Libro de Electrónica. Análisis de circuitos Hayt kermerly

135. lnductancia y capacitancia
Ahora se puede comenzar con la segunda parte del estudio de circuitos. E n este
capítulo se introducen dos nuevos elementos de circuitos, cuyas relaciones voltaje-co-
rriente están dadas en términos de la tasa de cambio de un voltaje o una corriente.
Antes de comenzar este nuevo estudio, es conveniente hacer una pausa para echar
un vistazo a lo que ya se ha estudiado del análisis de circuitos resistivos. Un poco de Introducción
retrospección filosófica ayudará a coniprender el trabajo que sigue.
Después de seleccionar un sistema de unidades adecuado, se comenzó el estudio
de los circuitos eléctricos definiendo corriente, voltaje y cinco elementos de circuitos
sencillos. A las fuentes dependientes e independientes, tanto de corriente como de
voltaje, se les llainó elenzentos activos inientras que al resistor lineal se le conoció
como elenzento pasivo (aunque las definiciones de "activo" y "pasivo" son todavía
ambiguas y necesitan precisarse más). Un elenzento activo se define ahora conio aquel
que es capaz de proporcionar a algún dispositivo externo una potencia promedio
mayor que cero, donde el proniedio se toma sobre un intervalo de duración infinita.
Las fuentes ideales son elementos activos, y el amplificador operacional también lo
es. Un elenzento pasivo, por consiguiente, se define como aquel que no puede
suniinistrar una potencia proiiiedio que sea mayor que cero, en un intervalo de
duración infinita. E n esta última categoría está el resistor, y la energía que recibe
generalmente se transforma en calor.
Cada uno de estos elementos se definió en términos de las restricciones puestas
sobre su relación voltaje-corriente. En el caso de la fuente independiente de voltaje,
por ejemplo, el voltaje en las terminales debe ser totalmente independiente de la
corriente que circula a través de ellas. Luego se consideraron los circuitos conipuestos
por diferentes partes. E n general, sólo se usaron voltajes y corrientes constantes, pero
se obtuvo alguna familiaridad con las técnicas analíticas básicas al tratar sólo al
circuito resistivo; ahora se pueden considerar circuitos prácticos mucho más intere-
santes que contienen inductancia y capacitancia, y en los cuales tanto las funciones
de excitación conio las respuestas casi siempre varían con el tiempo.
Tanto el inductor, que es el oljjeto de estudio de esta sección y la siguiente, como el 4
capacitor, que se analiza más adelante en este capítulo, son elementos pasivos capaces
de almacenar y entregar cantidades finitas de energía. A diferencia de una fuente
ideal, estos elementos no pueden suniinistrar una cantidad ilimitada de energía o una
potencia promedio finita en un intervalo de tiempo de duración infinita. El inductor

136. -
1116 j SEGUNDA PARTE: EL CIRCUITO TRANSITORIO
Aunque el inductor y la inductancia se definirán desde un punto de vista
estrictamente de circuitos, es decir, por medio de una ecuación corriente-voltaje, se
tendrá una mejor comprensión de la definición si se hacen unos pocos comentarios
acerca del desarrollo histórico del campo magnético. A principios del siglo m, el
científico danés Oersted demostró que un conductor con corriente producía un campo
magnético, haciendo ver que el movimientode la aguja de una brújula se veía afectado
en presencia de un conductor con corriente. Poco después, en Francia, Ampere hizo
a l m a s mediciones cuidadosas que mostraron que este campo magnético estaba
relacionado linealmente con la corriente que lo producía.El siguiente paso se dio unos
veinte años después, cuando el experimentador inglés Michael Faraday y el inventor
norteaiiiericano Joseph Henry descubrieron casi simultáneamente1 que un campo
magnético variable podía inducir un voltaje en un circuito cercano. Ellos mostraron
que este voltaje era proporcional a la tasa de cambio en el tiempo, de la corriente que
producía el cainpo magnético. A la constante de proporcionalidad ahora se le llama
inductancia y se denota por L, entonces,
v=L-t di
d (1)
donde debe observarse que v e i son ambas funciones del tiempo. Cuando se quiera
hacer hincapié en esto, se usarán los símbolos v ( t ) e i(t).
