Características y elementos de la onda senoidal que conforma a la señal de corriente alterna.

1. Departamentode MetalmecánicaDocente: M. enT.E. Manuel Ortiz Fosado
1. Elementos de corriente alterna
“La corriente alterna, especialmente de alta frecuencia, pasa con sorprendente
libertad incluso a través de gases ligeramente enrarecidos”
― Nikola Tesla ―

2. Subtemas
1.1 Característicasde la onda senoidal
1.2 Determinación de valores RMS de voltaje y corriente
1.3 Concepto de fasor
1.4 Respuesta en estado estacionario de elementos R, L, C
1.5 Impedancia
1.6 Solución de circuitos RLC en serie y paralelo en estado
estacionario
1.7 Diagramas fasoriales y de impedancia

3. Competencia a desarrollar
Conoce detalladamente los conceptos
fundamentales en redes eléctricas de
corriente alterna para analizar sus
características en estado estacionario
periódico.

4. Actividades didácticas
•Investigación individual. Características de la
onda senoidal.
•Practica 1. Medición de la relación de fases
de voltaje y corriente en circuitos RLC.
•Ejercicios del tema

5. Introducción
La electricidad del griego ήλεκτρον élektron, cuyo significado
es “ámbar”.
La electricidad es una forma de energía que sólo se puede
apreciar por los efectos que produce.
El estudio de la electricidad en reposo recibe el nombre de
electrostática y el estudio de la electricidad en movimiento
se llama electrodinámica.

6. Historia de la electricidad
Thales de Miletus (630-550 aC) estudia el
hecho de que el ámbar, al ser frotado
adquiere el poder de atracción sobre
algunos objetos.
Theophrastus (374−287 aC) escribe un
tratado en el que estableció otras
sustancias tienen este mismo
poder, dejando así constancia del primer
estudio científico sobre la electricidad.

7. Willian Gilbert (1544−1603)
Estudia los imanes con la finalidadde
mejorar la exactitud de las brújulas, éste
trabajo fija las bases de los fundamentos
de la Electrostática y Magnetismo, fue el
primero en aplicar el término
Electricidad.
Gilbert es la unidad de medida de la
fuerza magnetomotriz.

8. Benjamín Franklin (1706−1790)
En 1752, desarrolló la teoría de
que la electricidad es un fluido
que existe en la materia y su
flujo se debe al exceso o
defecto del mismo en ella.
Demostró la naturaleza
eléctrica de los rayos, inventor
del pararrayos.

9. Charles Agustín de Coulomb
(1736−1806)
• En 1776, inventó la balanza de torsión con
la cual, midió con exactitud la fuerza entre
las cargas eléctricas y corroboró que dicha
fuerza era proporcional al producto de las
cargas individuales e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia
que las separa.
• Coulomb es la unidad de medida de Carga
eléctrica.

10. Alessandro Volta (1745−1827)
En 1800, construye la primera celda
electrostática y la batería capaz de producir
corriente eléctrica, a partir de los estudios de
Luigi Galvani (1737−1798) que estudió las
corrientes nerviosas−eléctricas en las ancas de
ranas.
Elabora una celda química capaz de producir
corriente continua, la Pila fotovoltaica.
Volt es la unidad de medida del potencial
eléctrico (Tensión).

11. Sabías que … La sinapsis ocurre en la aproximación
intercelular de las neuronas donde se
lleva a cabo la transmisión de un
impulso nervioso, esto es una descarga
química que origina una corriente
eléctrica en este proceso se segregan
neurotransmisores como noradrenalina,
acetilcolina, serotonina, dopamina,
melatonina, endorfina, etc que se
encargan de excitar o inhibir la acción
de la otra célula, produciendo una
reacción en cadena.

