Este documento presenta conceptos fundamentales de álgebra incluyendo sistemas de números reales, exponentes, radicales, expresiones algebraicas, fracciones, ecuaciones, desigualdades y funciones. Explica cómo graficar ecuaciones y funciones usando el sistema de coordenadas cartesianas.
Este documento presenta un taller sobre ecuaciones, inecuaciones y valor absoluto. Incluye temas como ecuaciones de primer y segundo grado, sistemas de ecuaciones, ecuaciones cúbicas y racionales, fracciones parciales, inecuaciones y ecuaciones con valor absoluto. Proporciona ejemplos y problemas para practicar cada tema, así como referencias bibliográficas.
Este documento trata sobre la ecuación cuadrática y la función cuadrática. Explica que una ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es 2, y normalmente se expresa como ax2 + bx + c = 0. También describe cómo clasificar ecuaciones cuadráticas, derivar la fórmula general para resolverlas y analizar funciones cuadráticas, incluyendo cortes con los ejes x e y y extremos relativos. El documento proporciona ejemplos para ilustrar cada concepto.
Este documento describe los métodos para calcular la intersección de funciones como rectas, parábolas y una recta con una parábola. Explica cómo hacerlo gráficamente y analíticamente resolviendo sistemas de ecuaciones. Para rectas y parábolas, la solución puede ser uno o más puntos de intersección, o no haber solución. Muestra ejemplos resueltos de cada caso.
Este documento presenta objetivos y conceptos básicos sobre inecuaciones polinomiales, fraccionarias e irracionales. Explica cómo resolver inecuaciones de diferentes tipos aplicando métodos como factorización, puntos críticos e intervalos. Incluye ejemplos resueltos de inecuaciones polinomiales, fraccionarias e irracionales para ilustrar los métodos. Finalmente, propone algunos ejercicios prácticos sobre resolución de inecuaciones para que los estudiantes apliquen los conocimientos.
Este documento trata sobre funciones cuadráticas. Define una parábola y explica cómo encontrar su vértice y sus intersecciones con los ejes x e y. Luego, presenta ejercicios sobre representar gráficamente funciones cuadráticas, calcular dominios y recorridos, y encontrar puntos donde las funciones cortan los ejes.
Este documento describe las propiedades de las funciones cuadráticas. Explica la forma estándar de una ecuación cuadrática, la forma vértice y cómo encontrar el vértice. Luego detalla varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, incluida la factorización, raíz cuadrada, completando al cuadrado y la fórmula cuadrática. También cubre el discriminante y cómo determinar el número de raíces reales. Por último, presenta algunos ejemplos de aplicaciones de funciones cuadráticas.
2.4 ecuaciones, funciones e inecuaciones cuadráticas (mayo 0Raul Noguera Morillo
Este documento presenta ejemplos para ilustrar conceptos relacionados con ecuaciones y funciones cuadráticas. Introduce las ecuaciones cuadráticas y cómo resolverlas mediante factoreo o la fórmula cuadrática. Luego, define funciones cuadráticas y muestra su representación gráfica como parábolas, analizando propiedades como dominio, rango, ceros y extremos. Finalmente, analiza un ejemplo de una función cuadrática que modela la concentración de dióxido de carbono a lo largo del día.
Este documento introduce ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Explica qué son ecuaciones exponenciales y logarítmicas, y presenta varios ejemplos resueltos de ecuaciones de este tipo para ilustrar cómo resolverlas.
Este documento presenta un taller sobre ecuaciones, inecuaciones y valor absoluto. Incluye temas como ecuaciones de primer y segundo grado, sistemas de ecuaciones, ecuaciones cúbicas y racionales, fracciones parciales, inecuaciones y ecuaciones con valor absoluto. Proporciona ejemplos y problemas para practicar cada tema, así como referencias bibliográficas.
Este documento trata sobre la ecuación cuadrática y la función cuadrática. Explica que una ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es 2, y normalmente se expresa como ax2 + bx + c = 0. También describe cómo clasificar ecuaciones cuadráticas, derivar la fórmula general para resolverlas y analizar funciones cuadráticas, incluyendo cortes con los ejes x e y y extremos relativos. El documento proporciona ejemplos para ilustrar cada concepto.
Este documento describe los métodos para calcular la intersección de funciones como rectas, parábolas y una recta con una parábola. Explica cómo hacerlo gráficamente y analíticamente resolviendo sistemas de ecuaciones. Para rectas y parábolas, la solución puede ser uno o más puntos de intersección, o no haber solución. Muestra ejemplos resueltos de cada caso.
Este documento presenta objetivos y conceptos básicos sobre inecuaciones polinomiales, fraccionarias e irracionales. Explica cómo resolver inecuaciones de diferentes tipos aplicando métodos como factorización, puntos críticos e intervalos. Incluye ejemplos resueltos de inecuaciones polinomiales, fraccionarias e irracionales para ilustrar los métodos. Finalmente, propone algunos ejercicios prácticos sobre resolución de inecuaciones para que los estudiantes apliquen los conocimientos.
Este documento trata sobre funciones cuadráticas. Define una parábola y explica cómo encontrar su vértice y sus intersecciones con los ejes x e y. Luego, presenta ejercicios sobre representar gráficamente funciones cuadráticas, calcular dominios y recorridos, y encontrar puntos donde las funciones cortan los ejes.
Este documento describe las propiedades de las funciones cuadráticas. Explica la forma estándar de una ecuación cuadrática, la forma vértice y cómo encontrar el vértice. Luego detalla varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, incluida la factorización, raíz cuadrada, completando al cuadrado y la fórmula cuadrática. También cubre el discriminante y cómo determinar el número de raíces reales. Por último, presenta algunos ejemplos de aplicaciones de funciones cuadráticas.
2.4 ecuaciones, funciones e inecuaciones cuadráticas (mayo 0Raul Noguera Morillo
Este documento presenta ejemplos para ilustrar conceptos relacionados con ecuaciones y funciones cuadráticas. Introduce las ecuaciones cuadráticas y cómo resolverlas mediante factoreo o la fórmula cuadrática. Luego, define funciones cuadráticas y muestra su representación gráfica como parábolas, analizando propiedades como dominio, rango, ceros y extremos. Finalmente, analiza un ejemplo de una función cuadrática que modela la concentración de dióxido de carbono a lo largo del día.
Este documento introduce ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Explica qué son ecuaciones exponenciales y logarítmicas, y presenta varios ejemplos resueltos de ecuaciones de este tipo para ilustrar cómo resolverlas.
Este documento presenta los conceptos básicos de las funciones reales de variable real. Define funciones, dominio, rango y gráficas. Explica funciones especiales como constante, identidad, valor absoluto, lineal y cuadrática. También cubre operaciones algebraicas con funciones como suma, resta, multiplicación y división. Finalmente, incluye ejemplos y preguntas de práctica.
