Tema ii integrales uney

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN
INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL
PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA I
TEMA II: INTEGRALES (INTEGRAL INDEFINIDA)
ANTECEDENTES HISTÓRICOS
Hay, primordialmente, dos matemáticos coetáneos íntimamente ligados a los inicios
del cálculo infinitesimal, el inglés Newton (1642-1727) y el alemán Leibniz (1646-1716), si
bien, hubo otros matemáticos que de una u otra forma trabajaron en ello, como Kepler,
Fermat (1601-1665), Cavalieri (1598-1647), incluso Arquímedes (Ap. 288 a.C.- Ap. 213
a.C.), que utilizó un método para el cálculo de áreas que se aproxima rudimentariamente al
cálculo integral. Newton y Leibniz (Newton unos años antes) sientan las bases del análisis
infinitesimal aunque por vías distintas, quedando fuera de toda sospecha que alguno se
aprovechase de los hallazgos del otro. Aunque en los inicios se comunicaban los progresos
que hacía cada uno, llegaron a surgir comentarios de matemáticos ajenos a todo ello que, en
ocasiones, calificaban la obra de Newton como plagio de la de Leibniz; en otras ocasiones
era a la inversa, y esto provocó la enemistad de ambos.
Todo esto hizo que Newton, poco antes de morir y habiendo fallecido Leibniz unos
años antes, ordenara suprimir un comentario de su obra «Principia» en el que se citaba a su
otrora amigo como autor de un procedimiento de cálculo similar al suyo. Leibniz es,
además, el responsable de la actual simbología del cálculo infinitesimal, y no sólo eso; fue
el primer matemático que utilizó el · para expresar una multiplicación y ÷ para denotar un
cociente, entre otras muchas más aportaciones.
FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN
Dada una función cualquiera f(x) definida en un intervalo cerrado  ,,ba se llama
función primitiva de  xf a otra función  xF cuya derivada sea  xf en dicho intervalo.
Es decir,    xfxF  para todo x de  .,ba Así, por ejemplo:
 La función  xsen es una primitiva de  xcos puesto que     .cos xxsen 

 La función xln es una primitiva de
x
1
puesto que   .
1
ln
x
x 

 La derivada de
3
3
x
es ,3
3
1
3
22
3
xx
x








por lo cual
3
3
x
es una primitiva de .2
x
PROPIEDADES DE LAS PRIMITIVAS DE UNA FUNCION
PRIMERA PROPIEDAD: Si  xF es una primitiva de  xf y C una constante
cualquiera (un número), la función  xF + C es otra primitiva de  xf .

TEMA II: INTEGRALES
DEMOSTRACIÓN: Basta recordar que la derivada de una suma de funciones es
igual a la suma de las derivadas de las funciones, y que la derivada de una constante es
siempre cero.
        .0 xfxfCxFCxF 


EJERCICIO: Encontrar tres primitivas de la función  xcos .
RESOLUCIÓN: Se sabe que  xsen es una primitiva de  xcos . Luego, tres
primitivas de  xcos son, por ejemplo,   ,3xsen    ,2lnxsen   .
3

xsen
SEGUNDA PROPIEDAD: Si una función tiene una primitiva, entonces tiene
infinitas primitivas.
DEMOSTRACIÓN: Si  xF es una primitiva de  xf , para cualquier constante C,
  CxF  es otra primitiva según la anterior propiedad. Así, hay tantas primitivas como
valores se le quieran dar a C.
TERCERA PROPIEDAD: Dos primitivas de una misma función se diferencian en
una constante. Esto es,  xF y  xG son primitivas de la función  xf , entonces
    .cteCxGxF 
DEMOSTRACIÓN: Hay que recordar que si una función  xf definida en un
intervalo cualquiera tiene derivada cero en todos los puntos, entonces la función  xf es
constante. Es decir, si   0 xf , entonces   .Cxf  Pues bien, si  xF es una primitiva de
 xf ,    ;xfxF  y si  xG es otra primitiva de  xf , entonces también
   ;xfxG  luego, restando miembro a miembro,
             ,0

 xfxfxGxFxGxF de donde se deduce que     .CxGxF 
LA INTEGRAL INDEFINIDA
DEFINICIÓN: Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I, si
)()( xfxF
dx
d
 en I, es decir, si    xfxF  para toda x en I, esto es:
  )()(')()( xfxFsisóloysícxFdxxf

