1) El documento presenta un análisis del algoritmo de ordenamiento por inserción, incluyendo un loop invariante para probar su corrección y cálculos de su complejidad en los casos mejor, peor y promedio. 2) La complejidad en el caso mejor es O(n), mientras que en el peor caso es O(n2), debido a que el número de comparaciones en cada iteración puede variar dependiendo de la entrada. 3) El análisis incluye cálculos para determinar el número de operaciones básicas en función de parámetros como t_

1. Universidad de Caldas Facultad de Ingenieria A A nalisis de lgoritmos

3. Ordenamiento x Insercion 9 7 6 15 16 5 10 11 9 7 6 15 16 5 10 11 9 7 6 15 16 5 10 11 7 9 6 15 16 5 10 11 7 9 6 15 16 5 10 11 7 9 6 15 16 5 10 11 6 7 9 15 16 5 10 11 6 7 9 15 16 5 10 11 6 7 9 15 16 5 10 11 6 7 9 15 16 5 10 11 6 7 9 15 16 5 10 11 5 6 7 9 15 16 10 11 5 6 7 9 15 16 10 11 5 6 7 9 15 16 10 11 5 6 7 9 10 15 16 11 5 6 7 9 10 15 16 11 5 6 7 9 10 15 16 11 5 6 7 9 10 11 15 16 5 6 7 9 10 11 15 16

5. 4 3 5 2 i j i=2 1 3 x A i 3 5 2 i j 1 3 i 4 j = i-1 = 1 j = j-1 = 0 Exit while because j<0

6. 3 5 2 j i=3 1 5 x A i 4 Exit while because x >A[i] j = i-1 = 2

7. 3 2 5 4 j i=4 1 2 i 3 5 j 1 2 i 4 j = i-1 = 3 j = j-1 = 2 5

8. 3 4 4 j 1 2 i 3 j 1 2 i 4 j = j-1 =1 j = j-1 = 0 5 5 2

9. 2 1 4 3 j i=5 5 1 i 2 4 j 1 i 3 j = i-1 = 4 j = j-1 =3 5 5

10. 3 4 4 j 1 2 i 3 j 1 2 i 4 j = j-1 =1 j = j-1 = 0 5 5 2

11. 2 4 j 1 i 3 j = j-1 =2 4 5 2 3 j 1 i 3 j = j-1 =2 4 5 1 3 1 2 4 5

14. Loop Invariante para Insertion-sort En el principio de cada iteracion del loop for el sub-arreglo A[1,..,i-1] consiste de los elementos original/ in A[1,..,i-1] pero en orden.

15. Antes de empezar el loop i=2, el sub-arreglo A[1,..,i-1] consiste unica/ del A[1], el cual es de hecho el elemento original A[1]. Este sub-arreglo es ordenado (trivial/, por supuesto). INICIALIZACION

16. x 1 x 2 x 3 ... i j ... x n Antes de empezar la iteracion i=2 max{x 1 , x 2 } i j ... x n min{x 1 , x 2 } MANTENIMIENTO Antes de empezar la iteracion i=3

17. i j ... x n x i 1 max{x 1 , x 2 } i j ... x n min{x 1 , x 2 } x 3 x i 2 x i 3 {x i 1 ,x i 2 ,x i 3 }= {x 1 ,x 2 ,x 3 } x i 1 < x i 2 < x i 3 Antes de empezar la iteracion i=3 Antes de empezal la iteracion i=4

18. i j i j {x i 1 ,x i 2 ,...,x i k }= {x 1 ,x 2 ,...,x 3 } x i 1 < x i 2 <...< x i 3 Antes de empezar la iteracion i=k Antes de empezar la iteracion i=k+1 ... x n x i 1 x i 2 x i 3 ... x i k-1 x k ... x n x i 1 x i 2 x i 3 ... x i k-1 x i k

19. En la terminacion i=n+1 el sub-arreglo A[1,..,i-1] consiste de los elementos en el arreglo original A[1,..,n] pero de manaera ordenada. Por esto el algoritmo es correcto. TERMINACION

23. Tiempo de Ejecucion: Sobre una entrada particular es el numero de operaciones primitivas (pasos) ejecutados . • Queremos definir los pasos independientes de la maquina . • Suponga que c/linea de pseudocodigo requiere una cantidad constante de tiempo. • Una linea puede tomar una cantidad diferente de tiempo que otra, pero cada ejecucion de la linea i toma la misma cantidad de tiempo ci . • Esto es asumiendo que la linea consiste unica/ de operaciones primitivas • Si la linea es una llamada a subrutina, entonces la llamada actual toma un tiempo constante, pero la ejecucion de la subrutina siendo llamada podria no. • Si la linea especifica operaciones diferentes a las primitivas entonces podria tomar mas que un tiempo constante. Ej: “ordene los puntos por coordenadas x.”

26. El tiempo de ejecucion del algoritmo es la suma de los tiempos de ejecucion para c/sentencia ejecutada.Para computar T(n), el tiempo de ejecucion del algoritmo, nosotros sumamos los productos de COSTO y VECES obteniendo: El tiempo de ejecucion depende de los valores de t j . Estos varian de acuerdo con la entrada.

27. Complejidad de tiempo en el mejor caso t b (n) En este caso t i = 1 entonces t b (n) = c 1 n + (c 2 +c 4 +c 8 ) n-1 + c 5  i=2,..,n 1 + (c 6 +c 7 )  i=2,..,n 0 = (c 1 +c 2 +c 4 +c 8 +c 5 ) n - (c 2 +c 4 +c 8 +c 5 ) = an+b =  (n). Puede expresar T (n) como an + b para constantes a y b (que dependen del costo de la sentencia ci )⇒ T (n) es una funcion lineal de n . Complejidad de tiempo en el peor caso t w (n) En este caso t i = i entonces t w (n) = c 1 n + (c 2 +c 4 +c 8 ) n-1 + c 5  i=2,..,n i + (c 6 +c 7 )  i=2,..,n (i-1) = an 2 +bn+c =  ( n 2 ).

32. Porque hay que buscar la eficiencia Tendra sentido invertir tiempo intentando diseñar algoritmos mas eficientes sabiendo que las computadoras se vuelven mas y mas rápidas? Supongamos que que para resolver un problema disponemos de de un algoritmo exponencial y de una computadora que puede ejecutar este algoritmo para casos de tamaño n en 10 -4 x 2 n segundos. Es decir el programa resuelve un ejemplar de tamaño 10 en aprox. un décimo de seg., uno de tamaño 20 en aprox. Dos minutos y para resolver un ejemplar de tamaño 30 no bastará todo un dia de tiempo de cálculo. Suponiendo que fuera posible hacer funcionar un año seguido la máquina se podría llegar a resolver un ejemplar de tamaño 38. Supongamos que podemos comprar una computadora 100 veces mas rápida que la anterior. Ahora con el mismo algoritmo podemos resolver un ejemplar de tamaño n en _________seg. No mucho, pero cuando determine que la nueva maquina en un año no podrá resolver nisiquiera un ejemplar de tamaño 45. En genral si antes se podía resolver un ejemplar de tamaño n en un tiempo determinado, la nueva máquina resolverá ejemplares de tamaño como máximo ___________ en el mismo tiempo.