135. lnductancia y capacitancia
Ahora se puede comenzar con la segunda parte del estudio de circuitos. En este
capítulo se introducen dos nuevos elementos de circuitos, cuyas relaciones voltaje-co-
rriente están dadas en términos de la tasa de cambio de un voltaje o una corriente.
Antes de comenzar este nuevo estudio, es conveniente hacer una pausa para echar
un vistazo a lo que ya se ha estudiado del análisis de circuitos resistivos. Un poco de Introducción
retrospección filosófica ayudará a coniprender el trabajo que sigue.
Después de seleccionar un sistema de unidades adecuado, se comenzó el estudio
de los circuitos eléctricos definiendo corriente, voltaje y cinco elementos de circuitos
sencillos. A las fuentes dependientes e independientes, tanto de corriente como de
voltaje, se les llainó elenzentos activos inientras que al resistor lineal se le conoció
como elenzento pasivo (aunque las definiciones de "activo" y "pasivo" son todavía
ambiguasy necesitan precisarse más).Unelenzento activose defineahora conioaquel
que es capaz de proporcionar a algún dispositivo externo una potencia promedio
mayor que cero, donde el proniedio se toma sobre un intervalo de duración infinita.
Las fuentes ideales son elementos activos, y el amplificador operacional también lo
es. Un elenzento pasivo, por consiguiente, se define como aquel que no puede
suniinistrar una potencia proiiiedio que sea mayor que cero, en un intervalo de
duración infinita. En esta última categoría está el resistor, y la energía que recibe
generalmente se transforma en calor.
Cada uno de estos elementos se definió en términos de las restricciones puestas
sobre su relación voltaje-corriente. En el caso de la fuente independiente de voltaje,
por ejemplo, el voltaje en las terminales debe ser totalmente independiente de la
corriente que circulaa través deellas.Luegoseconsideraron loscircuitosconipuestos
por diferentes partes.En general, sólose usaron voltajesy corrientesconstantes, pero
se obtuvo alguna familiaridad con las técnicas analíticas básicas al tratar sólo al
circuito resistivo; ahora se pueden considerar circuitos prácticos mucho más intere-
santes que contienen inductancia y capacitancia, y en los cuales tanto las funciones
de excitación conio las respuestas casi siempre varían con el tiempo.
Tanto el inductor, que es el oljjeto de estudio de esta sección y la siguiente, como el 4
capacitor,que seanaliza másadelanteen estecapítulo,son elementos pasivoscapaces
de almacenar y entregar cantidades finitas de energía. A diferencia de una fuente
ideal, estos elementos no pueden suniinistrar una cantidad ilimitadade energía o una
potencia promedio finita en un intervalo de tiempo de duración infinita. Elinductor

136. -
1116 j SEGUNDA PARTE: EL CIRCUITOTRANSITORIO
Aunque el inductor y la inductancia se definirán desde un punto de vista
estrictamente de circuitos, es decir, por medio de una ecuación corriente-voltaje,se
tendrá una mejor comprensión de la definición si se hacen unos pocos comentarios
acerca del desarrollo histórico del campo magnético. A principios del siglo m,el
científicodanésOersted demostróque unconductorcon corriente producíauncampo
magnético,haciendoverqueelmovimientodelaagujade una brújulaseveíaafectado
en presencia de un conductor con corriente. Poco después, en Francia, Ampere hizo
a l m a s mediciones cuidadosas que mostraron que este campo magnético estaba
relacionadolinealmentecon lacorriente quelo producía.Elsiguiente pasosediounos
veinte años después,cuando el experimentador inglés MichaelFaraday y el inventor
norteaiiiericano Joseph Henry descubrieron casi simultáneamente1
que un campo
magnético variable podía inducir un voltaje en un circuito cercano. Ellos mostraron
que este voltajeera proporcionala la tasa de cambioen el tiempo,de la corriente que
producía el cainpo magnético. A la constante de proporcionalidad ahora se le llama
inductancia y se denota por L, entonces,
div=L-dt (1)
donde debe observarse que v e i son ambas funcionesdel tiempo. Cuando se quiera
hacer hincapié en esto, se usarán los símbolos v(t)e i(t).