12. Sir Humphry Davy (1778−1829)
Desarrolla la electroquímica aplicandolo al uso de la pila
de Volta o batería,
En 1801 observa el arco eléctrico y la incandescencia en
un conductorenergizado con una batería.
Entre 1806 y 1808 publica el resultado de sus
investigaciones sobre la electrólisis, donde logra la
separación del Magnesio,Bario, Estroncio, Calcio, Sodio,
Potasio y Boro.
En 1807 fabrica una pila con más de 2000 placas doble,
con la cual descubre el Cloro y demuestra que es un
elemento, en vez de un ácido.
En 1815 inventa la lámpara de seguridad para los mineros.

13. Hans Christian Oersted (1777−1851)
En 1819, descubre el electromagnetismo, cuando en un
experimento para sus estudiantes, la aguja de la brújula
colocada accidentalmente cerca de un cable energizado por
una pila voltaica, se movió. Este descubrimiento fue crucial
en el desarrollo de la Electricidad, ya que puso en evidencia
la relación existente entre la electricidad y el magnetismo.
Oersted es la unidad de medida de la
Reluctancia Magnética

14. Andrè−Marie Ampere (1775−1836)
En 1823, establece los principios de la
electrodinámica, concluye que la Fuerza
Electromótriz es producto de dos efectos: La
tensión eléctrica y la corriente eléctrica.
Experimenta con conductores y descubre que
estos se atraen si las corrientes fluyen en la
misma dirección, y se repelen cuando fluyen
en contra.
Ampere es la unidad de medida de la corriente
eléctrica (i).

15. George Simon Ohm (1789−1854)
En 1826, formuló con exactitud la ley de las corrientes eléctricas, definiendo
la relación exacta entre la tensión y la corriente. Desde entonces, esta ley se
conoce como la ley de Ohm.
Ohm es la unidad de medida de la Resistencia Eléctrica.

16. Michael Faraday (1791−1867)
En 1831, estableció que el magnetismo
produce electricidad a través del
movimiento.
La tensión inducida en la bobina que se
mueve en campo magnético no uniforme
fue demostrada por Faraday.
Faradio es la unidad de medida de la
Capacitancia Eléctrica.

17. Joseph Henry (1797-1878)
En 1830, trabajó el electromagnetismo, en electroimanes y relés.
Descubrió la inducción electromagnética y simultáneamente
a Faraday identificó que un campo magnético variable induce
una fuerza electromotriz. Observó que, si un conductorse mueve
e manera perpendicular a un campo magnético, aparece una
diferencia de potencial entre los extremosdel conductor.
La fuerza electromotriz inducida puede ser explicada de forma
clara por la ley de Lorentz, es decir, por las fuerzas que el campo
magnético ejerce sobre las cargas del conductor.
Henry es la unidad de medida de la inductancia.

18. James Prescott Joule (1818−1889)
Hermann Ludwig Ferdinand Helmholtz (1821−1894),
En 1840−42, demostraron que los circuitos eléctricos
cumplían con la ley de la conservación de la energía y que
la Electricidad era una forma de Energía.
Joule inventó la soldadura eléctrica de arco y demostró
que el calor generado por la corriente eléctrica era
proporcional al cuadrado de la corriente.
Joule es la unidad de medida de Energía.

19. Ley de Joule

20. Gustav Robert Kirchhoff (1824−1887)
En 1845, anunció las leyes que permiten calcular las corrientes, y tensiones
en redes eléctricas. Conocidas como ”Leyes de Kirchhoff I y II”
LCK y LTK

21. William Thomson -Lord Kelvin (1824−1907)
En 1854, realizó el análisis teórico sobre la transmisión por
cable, hizo posible el desarrollo del cable transatlántico.
En 1851 definió la Segunda Ley de la Termodinámica.
En 1858 Inventó el cable flexible.
Kelvin es la unidad de medida de temperatura absoluta.

22. James Clerk Maxwell (1831−1879)
En 1870, formuló las cuatro ecuaciones que sirven de fundamento de la
teoría Electromagnética.
Dedujo que la Luz es una onda electromagnética, y que la energía se
transmite por ondas electromagnéticas a la velocidad de la Luz.
Maxwell es la unidad del flujo Magnético.

