Este documento presenta una introducción a la algebra de Boole. Explica que George Boole fue un matemático inglés que desarrolló la lógica booleana. Luego define las variables lógicas y sus valores de verdad, y describe compuertas lógicas como AND, OR, NOT usando circuitos eléctricos. Finalmente, introduce leyes booleanas como la distribución y de Morgan para transformar expresiones lógicas.

1. INSTITUTO TELESUP
ALGEBRA DE BOOLE
ABEL GERONIMO QUILLAY

2. Introducción
George Boole
El matemático inglés George Boole
nació el 2 de noviembre de 1815 en
Lincoln y falleció el 8 de diciembre
de 1864 en Ballintemple, Irlanda.
Boole recluyó la lógica a una álgebra
simple. También trabajó en
ecuaciones diferenciales, el cálculo
de diferencias finitas y métodos
generales en probabilidad.

3. Variable Lógica
Definición
► En
general, el termino variable lógica o booleana,
hace referencia a cualquier símbolo lineal A,B,....,Z
empleado para representar dispositivos o
magnitudes físicas que llenan solamente dos
valores o estados, verdadero o falso, que son
representados simbólicamente por 1 o 0
respectivamente.
► Las dos posiciones o estados “abierto” - “cerrado”
de un contacto eléctrico se designan mediante los
símbolos 0 (no corre electricidad) y 1 (hay
electricidad) respectivamente.

4. Variable Lógica
Pulsador Normalmente Abierto
►
Debido a que el contacto esta
“abierto”, no pasa corriente
eléctrica por el cable.
►
Z= 0 quiere decir que tiene
un valor lógico de “cero”, no
pasa electricidad porque el
pulsador esta en reposo
(ninguna fuerza esta
venciendo el resorte de
retención).

5. Variable Lógica
Pulsador Normalmente Abierto
►
Ahora accionamos el
pulsador (ya no esta
más en reposo).
►
La corriente eléctrica
recorre el cable, esto
implica que Z = 1.

6. Variable Lógica
Pulsador Normalmente Cerrado
►
►
Un contacto NC es el
que se usa el las
puertas de las
heladeras o
automóviles, que
encienden una luz
cuando deja de estar
oprimido.
El estado de reposo de
un pulsador NC implica
que Z=1.

7. Variable Lógica
Pulsador Normalmente Cerrado
►
Al accionar el pulsador,
deja de pasar corriente
eléctrica por el cable.
►
Entonces Z toma el
valor lógio “cero”.

8. Función Lógica
Definición
►
Una función lógica o booleana es una variable
lógica cuyo valor es equivalente al de una expresión
algebraica, constituida por otras variables lógicas
relacionadas entre sí por medio de las operaciones
suma lógica (+), y/ o producto lógico (·) y/o
negador (-).
►
Las
tres
operaciones
mencionadas
son
las
operaciones básicas del álgebra de Boole, que darán
lugar a las funciones básicas “OR”, “AND” y
“NEGACIÓN”.

9. Función Lógica
Definición
►
El valor de la expresión algebraica depende de los
valores lógicos asignados a las variables que la
constituyen, y de la realización de las operaciones
indicadas.
Por ejemplo, una suma lógica sería Z=A+B, donde Z
tomará el valor cero o uno según los valores de A y B.
Z tomará el valor cero sólamente cuando tanto A como
B tengan el valor cero. Recordemos que:
0
1
0
1
+
+
+
+
0
0
1
1
=
=
=
=
0
1
1
1

10. Función Lógica
Definición
Un producto lógico sería Z = A · B, donde Z tomará el
valor uno sólamente cuando tanto A como B tengan el
valor uno. Recordemos que:
0 · 0 = 0
1 · 0 = 0
0 · 1 = 0
1 · 1 = 1
Una negación invierte el valor de las variables. Se
representa con la variable (en este caso “A”) negada.
Así:
Z=A
0 = 1
1 = 0

