El documento trata sobre el álgebra booleana y los circuitos lógicos. El álgebra booleana es un sistema matemático basado en los valores de verdadero y falso. Los circuitos lógicos implementan funciones booleanas usando compuertas como AND, OR y NOT. Los circuitos combinacionales producen salidas basadas en las entradas actuales, mientras que los circuitos secuenciales pueden almacenar estado para "recordar" cálculos pasados.

1. Algebra Booleana
Es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero).
Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un
solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y
produce una sola salida booleana.
Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se
pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a
menudo emplea los siguientes postulados:
 Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si
para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano.
 Conmutativo. Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A para todos
los posibles valores de A y B.
 Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para
todos los valores booleanos A, B, y C.
 Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) = (A º B) %
(A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
 Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un
operador binario " º " si A º I = A.
 Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano "
º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.
Circuitos en la Algebra Booleana:
El uso de circuitos en el diseño y simplificación de relés que se utilizan en los complejos
circuitos q forman las computadoras digitales, permite simplificar las conexiones físicas
reduciendo el hardware y consiguientemente el espacio necesario para alojarlo.
 Circuitos digitales:
La relación que existe entre la lógica booleana y los sistemas de cómputo es fuerte, de
hecho se da una relación uno a uno entre las funciones booleanas y los circuitos electrónicos
de compuertas digitales. Para cada función booleana es posible diseñar un circuito
electrónico y viceversa, como las funciones booleanas solo requieren de los operadores
AND, OR y NOT podemos construir nuestros circuitos utilizando exclusivamente éstos
operadores utilizando las compuertas lógicas homónimas. Un hecho interesante es que es
posible implementar cualquier circuito electrónico utilizando una sola compuerta, ésta es la
compuerta NAND. Para probar que podemos construir cualquier función booleana
utilizando sólo compuertas NAND, necesitamos demostrar cómo construir un inversor (NOT),
una compuerta AND y una compuerta OR a partir de una compuerta NAND, ya que como se
dijo, es posible implementar cualquier función booleana utilizando sólo los operadores
booleanos AND, OR y NOT. Para construir un inversor simplemente conectamos juntas las
dos entradas de una compuerta NAND. Una vez que tenemos un inversor, construir una
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2. compuerta AND es fácil, sólo invertimos la salida de una compuerta NAND, después de todo,
NOT (NOT (A AND B)) es equivalente a A AND B. Por supuesto, se requieren dos
compuertas NAND para construir una sola compuerta AND, nadie ha dicho que los circuitos
implementados sólo utilizando compuertas NAND sean lo óptimo, solo se ha dicho que es
posible hacerlo. La otra compuerta que necesitamos sintetizar es la compuerta lógica OR,
esto es sencillo si utilizamos los teoremas de DeMorgan, que en síntesis se logra en tres
pasos, primero se reemplazan todos los "·" por "+" después se invierte cada literal y por
último se niega la totalidad de la expresión:
A OR B
A AND B.......................Primer paso para aplicar el teorema de DeMorgan
A' AND B'.....................Segundo paso para aplicar el teorema de DeMorgan
(A' AND B')'..................Tercer paso para aplicar el teorema de DeMorgan
(A' AND B')' = A' NAND B'.....Definición de OR utilizando NAND.
 Circuitos Combínales:
Un circuito combinacional es un sistema que contiene operaciones booleanas básicas (AND, OR,
NOT), algunas entradas y un juego de salidas, como cada salida corresponde a una función lógica
individual, un circuito combinacional a menudo implementa varias funciones booleanas diferentes, es
muy importante recordar éste hecho, cada salida representa una función booleana diferente.
Un ejemplo común de un circuito combinacional es el decodificador de siete segmentos, se trata de
un circuito que acepta cuatro entradas y determina cuál de los siete segmentos se deben iluminar
para representar la respectiva entrada, de acuerdo con lo dicho en el párrafo anterior, se deben
implementar siete funciones de salida diferentes, una para cada segmento. Las cuatro entradas para
cada una de éstas funciones booleanas son los cuatro bits de un número binario en el rango de 0 a
9. Sea Del bit de alto orden de éste número y A el bit de bajo orden, cada función lógica debe
producir un uno (para el segmento encendido) para una entrada dada si tal segmento en particular
debe ser iluminado, por ejemplo, el segmento e debe iluminarse para los valores 0000, 0010, 0110 y
1000.
En la siguiente tabla se puede ver qué segmentos deben iluminarse de acuerdo al valor de entrada,
tenga en cuenta que sólo se están representando valores en el rango de 0 a 9, los decodificadores
para las pantallas de siete segmentos comerciales tienen capacidad para desplegar valores
adicionales que corresponden a las letras A a la F para representaciones hexadecimales, sin
embargo la mecánica para iluminar los respectivos segmentos es similar a la aquí representada para
los valores numéricos.
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3. 0 a b c d e f
1 b c
2 a b d e g
3 a b c d g
4 b c f g
5 a c d f g
6 c d e f g
7 a b c
8 a b c d e f g
9 a b c f g
Los circuitos combinacionales son la base de muchos componentes en un sistema de cómputo
básico, se puede construir circuitos para sumar, restar, comparar, multiplicar, dividir y muchas otras
aplicaciones más.
