 , 1 + 1
2·3 ) ∩ f(X) ⇒ f(B1) es abierto en (f(X), Tu|f(X))
x ∈ Bn ⇒ f(x) =
n−1
i=1
εi
3i
+
2
3n
+
∞
i=1
εi
3i
∞
i=n+1
εi
3i
≤
∞
i=n+1
2
3i
=
1
3n
x ∈ Bn ⇒ f(x) ∈ Gn ≡ ∪{(
n−1
i=1
εi
3i
+
2
3n
−
1
2 · 3n
,
n−1
i=1
εi
3i
+
2
3n
+
1
3n
+
1
2 · 3n
), εi ∈ {0, 2}, i ∈ {1, . . . , n + 1}}
x ∈ Bn ⇒ f(x) ∈ Gn. Gn es abierto por ser unión nita (de 2n−1
) de
abiertos.
f(Bn) = Gn ∩ f(X) ⇒ f(Bn) es abierto en f(X).
Sea A ∈ T
B base
⇒ A =
j∈J
Bj ⇒ f(A) = f(
j∈J
Bj) =
j∈J
f(Bj) ⇒ f(A)
23
24. es unión a lo más numerable de abiertos ⇒ f(A) es abierto ⇒ f es abierta
⇒ f−1
: f(X) ⊂ C −→ X es continua.
f aplicación continua, inyectiva y f−1
continua ⇒ f inmersión 2
15. Propuesto al menos en Febrero de 2000, Fe-
brero de 2002 y Septiembre de 2006
15.1. Enunciado
Sea (X, T) espacio topológico T2. Probar que (X, T) es regular si y sólo si
∀U recubrimiento abierto de (X, T), ∀a ∈ X, existe Va renamiento abierto de
U, localmente nito en a.
15.2. Solución
U recubrimiento abierto de X ⇒ U = {Ui}i∈I, Ui ∈ T, ∀i ∈ I y
i∈I
Ui = X.
Va renamiento abierto de U ⇒ Va = {Aj}j∈J , Aj ∈ T∀j ∈ J,
j∈J
Aj =
X, ∀Aj ∈ Va∃Uj ∈ U : Aj ⊂ Uj
Va = {Aj}j∈J localmente nito en a ⇒ ∃Ea
entorno de a Ea
sólo corta a
los miembros de una subfamilia nita de Va
(X, T) es regular ⇔ ∀x ∈ X, ∀C cerrado, x ∈ C, ∃U, V ∈ T, , U ∩ V = ∅, , x ∈
U, C ⊂ V
T2 y regular ⇒ T3
(X, T) regular ↔ ∀x ∈ X, ∀U ∈ T, , x ∈ U, ∃V ∈ T, x ∈ V ⊂ V ⊂ U
(X, T) regular ↔ ∀x ∈ X tiene una base de entornos cerrados en (X, T).
⇒)(X, T) espacio topológico regular.
U = {Ui}i∈I recubrimiento abierto de (X, T). a ∈ X ⇒ ∃i0 ∈ I : a ∈ Ui0 y
(X, T) regular ⇒ ∃V a
entorno abierto de a a ∈ V a
⊂ V a ⊂ Ui0
Deno Ai ≡ Ui V a = Ui ∩ (X V a), ∀i ∈ I
V a cerrado ⇒ X V a abierto ⇒ Ai abierto
24
25. Deno Va = {Ai}i∈I ∪ {Ui0
}
∀i ∈ I, Ui ⊂ Ai ∪ Ui0
⇒ Va es recubrimiento de (X, T).
∀i ∈ I, Ai ⊂ Ui
Ui0
⊂ Ui0
⇒ Va es renamiento abierto de U
∀i ∈ I, V a
∩ Ai = ∅
V a
es entorno abierto de a que sólo corta a Ui0
⇒ Va es localmente nito en
a.
No es necesario que (X, T) sea T2, pues no se ha usado.
⇐)(X, T) espacio topológico T2. a ∈ X. C cerrado en (X, T) tal que a ∈ C.
C cerrado ⇒ X C es abierto.
(X, T) es T2 ⇒ ∀y ∈ C∃Ey
entorno abierto de y, ∃Ea
y entorno abierto de a
Ey
∩ Ea
y = ∅ → a ∈ Ey
Sea U = {X C} ∪ {Ey
|y ∈ C}
U es recubrimiento abierto de X ⇒ ∃Va = {Aj}j∈J renamiento abierto
de U localmente nito en a ⇒ ∃Ea
entorno abierto de a Ea
sólo corta a los
miembros de una subfamilia nita de Va, digamos F = {Af }f∈F ⊂ Va, con
card(F) nito.
Sea V ≡ ∪{Aj ∈ Va|Aj ∩ C = ∅} ⇒ C ⊂ V
V es abierto por ser unión de abiertos. a ∈ V
Va es renamiento de U y F ⊂ Va ⇒ ∀f ∈ F, ∃y ∈ C : Af ⊂ Ey
ó Af ⊂
X C. Sea f : ∃y : Af ⊂ Ey
⇒ ∃Ea
y , , Ea
y ∩ Ey
= ∅ ⇒ Ea
y ∩ Af = ∅
∀f ∈ F, deno F1 = {f ∈ F|∃yf ∈ C : Af ⊂ Eyf
}
F2 = F F1
F1 = {Af }f∈F1
F2 = {Af }f∈F2
Sea Ea
1 ≡ (
f∈F1
Ea
yf
) ∩ Ea
Ea
1 es entorno abierto de a por ser intersección nita de entornos abiertos de
a.