TEMA II: INTEGRALES
En donde:
nIntegraciódeVariable
Integrando
nIntegraciódeConstante)()(
daAntiderivaoPrimitivaIntegraldeSigno



 cxFdxxf
NOTA: Esta definición se puede interpretar de la siguiente manera: Al integrar una
función  xf obtenemos como resultado  xF ; si este resultado se deriva obtendremos
como resultado al integrando y además nos sirve como comprobación.
PROPIEDADES BÁSICAS DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
Observa las siguientes propiedades, las cuales debemos tomar en cuenta para el
cálculo de integrales indefinidas.
 HOMOGENEIDAD (PRODUCTO POR UN ESCALAR): Sí f es integrable y k es
un número real cualquiera, entonces kf es integrable:
  dxxfkdxxfk )()(
 ADITIVIDAD (SUMA O DIFERENCIA): Sean f y g son dos funciones
integrables, entonces:
 
   
  


dxxgdxxfdxxgxfii
dxxgdxxfdxxgxfi
)()()()()
)()()()()
 Un factor constante k puede escribirse antes del signo de integral, donde c es la
constante de integración.
   cxkdxkdxk

TEMA II: INTEGRALES
REGLA DE LAS POTENCIAS PARA INTEGRALES INDEFINIDAS.
 






 
cx
n
dxx nn 1
1
1
donde el exponente n es un número racional y n  -1
INTEGRALES DE FUNCIONES TRASCENDENTES
En las FUNCIONES TRASCENDENTES se encuentran las
TRIGONOMÉTRICAS, LAS EXPONENCIALES Y LAS LOGARÍTMICAS. Para
calcular este tipo de integrales se usan las siguientes fórmulas de integración.




cuduu
cuduu
sencos
cossen
  cuduu seclntan








cuuduu
cusenduu
cuduuu
cuduuu
tanseclnsec
lncot
csccotcsc
sectansec
  cuuduu cotcsclncsc




cuduu
cuduu
cotcsc
tansec
2
2






c
a
a
dua
cu
u
du
cedue
u
u
uu
ln
ln
APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO
Observa en los siguientes ejemplos cómo se aplican las propiedades de la integral
indefinida. Vamos unos ejemplos:
1. Calcular la siguiente integral indefinida  dxx3
5
PASO 1: El 5 es una constante que se puede escribir fuera de la integral.
  dxxdxx 55 33
PASO 2: Para encontrar una antiderivada de x3
(o sea la primitiva) aplicamos la
fórmula siguiente:
cx
n
dxx nn







 

1
1
1

TEMA II: INTEGRALES
O sea que:
cxdxx 






 

133
13
1
55
PASO 3: Se realizan las operaciones indicadas y se obtiene finalmente el resultado.
  cxdxx 43
4
5
5
Para realizar la comprobación de la integral, se deriva el resultado, esto es:
 
dx
cd
xcx
dx
d
4
4
5
4
5 144






 
Recuerda que la derivada de una constante es igual a cero. Al simplificar se obtiene al
integrando.
34
5
4
5
xcx
dx
d







NOTA: Recuerda que al hacer mención de la antiderivada o primitiva nos estamos
refiriendo a la integral indefinida.
Ahora veamos la aplicación de estas propiedades en una función polinomial.
2. Calcula la integral indefinida    dxxxx 2543 35
y realiza la comprobación.
PASO 1: Se escribe la integral, recordando que la suma o resta de funciones es igual
a la suma o resta de las integrales, esto es:
      dxdxxdxxdxxdxxxx 25432543 3535
PASO 2: Los factores constantes se escriben fuera de la integral y se aplica la
fórmula de una potencia, como se muestra a continuación:
      dxdxxdxxdxxdxxxx 25432543 3535
PASO 3: Se integra cada una de éstas.
 






 
1
155
15
1
33 cxdxx

TEMA II: INTEGRALES






















4
3
11
2
133
22
11
1
55
13
1
44
cxdx
cxdxx
cxdxx
PASO 4: Se sustituyen los valores, tomando en cuenta que 4321 ccccc  .
  cxxxxdxxxx  2
2
5
4
4
6
3
2543 24635
PASO 5: Finalmente se simplifica el resultado.
  cxxxxdxxxx  2
2
5
2
1
2543 24635
Para verificar el resultado, se deriva el polinomio y se obtiene el integrando.
  02)2(
2
5
46
2
1
2
2
5
2
1 35246






 xxxcxxxx
dx
d
Simplificando se obtiene:
25432
2
5
2
1 35246






 xxxcxxxx
dx
d
Analiza los siguientes procedimientos para calcular integrales indefinidas
trascendentes.
3. Calcula la integral indefinida  dxxsen y realiza la comprobación.
PASO 1: Este tipo de integrales se resuelven de forma inmediata, por lo tanto:
  cxdxx cossen
PASO 2: Se realiza la comprobación derivando el resultado.
xxc
dx
d
x
dx
d
cx
dx
d
sen0sencos)(cos 
Ahora resuelve los siguientes ejercicios, aplicando las propiedades de la integral
indefinida.