23. Joseph John Thomson (1856−1940)
En 1879, demostró que los rayos catódicos estaban constituido de
partículas atómicas de carga negativas la cual el llamó “Corpúsculos” y
hoy en día los conocemos como Electrones.

24. Thomas Alva Edison (1847−1931)
En 1881, produce la primera Lámpara incandescente con un
filamento de algodón carbonizado.Este filamento permaneció
encendido por 44 horas.
En 1882, instaló el primer sistema eléctrico para vender energía
para la iluminación incandescente, en los Estados Unidos para la
estación Pearl Street de la ciudad de New York.
El sistema fue en CD tres hilos, 220−110 V con una potencia total
de 30 kW.

25. Heinrich Rudolf Hertz (1847−1894)
En 1884, demostró la validez de las ecuaciones de Maxwell y las
reescribió, en la forma que hoy en día es conocida.
En 1888 Hertz recibió el reconocimiento por sus trabajos sobre las
Ondas Electromagnéticas: propagación, polarización y reflexión de
ondas.
Con Hertz se abre la puerta para el desarrollo de la
radio.
Hertz es la unidad de medida de la frecuencia.
MHz

26. La Corriente Continua
Durante los dos primeros tercios del siglo XIX la pila voltaica o baterías fue
la única fuente de corriente eléctrica.
Las baterías alimentaron la primera industria eléctrica: la telegrafía,
surgida a mediados del siglo XIX, e hicieron posibles los primeros pasos en
electroquímica.
Las baterías eléctricas eran complicadas, costosas y de exigente
mantenimiento. Los postulados de Faraday, en 1831, condujeron, durante
la década 1870-80, a la puesta a punto en Europa, de una máquina de
dimensiones practicas, capaz de operar por extensos períodos sin
sobrecalentamientos peligrosos y de producir corriente esencialmente
continua; era el dínamo.

27. La Corriente Continua
El dínamo​ era un generador
eléctrico destinado a la transformación de flujo
magnético en electricidad mediante el
fenómeno de la inducción electromagnética,
generando una corriente continua.
El dínamo fue utilizada en alimentación de
lámparas de arco para alumbrado, reemplazó a
las baterías en procesos de electroplateado y
fue utilizada en barcos.

28. La Corriente Continua
La tensión es constante ya que no varia con el tiempo; la intensidad de
corriente que circula por el circuito es siempre constante y no varia de
dirección de circulación, siempre va en la misma dirección. El polo + y
el negativo son los mismos.

29. Dirección de la Corriente Continua

30. Característica de la Corriente Continua
La transmisión de energía a distancia en corriente continua
presentó serios inconvenientes ya que para elevar la tensión a
los niveles necesarios para la transmisión, se precisaba
conectar en serie varios generadores de alta tensión, limitada
a unos 7000 V (en algunos casos hasta 20 generadores en
serie), y en la estación receptora varios motores de corriente
continua.
Ejemplo de esto fue una transmisión de 4650 kW a 57.6 kV en
corriente continuaque se realizó en Francia sobre una
distancia de 180 Km.

31. Nikola Tesla (1856-1943)
Inventor, ingeniero eléctrico, ingeniero mecánico
y físico estadounidense de origen serbocroata.​
Se le conoce sobre todo por sus numerosas
invenciones en el campo del electromagnetismo, desarrolladas
a finales del siglo XIX y principios del siglo XX. Las patentes de
Tesla y su trabajo teórico ayudaron a forjar las bases de los
sistemas modernos para el uso de la energía eléctrica por
corriente alterna (CA), incluyendo el sistema polifásico de
distribucióneléctrica y el motor de corriente alterna, que
contribuyeron al surgimiento de la Segunda Revolución
Industrial.