25
26. Ea
1 no corta a ningún miembro de Va cuyo índice no esté en F porque
Ea
1 ⊂ Ea
∀f ∈ F1, Ea
1 ∩ Af = ∅ pues Ea
1 ⊂ Ea
yf
y Ea
yf
∩ Af = ∅ ⇒ Ea
1 sólo corta a
miembros de Va con índice en F2
∀f ∈ F2, Af ⊂ X C ⇒ Af ∩ C = ∅
Va es recubrimiento abierto de X ⇒ Ea
1 ⊂
f∈F
Af
Ea
1 ⊂
f∈F2
Af
Sea W = {Aj ∈ Va|Aj ∩ C = ∅}
V =
Aj ∈W
Aj
∀f ∈ F2, Af ⊂ X C ⇒ Af ∩ C = ∅ ⇒ Af ∈ W ⇒ F2 ∩ W = ∅
∀Aj ∈ W ⇒ j ∈ F2 ⇒ Ea
1 ∩Aj = ∅ ⇒ Ea
1 ∩(
Aj ∈W
Aj) = ∅ ⇒
Ea
1 ∩ V = ∅
a ∈ Ea
1
C ⊂ V
⇒
(X, T) es regular 2
16. Propuesto al menos en Septiembre de 2000
16.1. Enunciado
Si un recubrimiento abierto U de un espacio topológico X tiene un rena-
miento cerrado localmente nito, probar que existe un entorno V de la diago-
nal de X × X tal que {V [x]|x ∈ X} es un renamiento de U (se denota
V [x] = {y ∈ X|(x, y) ∈ V })
16.2. Solución
Sea A renamiento cerrado localmente nito de U. ∀A ∈ A, tómese UA ∈
U : A ⊂ UA.
VA = (UA × UA) ∪ ((X A) × (X A))
VA es entorno abierto de .
26
27. x ∈ A ⇒ VA[x] = UA.
V = ∩{VA|A ∈ A}
∀x, V [x] ⊂ VA[x] = UA ⇒ {V [x]|x ∈ X} es renamiento de U.
Falta probar que V es entorno de .
∀(x, x) ∈ , sea Wx
entorno de x en X: Wx
corte sólo a un número nito
de miembros de A.
Si Wx
∩ A = ∅ ⇒ Wx
⊂ X A ⇒ Wx
× Wx
⊂ VA ⇒ V contiene a la
intersección de Wx
×Wx
con un número nito de conjuntos VA ⇒ V es entorno
de (x, x). 2
17. Propuesto al menos en Septiembre de 2003 y
Junio de 2006
17.1. Enunciado
Sea (X, T) espacio topológico paracompacto y T2. Si existe D subconjunto
denso tal que (D, T|D) es de Lindelöf, probar que (X, T) es de Lindelöf.
17.2. Solución
X es paracompacto y T2 ⇒
X es regular
X es T4
Sea U recubrimiento abierto de X.
X regular ⇒ ∀x ∈ X, ∃V x
entorno abierto de x tal que V x ⊂ en algún
elemento de U.
X paracompacto ⇒ ∃V renamiento abierto localmente nito del recubri-
miento abierto de X: {V x
|x ∈ X}
D de Lindelöf ⇒ ∃V subfamilia numerable de V recubriendo a D. V ⊂ V
D ⊂
V ∈V
V
∀V ∈ V , se elige U ∈ U : V ⊂ U
V ⊂ V ⊂ V x
⊂ V x ⊂ U
27
28. Sea U la subfamilia numerable de U así obtenida.
X = D ⊂
V ∈V
V =
V ∈V
V ⊂
U∈U
U ⇒ X es de Lindelöf. 2
18. Propuesto al menos en Febrero de 2001 y Sep-
tiembre de 2007
18.1. Enunciado
Dado un espacio topológico y una familia de subconjuntos suyos se dice que la
familia es discreta si para cada punto del espacio existe algún entorno que corta
a lo sumo un elemento de la familia. Si un espacio topológico es paracompacto
y regular, probar que para cada familia discreta {Fs}s∈S de cerrados existe una
familia discreta {Vs}s∈S de abiertos tal que Fs ⊂ Vs (∀s ∈ S).
18.2. Solución
Llamo (X, T) al espacio topológico dado.
(X, T) paracompacto y regular ⇒ (X, T) es normal.
Llamo F = {Fs}s∈S del enunciado.
F es discreta ⇒ ∀x ∈ X∃Ax
entorno de x tal que Ax
corta a lo sumo a un
elemento de F.
(X, T) regular ⇒ ∀x ∈ X,
◦
Ax
es entorno abierto de x, ∃Hx
abierto, x ∈
Hx
⊂ Hx ⊂
◦
Ax
⊂ Ax
Ax
corta a lo sumo a un Fs
Hx ⊂ Ax ⇒ Hx corta a lo sumo a un Fs para cada
x ∈ X.
H = {Hx
}x∈X es recubrimiento abierto de X.
Sea W renamiento abierto localmente nito de H que existe por ser (X, T)
paracompacto.
Deno Ws ≡ {W ∈ W|W ∩ Fs = ∅} ⊂ W
Ws ⊂ W
W localmente nita
⇒ Ws localmente nita.
28
29. Deno Ws =
W ∈Ws
W
Ws localmente nita ⇒
W ∈Ws
W =
W ∈Ws
W cerrado ⇒ Ws =
W ∈Ws
W ⇒
Ws es cerrado ⇒ X Ws es abierto.
Deno Vs ≡ X Ws, ∀s ∈ S ⇒ Vs es abierto
∀W ∈ Ws, W ∩ Fs = ∅ por construcción ⇒ (Ws =
W ∈Ws
W) Ws ∩ Fs = ∅ ⇒
Fs ⊂X Ws = Vs
Sea V = {Vs}s∈S.