En la figura 3-1 se muestra el símbolo para el inductor, y se debe notar que se ha
1 usado la convención pasiva de signos, igual que como se hizo con el resistor. La unidad
de inductancia es el henry2 (H), y la ecuación de definición muestra que el henry es
sólo una expresión corta para un volt-segundo/ampere.
Figura 3-1 i i
Los signos de referencia para el voltaje y la corriente se
+ v -
muestran en el símbolo para un inductor v = L dildt.
El inductor cuya inductancia está definida en (1)es un modelo matemático; es un
elemento ideal que se puede usar para aproximar el comportamiento de un dispositivo
real. Un inductor físico se puede hacer enrollando cierta cantidad de alambre en forma
de bobina. Esto es nluy efectivo para aumentar la corriente que origina el campo
magnético, y también para aumentar el "número" de circuitos vecinos en donde se puede
inducir un voltaje de Faraday El resultado de este efecto doble es que la inductancia de
una bobina es aproximadamente proporcional al cuadrado del número de vueltas
con~pletas conductor que la forma. Por ejemplo, un inductor,o "bobina", que tenga la
del
forma de una hélice larga despasomuy pequeño, tiene una inductancia de,uWA/s, donde
A es el área de la sección transversal, s es la longitud axial de la hélice, N es el número
de vueltas del alambre, y p (mu) es una constante del material que hay dentro de la hélice
llamada permeabilidad. Para el espacio libre muy aproximadamente para el aire),
, = , , = 4n x lov7H/m.
u u
Los inductores físicos deben verse en un curso simultáneo de laboratorio. Los
temas relativos al flujo magnético, permeabilidad, y los métodos para usar las
características de la bobina física para calcular una inductancia adecuada para .el
modelo matemático, se tratan en los cursos de física y en los de teoría de campos
electromagnéticos.
1 Faraday ganó.
2 Una victoria vana.
i

137. CAPhlJLO 3: INDUCTANCIA Y CAPAClTANClA 1 117 1
También es posible armar redes electrónicas que no contengan inductores pero
que puedan proporcionar la relación u-i dada por (1) en sus terminales de entrada.
Se verá un ejemplo de esto en la sección 6-8.
Ahora se analizará la ecuación (1) para deducir algunas de las características
eléctricas de este modelo matemático. Esta ecuación muestra que el voltaje en un
inductor es proporcional a la tasa de canibio (en el tiempo) de la corriente que pasa
a través de él. En particular, muestra que no hay voltaje en un inductor que lleva una l
corriente constante, independientemente de la magnitud de esta corriente. De
acuerdo con esto, se puede ver a un inductor como un "cortocircuito para c d .
Otro hecho que esta ecuación pone en evidencia está relacionado con una tasa de
cambio infinita en la corriente del inductor, tal como la que causa un cambio abrupto
en la corriente, de un valor finito a otro valor finito. Este cambio súbito o discontinuo
en la corriente debe estar asociado con un voltaje infinito en el inductor. En otras
palabras, si se desea producir un cambio abrupto en la corriente del inductor, se debe
aplicar un voltaje infinito. Aunque teóricamente puede ser aceptable una función de
excitación con voltaje infinito, nunca podrá llegar a ser parte de un fenómeno
mostrado por un dispositivo real. Como pronto se verá, un cambio abrupto en la
corriente del inductor requiere un cambio abrupto en su energía almacenada, y este
cambio repentino en energía requiere una potencia infinita en ese instante; de nuevo,
una potencia infinita no es parte del inundo físico real. Para evitar voltajes y potencias
infinitas, no debe permitirse que la corriente en un inductor cambie bruscamente de
un valor a otro.