32. Nikola Tesla (1856-1943)
En su época de estudiante comenzó a gestar el propósito que le
acompañaría para siempre: idear el modo en que la energía gratuita
pudiese llegar a todo el mundo.
En 1881, viajó a Viena, donde trabajó en la Compañía Nacional
Telefónica.
En 1884, se trasladó a París, donde encontró trabajo en la Compañía
Edison. Desde la capital francesa viajó hasta Nueva York.
Acudió con Thomas Alva Edison a él iba dirigida una carta de
recomendación de Charles Batchelor, su último jefe en Europa,
"Conozco a dos grandes hombres, y usted es uno de ellos. El otro es el
joven portador de esta carta".

33. Enemigos intimos …
Edison le contratóese mismo día. Pero su relación distó
mucho de ser plácida.
Entre ambos existieron diferencias que fueron acrecentándose
con el paso del tiempo. Estas diferencias se plasmaron en la
forma de plantear y ver los resultados de su trabajo.
Mientras Edison fue el primer introductory un firme defensor
de la corriente continua,Tesla estaba convencido de que la
corriente alterna era una solución mejor.

34. Colaboración con Westinghouse
En 1886, Tesla fundó su propia compañía, la Tesla Electric Light & Manufacturing. Los
primeros inversionistas no estuvieron de acuerdo con sus planes para el desarrollo
de un motor de corriente alterna y finalmente lo acabaron relevando de su puesto en
la compañía.
Pero Tesla no se dio por vencido y trabajó como obrero en Nueva York de 1886 a
1887 para poder sobrevivir y ganar dinero para su próximo proyecto.
En 1887, construyó un motor de inducción sin escobillas, alimentado con corriente
alterna,​ que presentó en el American Institute of Electrical Engineers (Instituto
Americano de Ingenieros Eléctricos) en 1888.
Desarrolló el principio de su bobina, y comenzó a trabajar con George Westinghouse
en la Westinghouse Electric & Manufacturing Company's en los laboratorios de
Pittsburgh. Westinghouse escuchó con atención sus ideas sobre sistemas polifásicos,
que podrían permitir la trasmisión de corriente alterna a larga distancia, y apostó por
él.

35. El advenimiento de la corriente alterna, precipitó en la última década
del siglo XIX la denominada batalla de las corrientes entre los
defensores de la corriente continua y los de la corriente alterna, cuyos
máximos exponentes fueron en Norte América Thomas Edison por la
CC y George Westinghouse por la CA.
La pieza fundamental para la definición de esta controversia fue la
facilidad de elevación de la tensión de transmisión en CA mediante
transformadores. Esto inclinó la balanza a favor de la corriente alterna,
cayendo en desuso la transmisión a distancia de energía en corriente
continua.
La Batalla de las Corrientes

36. La batalla de las corrientes

37. El advenimiento de la corriente alterna, precipitó en la última década del
siglo XIX la denominada batalla de las corrientes entre los defensores de la
corriente continua y los de la corriente alterna, cuyos máximos exponentes
fueron en Norte América Thomas Edison por la CC y George Westinghouse
por la CA.
La pieza fundamental para la definición de esta controversia fue la facilidad
de elevación de la tensión de transmisión en CA mediante transformadores.
Esto inclinó la balanza a favor de la corriente alterna, cayendo en desuso la
transmisión a distancia de energía en corriente continua.
And the winner is …

38. Similitud en una fuente de voltaje

40. 1.1 Características de la onda senoidal
Analizaremos redes en las cuales la magnitud de la fuente varía, es
decir, el voltaje y la intensidad es variable con el tiempo, y que
comúnmente se llama voltaje de ca (las letras ca son la abreviatura de
corriente alterna). El término alterna indica sólo que la forma de onda
se alterna entre dos niveles prescritos en una secuencia establecida.
Para ser absolutamente correctos, también debe aplicarse el término
senoidal, onda cuadrada o triangular.

41. La Corriente Alterna
Los voltajes de ca senoidales están disponibles a partir del componente
principal en el proceso de conversión de energía; un generador de CA o
alternador.