Este documento describe las ecuaciones de primer grado con una incógnita. Define conceptos como igualdad, identidad y ecuación. Explica las propiedades de la igualdad y las reglas para despejar literales. Proporciona ejemplos de cómo resolver ecuaciones de primer grado simples y con signos de agrupación.
Este documento define las ecuaciones de segundo grado y explica que son aquellas donde el mayor exponente de la variable es 2. Describe los tres tipos de ecuaciones de segundo grado (puras, completas y mixtas) y los métodos para resolverlas (factorización, raíz cuadrada, completando cuadrados y fórmula general). Además, presenta ejemplos para clasificar ecuaciones y resolver problemas relacionados con ecuaciones de segundo grado.
Este documento contiene 10 capítulos que resuelven ejercicios de ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando métodos elementales. El índice general enumera los temas cubiertos, incluyendo métodos de resolución, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, dependencia de parámetros y problemas de contorno. El primer capítulo presenta ejemplos resueltos utilizando métodos como separación de variables.
Este documento describe ecuaciones, funciones e inecuaciones lineales. Explica que una ecuación lineal en una variable puede reducirse a la forma ax + b = 0 y que las soluciones son los valores que satisfacen esta ecuación. También define funciones lineales como correspondencias entre conjuntos donde a cada elemento del dominio se le asigna un único elemento de la imagen.
Este documento presenta la solución a un examen parcial de matemáticas II que incluye tres problemas. El primer problema involucra calcular los valores de a, b y c para que una matriz cumpla una relación y determinar la solución de un sistema homogéneo. El segundo problema pide hallar la ecuación de un plano perpendicular a una recta, calcular la distancia entre un punto y la recta, y encontrar el punto simétrico de un punto con respecto a la recta. El tercer problema solicita graficar una función racional estudiando sus propiedades
El documento presenta 10 problemas de ecuaciones cuadráticas resueltos paso a paso. El primer problema involucra encontrar dos números cuya suma es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. El segundo problema trata sobre un rectángulo cuyas dimensiones cambian y se duplica el área. El tercer problema pide hallar el área y perímetro de un triángulo rectángulo dado.
Este documento presenta la resolución de 8 ejercicios relacionados con cónicas (circunferencias, elipses, hipérbolas y parábolas). En el primer ejercicio se piden las ecuaciones de dos circunferencias dadas sus características. En el segundo ejercicio se calcula el centro y radio de una circunferencia dada su ecuación. Los ejercicios 3 al 6 involucran la posición relativa de rectas y cónicas. Los ejercicios 7 y 8 piden hallar las ecuaciones de parábol
Este documento presenta información sobre ecuaciones cuadráticas, incluyendo la fórmula general ax2 + bx + c = 0, métodos de resolución como factorización y completando cuadrados, y propiedades como que una ecuación de la forma x2 = k tiene soluciones reales solo si k ≥ 0. También incluye ejemplos resueltos de ecuaciones cuadráticas y ejercicios de aplicación para que el estudiante practique.
El documento describe una sección sobre las raíces de una ecuación cuadrática. Explica cómo encontrar las raíces mediante la fórmula cuadrática y analiza las características de las soluciones según el discriminante. También relaciona la suma y el producto de las raíces con los coeficientes de la ecuación cuadrática.
Este documento presenta varios teoremas relacionados con polinomios de grado superior. Explica que Évariste Galois demostró que no existe un método general para resolver ecuaciones polinómicas de grado mayor que cuatro. Luego resume los objetivos de estudiar métodos para encontrar o aproximar las raíces reales de polinomios, y presenta el contenido del módulo, incluyendo teoremas como el residuo, el factor, los ceros complejos y la regla de los signos de Descartes.
Resolución de una ecuación de segundo grado por factorizaciónxramirezm
Este documento describe cómo resolver una ecuación de segundo grado mediante la factorización. Explica que primero se multiplica toda la ecuación por el coeficiente del término cuadrático y se realiza un cambio de variable. Luego, se buscan dos números que sumados den el coeficiente lineal y que multiplicados den el término independiente, para expresar la ecuación en forma factorizada. Finalmente, se despeja la variable para encontrar las raíces.
El documento explica los conceptos básicos de las ecuaciones. Define una ecuación como una igualdad que se cumple para algunos valores determinados de las variables desconocidas. Explica cómo resolver ecuaciones de primer grado mediante la transposición de términos y la división para despejar la variable. También cubre ecuaciones literales y cómo factorizar para resolverlas.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones e inecuaciones, definiendo los símbolos utilizados y los conjuntos de números reales, racionales e irracionales. Luego, describe diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas como el método del factor común, de los productos notables, del aspa simple y doble, entre otros.
Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números reales. La fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas es x = (-b ± √(b2 - 4ac))/2a. El documento explica la ecuación cuadrática, la fórmula para resolverla, y proporciona ejemplos paso a paso.
Matemáticas I, II, III y IV; Leyes y más.Joel Amparán
El documento presenta definiciones y propiedades fundamentales de conceptos matemáticos como conjuntos numéricos, operaciones algebraicas, relaciones de orden, funciones y trigonometría. Se definen conjuntos como los números naturales, enteros, racionales y reales, y se describen sus propiedades como cerradura y relaciones de orden. También se explican conceptos como funciones polinómicas, trigonométricas y de valor absoluto, así como identidades y fórmulas relacionadas.
El documento describe los pasos para graficar una ecuación lineal. Explica cómo convertir la ecuación 4x - 3y = 12 a la forma Ax + By + C = 0, y luego encontrar los puntos (0, -4) y (3, 0) al sustituir x = 0 y y = 0 y resolver para y y x, respectivamente. Finalmente, traza la línea recta que pasa por estos dos puntos en el plano cartesiano.
Este documento explica cómo resolver sistemas de ecuaciones simultáneas con dos incógnitas utilizando diferentes métodos como suma y resta, sustitución e igualación. Primero se define un sistema de ecuaciones simultáneas y se explica que se requieren tantas ecuaciones como incógnitas para resolverlo. Luego, se ilustra el método de suma y resta con varios ejemplos resueltos paso a paso.
Este documento presenta conceptos básicos sobre desigualdades numéricas. Introduce la relación de orden entre números reales usando símbolos como >, <, ≥, ≤. Explica desigualdades absolutas y relativas. Luego define intervalos numéricos como subconjuntos de números reales comprendidos entre dos extremos, sean finitos o infinitos. Finalmente describe operaciones básicas con intervalos como unión, intersección y diferencia.
Clase 3 resolución de ecuaciones de primer gradoMATERIAPSU
Este documento presenta los conceptos fundamentales sobre la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Explica cómo resolver ecuaciones utilizando diferentes métodos como igualación, sustitución y reducción. También introduce los sistemas de ecuaciones y cómo determinar si tienen una solución única, infinitas soluciones o ninguna solución.