TEMA II: INTEGRALES
4. Calcula la integral indefinida  dxx
3
PASO 1: Este tipo de integrales se resuelven de forma inmediata, perteneciente al caso
en el que .3a Por tanto:
 
Cdx
x
x
 3ln
3
3
PASO 2: Realiza la comprobación derivando el resultado.
5. Probar la certeza de la igualdad
C
x
x
x
dx




 1
1
ln
2
1
1 2
Para lo cual basta demostrar que la derivada de la función C
x
x



1
1
ln
2
1
es .
1
1
2
x
EJERCICIOS:
a) Calcula la integral    dxxxx 4839 23
y realiza la comprobación.
b) Calcula la integral  dxxcos y realiza la comprobación.
c) Analiza con atención cada uno de las siguientes expresiones y calcula las integrales
aplicando el método de integración respectivo.
1.    dxxxxx 72 234
2.  





 dxxxx 8
5
6
2 23
3.  





 dxxx
2
3
4
1
3
2 2
4.    dxxx 304 23
5. 

dxx2 3
6.  dxx2
3
7.    dxxx 123
8.     dxxx 231
9.    dxxx 96 24
d) Analiza las siguientes expresiones y aplicando el procedimiento adecuado, calcula las
integrales trascendentes.
10.   dxxex
)2(
11.  dx
x
1
12.  dxxsec2 2
13. dxxcos5
14.  dx
x
3
sen
15.  dx
x3
8

TEMA II: INTEGRALES
TABLA DE COMPROBACIÓN
Número de
pregunta Respuesta correcta
1.    cxxxxxdxxxxx 7
2
1
3
1
2
1
5
1
72 2345234
2.
 





 cxxxdxxxx 23423
4
5
2
2
1
8
5
6
2
3. cxxxdxxx 





 2
3
8
1
9
2
2
3
4
1
3
2 232
4.
  cxxxdxxx 30
3
4
4
1
)304( 3423
5.
  
cxdxx 23
2
6.
cxdxx  2
5
2
3
5
2
7.    cxxxdxxx 92
5
1
96 3524
8.
   cxxxdxxx 22
3
3
2
12
9.     cxxxdxxx 2
2
1
231 23
10.    cxedxxe xx 2
2
11. cxdx
x
 ln
1
12.
  cxtandxx 2sec2 2
13.
  cxdxx sen5cos5
14.
  cxdx
x
cos
3
1
3
sen
15.
  cxdx
x
ln
3
8
3
8

TEMA II: INTEGRALES
La utilización de estas dos propiedades constituye el llamado MÉTODO DE
DESCOMPOSICIÓN en el que como principio conviene descomponer el integrando lo
más posible, aplicando las propiedades anteriores; a veces, conviene hacer un hábil manejo
de constantes, sumar y restar una misma cantidad ó multiplicar y dividir por un mismo
número.
EJEMPLO: Justificar cada paso.
Kxxdx
x
xdxdx
x
xdxdx
x
xx


   ln7
2
11
72
2
177 2
2
3
3.- CUADRO DE INTEGRALES INMEDIATAS.
TIPOS
FORMAS
SIMPLES COMPUESTAS
1. Potencial (n-1) K
n
x
dxx
n
n




1
1
    K
n
ax
dxax
n
n





1
1
2. Logarítmico Kxdx
x
 ln
1
 

dx
bax
1
3. Exponencial
K
a
a
dxa
Kedxe
x
x
xx




ln
4. Seno Kxdxx  cossen
5. Coseno Kxdxx  sencos
6. Tangente Kxtanxdx  secln
7. Cotangente Kxanxdx  senlncot
8. Secante Ktanxdxx 
2
sec
9. Cosecante Kxandxxec  cotcos 2
10. Arco seno Kxarcdx
x


 sen
1
1
2
11. Arco tangente Kxtanarcdx
x

 2
1
1
12. Arco secante Kxarcdx
xx


 sec
1
1
2

TEMA II: INTEGRALES
Aunque no son inmediatas, hay algunas que aparecen con mucha frecuencia y
conviene saber. Son las siguientes:
dx
cbxax
nmx
edx
cbxax
dx
xa   