W renamiento de H ⇒ ∀W ∈ W, ∃HW ∈ H : W ⊂ HW
HW es un Hx para algún x, por lo que corta a lo más a un conjunto de F,
W ⊂ HW ⇒ W ⊂ HW
HW corta a lo sumo a un Fs
⇒ W corta a lo sumo a un Fs ∀W ∈ W.
i) Si W no corta a ningún Fs ⇒ W ∈ Ws∀s ∈ S ⇒ W ⊂ Ws ⇒
W ∩ X Ws = ∅
X Ws = Vs
⇒
W ∩ Vs = ∅ y W ⊂ W ⇒ W ∩ Vs = ∅∀s ∈ S
ii) Si W corta a un elemento de F, digamos a Ft, t ∈ S, razonando como
antes para los otros índices de S: W ∩ Vs = ∅ si s = t ⇒ W corta a lo sumo a
Vt, es decir a un elemento de V.
W es recubrimiento abierto de X ⇒ ∀x ∈ X, ∃W ∈ W : x ∈ W ⇒ W es
entorno abierto de x y W corta a lo sumo a un elemento de V ⇒ V es discreta 2
19. Propuesto al menos en Febrero de 2003 y Fe-
brero de 2007
19.1. Enunciado
Sea (X, T) espacio paracompacto regular. Si {Fs}s∈S es una familia local-
mente nita de cerrados de (X, T), probar que ∃{Vs}s∈S familia localmente
nita de abiertos de (X, T) tal que Fs ⊂ Vs ∀s ∈ S.
29
30. 19.2. Solución
(X, T) paracompacto y regular ⇒ (X, T) es normal.
Sea F = {Fs}s∈S la familia del enunciado.
F localmente nita ⇒ ∀x ∈ X∃Ux
entorrno de x en (X, T) tal que Ux
sólo
corta a una cantidad nita de miembros de F.
(X, T) regular ⇒ ∀x ∈ X, ∀
◦
Ux
entorno abierto de x ∃Hx
abierto, x ∈ Hx
⊂
Hx ⊂
◦
Ux
⊂ Ux
Ux
sólo corta a una cantidad nita de miembros de F
Hx ⊂ Ux ⇒ Hx sólo corta
a una cantidad nita de miembros de F.
Sea H = {Hx
}x∈X
H es recubrimiento abierto de X.
Sea W renamiento abierto localmente nito de H que existe por ser (X, T)
paracompacto.
W es recubrimiento abierto de X.
Deno Ws ≡ {W ∈ W|W ∩ Fs = ∅} ∀s ∈ S
Ws ⊂ W
W localmente nita
⇒ Ws localmente nita ⇒
W ∈Ws
W =
W ∈Ws
W ⇒
W ∈Ws
W es cerrado
Deno Ws ≡
W ∈Ws
W. es decir Ws es cerrado ⇒ X Ws es abierto.
Deno Vs ≡ X Ws ⇒ Vs es abierto ∀s ∈ S
∀W ∈ Ws, W ∩ Fs = ∅ ⇒ Ws ∩ Fs = (
W ∈Ws
W) ∩ Fs =
W ∈Ws
(W ∩ Fs) =
∅ ⇒ Fs ⊂ X Ws = Vs ⇒ Fs ⊂ Vs
Deno V = {Vs}s∈S
W renamiento de H ⇒ ∀W ∈ W, ∃HW ∈ H : W ⊂ HW
HW = Hx para algún x
W ⊂ HW ⇒ W ⊂ HW
30
31. Hx sólo corta a una cantidad nita de miembros de F
W ⊂ HW = Hx ⇒ W sólo corta
a una cantidad nita de miembros de F, ∀W ∈ W.
Falta probar que V es localmente nita, es decir que ∀x ∈ X, ∃Ax
entorno
de x que solamente corta a una cantidad nita de los Vs.
Si W ∩ Fs = ∅, entonces W ∈ Ws y W ⊂ Ws ⇒
W ∩ (X Ws) = ∅
Vs = X Ws
⇒
W ∩ Vs = ∅
W ∩ Fs = ∅ ⇒ W ∩ Vs = ∅
W sólo corta a una cantidad nita de Fs∀W ∈ W
⇒ W sólo corta a una
cantidad nita de Vs (los que tienen el mismo índice que un miembro de F al
que corta).
W ⊂ W ⇒ W sólo corta a una cantidad nita de Vs
W recubrimiento abierto de X ⇒ ∀x ∈ X∃W ∈ W : x ∈ W, es decir W es
entorno abierto de x y W sólo corta a una cantidad nita de miembros de V ⇒
V localmente nita.
V es la familia buscada.
Si W ∩ Fs = ∅ como Fs ⊂ Vs ⇒ W ∩ Vs = ∅ 2
III) Problemas prácticos
20. Propuesto al menos en Febrero de 2001, Fe-
brero de 2003 y Septiembre de 2007
20.1. Enunciado
Sea s : N −→ Q una biyección. Estudiar la convergencia y puntos de aglo-
meración de la red s : N −→ R, donde se considera la topología usual.
20.2. Solución
(R, Tu) es T2 ⇒ Toda red tiene a lo más un punto límite
(N, ≤) es conjunto dirigido
s ≡ (sn)n∈N
31
32. x ∈ R, x ∈ l´ım
(R,Tu)
s ó
s −→ x
(R, Tu)
⇔ ∀Ux
entorno de x ∃n0 ∈ N, , ∀n ≥ n0, sn ∈
Ux
(sn)n≤n0
es una cantidad nita de elementos de Q, y en cualquier intervalo
abierto de R (aunque x no pertenezca al intervalo) hay innitos números racio-
nales por lo que hay elementos sn con n n0, por lo que ningún punto de Q (o
de R) es límite de s.