Este documento presenta diferentes fórmulas de productos notables como el cuadrado de una suma, el cuadrado de una diferencia, el producto de una suma por una diferencia, y el producto de dos binomios de la forma (x+a)(x+b). También presenta ejemplos de cómo aplicar estas fórmulas para resolver productos notables.
El documento trata sobre las funciones reales de una variable. Brevemente describe que el término "función" fue utilizado por primera vez por Descartes en 1637 y luego Leibniz lo usó en 1694 para referirse a varios aspectos de una curva. Finalmente, Dirichlet dio la definición más generalizada de función en 1829.
Este documento presenta los conceptos básicos de las funciones reales de variable real. Define funciones, dominio, rango y gráficas. Explica funciones especiales como constante, identidad, valor absoluto, lineal y cuadrática. También cubre operaciones algebraicas con funciones como suma, resta, multiplicación y división. Finalmente, incluye ejemplos y preguntas de práctica.
Este documento describe las ecuaciones de primer grado con una incógnita. Define conceptos como igualdad, identidad y ecuación. Explica las propiedades de la igualdad y las reglas para despejar literales. Proporciona ejemplos de cómo resolver ecuaciones de primer grado simples y con signos de agrupación.
Este documento define las ecuaciones de segundo grado y explica que son aquellas donde el mayor exponente de la variable es 2. Describe los tres tipos de ecuaciones de segundo grado (puras, completas y mixtas) y los métodos para resolverlas (factorización, raíz cuadrada, completando cuadrados y fórmula general). Además, presenta ejemplos para clasificar ecuaciones y resolver problemas relacionados con ecuaciones de segundo grado.
Este documento contiene 10 capítulos que resuelven ejercicios de ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando métodos elementales. El índice general enumera los temas cubiertos, incluyendo métodos de resolución, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, dependencia de parámetros y problemas de contorno. El primer capítulo presenta ejemplos resueltos utilizando métodos como separación de variables.
Este documento describe ecuaciones, funciones e inecuaciones lineales. Explica que una ecuación lineal en una variable puede reducirse a la forma ax + b = 0 y que las soluciones son los valores que satisfacen esta ecuación. También define funciones lineales como correspondencias entre conjuntos donde a cada elemento del dominio se le asigna un único elemento de la imagen.
Este documento presenta la solución a un examen parcial de matemáticas II que incluye tres problemas. El primer problema involucra calcular los valores de a, b y c para que una matriz cumpla una relación y determinar la solución de un sistema homogéneo. El segundo problema pide hallar la ecuación de un plano perpendicular a una recta, calcular la distancia entre un punto y la recta, y encontrar el punto simétrico de un punto con respecto a la recta. El tercer problema solicita graficar una función racional estudiando sus propiedades
El documento presenta 10 problemas de ecuaciones cuadráticas resueltos paso a paso. El primer problema involucra encontrar dos números cuya suma es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. El segundo problema trata sobre un rectángulo cuyas dimensiones cambian y se duplica el área. El tercer problema pide hallar el área y perímetro de un triángulo rectángulo dado.
Este documento presenta la resolución de 8 ejercicios relacionados con cónicas (circunferencias, elipses, hipérbolas y parábolas). En el primer ejercicio se piden las ecuaciones de dos circunferencias dadas sus características. En el segundo ejercicio se calcula el centro y radio de una circunferencia dada su ecuación. Los ejercicios 3 al 6 involucran la posición relativa de rectas y cónicas. Los ejercicios 7 y 8 piden hallar las ecuaciones de parábol
Este documento presenta información sobre ecuaciones cuadráticas, incluyendo la fórmula general ax2 + bx + c = 0, métodos de resolución como factorización y completando cuadrados, y propiedades como que una ecuación de la forma x2 = k tiene soluciones reales solo si k ≥ 0. También incluye ejemplos resueltos de ecuaciones cuadráticas y ejercicios de aplicación para que el estudiante practique.
El documento describe una sección sobre las raíces de una ecuación cuadrática. Explica cómo encontrar las raíces mediante la fórmula cuadrática y analiza las características de las soluciones según el discriminante. También relaciona la suma y el producto de las raíces con los coeficientes de la ecuación cuadrática.
Este documento presenta varios teoremas relacionados con polinomios de grado superior. Explica que Évariste Galois demostró que no existe un método general para resolver ecuaciones polinómicas de grado mayor que cuatro. Luego resume los objetivos de estudiar métodos para encontrar o aproximar las raíces reales de polinomios, y presenta el contenido del módulo, incluyendo teoremas como el residuo, el factor, los ceros complejos y la regla de los signos de Descartes.
Resolución de una ecuación de segundo grado por factorizaciónxramirezm
Este documento describe cómo resolver una ecuación de segundo grado mediante la factorización. Explica que primero se multiplica toda la ecuación por el coeficiente del término cuadrático y se realiza un cambio de variable. Luego, se buscan dos números que sumados den el coeficiente lineal y que multiplicados den el término independiente, para expresar la ecuación en forma factorizada. Finalmente, se despeja la variable para encontrar las raíces.
El documento explica los conceptos básicos de las ecuaciones. Define una ecuación como una igualdad que se cumple para algunos valores determinados de las variables desconocidas. Explica cómo resolver ecuaciones de primer grado mediante la transposición de términos y la división para despejar la variable. También cubre ecuaciones literales y cómo factorizar para resolverlas.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones e inecuaciones, definiendo los símbolos utilizados y los conjuntos de números reales, racionales e irracionales. Luego, describe diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas como el método del factor común, de los productos notables, del aspa simple y doble, entre otros.
Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números reales. La fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas es x = (-b ± √(b2 - 4ac))/2a. El documento explica la ecuación cuadrática, la fórmula para resolverla, y proporciona ejemplos paso a paso.
Matemáticas I, II, III y IV; Leyes y más.Joel Amparán
El documento presenta definiciones y propiedades fundamentales de conceptos matemáticos como conjuntos numéricos, operaciones algebraicas, relaciones de orden, funciones y trigonometría. Se definen conjuntos como los números naturales, enteros, racionales y reales, y se describen sus propiedades como cerradura y relaciones de orden. También se explican conceptos como funciones polinómicas, trigonométricas y de valor absoluto, así como identidades y fórmulas relacionadas.
El documento describe los pasos para graficar una ecuación lineal. Explica cómo convertir la ecuación 4x - 3y = 12 a la forma Ax + By + C = 0, y luego encontrar los puntos (0, -4) y (3, 0) al sustituir x = 0 y y = 0 y resolver para y y x, respectivamente. Finalmente, traza la línea recta que pasa por estos dos puntos en el plano cartesiano.