 2222
1
,
1
EJEMPLOS: Justificar cada paso.
1) .
22
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
4
4
1
4
1
2222
K
x
atandx
x
dx
x
dx
x
dx
x


























 
2)
K
x
dx
x
dx
x
dx
xx
dx
xx





 











2
12
arctan
2
1
2
1
2)12(
2
2
1
2)12(
1
2144
1
344
1
2
222
3)
tangentearcotiponeperianotipo
13
8
13
32
13
832
13
52
2222












 dx
xx
dx
xx
x
dx
xx
x
dx
xx
x
EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE
Consiste en sustituir la variable “ x ” por una nueva variable; veamos el siguiente:
TEOREMA: Sea g una función derivable y supóngase que F es una antiderivada
de .f Entonces haciendo el cambio de variable  ,xgu  tenemos que:
    cxgFcuFduufdxxgxgf ))(()()()(')(
Observa el siguiente ejemplo donde se aplica este método.
EJEMPLO: Evalúa la siguiente integral:    dxxx 42

TEMA II: INTEGRALES
PASO 1: Se hace el cambio de variable, tomando 42
 xu , entonces la derivada de
u es:
dxxdu 2
PASO 2: Se sustituyen estos valores en la integral, esto es:
  
2
4 2
1
2 du
udxxx
Observa que dxxdu 2 y en el integrando sólo se tiene dxx , entonces dxx
du
2
 .
PASO 3: Se aplican las propiedades de la integral; esto es,
2
1
se escribe fuera de la
integral por ser una constante:
  
2
1
4 2
1
2
duudxxx
PASO 4: Se realiza la integral, obteniendo lo siguiente:
 















c
u
duu
1
2
12
1
2
1
1
2
1
2
1
cucuc
u













 2
3
2
32
3
3
1
6
2
2
32
1
PASO 5: Se hace el cambio de variable de 42
 xu y se sustituye en el resultado:
     cxdxxx 2
3
22
4
3
1
4   cx 
32
4
3
1
Más adelante desarrollaremos otros ejemplos donde se aplique este método.
EJERCICIOS: Lee con atención los siguientes reactivos y resuelve lo que se pide.
I.- Aplica el método de sustitución y evalúa las siguientes integrales, escribe tu desarrollo y
la solución.
1.    dxxx
432
5
2.    dxx
6
93
3.  

dx
e
e
x
x
21
4.    dxx
5
1
5.  dxxx cossen3
 

dx
x
x
9
3
2

TEMA II: INTEGRALES
Número de pregunta Respuesta correcta
1
dxx
du
dxxduxu 223
3
35 
     cxdxxx
53432
5
15
1
5
2
dx
du
dxduxu 
3
393
     cxdxx
76
93
21
1
93
3
dxe
du
dxedueu xxx

2
221
 

cedx
e
e x
x
x
21ln
2
1
21
4
dxduxu  1
     cxdxx
65
1
6
1
1
5
dxxduxu cossen 
cxdxx 
43
sen
4
1
sen
6
dxx
du
dxxduxu
2
292

 

cxdx
x
x
9ln
2
3
9
3 2
2
MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES
El método de integración por partes se basa en la integración de la fórmula derivada
del producto de dos funciones. Veamos el siguiente procedimiento para obtener la fórmula
de integración por partes: Sea  xuu  y  ,xvv  entonces:
  )(')()(')()()( xuxvxvxuxvxuDx 
Integrando ambos lados de la ecuación se obtiene la siguiente expresión:
  dxxuxvdxxvxuxvxu )(')()(')()()(
Despejando la primera integral tenemos:
  dxxuxvxvxudxxvxu )(')()()()(')(

TEMA II: INTEGRALES
Sí dxxuduydxxvdv )(')('  , entonces la ecuación anterior se puede escribir de la
forma siguiente:
  duvvudvu
La cual es la fórmula para integrar por partes. El éxito de éste método, depende de la
elección apropiada de u y dv, lo cual se consigue solamente con la práctica.
EJEMPLO: Para aplicar este método, vamos a evaluar la siguiente integral:
 dxxx cos
PASO 1: Se escribe dxxx cos como el integrando de esta integral es dvu ;
entonces:
dxduyxu 
PASO 2: Si dxxdv cos , entonces, para encontrar v se integran ambos lados,
obteniendo:
  dxxdv cos , entonces cxv  sen
PASO 3: Los valores de vydvduu ,, se sustituyen en la fórmula, quedando de la
siguiente manera:
     dxxxxdxxx sensencos
La integral de   cxdxx cossen , sustituyendo este resultado en la integral
anterior, se obtiene el resultado.
  cxxxdxxx cossencos
Recuerda que las constantes de integración están incluidas en “c”.
EJERCICIOS: Aplica el método de integración por partes y calcula las siguientes
integrales.
1.  dxxx sen
2.  dxxln
3.  dxex x2
4.  dxxx cos4