42. La Corriente Alterna
La potencia mecánica suministrada a la flecha hace girar un rotor
(construido de polos magnéticos alternos) en el interior de devanados
que están alojados en el estator e induce un voltaje a través de los
devanados del estator, como lo define la ley de Faraday
𝑒 = 𝑁
𝑑∅
𝑑𝑡

43. Generación de la corriente alterna

45. La onda senoidal

46. Definiciones
Forma de onda: Trayectoria trazada por un parametro, como el
voltaje o intensidad graficada como una función de alguna
variable como tiempo, posición, grados, radianes, temperatura,
etc.

47. Definiciones
Valor instantáneo: Magnitud de una forma de onda en cualquier
instante; se indica con letras minúsculas (e1, e2).
e1
e2

48. Definiciones
Amplitud pico: Valor máximo de una forma de onda medido a partir de
su valor promedio, o medio, y que se indica por letras mayúsculas como
Em para fuentes de voltaje, y Vm para la caída de voltaje a través de una
carga. El valor promedio de la forma de onda es de cero volts.

49. Definiciones
Valor pico (Vpeak): Valor instantáneo máximo de una función, medido
con respecto al nivel de cero volts. la amplitud pico y el valor pico son
los mismos, puesto que el valor promedio de la función es de cero
volts.
Valorpico

50. Valor pico a pico: Lo indican las expresiones Epp o Vpp; es el voltaje
completo entre picos positivos y negativos de la forma de onda, es
decir, la suma de la magnitud de los picos positivos y negativos.

51. Forma de onda periódica: Forma de onda que se repite de
manera continua después del mismo intervalo.

52. Periodos

53. Periodo (T): Tiempo de una forma de onda periódica.
Ciclo: Parte de una forma de onda contenida en un periodo. Los ciclos
dentro de T1, T2 y T3 pueden parecer diferentes, pero todos están
limitados por un periodo y, por consiguiente, satisfacen la definición de
un ciclo.

54. Frecuencia (f): Cantidad de ciclos que ocurren en 1 s. La frecuencia de
la forma de onda de la figura (a) es de 1 ciclo por segundo, y la de la
figura (b) es de 2 1⁄2 ciclos por segundo. Si una forma de onda de
forma semejante tuviera un periodo de 0.5 s, figura (c), la frecuencia
sería de 2 ciclos por segundo.

55. La unidad de medición de la frecuencia es el Hertz (Hz), donde
𝑓 =
1
𝑇
𝐻𝑧
𝑇 =
1
𝑓
𝑠
Una frecuencia de 60 Hz equivale a que la onda senoidal realiza 60
ciclos en un segundo (cps)

56. Voltajes monofásicosy frecuencias mundiales

58. Ejercicio 1
Para la forma de onda senoidal de la figura
a. ¿Cuál es el valor pico?
b. ¿Cuál es el valor instantáneo a 15 ms y 20 ms?
c. ¿Cuál es el valor pico a pico de la forma de onda?
d. ¿Cuál es el periodo de la forma de onda?
e. ¿Cuántos ciclos se muestran?
f. ¿Cuál es la frecuencia?

60. Ejercicio 2
Para la señal senoidal de la figura
a. ¿Cuál es el valor pico?
b. ¿Cuál es el valor instantáneo a 1 𝜇s y 7 𝜇s.
c. ¿Cuál es el valor pico a pico de la forma de onda?
d. ¿Cuál es el periodo de la forma de onda?
e. ¿Cuántos ciclos se muestran?
f. ¿Cuál es la frecuencia?

61. Ejercicios
3. Determine el periodo de una forma de onda periódica cuya
frecuencia es
a. 200 Hz. b. 40 MHz.
c. 20 kHz. d. 1 Hz.
4. Determine la frecuencia de una forma de onda repetitiva cuyo
periodo es
a. 1 s. b. 1⁄16 s.
c. 40 ms. d. 25 𝜇s.