Este documento explica cómo resolver sistemas de ecuaciones simultáneas con dos incógnitas utilizando diferentes métodos como suma y resta, sustitución e igualación. Primero se define un sistema de ecuaciones simultáneas y se explica que se requieren tantas ecuaciones como incógnitas para resolverlo. Luego, se ilustra el método de suma y resta con varios ejemplos resueltos paso a paso.
Este documento presenta conceptos básicos sobre desigualdades numéricas. Introduce la relación de orden entre números reales usando símbolos como >, <, ≥, ≤. Explica desigualdades absolutas y relativas. Luego define intervalos numéricos como subconjuntos de números reales comprendidos entre dos extremos, sean finitos o infinitos. Finalmente describe operaciones básicas con intervalos como unión, intersección y diferencia.
Clase 3 resolución de ecuaciones de primer gradoMATERIAPSU
Este documento presenta los conceptos fundamentales sobre la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Explica cómo resolver ecuaciones utilizando diferentes métodos como igualación, sustitución y reducción. También introduce los sistemas de ecuaciones y cómo determinar si tienen una solución única, infinitas soluciones o ninguna solución.
Este documento presenta diferentes fórmulas de productos notables como el cuadrado de una suma, el cuadrado de una diferencia, el producto de una suma por una diferencia, y el producto de dos binomios de la forma (x+a)(x+b). También presenta ejemplos de cómo aplicar estas fórmulas para resolver productos notables.
El documento trata sobre las funciones reales de una variable. Brevemente describe que el término "función" fue utilizado por primera vez por Descartes en 1637 y luego Leibniz lo usó en 1694 para referirse a varios aspectos de una curva. Finalmente, Dirichlet dio la definición más generalizada de función en 1829.
Este documento explica los diferentes casos de factorización de expresiones matemáticas. Describe 8 casos comunes de factorización, incluyendo factor común, trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, y factorización de Gauss. El objetivo de la factorización es simplificar expresiones reescribiéndolas como productos de factores fundamentales.
1. Una asíntota es una recta a la que una función se aproxima indefinidamente pero nunca la alcanza cuando una de sus variables tiende al infinito. Existen asíntotas verticales y horizontales.
2. Las asíntotas verticales ocurren en funciones racionales cuando el denominador es igual a cero, mientras que las asíntotas horizontales ocurren cuando el límite del cociente de los polinomios del numerador y denominador tiende a un valor constante.
3. El documento proporciona ejemplos de cómo calcular las asíntotas
Este documento trata sobre los polinomios y sus propiedades. Explica que los polinomios se utilizan para expresar fórmulas científicas como el movimiento en caída libre o el volumen de un cubo. Luego define los monomios, polinomios y sus partes, y describe operaciones básicas como la suma, resta, multiplicación y división de polinomios. Finalmente, presenta identidades notables para operar con binomios.
El documento explica cómo factorizar trinomios cuadrados perfectos. Primero, se debe verificar que el trinomio cumple con la condición de que el término del medio es el doble del producto de las raíces cuadradas de los términos externos. Luego, si se cumple la condición, el trinomio puede factorizarse extrayendo las raíces cuadradas de los términos externos. Se proveen varios ejemplos para ilustrar el proceso.
Este documento presenta las leyes básicas de los radicales y exponentes. Explica qué es un radical, sus partes y cómo se obtienen de los exponentes fraccionarios. Luego enumera cinco leyes de los radicales: 1) elevar una raíz a un exponente da el radicando, 2) el producto de raíces de igual índice es la raíz del producto, 3) el cociente de raíces es la raíz del cociente, 4) la raíz de una potencia es la raíz, y 5) la raíz de un
Este documento presenta varios productos notables de álgebra, incluyendo el cuadrado de la suma, el cuadrado de la diferencia, el producto de la suma por la diferencia, el cubo de la suma, el cubo de la diferencia, y el producto de binomios de la forma (x + a)(x + b) y (mx + a)(nx + b). Cada producto notable sigue una regla fija que permite escribir el resultado directamente sin necesidad de multiplicar términos.
Este documento explica las doce reglas básicas de exponentes y radicales, incluyendo ejemplos de cómo aplicarlas. También cubre cómo realizar raíces cuadradas y cúbicas, y cómo usar la notación científica para escribir números muy grandes o pequeños, incluyendo cómo realizar operaciones con números en notación científica.
Este documento define las ecuaciones de segundo grado y describe sus componentes y métodos de resolución. Las ecuaciones de segundo grado se componen de tres términos - cuadrático, lineal y constante - y existen tres clases: completas, puras y mixtas. Se resuelven encontrando las raíces mediante factorización, la fórmula cuadrática, o resolviendo ecuaciones incompletas. El vértice y los puntos de corte con los ejes x e y proporcionan información para graficar la parábola.
Este documento presenta las cinco leyes fundamentales de los exponentes enteros y positivos a través de definiciones, ejemplos y ejercicios. Las leyes describen las operaciones de multiplicación, división, elevación a potencia y radicación que se pueden realizar con términos exponentes. El objetivo es que los estudiantes aprendan a aplicar correctamente estas leyes al resolver operaciones algebraicas.
El documento define conceptos sobre exponentes racionales y radicales. Explica cómo calcular raíces cuadradas, cúbicas y de mayor índice, así como simplificar, sumar, restar y multiplicar expresiones con radicales. También cubre cómo expresar raíces en forma exponencial y viceversa, y racionalizar numeradores y denominadores.
El documento describe el currículo nacional de la educación básica en Perú. Establece el perfil de egreso deseado que incluye competencias en diferentes áreas como comunicación, ciencias, matemáticas, artes y tecnología. También define conceptos clave como competencia, capacidad, conocimientos, habilidades y actitudes. Finalmente, presenta estándares de aprendizaje y orientaciones pedagógicas para el desarrollo de competencias en los estudiantes.
El documento presenta las leyes de los exponentes. Explica qué son los exponentes y por qué es importante aprender sobre las leyes de los exponentes. Luego, describe las siete leyes de los exponentes, incluidas la suma y resta de exponentes, elevar exponentes a otros exponentes, y exponentes negativos. Finalmente, incluye ejercicios de práctica y enlaces adicionales para aprender más sobre el tema.
Este documento presenta varios teoremas relacionados con potenciación y radicación. Explica conceptos como igualdad de bases y exponentes, potencia de productos, cocientes, raíces y más. Proporciona ejemplos para ilustrar cada teorema.
Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de dos o más monomios. Los polinomios se clasifican en binomios (2 términos), trinomios (3 términos) u otros nombres según el número de términos. El grado de un polinomio es el exponente mayor entre sus monomios. Los polinomios también se pueden ordenar de forma creciente o decreciente según el orden de sus términos.
Presentación aborda el temad e los grados de las expresiones algebraicas: grado absoluto y grados relativos. Se explica a través de ejemplos interactivos y se proponen ejercicios.