11. Tabla de Verdad
1 y 2 variables
►
►
Se tienen n variables y las tablas de verdad se
construyen respondiendo a la expresión: “El
número de filas es igual a 2 elevado a la n”.
21(variable) = 2 filas
A
0
1
22(variables) = 4 filas
A
0
1
0
1
B
0
0
1
1

12. Tabla de Verdad
23 variables = 8 filas
C
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
A
0
1
0
1
0
1
0
1

13. Compuertas Lógicas
Definición
►
Cuando se desea cambiar el estado de una variable
determinada se podría accionar una llave
(compuerta) que realice este proceso.
►
“Compuerta” proviene de que este dispositivo puede
usarse para permitir o no que el nivel que llega a un
cable de entrada se repita en el cable de salida.
►
“Lógica” se debe a que una compuerta realiza
electrónicamente una operación lógica, de forma tal
de que a partir de una combinación de valores lógicos
en las entradas, se obtiene un valor lógico (1 ó 0) en
su salida.

14. Compuertas Lógicas
Compuerta “AND”
Una Compuerta AND de dos entradas es un dispositivo
electrónico que posee dos entradas, a las que llegan los
niveles de tensión de dos cables (A y B) y una salida (Z).
Responde a la expresión:
Z=A·B

15. Compuertas Lógicas
Compuerta “AND”
A·B=Z
1 · 1= 0
0 ·0 = 1
1 ·1 = 0
·0
A
0
1
0
0
0
1
0
1
B
Z
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1

16. Circuito Lógico
Compuerta “AND”
Z=A·B
También es
posible
representar la
función lógica,
su tabla de
verdad y su
compuerta con
los pulsadores
NC, formando
un “circuito
lógico”.

17. Circuito Lógico
Compuerta “AND”
Z=A·B
Esto coincidese
La luminaria
con la TV
enciende cuando
cuando A
A y B son y B
toman el valor
pulsados al
1, haciendo que
mismo tiempo.
Z valga 1.
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
Z
0
0
0
1

18. Compuertas Lógicas
Compuerta “OR”
Una Compuerta OR de dos entradas es un dispositivo
electrónico que posee dos entradas, a las que llegan los
niveles de tensión de dos cables (A y B) y una salida (Z).
Responde a la expresión:
Z=A+B

19. Circuito Lógico
Compuerta “OR”
Z=A+B
Esto coincidese
La luminaria
con la TV cuando
enciende
cuando A o B
A o B son
toman el valor
pulsados.
1, haciendo que
Z valga 1.
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
Z
0
1
1
1

20. Compuertas Lógicas
Compuerta “SEGUIDOR”
Una Compuerta SEGUIDOR es un dispositivo electrónico
que actúa como buffer: mantiene en la salida, el valor
que se encuentra a la entrada.
Responde a la expresión:
Z=A

21. Circuito Lógico
Compuerta “SEGUIDOR”
Z=A
Esto coincidese
La luminaria
con la TV cuando
enciende
cuando A toma
A es pulsado.
el valor 1,
haciendo que Z
valga 1.
A
0
1
Z
0
1

22. Compuertas Lógicas
Compuerta “INVERSOR”
Una Compuerta INVERSOR es un dispositivo electrónico
que enciende el cable que está en su salida, si el cable
que está en su entrada se encuentra apagado, y
viceversa. Puede decirse que uno es la negación del otro.
Responde a la expresión:
Z=A

23. Circuito Lógico
Compuerta “INVERSOR”
Z=A
Esto activará
Z se coincide si
con la TV
A toma el
cuando
valor 0.A toma
el valor 0,
haciendo que Z
valga 1.
A
0
1
Z
1
0

24. Compuertas Lógicas
Compuerta “EXOR”
Una compuerta EXOR u OR excluyente de dos
entradas es un dispositivo electrónico que presenta dos
entradas, a las que llegan los estados de las dos variables
(A ⊕ B), y una salida, que genera en el cable (Z).
Responde a la expresión:
Z = A⋅ B + B ⋅ A