62. La onda senoidal
La unidad de medición para el eje horizontal puede ser
tiempo, grados o radianes.

63. La velocidad angular (ω) es la velocidad con que el vector radio gira
alrededor del centro:
𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 =
𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 (𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑜 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠)
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠)
𝜔 =
𝛼
𝑡
Para una revolución completa en un periodo de la onda senoidal:
𝜔 =
2𝜋
𝑇
= 2𝜋𝑓

65. Formato general del voltaje o corriente
senoidal
El formato matemático básico de la forma de onda senoidal es:
𝐴 𝑚 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝐴 𝑚 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡
𝑖 = 𝐼 𝑚 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝐼 𝑚 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡
𝑒 = 𝐸 𝑚 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝐸 𝑚 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡

66. Ejercicios
5. Determine la amplitud y frecuencia de las ondas siguientes:
a. 20 sen 377t
b. 12 sen 2π 120t
c. 106 sen 10,000t
d. 8 sen 10,058t
6. Trace 6 sen 754t con la abscisa
a. ángulo en grados.
b. ángulo en radianes.
c. tiempo en segundos.

67. Ejercicios
7. Si e = 300 sen 157t, ¿cuánto tiempo (en segundos) le lleva a esta
forma de onda completar 1/2 ciclo?
8. Dada i = 0.5 sen 𝛼, determine i con 𝛼 = 72°.
9. Dado v = 20 sen 𝛼, determine v con 𝛼 = 1.2𝜋.
10. Dado v = 30x10-3 sen 𝛼, determine los ángulos a los cuales v será de 6
mV.
11. Sea v = 40 V con 𝛼 = 30° y t = 1ms, determine la expresión matemática
para el voltaje senoidal.

68. 1.2 Determinación de valores RMS de voltaje y
corriente
Al conectar una carga (resistencia) en una fuente de cd, circula una
corriente de cd, es decir, es un valor definido en el tiempo.
La potencia esta definida por
la ley de Joule:
𝑃 = 𝑉𝐼 = 𝐼2
𝑅 =
𝑉2
𝑅
V
I
P
t

69. Potencia alterna
En la corriente alterna los valores de voltaje v(t) son instantántaneos, al
conectar la carga (resistencia) se produce una corriente instantánea i(t).
La potencia que suministra la fuente también tiene valores
instantáneos pero positivos.

70. La potencia suministrada por la fuente de ca en cualquier instante
es
Usando la identidad trigonométrica 𝑠𝑒𝑛2
𝜔𝑡 = 1
2
1−cos 2𝜔𝑡
Tenemos:
∴
𝑃𝑐𝑎 = 𝑖 𝑐𝑎
2
𝑅 = 𝐼 𝑚 sen 𝜔𝑡 2
𝑅 = (𝐼 𝑚
2
𝑠𝑒𝑛2
𝜔𝑡) 𝑅

71. La potencia suministrada por la fuente de ca es justo el primer
término, puesto que el valor promedio de una onda cosenoidal es
cero aun cuando la onda pueda tener el doble de frecuencia de la
forma de onda de la corriente de entrada original.
Igualando la potencia promedio suministrada por el generador de
ca con la suministrada por la fuente de cd.
𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚(𝑐𝑎) = 𝑃𝑐𝑑
𝐼 𝑚
2
𝑅
2
= 𝐼𝑐𝑑
2
𝑅
𝐼𝑐𝑑 =
𝐼 𝑚
2
= 0.707𝐼 𝑚

72. Si el parámetro es el voltaje
𝑃𝑐𝑎 =
𝑉𝑐𝑎
2
𝑅
=
𝑉𝑝 sen 𝜔𝑡
2
𝑅
=
𝑉𝑝
2
𝑠𝑒𝑛2
𝜔𝑡
𝑅
𝑉𝑝
2
2𝑅
−
𝑉𝑝
2
cos 2 𝜔𝑡
2R
𝑃𝑐𝑑 =
𝑉𝑝
2
2𝑅
=
𝑉𝑐𝑑
2
R
𝑉𝑒𝑓𝑖𝑐𝑎𝑧 𝑐𝑑 = 𝑉𝑅𝑀𝑆 =
𝑉𝑝
2
2
=
𝑉𝑝
2