1
En la figura 3-1se muestra el símbolo para el inductor, yse debe notar que se ha
usadola convenciónpasiva designos,igualque comose hizoconel resistor.La unidad
de inductancia es el henry2 (H),y la ecuación de definición muestra que el henry es
sólo una expresión corta para un volt-segundo/ampere.
Figura3-1 i i
Lossignos de referencia para el voltaje y la corriente se
+ v -
muestran en el símbolo para un inductor v = L dildt.
El inductorcuya inductancia está definida en (1)es un modelo matemático; es un
elemento ideal que se puede usar para aproximar el comportamientode un dispositivo
real. Un inductorfísicose puede hacer enrollandocierta cantidadde alambreen forma
de bobina. Esto es nluy efectivo para aumentar la corriente que origina el campo
magnético,ytambién para aumentar el"número"de circuitosvecinosen dondesepuede
inducir un voltajede Faraday El resultado de este efectodoble es que la inductancia de
una bobina es aproximadamente proporcional al cuadrado del número de vueltas
con~pletasdel conductor que la forma.Por ejemplo, un inductor,o"bobina",quetenga la
formadeuna hélicelarga despasomuypequeño,tieneunainductanciade,uWA/s,donde
A es el área dela sección transversal,s esla longitud axial de la hélice,N es el número
de vueltasdel alambre,yp (mu)es unaconstantedelmaterialquehaydentrodelahélice
llamada permeabilidad. Para el espacio libre muy aproximadamentepara el aire),
,u = ,u, = 4n x lov7H/m.
Los inductores físicos deben verse en un curso simultáneo de laboratorio. Los
temas relativos al flujo magnético, permeabilidad, y los métodos para usar las
características de la bobina física para calcular una inductancia adecuada para .el
modelo matemático, se tratan en los cursos de física y en los de teoría de campos
electromagnéticos.
1 Faraday ganó.
2 Una victoria vana.
i

137. CAPhlJLO 3: INDUCTANCIAY CAPAClTANClA 1 117 1
También es posible armar redes electrónicas que no contengan inductores pero
que puedan proporcionarla relación u-i dada por (1)en sus terminales de entrada.
Se verá un ejemplo de esto en la sección 6-8.
Ahora se analizará la ecuación (1) para deducir algunas de las características
eléctricas de este modelo matemático. Esta ecuación muestra que el voltaje en un
inductor es proporcional a la tasa de canibio (en el tiempo)de la corriente que pasa
a través de él.En particular,muestra que no hay voltajeen un inductorque lleva una l
corriente constante, independientemente de la magnitud de esta corriente. De
acuerdo con esto, se puede ver a un inductor como un "cortocircuitopara cd.
Otro hecho queesta ecuación pone en evidenciaestá relacionado con una tasa de
cambio infinita en la corrientedelinductor,tal comola que causa un cambio abrupto
en la corriente,de un valor finito a otro valor finito.Este cambiosúbitoodiscontinuo
en la corriente debe estar asociado con un voltaje infinito en el inductor. En otras
palabras,si se desea producir un cambio abruptoen la corrientedelinductor,se debe
aplicar un voltaje infinito.Aunque teóricamentepuedeser aceptable una función de
excitación con voltaje infinito, nunca podrá llegar a ser parte de un fenómeno
mostrado por un dispositivo real. Como pronto se verá, un cambio abrupto en la
corriente del inductor requiere un cambio abruptoen su energía almacenada,y este
cambio repentinoen energíarequiereuna potenciainfinitaen ese instante;de nuevo,
una potenciainfinita noespartedelinundofísicoreal.Para evitar voltajesypotencias
infinitas, no debe permitirseque la corrienteen un inductorcambie bruscamentede
un valor a otro.