Lim s = ∅
(R, Tu)
Puntos de aglomeración: x es punto de aglomeración de s ⇔ ∀Ux
entorno
de x ∈ R, ∀n0 ∈ N, ∃n ≥ n0, , sn ∈ Ux
Como cualquier entorno Ux
incluye un intervalo y en todo intervalo hay
innitos elementos de Q, ∀n0, sólo hay una cantidad nita de sn con n n0 ⇒
Para una cantidad innita de miembros de Q∩Ux
, se corresponden con sn de n ≥
n0 ⇒ ∀x ∈ R, x es de aglomeración de s ⇒ puntos de aglomeración de s = R
21. Propuesto al menos en Septiembre de 2003
21.1. Enunciado
Sobre el intervalo [0, 1) consideramos la relación de orden natural y
j : [0, 1) → R inclusión. Estudiar la convergencia y puntos de aglomeración de
la red j en (R, Tu).
Análogo problema para la red
ϕ : R −→ S1
x −→ (cos 2πx, sin 2πx)
(donde R tiene el orden natural y S1
la topología usual)
21.2. Solución
([0, 1), ≤) conjunto dirigido
j ≡ (jd)d∈[0,1)
∀d ∈ [0, 1), jd = d ⇒ j ≡ (d)d∈[0,1)
(R, Tu) es T2, por lo que j a lo más tiene un punto límite.
32
33. j −→ x
(R, Tu)
⇔ ∀Ux
entorno de x∃d0 ∈ [0, 1), , ∀d ≥ d0(d ∈ [0, 1)) ⇒ jd ∈ Ux
1 ∈ U1
entorno abierto de 1 en (R, Tu) ⇒ ∃ε ∈ (0, 1), , (1 − ε, 1 + ε) ⊂ U1
(1 − ε, 1 + ε) ∩ [0, 1) = (1 − ε, 1)
∀d 1 − ε, por ejemplo d0 = 1 − ε
2 , ∀d ≥ 1 − ε
2 (es decir ∀d ∈ [1 −
ε
2 , 1) ⊂ [0, 1)), jd = d ∈ (1 − ε, 1 + ε) ⊂ U1
⇒
1 ∈ Lim j
(R, Tu)
y (R, Tu) es T2 ⇒
Lim
(R, Tu)
j = {1} ,
j −→ 1
(R, Tu)
x punto de aglomeración de j ⇔ ∀Ux
entorno de x, ∀d0 ∈ [0, 1), ∃d ≥
d0, , jd ∈ Ux
[0, 1) = [0, 1] ⇒ ∀x ∈ R[0, 1]∃Ux
, , Ux
∩[0, 1) = ∅ ⇒ x no es de aglomeración
de j.
Así los puntos de aglomeración de j están incluidos en [0, 1]. 1 es punto de
aglomeración de j por ser límite.
0 no es punto de aglomeración pues (−1
3 , 1
3 ) es entorno de 0 y ∀d ≥ 1
2 , jd ∈
(−1
3 , 1
3 ).
Sea x ∈ (0, 1), ∃ε 0, , (x − ε, x + ε) ⊂ [0, 1)
(x − ε, x + ε) es entorno de x, x + ε 1
∀d0, , x+ε d0 1 (por ejemplo
x+ε+1
2 ), ∀d ≥ d0, d ∈ [0, 1), jd ∈ (x−ε, x+
ε) ⇒ x no es de aglomeración de j.
Luego x punto de aglomeración de j en (R, Tu) ⇔ x = 1
Se estudia ahora la red ϕ.
(R, ≤) conjunto dirigido
ϕ ≡ (ϕx)x∈R
ϕ : R −→ (S1
, Tu)
x −→ (cos 2πx, sin 2πx)
ϕ es periódica de periodo 1 : ϕ(x + 1) = ϕ(x)
El conjunto (S1
, Tu) es T2 luego ϕ tiene a lo sumo un punto límite:
33
34. ϕ −→ x
(S1
, Tu)
⇔ ∀Ux
entorno de x, ∃d0 ∈ R, , ∀d ≥ d0, ϕd ∈ Ux
∀d0 ∈ R, {ϕd}d≥d0
= S1
por ser periódica ϕ.
∀x ∈ S1
, ∃Ux
entorno de x Ux
S1
⇒ ∃d0, , ∀d ≥ d0, ϕd ∈ Ux
⇒
x ∈ Limϕ
(S1
, Tu)
⇒
Lim ϕ = ∅
(S1
, Tu)
∀x ∈ S1
, ∀Ux
entorno de x, ∀d0 ∈ R, ∃d ≥ d0, , ϕd = x ∈ Ux
⇒ x es de
aglomeración de S1
⇒ puntos de aglomeración de ϕ en (S1
, Tu) = S1
22. Propuesto al menos en Febrero de 2000, Fe-
brero de 2002 y Septiembre de 2006
22.1. Enunciado
Sea X = {m ∈ N|m ≥ 2} con la topología generada por los conjuntos
Un = {m ∈ X|m divide a n}∀n ≥ 2. Estudiar las propiedades de separación de
este espacio.
22.2. Solución
X = N {1}.
Llamo T a la topología. ∀n ∈ X, Un ∈ T
∀n ∈ X, Un son los divisores de n
Un1
∩ Un2
= Umcd(n1,n2)
B = {Un|n ∈ X}
⇒ B es base de T.(Un1
, Un2
∈ B ⇒ Un1
∩Un2
∈
B). Si mcd(n1, n2)= 1 ⇒ Un1
∩ Un2
= ∅, por lo que no hay problemas.