PUBLICAMOS EL DISEÑO CURRICULAR NACIONAL QUE FUE PUBLICADO EN EL DIARIO EL PERUANO Y QUE ENTRARA EN FUNCIONAMIENTO A PARTIR DEL PRIMERO DE ENERO DEL 2017 Y QUE A A VARIAR NO SOLO EN LA CURRICULAR ACTUAL SINO TAMBIEN EN LA DISTRIBUCIÓN DE LA CARGA HORARIA CON EL AUMENTO DE HORAS DE ALGUNAS ASIGNATURAS COMO ARTE, INGLES Y EDUCACIÓN FÍSICA Y LOS CURSOS DE SOCIALES
Este documento presenta un resumen del plan de estudios de álgebra para el primer bimestre impartido por la profesora Germania Rodríguez. Incluye temas como teoría de conjuntos, sistemas de números reales, exponentes y radicales, expresiones algebraicas, ecuaciones y desigualdades, funciones y gráficas. El plan de estudios cubre conceptos fundamentales de álgebra así como funciones polinomiales, racionales y exponenciales entre otros temas.
Universidad Técnica Particular de Loja
Ciclo Académico Abril Agosto 2011
Carrera:Ciencias de la Computación
Docente: Ing. Ricardo Blacio Maldonado
Ciclo: Segundo
Bimestre: Primero
Este documento presenta un resumen de los contenidos del primer bimestre de un curso de Álgebra. Incluye conceptos como números reales y complejos, exponentes y radicales, ecuaciones y desigualdades de primer y segundo grado, funciones y gráficas de funciones lineales, cuadráticas, paridad y composición de funciones.
1) El documento explica cómo resolver ecuaciones fraccionarias convirtiéndolas a ecuaciones enteras. 2) También cubre métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales como suma-resta, igualación y sustitución. 3) Finalmente, introduce conceptos de geometría analítica como puntos en una recta, teorema de Pitágoras y números complejos.
Este documento presenta los contenidos de la asignatura Fundamentos Matemáticos de Ciencias de la Computación para el segundo bimestre. Cubre temas como funciones exponenciales y logarítmicas, sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes, y sucesiones y series. Explica conceptos clave, propiedades y métodos para resolver problemas relacionados con cada uno de estos temas.
El documento presenta información sobre ecuaciones de primer y segundo grado. Explica cómo resolver ecuaciones de primer grado mediante la transposición de términos y ecuaciones de segundo grado utilizando la fórmula general. También presenta ejemplos de problemas resueltos utilizando este tipo de ecuaciones.
contiene una amplia explicacion a temas complicados para algunos estudiates, eniendo ejemplos que ayudan a que se tengauna mejor comprension de los temas asi como de sus aplicaciones
Este documento presenta un proyecto final sobre álgebra lineal realizado por tres estudiantes. Resume varios temas clave como matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos. El proyecto explica conceptos matemáticos importantes y cómo aplicarlos para resolver problemas de la vida real.
El documento proporciona información sobre cómo graficar ecuaciones, incluyendo cómo obtener puntos de solución, determinar intersecciones con los ejes x e y, identificar simetrías, y calcular puntos de intersección entre dos ecuaciones. También explica cómo determinar la pendiente de una recta, escribir la ecuación de una recta, y representar funciones y sus dominios.
Este documento explica conceptos básicos sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales. Define ecuaciones, soluciones, ecuaciones algebraicas e identidades. Luego describe métodos para resolver ecuaciones de primer grado y sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, incluyendo el uso de determinantes. Finalmente, introduce determinantes de tercer orden y la resolución de sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.
Este documento trata sobre el álgebra lineal y sistemas de ecuaciones. Explica conceptos clave como vectores, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Luego clasifica diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares, nulas y más. Finalmente, describe métodos para resolver sistemas de ecuaciones como igualación, reducción y sustitución.
Este documento explica las funciones cuadráticas. Indica que una función cuadrática tiene la forma f(x)=ax2 + bx + c, con a ≠ 0. Explica cómo graficar una función cuadrática basándose en su eje de simetría, vértice, intersección con los ejes x e y. También cubre los intervalos de monotonía de una función cuadrática y cómo resolver problemas utilizando funciones cuadráticas cuando se conocen tres puntos de la curva.
El documento proporciona información sobre gráficas de funciones y ecuaciones. Explica cómo graficar ecuaciones mediante el uso de intersecciones con los ejes y simetrías, y cómo determinar el centro, radio y forma de circunferencias. También cubre conceptos como dominio, rango, tipos de funciones y operaciones con funciones como suma, resta, multiplicación y división.
Este documento presenta información sobre ecuaciones de primer y segundo grado. Explica que una ecuación es una igualdad con al menos una incógnita y que las ecuaciones de primer grado son aquellas con incógnitas elevadas a la primera potencia. También describe los diferentes métodos para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo el uso de la fórmula general, factorización y gráficamente.
El documento explica el concepto de ecuación, definiendo una ecuación como una igualdad algebraica que se cumple para valores específicos de las variables. Luego, describe los diferentes tipos de ecuaciones como ecuaciones de primer grado, ecuaciones cuadráticas completas e incompletas, y cómo resolver ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula cuadrática.
Este documento presenta información sobre funciones cuadráticas y cúbicas. Explica que las funciones cuadráticas tienen la forma f(x)=ax2+bx+c y pueden tener 0, 1 o 2 raíces dependiendo del discriminante. También describe cómo calcular el vértice de una parábola cuadrática. Las funciones cúbicas tienen la forma f(x)=ax3+bx2+cx+d y pueden tener 1, 2 o 3 raíces. El documento incluye ejemplos de cómo analizar y graficar funciones cuadráticas y c
Este documento presenta información sobre secciones cónicas. Incluye ejercicios para graficar ecuaciones de circunferencias, elipses, hipérbolas y parábolas utilizando el comando ContourPlot de Mathematica. También incluye ejercicios para determinar las propiedades geométricas de estas curvas como centros, radios, vértices y focos a partir de sus ecuaciones.
Conceptos fundamentales del Álgebra.
Ecuaciones y desigualdades.
Funciones y gráficas.
Funciones polinomiales y racionales.
Funciones exponenciales y logarítmicas.
El documento explica los conceptos básicos de las ecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo cómo resolver ecuaciones lineales y cuadráticas. Define qué son ecuaciones algebraicas, variables, dominios y soluciones. Explica cómo identificar y resolver ecuaciones lineales y cuadráticas utilizando propiedades de números reales y la fórmula cuadrática. También cubre el concepto de discriminante y su uso para determinar el número y tipo de soluciones de una ecuación cuadrática.
El Project Management Institute (PMI) es la principal asociación mundial para la profesión de gestión de proyectos. El PMI publica el Project Management Body of Knowledge (PMBOK), que define los procesos, áreas de conocimiento y conceptos fundamentales para la dirección de proyectos. El PMBOK identifica 47 procesos agrupados en 5 fases que comprenden 10 áreas de conocimiento para la gestión exitosa de proyectos.