Si se intenta poner en circuito abierto un inductor físico a través del cual circula
una corriente finita, puede aparecer un arco en el interruptor. La energía almacenada
se disipa al ionizar el aire que hay en la trayectoria del arco. Esto es útil en los sistemas
de encendido de los automóviles, donde la corriente en la bobina se interrunipe por
el distribuidor y el arco aparece en la bujía.
Por el momento no se considerarán circuitos que se abran bruscamente. Cabe
señalar, sin embargo, que esta restricción se eliminará más adelante cuando se haga
la hipótesis de la existencia de una función de excitación de voltaje o de una respuesta
que se vuelva infinita instantáneamente.
La ecuación (1) también se puede interpretar (y resolver, si es necesario) por
métodos gráficos.un ejemplo de esta técnica se basará en la figura 3-2a.
i ( t ) j (A) Figura "2
y
-
-l
--
lo
--
-m
, -- ,
2 3
-t (S)
a) Forma de onda de la corriente en un in-
ductor de 3 H. b ) Forma de onda del voltaje
correspondiente v = 3 dildt.
a)
v ( t )f (V)
3j
b)

138. -
/ 118 / SEGUNDA PARTE: EL ClRCUiiü TRANSiiORlO
Ejemplo 3-1 Dada la forma de onda de la corriente en un inductor de 3 H, como se
muestra en la figura 3-2a, determine el voltaje del inductor y grafíquelo.
Solución: La corriente es cero antes de t = - S, aumenta linealmente hasta 1 A
1
en el siguiente segundo, se queda en 1 A durante 2 S y después disminuye hasta
cero en el siguiente segundo y permanece en cero después. Si esta corriente está
en un inductor de 3 H. v si el voltaie u la corriente se asiman Dara satisfacer la
u 2 .
I
v- a- --
- 1
convención pasiva de signos, entonces se puede usar la ecuación (1)para hallar
la forma de onda del voltaje. Como la corriente es cero y constante para t e -1
el voltaje es cero en este intervalo. Luego, la corriente comienza a aumentar a la
razón lineal de 1 Ns, por lo que se produce un voltaje constante de 3 W Durante
el siguiente intervalo de 2 S,la corriente es constante, por lo que el voltaje es cero.
La disminución final de la corriente causa un voltaje negativo de 3 V y ninguna
respuesta después de eso. En la figura 3-2b se bosqueja la forma de la onda del
voltaje en la misma escala de tiempo. e
Ahora se investigará el efecto de un aumento y caída más rápidos de la corriente
entre los valores de cero y 1 A.
Ejemplo 3-2 Encuentre el voltaje del inductor que resulta al aplicar la forma de onda
I de corriente mostrada en la figura 3-3a
Figura 3-3
1 o)El tiempo requerido por la corriente de la figura 3-2a i-l
k-
i
para cambiar desde O hasta 1 y desde 1 a O disminuye en
un factor de 10. b ) Fprma de onda del voltaje resultante. 1 -
Nótese que el ancho'de los pulsos se ha exagerado un po-
co para que sea más claro. 1
1
fjti , 1
1
21
a
3
t (S)
1 Solución: Nótese que los intervalos requeridos para el aumento v caída dismi-
nuyeron a 0.1 s. Entonces la derivada va a ser diez veces mayor en magnitud.
Esta condición se muestra en las gráficas de corriente y voltaje de las figuras 3-3a
y b. Es interesante notar, en las figuras 3-2b y 3-31, que el área bajo i d a onda
del voltaje es 3 V-s. e
Una mayor disn~inución la longitud de estos dos intervalos producirá una
en
magnitud del voltaje proporcionalmente mayor, pero sólo dentro del intervalo donde
la corriente aumenta o disminuye. Un cambio abrupto en la corriente causará los
"picos" de voltaje infinito (cada una con un área de 3 <S) sugeridos en las figuras 3-4a
y b, o desde el igualmente válido pero opuesto punto de vista, estos picos de voltaje