Sise intenta poner en circuitoabierto un inductorfísico a través del cual circula
una corrientefinita,puedeaparecer unarcoen elinterruptor.La energíaalmacenada
sedisipaalionizarelairequehayenla trayectoriadelarco.Estoesútilenlossistemas
de encendido de los automóviles,donde la corriente en la bobina se interrunipe por
el distribuidor y el arco apareceen la bujía.
Por el momento no se considerarán circuitos que se abran bruscamente. Cabe
señalar, sin embargo, que esta restricciónse eliminará másadelante cuandose haga
la hipótesisdela existenciade una funciónde excitaciónde voltajeode una respuesta
que se vuelva infinita instantáneamente.
La ecuación (1) también se puede interpretar (y resolver, si es necesario) por
métodos gráficos.un ejemplo de esta técnica se basará en la figura 3-2a.
i(t) j(A) Figura "2
y- a)Forma de onda de la corrienteen un in-
ductor de 3 H. b)Forma de onda del voltaje
, ,
correspondiente v = 3 dildt.
-- ---m -- - t ( S )
-l lo 2 3
a)
v ( t )f (V)
3 j
b)

138. -
/ 118 / SEGUNDA PARTE: EL ClRCUiiüTRANSiiORlO
Ejemplo 3-1 Dada la forma de onda de la corriente en un inductor de 3 H, como se
muestra en la figura 3-2a, determine el voltajedel inductor y grafíquelo.
Solución:La corrienteesceroantesdet = -1 S, aumenta linealmente hasta1A
en el siguiente segundo, se queda en 1A durante 2 S y después disminuye hasta
cero en el siguiente segundoy permanece en cero después.Si esta corriente está
en un inductor de 3 H. v si el voltaie v la corriente se asiman Dara satisfacer la2 u .I u - a- - 1 --
convención pasiva de signos,entonces se puede usar la ecuación (1)para hallar
la forma de onda del voltaje.Como la corriente es cero y constante para t e -1
el voltajees ceroen este intervalo. Luego, la corriente comienzaa aumentar a la
razón lineal de 1 Ns, por lo que se produce un voltaje constante de 3 W Durante
elsiguiente intervalo de2 S,la corrienteesconstante, porloque el voltajeescero.
La disminución final de la corriente causa un voltaje negativo de 3 Vy ninguna
respuesta después de eso. En la figura 3-2b se bosqueja la forma de la onda del
voltaje en la misma escala de tiempo. e
Ahora se investigará el efectode un aumento y caída más rápidos de la corriente
entre los valores de cero y 1A.
Ejemplo3-2 Encuentre el voltaje del inductor que resulta al aplicar la forma de onda
I de corriente mostrada en la figura 3-3a
Figura 3-3 i
1 o)El tiempo requerido por la corriente de la figura 3-2a ik--l
para cambiar desde O hasta 1y desde 1a O disminuyeen
un factor de 10. b)Fprma de onda del voltaje resultante. 1 Nótese que el ancho'de los pulsos se ha exagerado un po- 1 11 a
1 f j t i , 2 1 3
-t (S)
co para que sea más claro.
1 Solución: Nótese que los intervalos requeridos para el aumento v caída dismi-
nuyeron a 0.1 s. Entonces la derivada va a ser diez veces mayor en magnitud.
Estacondiciónse muestraenlas gráficasdecorrientey voltajedelas figuras 3-3a
y b. Es interesante notar, en las figuras 3-2b y 3-31,que el área bajo i d a onda
del voltaje es 3 V-s. e
Una mayor disn~inuciónen la longitud de estos dos intervalos producirá una
magnitud del voltaje proporcionalmente mayor, pero sólo dentro del intervalo donde
la corriente aumenta o disminuye. Un cambio abrupto en la corriente causará los
"picos"de voltajeinfinito (cadauna con un área de 3<S) sugeridosen las figuras 3-4a
y b, o desde el igualmente válido pero opuesto punto de vista, estos picos de voltaje