Este documento presenta una introducción a la gestión de proyectos informáticos. Define un proyecto como un esfuerzo temporal para crear un producto o resultado único, y explica que los proyectos informáticos involucran tecnologías de la información. Describe las fases típicas de un proyecto, los interesados clave, los factores críticos como el tiempo, costo y alcance, y enfoques como la gestión de proyectos orientada a objetivos. El objetivo general es proporcionar una visión general de los conceptos y
El documento presenta un proyecto de desarrollo e implementación de tecnologías sociales para plataformas Open Course Ware (OCW). Se analiza el bajo uso de los sitios OCW y cómo las redes sociales podrían mejorar la participación de los estudiantes. El proyecto incluye el diseño de componentes sociales para la plataforma OCW de la Universidad Técnica Particular de Loja basada en casos de uso y requerimientos. Las pruebas realizadas mostraron que los componentes cumplen con las funcionalidades sociales de
Gestión de ti arquitectura empresarial como programa de gestión, método de an...Germania Rodriguez
El documento describe los elementos y componentes clave de la Arquitectura Empresarial. Explica que la Arquitectura Empresarial se compone de una estrategia, negocio y tecnología y se lleva a cabo a través de un programa de gestión y método de análisis y diseño. Luego detalla seis elementos básicos a considerar: marco de documentación, metodología, vista actual, vista futura, plan de gestión y hilos. Finalmente, ofrece ejemplos de cómo montar los elementos arquitectónicos utilizando el marco
La arquitectura empresarial es el conjunto de representaciones descriptivas necesarias para evaluar y transformar una empresa, analizando su estado actual y futuro desde una perspectiva integrada de negocios y tecnología. La arquitectura empresarial busca mejorar el rendimiento de las empresas mediante la alineación estratégica de los procesos, información y recursos tecnológicos, permitiendo a las empresas adaptarse de forma dinámica.
El documento presenta una introducción a la gestión de tecnologías de la información. Explica que algunas asignaturas previas como fundamentos informáticos, programación, organización de empresas y bases de datos fundamentan la arquitectura empresarial. También describe las competencias a desarrollar en el área y marcos como COBIT, PMI e ITIL. Finalmente, resume los beneficios de la gestión de TI para las organizaciones.
Este documento discute la accesibilidad y usabilidad de los recursos educativos abiertos (OER). Propone un ciclo de producción social que incluya componentes colaborativos y semánticos para facilitar la creación, publicación y accesibilidad de los OER. También sugiere el uso de tecnologías sociales para mejorar la accesibilidad de los OER y describe un sistema recomendador que extrae información de los recursos y permite consultas basadas en criterios del usuario. El objetivo general es mejorar la accesibilidad y us
Este documento describe un proyecto para desarrollar aplicaciones basadas en los metadatos de los repositorios de las universidades ecuatorianas. El proyecto incluye la construcción de un directorio centralizado, un mapa de conocimiento basado en etiquetas y una aplicación de traducción. Se desarrollaron componentes como un cosechador OAI, un metabuscador, un traductor a varios idiomas y un mapa de conocimiento interactivo. El objetivo general es facilitar el acceso y la visualización de la información en los repositorios universitarios de
El documento describe los conceptos clave del análisis sintáctico en la compilación de lenguajes de programación. Explica que el análisis sintáctico determina la estructura de un programa usando reglas gramaticales y puede construir un árbol sintáctico. También compara las reglas gramaticales con las expresiones regulares y describe los procesos de derivación y construcción del árbol sintáctico.
Automatas y compiladores tablas de transición análisis léxicoGermania Rodriguez
Este documento describe los pasos para convertir un autómata finito no determinista (AFN) a un autómata finito determinista (AFD), incluyendo la eliminación de transiciones vacías y múltiples. También explica cómo usar tablas compactas para simplificar la tabla de transición de un autómata, dividiéndola en dos tablas más pequeñas. Finalmente, detalla el proceso de análisis léxico usando estas tablas compactas.
El documento presenta una introducción a los patrones de diseño, describiendo que su objetivo es promover la reutilización mediante la solución de problemas comunes de software de manera probada. Explica que existen diferentes tipos de patrones clasificados según su propósito, ámbito y elementos. Finalmente, brinda recomendaciones sobre cómo seleccionar y aplicar los patrones de diseño en los proyectos de software.
El documento resume los conceptos fundamentales de los autómatas finitos deterministas (AFD) y no deterministas (AFND), incluyendo sus definiciones formales como quíntuplas y la noción de lenguaje aceptado. También explica brevemente la diferencia entre AFD y AFND y cómo se pueden representar y implementar autómatas finitos en código.
Este documento resume los conceptos clave de los autómatas finitos y las expresiones regulares. Explica que los autómatas finitos son modelos matemáticos que reconocen patrones en cadenas de entrada y los aceptan si conducen a un estado final. Incluye ejemplos de autómatas finitos deterministas y no deterministas, y define sus componentes. También provee una bibliografía sobre el tema.
El documento habla sobre el análisis léxico en la teoría de autómatas y compiladores. Explica que el analizador léxico lee el programa fuente y lo divide en tokens categorizados. Usa expresiones regulares y autómatas finitos para reconocer patrones léxicos. También menciona conceptos como lexemas, atributos, registros de tokens y funciones como eliminar comentarios y reconocer identificadores.
El documento habla sobre arquitecturas de aplicaciones distribuidas. Explica características como compartición de recursos, apertura, concurrencia y escalabilidad. También describe desventajas como complejidad, seguridad e impredecibilidad. Se mencionan tipos de arquitecturas como cliente-servidor, multiprocesador y de objetos distribuidos. Finalmente, explica conceptos como middleware, CORBA y sistemas orientados a servicios.
Este documento describe los conceptos clave del diseño arquitectónico en ingeniería de software. Explica que el diseño arquitectónico es un proceso crítico que identifica los principales componentes de un sistema y sus comunicaciones. También cubre temas como los estilos arquitectónicos, la descomposición modular, los estilos de control y las arquitecturas de referencia. El resultado es un documento de diseño que representa gráficamente la estructura del sistema.
Este documento trata sobre teoría de autómatas y compiladores. Explica que los compiladores son programas que traducen un lenguaje fuente a un lenguaje objeto, y describe el proceso de traducción de un compilador incluyendo análisis léxico, sintáctico, semántico y generación de código. También cubre conceptos como tokens, árboles sintácticos, tablas de símbolos y código intermedio.
1) La nueva economía surge a finales del siglo XX con la revolución tecnológica como base. 2) Se caracteriza por ser informacional, global e interconectada en red, dependiendo de generar, procesar y aplicar información. 3) Los productos son aparatos para procesar información e información procesada misma.