25. Circuito Lógico
Compuerta “EXOR”
Z = A⋅ B + B ⋅ A
Z se activará
Esto se refleja si
Pero cuando
A la TV se
en o B se
ambos cuando
activan, pero
A o B estan
activan al
no al mismo
activados.
mismo tiempo,
tiempo
Z vale 0.
A
B
Z
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0

26. Leyes de Algegra de Boole
Algebra de circuitos lógicos
El álgebra de Boole es una parte de la matemática que
utiliza expresionesLey Distributiva lógica dual.
basadas en la
Ley Distributiva
Ley de Conmutativa
Ley Asociativa respecto del producto)
Ley dela suma
Doble Negación
Ley de Morgan
(de Absorción
(del producto con respecto a la suma)
Relaciones de Morgan
Sirve para transformar sumas lógicas en productos lógicos
A +(B ·+AC)= ++·A B)(C·C A)
B
A · B = = (C(A B · + C
+
C +(B +C)B=A B)+ A +
Α=Α
Α + Β = Α⋅Β
Α + Α =1
Para la Suma
Para el Producto
Y productos lógicos en sumas lógicas
A + A = A Α⋅Α = 0
A· A=A
A+0=A
A·0=0
Α⋅Β = Α + Β
A+1=1
A·1= A

27. Compuertas Derivadas
Compuerta “NAND”
Una compuerta NAND resulta de invertir la salida
de una compuerta AND.
Compuerta AND
Z = Α⋅Β
Invertimos la salida (NAND)
Z = Α⋅Β
Negamos de ambos lados
Z = Α⋅Β
Por ley de doble neg.
Z = Α⋅Β
Por ley de Morgan
Z = Α+Β
Expresión Booleana

28. Compuertas Derivadas
Compuerta “NOR”
Una compuerta NOR resulta de invertir la salida
de una compuerta OR.
Compuerta OR
Z = Α+Β
Invertimos la salida (NOR)
Z = Α+Β
Negamos de ambos lados
Z = Α+Β
Por ley de doble neg.
Z = Α+Β
Por ley de Morgan
Z = Α⋅Β
Expresión Booleana

29. Compuertas Lógicas
Compuerta “NOR”
Α⋅Β = Ζ
1 ⋅⋅0 = 0
0 1 =1
1 0
0
1
1
0
0
1
0
A
B
Z
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0

30. Circuito Lógico
Compuerta “NOR”
Z = Α+Β
Z será igual a 1 si A o
B no se presionan en
ningún momento

31. Compuertas Derivadas
Compuerta “EX-NOR”
Compuerta NOR
Z = Α⋅Β + Β⋅Α
Invertimos la salida (EX-NOR)
Z = Α⋅Β + Β⋅Α
Z = Α⋅Β + Β⋅Α
Negamos de ambos lados
Ζ = ( Α ⋅ Β) ⋅ ( Β ⋅ Α )
Por ley de Morgan
Nuevamente Morgan
Al distribuir nos queda:
Ζ = ( Α + Β) ⋅ (Β + Α))
0
}
}
Ζ = Α⋅Α + Α⋅Β + Β⋅Α + Β⋅Β
0
Ζ = Α⋅Β + Β⋅Α
Expresión Booleana

32. Circuito Lógico
Compuerta “EX-NOR”
Z = Α⋅Β + Α⋅Β
Como siempre, la TV se
corresponde con el
circuito, la compueta y
la expresión booleana.
A
B
Z
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1

33. Funciones Equivalentes
Utilidad
A una función lógica le corresponde una única tabla de
verdad, mientras que a una misma tabla de verdad se le
puede asociar diferentes expresiones equivalentes.
Esto permite reemplazar un circuito por otro, según las
necesidades técnicas y/o económicas que se posean.
Más especificamente, la utilidad del concepto de
funciones equivalente es la posibilidad de utilizar
menor cantidad de chips para la implementación
de un circuito.

34. Compuertas Lógicas
Comportamiento
a) Las entradas están puenteadas.

35. Compuertas Lógicas
Comportamiento
b) Una de las entradas trabaja como señal de control.

36. Compuertas Lógicas
Comportamiento
c) La señal de salida realimenta a la de entrada.