Si p es primo, Up = {p}
p primo ⇒ {p} es abierto
∀n ∈ X, n ∈ Un ⇒ Un es entorno abierto de n(∀n ∈ X)
Sean x, y ∈ X, , x = y; sea z =mcd(x, y). Si z = 1 ⇒ Ux ∩ Uy = ∅
m ∈ Un ⇒ m ≤ n
34
35. x, y ∈ X, x = y ⇒ x y ó y x ⇒ x ∈ Uy ó y ∈ Ux ⇒ (X, T) es T0
m ∈ Un ⇒ n es múltiplo de m ⇒ Um ⊂ Un ⇒ el entorno más pequeño que
contiene a m es Um y todo entorno de m contiene a Um
Sea n ∈ X, entonces 2n ∈ X, 2n = n, n ∈ Un ⊂ U2n ⇒ Todo entorno de 2n
contiene a n ⇒ (X, T) no es T1
X U2n es cerrado
Si (X, T) fuera regular: T0+regular ⇒ T1 pero no es T1 ⇒ (X, T) no es regular ⇒
(X, T) no es completamente regular
No es paracompacto: B es recubrimiento abierto, y no hay renamiento
abierto suyo localmente nito por ejemplo en 2.
card(Un) n ∞
Quiero ver si (X, T) es normal.
B es base numerable de T ⇒ (X, T) cumple el segundo axioma de numera-
bilidad ⇒ (X, T) es I axioma de numerabilidad, de Lindelöf y separable.
Por el teorema de metrización de Urysohn, (X, T) es T0 ⇒ [ regular y II
axioma ⇔ metrizable y separable ].
En nuestro caso como (X, T) es T0, II axioma de numerabilidad y separable,
queda [ metrizable ⇔ regular ], y como no es regular, (X, T) no es metrizable.
∀p primo, Up = {p} abierto de B
∀n ∈ X, n tiene al menos un factor primo ⇒ ∃p|Up ⊂ Un.
P = {p ∈ X|p es primo}
Todo abierto de B contiene al menos un primo ⇒ ∀A ∈ T (si A = ∅),
∃p ∈ P, , p ∈ A ⇒ ∀A ∈ T, P ∩ A = ∅ ⇒ P = X
P es numerable y denso en X.
T|P : ∀p ∈ P, {p} ∈ T ⇒ {p} ∈ T|P ⇒ T|P es TD la topología discreta:
(P, T|P ) = (P, TD).P ∈ T ⇒ X P es cerrado
X P = {n ∈ N|n ≥ 4 y n es compuesto (no es primo)} es cerrado
Sea n ∈ X. Quiero hallar {n}
{n} es cerrado, es decir es complementario de un abierto.
Sea s un múltiplo de n ⇒ n ∈ Us ⇒ ∀Us
entorno de s, n ∈ Us
⇒ {n}∩Us
=
35
36. ∅ y s ∈ Us
y s ∈ X {n} ⇒ Us
∩ (X {n}) = ∅ ⇒ s ∈ frontera({n}) ⇒ s ∈ {n}
∀A ∈ T, , s ∈ A ⇒ n ∈ A ⇒ n ∈ {n} ∩ A = ∅
Si s no es múltiplo de n ⇒ n no es divisor de s ⇒ n ∈ Us
Us es entorno abierto de s, , {n} ∩ Us = ∅ ⇒ s ∈ frontera({n}) y s ∈ {n} ⇒
s ∈ {n}
∀n ∈ X, {n} = {m ∈ X|m es múltiplo de n}
Sea A ⊂ X, A = {m ∈ X|∃n ∈ A, , m es múltiplo de n}
A = {xj}j∈J ⇒ A = {xj}j∈J =
j∈J
{xj}, pues si s no es múltiplo de ningún
elemento de A ⇒
Us ∩ A = ∅
Us entorno de s
⇒ s ∈ A
Si C es cerrado (C = ∅) ⇒ C es numerable
C cerrado, C = ∅ ⇒ ∀c ∈ C, {c} = { múltiplos de c} ⊂ C
C = ∅, C cerrado ⇔ [∀c ∈ C, ∀s, , c|s ⇒ s ∈ C]
C cerrado, c ∈ C: quiero A ∈ T, , C ⊂ A. ∀n ∈ X, c · n ∈ C ⊂ A, ∀Uc·n
entorno abierto de c · n, Uc·n ∈ B y Uc·n ⊂ Uc·n
c · n ∈ A abierto ⇒ ∃Uc·n
entorno abierto de c · n, , Uc·n ⊂ Uc·n
⊂ A ⇒
Uc·n ⊂ A
n ∈ Uc·n
Uc·n ⊂ A
⇒ n ∈ A(∀n ∈ X) ⇒ A = X. Es decir, el único abierto que
incluye a un cerrado = ∅ es el total.
Si C1, C2 cerrados no vacíos ⇒ ∃c1 ∈ C1, ∃c2 ∈ C2 ⇒ c1 · c2 ∈ C1 ∩ C2 ⇒
C1 ∩C2 = ∅ ⇒ (X, T) es normal trivialmente pues no hay cerrados disjuntos no
vacíos.
36
37. 23. Propuesto al menos en Febrero de 2001, Fe-
brero de 2003, Septiembre de 2005 y Septiem-
bre de 2007
23.1. Enunciado
Sea el espacio producto de la recta real con su topología usual y {0, 1} con la
topología trivial. Estudiar si este espacio es Ti (i = 0, 1, 2, 3, 4) regular, normal
y paracompacto.
23.2. Solución
(X, T) = (R, Tu) × ({0, 1}, {∅, {0, 1}})
Llamo TT a la topología trivial de {0, 1}
({0, 1}, TT ) es compacto por ser nito
(R, Tu) es metrizable ⇒ (R, Tu) es paracompacto
(X, T) es paracompacto por ser producto de paracompacto por compacto.
Un conjunto es abierto en (X, T) ⇔ es producto de abierto de R por abierto
de ({0, 1}, TT ).
Si el abierto de {0, 1} es ∅, entonces tenemos ∅ del producto.
Así el único abierto que puedo elegir es el total {0, 1}.