 Circuitos Secuenciales:
Un problema con la lógica secuencial es su falta de "memoria". En teoría, todas las funciones de
salida en un circuito combinacional dependen del estado actual de los valores de entrada, cualquier
cambio en los valores de entrada se refleja (después de un intervalo de tiempo llamado retardo de
propagación) en las salidas. Desafortunadamente las computadoras requieren de la habilidad para
"recordar" el resultado de cálculos pasados. Éste es el dominio de la lógica secuencial. Una celda de
memoria es un circuito electrónico que recuerda un valor de entrada después que dicho valor ha
desaparecido. La unidad de memoria más básica es el flip-flop Set/Reset. Aunque recordar un bit
sencillo es importante, la mayoría de los sistemas de cómputo requieren recordar un grupo de bits,
ésto se logra combinando varios flip-flop en paralelo, una conexión de éste tipo recibe el nombre de
registro. A partir de aquí es posible implementar diferentes circuitos como registros de corrimiento y
contadores, éstos últimos también los conocemos como circuitos de reloj. Con los elementos
mencionados es posible construir un microprocesador completo.
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4. Compuertas Lógicas
Las compuertas lógicas son dispositivos que operan con
aquellos estados lógicos en la lógica positiva y negativa () y
funcionan igual que una calculadora, de un lado ingresas los
datos, ésta realiza una operación, y finalmente, te muestra el
resultado.
Cada una de las compuertas lógicas se las representa mediante un Símbolo, y la operación que
realiza (Operación lógica) se corresponde con una tabla, llamada Tabla de Verdad, las básicas son:
 Compuerta NOT
Se trata de un inversor, es decir, invierte el dato de entrada, por ejemplo; si
pones su entrada a 1 (nivel alto) obtendrás en su salida un 0 (o nivel bajo),
y viceversa. Esta compuerta dispone de una sola entrada. Su operación
lógica es igual a invertida.
 Compuerta AND
Una compuerta AND tiene dos entradas como mínimo y su operación lógica
es un producto entre ambas, no es un producto aritmético, aunque en este
caso coincidan. Observa que su salida será alta si sus dos entradas están a
nivel alto.
 Compuerta OR
Al igual que la anterior posee dos entradas como mínimo y la operación
lógica, será una suma entre ambas. Bueno, todo va bien hasta que 1 + 1 =
1, el tema es que se trata de una compuerta O Inclusiva es como a y/o b*Es
decir, basta que una de ellas sea 1 para que su salida sea también 1.
 Compuerta OR-EX o XOR
Es OR Exclusiva en este caso con dos entradas (puede tener más) y lo que
hará con ellas será una suma lógica entre a por b invertida y a invertida por
b.*Al ser O Exclusiva su salida será 1 si una y sólo una de sus entradas es 1
Inferencia Lógica
Es la forma en la que obtenemos conclusiones en base a datos y declaraciones establecidas.Un
argumento, por ejemplo es una inferencia, donde las premisas son los datos o expresiones
conocidas y de ellas se desprende una conclusión. Una inferencia puede ser: Inductiva,
deductiva, transductiva y abductiva.
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5.  Inductiva: es la ley general que se obtiene de la observación de uno o más casos y no se
puede asegurar que la conclusión sea verdadera en general.
 Deductiva: Cuando se conoce una ley general y se aplica a un caso particular, por ejemplo
se sabe que siempre que llueve hay nubes, concluímos que el día de hoy que está lloviendo
hay nubes. También se conoce como inferencia deductiva cuando tenemos un caso que
analiza todos los posibles resultados y de acuerdo a las premisas sólo hay una posible
situación, en este caso decimos que la situación única es la conclusión. Es este caso
estamos seguros de que si las premisas son verdaderas entonces la conclusión también lo
es. En este caso se encuentran MPP: Modus Ponendo Ponens y MTT: Modus Tollendo
Tollens que de acuerdo a la tabla de verdad de la condicional son dos formas de establecer
una inferencia válida. La inferencia deductiva es la única aceptada como válida en
matemáticas y computación para hacer comprobaciones y sacar conclusiones. El tema se
discute en forma detallada más delante en INFERENCIA DEDUCTIVA CON UNA
CONDICIONAL.
 Transductiva: con el mismo caso del maestro que llega tarde durante los primeros días y
concluímos que el lunes siguiente también llegará tarde. O del amigo que varias veces nos
ha mentido y concluímos que lo que nos dice es ese momento es mentira. El anterior
sería de particular a particular, un caso de general a general es por ejemplo de un
compañero maestro que la primera vez que impartió matemáticas discretas observó que
todos los alumnos estudiaban, concluyó que para el siguiente semestre todos los alumnos
iban a estudiar. Este es un caso donde como en el caso inductivo, no podemos estar
seguros de que la conclusión es verdadera.
 Abductiva: es semejante a la deductiva, también utiliza la estrategia de analizar todas las
posibilidades, pero en este caso hay varios casos que se pueden presentar, como por
ejemplo si se sabe que siempre que llueve hay nubes y se sabe que hay nubes se puede
concluir que llueve, pero no se tiene la certeza, al igual que el caso inductivo y transductivo
no es una forma válida de obtener conclusiones en matemáticas o en lógica y es necesario
conocer más información para poder verificar la validez.
Se llama inferencia lógica a la aplicación de una regla de transformación que permite transformar
una fórmula o expresión bien formada (EBF) de un sistema formal en otra EBF como teorema del
mismo sistema. Ambas expresiones se relacionan mediante una relación de equivalencia, es decir,
que ambas tienen los mismos valores de verdad o, dicho de otra forma, la verdad de una complica la
verdad de la otra.
Podría transformarse en:
Y
Donde ;
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