Este documento resume la revolución de las tecnologías de la información. Describe cómo las TI han evolucionado desde la imprenta hasta Internet y la ingeniería genética, permitiendo procesar y distribuir información a una velocidad y escala antes impensables. También analiza los actores clave y centros de innovación como Silicon Valley, que han impulsado esta revolución tecnológica.
1. UNIVERSIDAD TECNICA PARTICULAR DE LOJA Escuela de Ciencias de la Computación ALGEBRA Ing. Germania Rodríguez Morales I Bimestre Abril – Agosto 2008
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3. Sistema de Números Reales Fundamental en todas las ramas de las matemáticas se definen como los números que se pueden representar en la recta numérica -∞ ………-30/3….. -√25.. -∏ -3/2 -1 0 1 3/2 ∏ √25…30/3…….∞
4. Exponentes y Radicales Leyes de los exponentes Ley Ejemplo a 0 = 1 30 = 1 a -n = 1 / a 3 -3 = 1 / 3 3 = 1 /27 a m a n = a m+n 2 3 .2 4 = 2 3+4 =128 (a m ) n = a m.n 2 3 .2 2 = 2 3.2 =64 (ab) n = a m b n (20) 3 = (2.10) 3 =2 3 10 3 =8.1000 = 8000 (a / b) n = a n /b n (2 / 10) 3 = 2 3 /10 3 = 8 / 1000 a m / a n = a m-n a n / a m = a n-m 2 5 / 2 3 = 2 5-3 = 2 2 = 4 2 3 / 2 5 = 2 3-5 = 2 -2 = 1/2 2 =1/4
5. Exponentes y Radicales Leyes de los radicales Exponentes Racionales Ley Ejemplo n √ a.b = n √a. n √b √ 25.2 = √25. √2 = 5 √2 n √ a / b = n √a / n √b √ 25 / 2 = √25 / √2 = 5 / √2 m √ n √a = mn √ a √ 3 √64 = 2.3 √64 = 6 √2 6 a 1/n = n √ a 27 1/3 = 3 √ 27 = 3 a m/n = ( n √ a) m = n √ a m 2 3/2 = ( 2 √2) 3 = 3 √2 3 = 3 √8
9. Expresiones Fraccionarias Expresión racional del tipo p/q donde p y q son polinomios Cociente Denominador 0 si: Dominio 6x 2 - 5x + 4 x 2 - 9 x = ±3 Toda x ≠ ±3 x 3 – 3x 2 y + 4y 2 y – x 3 y = x 3 Toda x y y tales que y ≠ x 3
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11. Ecuaciones Son expresiones algebraicas (igualdades) que contienen al menos un valor desconocido incógnita tienen una sola solución; para resolverla se debe obtener expresiones equivalentes y para esto se debe sumar o restar la misma cantidad a ambos lados de la ecuación o también se puede multiplicar o dividir ambos lados por la misma cantidad, tratando de aislar la incógnita a un solo lado de la ecuación Las ecuaciones más básicas donde la incógnita esta elevada a potencia 1 ose denominan Ecuaciones Lineales son de la forma ax + b = 0 para resolverla aplicamos resolución de las ecuaciones Ejemplo ax + b - b = 0 – b ax / a = -b / a x = -b / a
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14. Números Complejos Los números complejos se necesitan para expresar la solución de ecuaciones que no se halla en el conjunto de números reales, por ejemplo la raiz cuadrada de un número negativo Ejm: x 2 = -9 para poder expresar la solución de este tipo de ecuación se utiliza i = √-1 de donde i 2 = -1 Con este término x = √-9 la solución sería x=3i Los números complejos contienen a los reales normalmente se forman de una combinación de un real y el imaginario. Se puede realizar operaciones entre ellos como suma, resta, multiplicación, división
15. Otro tipo de ecuaciones Ecuaciones con valor absoluto 2|x-5| + 3 = 11 Solución de una Ecuación por agrupación 3x 3 -4x 2 -27x+36=0 Ecuaciones con exponentes racionales y 3/2 = 5y Ecuaciones con radicales 2√x – √x-3 = √5+x Ecuaciones de tipo cuadrático 2x 4 – 10x 2 + 8 = 0
16. Desigualdades También llamada inecuación para resolverla se debe encontrar el conjunto de valores que hacen verdadera la desigualdad. Una desigualdad puede tener un número infinito de soluciones que se representan en la recta numérica o en intervalos. Se resuelven igual que las ecuaciones aislando la incógnita aplicando operaciones iguales en ambos lados, con la diferencia que al multiplicar ambos lados por un valor negativo la desigualdad cambia de sentido Ejm: 4x – 3 < 2x + 5 Desigualdad continua 4 ≥ 3x+5 > -1 Desigualdad racional 4 / (3x+2) ≥ 0
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19. Sistema de coordenadas rectangulares Formado por la intersección de dos rectas numéricas una horizontal y otra vertical llamados ejes coordenados, que forman cuatro semirectas y cuatro cuadrantes; el punto de intersección se denomina origen, Un punto cualesquiera quedará representado en este plano por medio de sus coordenadas P(a,b), que no son más que las distancias que existen entre el punto considerado y los ejes coordenados. P(a,b) a b O II I III IV
20. Sistema de coordenadas rectangulares De manera general cada par ordenado de números reales constituye una relación y la ubicación de estas parejas ordenadas en el plano, constituye el gráfico de la relación. Una de las fórmulas básicas de la Geometría analítica es la fórmula de la distancia entre dos puntos que tiene la siguiente forma: d(P 1 ,P 2 )= √(x 2 −x 1 ) 2 +(y 2 −y 1 ) 2 El punto medio M de un segmento entre P 1 y P 2 M= x 2 +x 1 , y 2 +y 1 2 2
21. Gráfica de ecuaciones Graficar una ecuación quiere decir representar en un sistema de coordenadas todas los pares ordenados que hacen que la relación se cumpla, así por ejemplo si la relación esta dada por la fórmula 2y=x 2 algunos de los pares ordenados que cumplen con la relación son (0,0), (2,2), (1, 1/2), (−2,2) etc. Si representamos estos pares ordenados y luego los unimos tendríamos: (0,0) (2,2) (1,1/2) (-2,2)
22. Gráfica de ecuaciones Cuando se grafica se debe considerar algunas definiciones: INTERSECCIONES: que son los puntos por donde la gráfica de la ecuación corta los ejes coordenados x o y. Estos valores se encuentran x=0 para encontrar la intersección con y, y para encontrar la intersección con x, hacemos y = 0 SIMETRIAS: La gráfica de una ecuación también puede ser simétrica, esto quiere decir que la porción de la gráfica en un cuadrante es imagen (como reflejada en un espejo) de la gráfica en otro cuadrante. Para saber si la gráfica es simétrica con respecto al eje x reemplazamos y por − y en la ecuación, y viceversa para el eje y reemplazamos x por -x