∅ = A ∈ T ⇔ A = AR × {0, 1} con AR ∈ Tu. Deno D ≡ {0, 1}
Los entornos abiertos de (x, y) son Ux
× {0, 1} con x ∈ Ux
∈ Tu
p = (0, 0) ∈ X. Un entorno abierto es U0
1 × D
q = (0, 1) ∈ X. Un entorno abierto es U0
2 × D
⇒
{p, q} ⊂ U0
1 × D
{p, q} ⊂ U0
2 × D
Up
entorno abierto de p ⇔ Up
entorno abierto de q
Uq
entorno abierto de q ⇔ Uq
entorno abierto de p
⇒ (X, T) no es T0
⇒ (X, T) no es T0, T1, T2, T3, T3a, ni T4.
Los cerrados en (D, TT ) son ∅ y D
(D, TT ) es regular, pues cualquier conjunto con la topología trivial lo es
(debido a que sólo hay un abierto no vacío).
37
38. (R, Tu) es regular
Un producto es regular ⇔ cada factor es regular
En nuestro caso cada factor es regular ⇒ (X, T) es regular.
(X, T) paracompacto y regular ⇒ (X, T) es normal.
Un producto es completamente regular ⇔ cada factor lo es.
(R, Tu) es metrizable ⇒ (R, Tu) es T4 ⇒ (R, Tu) es T3a ⇒ (R, Tu) es com-
pletamente regular.
(D, TT ) es trivialmente completamente regular, pues los únicos cerrados son
∅ y D y todo punto pertenece al total y en la condición se pide que el cerrado
sea = ∅, así que no queda cerrado para construir la función, no hay función que
construir.
Factores completamente regulares ⇒ (X, T) es completamente regular.
24. Propuesto al menos en Junio de 2006
24.1. Enunciado
Sea el espacio topológico (N, T) donde T = {S ⊂ N|2n − 1 ∈ S ⇒ 2n ∈
S}. Estudiar las propiedades de separación de este espacio y determinar si es
paracompacto.
24.2. Solución
n ∈ N.T = {S ⊂ N|2n − 1 ∈ S(n ∈ N) ⇒ 2n ∈ S}
En los abiertos, si hay un impar, está su sucesor (única restricción).
Sea p par ⇒ {p} es abierto ⇒ {p} entorno abierto de p
∀x ∈ N, x = p, x ∈ {p} y {p} es entorno abierto de p
Sea i impar ⇒ {i, i + 1} abierto; {i} no es abierto
A ∈ T
i ∈ A
⇒ {i, i + 1} ⊂ A
B = {{p}|p es par } ∪ {{i, i + 1}|i impar}
38
39. B es base de T.
Es T0.
No es T1: No hay ningún entorno de i que no contenga i + 1
No es T1 ⇒ no es T1, T2, T3, T3a, T4
T0 y regular ⇒ T1
No es T1 ⇒ no es regular ⇒ (N, T) no es completamente regular
{i} es cerrado
Cualquier conjunto cuyos elementos son todos impares es cerrado.
C es cerrado en (N, T) ⇔ [p par ∈ C ⇒ p − 1 ∈ C]
C cerrado
p par ∈ C
⇒ p − 1 ∈ C
{p − 1, p} es cerrado
i impar ⇒ {i} cerrado pues N {i} ∈ T
∀i impar, {i, i + 1} es abierto y cerrado ⇒ unión arbitraria de conjuntos así
es abierto y cerrado
{p − 1, p} menor cerrado que contiene a p
C1, C2 cerrados disjuntos no vacíos.
C cerrado C = ∅, el menor abierto A, , C ⊂ A es:
i ∈ C
i + 1 ∈ C
⇒ i + 1 ∈ A
A = C ∪ {i + 1|i ∈ C y i + 1 ∈ C}
Así ∀C cerrado se construye este abierto.
C1, C2 cerrados disjuntos no vacíos. Creo A1, A2 así. Añado i + 1 en A1 ⇒
i ∈ C1 ⇒ i ∈ C2 ⇒ i + 1 ∈ C2 ⇒ no añado i + 1 en A2 pues i ∈ C2
Simétricamente, por el mismo razonamiento, si añado i+1 en A2 ⇒ i+1 ∈ C1
y no añado i + 1 en A1. En total:
C1 ⊂ A1 ∈ T
C2 ⊂ A2 ∈ T
A1 ∩ A2 = ∅
⇒ (X, T) es normal
39
40. Los entornos más pequeños de un punto son: {p} y {i, i + 1}
V = {{i, i + 1}}i impar es recubrimiento abierto de N. Es localmente nito:
Si p es par, {p − 1, p} ∈ V es entorno abierto de p que sólo corta a ese
elemento de V
Si i es impar, {i, i + 1} ∈ V es entorno abierto de i que sólo corta a ese
elemento de V
Los elementos de V son disjuntos 2 a 2: V1, V2 ∈ V, V1 = V2 ⇒ V1 ∩ V2 = ∅.
∀U recubrimiento abierto de N, V es renamiento abierto localmente nito
de U.
Solamente falta ver que V es renamiento, o sea, ∀V ∈ V, ∃UV ∈ U : V ⊂ UV
V ∈ V ⇒ V = {i, i + 1} ⊂ Uj0 ∈ U
U = {Uj}j∈J es recubrimiento abierto de N ⇒ ∃j0, , i ∈ Uj0
∈ U ⊂ T ⇒
{i, i + 1} ⊂ Uj0
⇒ (N, T) es paracompacto.
25. Propuesto al menos en Septiembre de 2000
25.1. Enunciado
Sea X un conjunto innito y p ∈ X. Se dene en X la topología
T = {U ⊂ X|X U nito ó X U p}. Estudiar las propiedades de separación
de (X, T). En el caso particular de ser X numerable, determinar si (X, T) es
metrizable.