TEMA II: INTEGRALES
1
xvdxxdvdxduxu cossen 
  cxxxdxxx coscossen
2
xvdxdvdx
x
duxu 
1
ln
  cxxxdxx lnln
3
xx
evdxedvxdxduxu  22
  dxxeexdxex xxx
222
La integral del lado derecho se realiza otra vez por partes, esto
es:
xx
evedvdxduxu  1111 22
   cxxedxex xx
2222
4
xvdxxdvdxduxu sencos44 
  cxxxdxxx cos4sen4cos4
INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Si el integrando contiene una expresión de la forma:
a u u a o a u2 2 2 2 2 2
  , Elevada a cualquier exponente, la integración se realiza
mediante una sustitución trigonométrica, de acuerdo con la siguiente tabla:
EJEMPLO: Resuelve la siguiente integral:   dxxI 2
25

TEMA II: INTEGRALES
SOLUCIÓN: El cambio a realizar en este tipo de integrales es tx sen5
ttsensentxdttdx cos5)1(25)5(2525;.cos5 222

Entonces:
  .cos25.cos5.cos5 2
tdtdtttI (*)
Hacemos
 tdtI 2
1 cos y la resolvemos por partes:
dvdttut  .cos;cos ;
  tdttvdudtt sen.cos;.sen
    dttdtttdttttdttttI .coscos.sen)cos1(cos.sen.sencos.sen 222
1
Es decir, ;cos. 11 IttsetI  y por tanto,
2
cos.sen
1
ttt
I


Resultado que llevado a (*) nos da )cos.(
2
25
ttsentI  . Si deshacemos el cambio de
variable:
5
25
cosquesale,1cossenrelaciónladey;
5
sen
2
22 x
ttt
x
t


Finalmente queda: C
x
xxI 
5
arcsen
2
25
25
2
1 2
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Halla el valor de la siguiente integral:
 
 dx
xa
a
I
22
2. Resuelve:
 
 dx
xx
I
2
67
1
3. Demostrar que  

Caxxdx
ax
2
2
ln
1
4. Resuelve 

 dx
x 4
2
2

TEMA II: INTEGRALES
5. Resuelve: 
 2082
xx
dx
1 Buscando el arco seno resulta: C
a
x
aI  arcsen.
2
Eliminamos el término en x haciendo el cambio .
2
b
tx 
Después buscamos el arco seno y se obtiene C
x
I 


4
3
arcsen
3 Hágase el cambio xtax 2
4 Cxx  4ln2 2
5
2
4
arctg
2
1 x
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES
Las funciones racionales son de la forma
)(
)(
)(
xQ
xP
xf  donde )(xP y )(xQ son
funciones polinómicas y están definidas en todos los puntos de R menos en aquellos donde
se anula el denominador.
NOTA IMPORTANTE: Las integrales de muchas funciones racionales pueden
calcularse directamente; por eso, hay que comprobar primero si el integrando pertenece a
alguno de estos tipos:
a) Forma potencial
b) Forma neperiana
c) Forma arco tangente
d) Forma neperiano-arco tangente
Vistos con anterioridad. Si no corresponde a ninguno de estos tipos, lo que haremos
será transformar nuestra función racional en una suma de fracciones que tienen por
denominador polinomios de primer o segundo grado irreducibles (descomposición en
fracciones simples).