23. Gráfica de ecuaciones CIRCUNFERENCIAS: Una circunferencia se define como un conjunto de puntos del plano cuya distancia a un punto fijo llamado centro siempre es constante. La distancia constante se llama radio. Se aplica la fórmula de la distancia para encontrar la ecuación del conjunto antes mencionado. La forma de la ecuación de una circunferencia con centro en el punto (h,k) esta dada de la siguiente manera: (x−h) 2 +(y−k) 2 =r 2 Si la circunferencia tiene su centro en el origen del sistema, la ecuación adopta la siguiente forma: r 2 = x 2 + y 2 Al estudiar la circunferencia pueden presentarse dos tipos de ejercicios; dados los elementos de la circunferencia es decir el centro y el radio encontrar su ecuación y, dada la ecuación de la circunferencia, encontrar sus elementos. EJEMPLO: Obtener la ecuación dado centro (2,-3) radio 5 y Obtener el centro y el radio dada x 2 + y 2 +4y -117 = 0
24. Rectas La ecuación de la recta tiene la forma ax + by = c Dada la ecuación podemos obtener la recta calculando las intersecciones. EJEMPLO 2x – 5y = 0 La pendiente de la recta es M = (y 2 -y 1 ) / (x 2 -x 1 ) PARALELAS: dos rectas son paralelas cuando tienen igual pendiente M PERPENDICULARES: dos rectas son perpendiculares cuando M 1 .M 2 = -1
25. Función Una relación es una correspondencia entre los elementos de 2 conjuntos Ejemplo relaciones familiares, laborales, numéricas. Una función es una relación en la que se agrega la restricción de que, a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo uno de los elementos del rango. Una función f de un conjunto D a un conjunto E es una correspondencia que asigna a cada elemento de x de D un único elemento de y de E. D E f(x) = x 3 y = x 3 x y -2 -8 -1 -1 0 0 1 1 2 8
26. Función Se debe resaltar que en una función existen dos tipos de variables, la variable que puede tomar diferentes valores (en este caso x se denomina variable independiente y la variable que depende de los valores tomados por x, que se denomina variable dependiente (en este caso y). Además gráficamente el Rango se ubica en el eje x y el dominio en el eje y PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL Es una forma de saber si el grafico de una relación corresponde al gráfico de una función, que consiste en trazar una recta vertical por cualquier parte del grafico. Si la recta vertical corta al grafico en un punto, el gráfico constituye el gráfico de una función; caso contrario no
27. Gráficas de Funciones Toda función que tiene un dominio y un rango de números reales tiene una gráfica, que es la gráfica de las parejas ordenadas de números reales que constituyen la función. Cuando se dibuja la gráfica de una función, los valores del dominio se asocian por lo regular al eje horizontal y los valores del rango con el eje vertical.
28. Función creciente, decreciente o constante En un intervalo I del dominio de una función f f es creciente en I si f (b) > f (a) siempre que b > a en el intervalo I f es decreciente en I si f (b) < f (a) siempre que b < a en el intervalo I f es constante en I si f (b) = f (a) siempre que b = a en el intervalo I Continuidad una función es continua cuando la gráfica esta unida en todo su dominio, es decir no existen punto en x que no tengan valor en y
29. Paridad de una función Al reemplazar la variable x por –x Si f (-x) = f (x) la función es par Si f (-x) la función es impar Si f es par entonces es simétrica al eje vertical y Si f es impar entonces es simétrica respecto al origen EJEMPLOS: Si f (x) = x 2 – 1 entonces f (-x) = (-x) 2 – 1 = x 2 – 1 función par Si f (x) = 2x – 3 entonces f (-x) = 2(-x) – 3 = -2x – 3 función impar
30. Tipos de Funciones Funciones Lineales Del tipo f(x) = ax + b a ≠ 0 Se llaman así porque su gráfica es una línea recta Funciones Cuadráticas Del tipo f(x) = ax 2 + bx + c a ≠0 Su gráfica es una parabola
31. Operaciones con Funciones Con las funciones se pueden realizar las cuatro operaciones aritméticas básicas suma, resta, multiplicación y división, pero además tienen una operación propia llamada composición que se denota con o se da entre dos o más funciones La función resultante será (f o g )(x) = f (g (x)) y en caso de (g o f)(x) = g (f (x)) EJEMPLO: si f(x) = 4x + 5 y g(x) = x 2 – 1obtener (f o g )(x) y (g o f)(x)
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34. Funciones polinomiales de grado mayor a 2 Sí ƒ es de grado n y todos los coeficientes excepto a n son cero entonces: f(x)=ax n en donde a=a n ≠0 Si n es impar es una función impar por tanto simétrica al origen EJEMPLO f(x) = ½ x 3 y= ½ x 3 x y -2 -8/2=-4 -1,5 -27/16=-1,7 -1 -1/2=-0,5 0 0 1 ½=0,5 1,5 27/16=1,7 2 8/2=4
35. Funciones polinomiales de grado mayor a 2 Si n es par f es una función par por tanto la gráfica es simétrica respecto a y, algunos ejemplos
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37. Funciones racionales Tienen la forma R(x) = P(x) donde Q(x) ≠ 0 Q(x) Sea R una función racional definida como cociente de dos polinomios de la forma R(x)= a m x m +.......+a 1 x+a 0 b n x n +.......+b 1 x+b 0 donde a m ,b n ≠0 División de polinomios objeto bajar el grado de un polinomio EJM: x 4 – 16 x 2 +3x+1 TEOREMA ASINTOTAS HORIZONTALES: 1.- Sí m< n, el eje x (y = 0) es una asíntota horizontal. 2.- Sí m =n, la recta y=a m b n es una asíntota horizontal. 3.- Sí m > n, no hay asíntotas.
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42. Funciones Exponenciales Otra forma de funciones exponenciales podría ser: f(−x) = 3 (−x) 2 =3 x 2 = f(x) Lo que implica que ƒ es una función par. En consecuencia la gráfica es simétrica con el eje y. El intersecto en y de la gráfica es ƒ(0) = 3 0 = 1. Utilizando esta información y marcando los puntos que resultan de la tabla anexa podemos graficar la función que se muestra a continuación. x y -2 81 -1 9 0 1 1 9 2 81
43. Funciones Logarítmicas FUNCION EXPONENCIAL NATURAL La base e.- El número irracional e es el que se usa con mayor frecuencia como base exponencial tanto para fines teóricos como prácticos. De hecho: f(x)=e x FUNCION LOGARITMICA La inversa de una función exponencial de base a, se llama función logarítmica de base a y se representa por log a Sus valores se representan como loga(x) o como logax, puesto que: f −1 (x) sí y solo sí x=f(y) La definición de log a se puede expresar de la siguiente manera: y=log a (x) sí y solo sí x=a y