25.2. Solución
A ∈ T ⇔ A es complementario de nito ó p ∈ A
∀x ∈ X, , x = p, {x} ∈ T
Si p ∈ A ∈ T ⇒ A es complementario de nito
Si x, y son 2 puntos distintos de X y ninguno de ellos es p, {x}, {y} son dos
abiertos disjuntos
Si uno es p, digamos puntos p y x(x = p), {x} es entorno abierto de x y
p ∈ {x} ⇒ (X, T) es T0
40
41. Para ver si es T1 si ninguno de los dos puntos es p no hay problemas.
Sea x ∈ X, , x = p, p ∈ {x} y {x} es entorno abierto de x
X {x} es abierto pues su complementario es {x} que es nito.
p ∈ X {x} ∈ T
x ∈ X {x}
⇒ (X, T) es T1
Para ver si es T2, igualmente si ninguno de los puntos es p, {x} e {y} son
entornos abiertos (disjuntos) de x e y respectivamente.
Si uno es p y el otro x cualquiera (x = p): {x} y X {x} entornos abiertos
de x y p disjuntos ⇒ (X, T) es T2
Si p ∈ C ⇒ C es cerrado pues p ∈ X C ⇒ X C abierto
card(C) nito ⇒ C cerrado pues X C es complementario de nito ⇒ X C
abierto
Juntando ambos: C cerrado en (X, T) ⇔ p ∈ C ó card(C) es nito
A abierto ⇔ A es complementario de nito ó p ∈ A
Para ver si (X, T) es regular:
Si el punto es p, p ∈ C ⇒
card(C) es nito
C es abierto
p ∈ X C abierto
C abierto y cerrado
X C ∩ C = ∅
C ⊂ C abierto
⇒ Luego si el punto es p, para cualquier cerrado
cumpliría las condiciones de regularidad.
Si el punto es x, , x = p y p ∈ C
card(X)= ∞ ⇒ dos conjuntos complementarios de conjunto nito no pueden
ser disjuntos
A complementario de nito (X A nito), A ∩ B = ∅ ⇒ B ⊂ X A y X A
es nito ⇒ card(B) es nito
Quiero A abierto con p ∈ C ⊂ A ⇒ A es complementario de nito.
Quiero un abierto B, , x ∈ B y A ∩ B = ∅ ⇒ B nito, p ∈ B. {x} es abierto.
Resumiendo: x = p, x ∈ {x} ∈ T; x ∈ C; p ∈ C, X {x} ∈ T, C ⊂ X {x} y
{x} ∩ (X {x}) = ∅
41
42. Se cumple en este caso el ser regular.
Caso x = p, p ∈ C, x ∈ C ⇒ card(C) es nito, x ∈ {x} ∈ T
C ⊂ X {x} ∈ T
{x} ∩ X {x} = ∅
Por todos los casos, (X, T) es regular
(X, T) regular+T1 ⇒ (X, T) es T3
Se estudia ahora si (X, T) es normal.
Sean C1, C2 cerrados disjuntos no vacíos p ∈ C1 y p ∈ C2 ⇒ card(C1) es
nito y card(C2) es nito.
Dado que p no pertenece a cada cerrado, ambos son abiertos y cerrados a la
vez, por lo que se cumplen las condiciones de normalidad:
C1 ⊂ C1 ∈ T
C2 ⊂ C2 ∈ T
C1 ∩ C2 = ∅
Falta el caso de que p pertenezca a uno de los cerrados, digamos p ∈ C1, p ∈
C2 ⇒ card(C2) es nito y C2 ∈ T.C1 ∩ C2 = ∅
C1 ⊂ X C2
X C2 es complementario de nito ⇒ X C2 ∈ T
Juntando lo que tenemos:
C2 ⊂ C2 ∈ T
C1 ⊂ X C2 ∈ T
C2 ∩ X C2 = ∅
⇒ también se cumple el ser normal en este caso.
(X, T) es normal.
(X, T) es normal y T1 ⇒ (X, T) es T4
Supongamos ahora que X sea numerable.
X numerable ⇒ X es denso en X
X denso numerable en X ⇒ X es separable.
Por teorema de metrización de Urysohn: (X, T)T0, regular, separable ⇒
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43. [(X, T) metrizable ⇔ (X, T) II axioma de numerabilidad ]
X numerable ⇒ X es de Lindelöf.
Sea U recubrimiento abierto de X ⇒ U recubre a p ⇒ ∃Up ∈ U, , p ∈ Up ∈
T ⇒ Up es complementario de nito. Cojo un abierto por cada punto de X Up,
que es una cantidad nita, por lo que tengo una cantidad nita, añado Up,
y tengo un subrecubrimiento nito, una familia nita de miembros de U que
siguen recubriendo a X ⇒ (X, T) es compacto aun en el caso general, sea X
numerable o innito no numerable ⇒ (X, T) es paracompacto.
Hay tantos conjuntos complementarios de nitos como conjuntos nitos (se
hace una biyección que a cada conjunto nito le asigna su complementario) y
card(PF (numerable)) es numerable. Así hay una cantidad numerable de sub-
conjuntos complementarios de nito en X si X es numerable.
Sea B = {A ⊂ X|A es complementario de nito} ∪ {{x}|x ∈ X y x = p}
B es numerable por ser unión de dos conjuntos numerables.
Todos los elementos de B son abiertos de T.
∀A ∈ T, A es la unión a lo más numerable de elementos de B: si A es
complementario de nito, ya pertenece a B. Si p ∈ A, A es unión de elementos
de cardinal 1 de B.
La intersección nita de miembros de B es ∅ o está en B
B es numerable y base de T ⇒ (X, T) cumple el II axioma de numerabilidad.
Por el teorema de metrización de Urysohn, (X, T) es T0, regular y II axioma
de numerabilidad ⇒ (X, T) es metrizable y separable, en particular metrizable.
Si X es numerable (X, T) es metrizable.