TEMA II: INTEGRALES
Estudiaremos solamente el caso en el que todas las raíces del denominador sean
reales puesto que es el único caso que exigen en Selectividad.
El esquema de descomposición en fracciones simples es el siguiente:
.........................................................................
)....(....................
)()(
)....(....................
)(
)(....................
)(
)(
23
2



















triplelinealfactor
px
R
px
Q
px
P
doblelinealfactor
mx
N
mx
M
simpleslinealesfactores
cx
C
bx
B
ax
A
xQ
xP
Para la determinación de las constantes ......,P, Q,...,M, N,..A, B, C,.. se hace lo
siguiente:
a) Se multiplica la igualdad anterior por ),(xQ obteniéndose la igualdad polinómica
)(xP
b) Se dan valores numéricos en ambos miembros, tantos como constantes haya que
determinar. Por comodidad se utilizan las raíces obteniéndose un sistema de ecuaciones.
c) Se resuelve el sistema y las soluciones obtenidas se sustituyen en las fracciones
simples.
EJEMPLOS:
a) Calcular:  42
x
dx
SOLUCIÓN:
Notemos que:
 
    




224
1
2
xxxxQ
xP
Ya que las raíces simple son:    2,2 xQ

TEMA II: INTEGRALES
La descomposición en fracciones simples, en este caso, es de la forma:
224
1
2




 x
B
x
A
x
Para determinar el valor de “ A” y de “ B ” operamos las fracciones:
   221  xBxA
Dando a “ x ” los valores de las distintas raíces, en la igualdad anterior obtenemos los
valores de los coeficientes: “ A” y “ B ”.
   
   
4
1
41222212
4
1
41222212



BBBAx
AABAx
Ahora ya podemos escribir la igualdad:
2
4
1
2
4
1
4
1
2





 xxx
Por tanto la integral pedida se puede calcular como suma de dos inmediatas:
       










kxxdx
x
dx
x
dx
dx
x
dx
xx
dx
2ln
4
1
2ln
4
1
24
1
24
1
2
4
1
2
4
1
42
b) Calcular: dx
xxx
x
 

1
53
23
SOLUCIÓN: Vamos a descomponer en fracciones simples la función racional:

TEMA II: INTEGRALES
1
53
)( 23



xxx
x
xf
El denominador se descompone como    ,11
2
 xx entonces podremos
descomponer como:
1)1(11
53
)( 223









x
C
x
B
x
A
xxx
x
xf
Multiplicando la igualdad anterior por   2
11  xx resulta:
      111153
2
x-x++Cx++Bx-=Ax+
Dando valores:
 Para ,1x tenemos .428 B=B= 
 Para ,1x tenemos .
2
1
42 A=A= 
 Para ,0x (por ejemplo) tenemos:
.C=-C-C-C=A+B-C
2
1
5
2
9
2
9
54
2
1
55 
Entonces tenemos que:
1
2
1
)1(
4
1
2
1
1
53
223









xxxxxx
x
.
Los factores simples así obtenidos son fácilmente integrables, pues serán de la forma
potencial ó neperiana. En nuestro caso:
Kx
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
xxx
x













1ln
2
1
1
4
1ln
2
1
1
2
1
)1(
4
1
2
1
1
53
223

TEMA II: INTEGRALES
EJERCICIOS: Resolver los siguientes integrales racionales:
   





dx
x
xx
iiidx
xx
xx
iidx
xx
x
i .
2
12
).
23
53
).
5
32
)
4
2
34
2
2
EJERCICIOS SOBRE FORMULAS DE RECURRENCIA
1. Hallar la formula de recurrencia para calcular    dxxxsen nm
cos12


y calcular
    .cos43
dxxxsen 
2. Hallar la formula de recurrencia para calcular    dxxxsen nm 12
cos 
 y calcular
    .cos34
dxxxsen 
3. Hallar la formula de recurrencia para calcular dxex xn
 y calcular dxex x

3
4. Hallar la formula de recurrencia para calcular  dxxxn
cos y calcular
  .cos3
dxxx 
5. Hallar la formula de recurrencia para calcular  dxxsenxn
 y calcular
  .4
dxxsenx 
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 González, J., Ortiz, J., Acosta, A., Azocar, A. (1995). MATEMÁTICA I. Estudios
Generales. Tomo II. Sexta Edición. UNA. Caracas, Venezuela.
 Pulcell, E. y Varberg, D. (1993). Cálculo con geometría analítica. Segunda edición,
Prentice Hall Hispanoamericana, S. A. México-Englewood cliffs.
 Saenz, J. (1995). Cálculo Diferencial para ciencias e ingeniería. Primera Edición.
Hipotenusa Barquisimeto- Venezuela.
Revisar en línea:
https://es.khanacademy.org/search?page_search_query=integrales
http://fooplot.com/?lang=es#W3sidHlwZSI6MCwiZXEiOiJ4XjIiLCJjb2xvciI6IiMwMDA
wMDAifSx7InR5cGUiOjEwMDB9XQ--
“Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no
pensar.”
Hipatia de Alejandría.

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