26. Propuesto al menos en Febrero de 2007
26.1. Enunciado
Sean X conjunto, w ∈ X. F ltro en X. X = X ∪ {w}. Si
B = {{x}|x ∈ X} ∪ {M ∪ {w}|M ∈ F}, probar que B es base para alguna
topología TF en X (topología asociada a F). Si T es una topología sobre X
más na que TF entonces, probar, que T es la topología discreta ó ∃F ltro en
X, más no que F tal que T es la topología asociada a F .
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44. 26.2. Solución
A)B es base
B = {Bj}j∈J
Una condición necesaria para que B sea base de una topología es X es que
Bj ∈B
Bj = X
∀x ∈ X, {x} ∈ B ⇒ X =
x∈X
{x} ⊂
Bj ∈B
Bj
F ltro en X ⇒ ∃M ⊂ X, , M ∈ F ⇒ M ∪ {w} ∈ B ⇒ w ∈ Bj ∈B Bj
⇒
X ∪ {w} ⊂ Bj ∈B Bj
Sea Bj0 ∈ B .Bj0 puede ser de dos tipos:
Si Bj0
= {x0}, con x0 ∈ X ⇒ Bj0
⊂ X ⊂ X
Si Bj0
= M0 ∪ {w}, con M0 ∈ F ⇒ M0 ⊂ X ⇒ M0U{w} ⊂ X ∪ {w} = X
En ambos casos, Bj0
⊂ X . Es decir, ∀Bj ∈ B, Bj ⊂ X ⇒
Bj ∈B
Bj ⊂ X
De ambas inclusiones, efectivamente
Bj ∈B
Bj = X
La otra condición necesaria para que B sea base de una topología en X es
que:
∀A1, A2 ∈ B , , A1 ∩ A2 = ∅
Deno A3 ≡ A1 ∩ A2
∀t ∈ A3, ∃A4 ∈ B , , t ∈ A4 ⊂ A3
Llamo B1 = {{x}|x ∈ X}; B2 = {M ∪ {w}|M ∈ F}
Así B = B1 ∪ B2.
Se estudiará por casos:
i)A1, A2 ∈ B1. Si A1 ∩ A2 = ∅ ⇒ A1 = A2 = A3 = {x0} = A4
ii)A1 ∈ B1 y A2 ∈ B2 ó )A1 ∈ B2 y A2 ∈ B1. Es el mismo caso. Se supondrá
A1 ∈ B1 y A2 ∈ B2. Si A1 ∩ A2 = ∅ ⇒ A1 ⊂ A2 ⇒ A3 = A1 = A4
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45. iii)A1, A2 ∈ B2 ⇒
A1 = M1 ∪ {w}
A2 = M2 ∪ {w}
con M1, M2 ∈ F ltro ⇒ M1 ∩ M2 ∈
F ⇒ (M1 ∩ M2) ∪ {w} ∈ B
A1 ∩ A2 = [M1 ∪ {w}] ∩ [M2 ∪ {w}] = {w} ∪ [M1 ∩ M2] ∈ B
Se cumple la condición siendo A4 = A3 = {w} ∪ [M1 ∩ M2].
De las dos condiciones B es base de una topología en X .
B)Cuando T = TD
T más na que TF ⇔ TF ⊂ T
Si {w} ∈ T, como ∀x ∈ X, {x} ∈ B ⊂ TF ⊂ T ⇒ {x} ∈ T ⇒ ∀t ∈ X , {t} ∈
T ⇒ T es la topología discreta.
C)Cuando T = TF
{w} ∈ T. Sea A ∈ T. Si w ∈ A ⇒ A ⊂ X ⇒ A ∈ TF
Deno B1 = B1; B2 = {A ∈ T|w ∈ A}
B2 ⊂ B2
Deno F = {M ⊂ X|M ∪ {w} ∈ T}.
TF = topología engendrada pr B
B = B1 ∪ {M ∪ {w}|M ∈ F}
D)Veamos que F es ltro en X
{w} ∈ T ⇒ ∀A ∈ T, , w ∈ A, A {w} = ∅
B2 ⊂ B2 ⇒ B2 es familia no vacía
Sean F1, F2 ∈ F ⇒
F1 ∪ {w} ∈ T
F2 ∪ {w} ∈ T
⇒ [F1 ∪ {w}] ∩ [F2 ∪ {w}] = (F1 ∩
F2) ∪ {w} ∈ T ⇒ (F1 ∩ F2) ∪ {w} ∈ T ⇒ F1 ∩ F2 ∈ F
Sea F ∈ F , ∀H ⊂ X, , F ⊂ H ⇒ H ∈ TF ⊂ T y F ∪ {w} ∈ T ⇒ H ∪ (F ∪
{w}) = H ∪ {w} ∈ T ⇒ H ∈ F
Así se cumplen las dos condiciones necesrias para que F sea ltro en X.
E) F más no que F
∀M ∈ F ⇒ M ∪ {w} ∈ TF ⊂ T ⇒ M ∈ F ⇒ F ⊂ F ⇔ F más no que F.
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46. F) Veamos que T = TF
Ya vimos que para todo ltro (como F ó F ) en X, B ó B es base de una
topología TF .
A ⊂ X ⇒
A ∈ TF
A ∈ T
Sea A ∈ T, , w ∈ A ⇒ A {w} ∈ F ⇒ (A {w}) ∪ {w} = A ∈ B ⊂ TF
Sea A ∈ TF , , w ∈ A ⇒ ∃F ∈ F , , A = (F ∪ {w}) ∪ (A (F ∪ {w})) con
A (F ∪ {w}) ⊂ X
F ∈ F
F ⊂ A {w} ⊂ X
⇒ A {w} ∈ F ⇒ A = (A {w}) ∪ {w} ∈ T
De ambas con P(X) ⊂ T ∩ TF , se tiene T = TF 2
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