73. El voltaje RMS, o el cuadrado medio de la raíz (también llamado el
voltaje eficaz), es un método de denotar una forma de onda
senoidal de voltaje (forma de onda de ca) como un voltaje
equivalente que representa el valor de voltaje cd que producirá el
mismo efecto de calentamiento o disipación de potencia en el
circuito, como esta tensión de ca.
0.7071

74. Valores RMS (Root Mean Square)
Valor de la raíz cuadrada de la media de los cuadrados
Generalizando

75. Valor promedio Vavg
El valor promedio de un ciclo completo de voltaje o corriente es cero (0).
Si se toma en cuenta solo un semiciclo (supongamos el positivo) el valor
promedio es: 𝑉𝑎𝑣𝑔 =
𝑉𝑝
Τ𝜋 2
= 0.636𝑉𝑝
La relación que existe entre los valores RMS y promedio es:
𝑉𝑅𝑀𝑆 =
𝑉𝑝
2
=
𝑉𝑎𝑣𝑔
0.636 2
= 1.11 𝑉𝑎𝑣𝑔
𝑉𝑎𝑣𝑔 = 0.9𝑉𝑅𝑀𝑆

76. Relaciones de fase
Hasta ahora hemos considerado sólo ondas seno que alcanzan su valor
máximo en 𝜋/2 y 3𝜋/2 con un valor cero en 0, 𝜋 y 2𝜋.

77. Señal en fase

78. Señal adelantada

79. Señal retrasada

80. Desfasamiento
Si la forma de onda se desplaza a la derecha o a la izquierda de 0°, la
expresión sería:
𝐴 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 ± 𝜃
donde 𝛳 es el ángulo en grados o radianes que la forma de onda se ha
desplazado.

81. Nomenclatura
Si la forma de onda cruza el eje horizontal con una pendiente que
tiende a positiva (que se incrementa con el tiempo) antes de 0°, la
expresión es:
𝐴 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜃
Con 𝛚t = 𝛼 = 0°, la magnitud se determina con Amsen (𝛳)

82. Nomenclatura
Si la forma de onda cruza el eje horizontal con una pendiente que
tiende a positiva después de 0°, la expresión es:
𝐴 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝜃
Con 𝛚t = 𝛼 = 0°, la magnitud se determina con Amsen(-𝛳)= -Amsen(𝛳)

83. Función coseno
Si la forma de onda cruza el eje horizontal con una pendiente que
tiende a positiva 90° (𝜋/2 rad) antes, se llama onda coseno:
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 90° = 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 +
𝜋
2
= cos 𝜔𝑡

84. Adelanto o retraso de fase
Los términos adelanto y retraso se utilizan para indicar la relación entre
dos formas de onda senoidales de la misma frecuencia trazadas en el
mismo sistema de ejes.
Se dice que la curva coseno va 90° adelante de la curva seno, y se dice
que la curva seno va 90° detrás de la curva coseno.
Los 90° se conocen como el ángulo de fase entre las dos formas de
onda.
En lenguaje comúnmente aplicado, las formas de onda están
desfasadas por 90°.

85. El ángulo de fase entre las formas de onda se mide entre dos
puntos sobre el eje horizontal donde cada una lo cruza con la
misma pendiente. Si ambas formas de onda cruzan el eje por
el mismo punto con la misma pendiente, están en fase.
La relación de fase entre dos formas de onda indica cuál va
adelante o detrás de la otra y por cuántos grados o radianes.

89. Apps online
• https://www.geogebra.org/m/eAkQEpyP
• http://alterna.aulamoisan.es/

90. Relaciones geométricas
Recuerde

91. Ejemplo
Sea: 𝑒 = −𝐸 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡
Em no puede ser negativo 𝑒 = 𝐸 𝑚 −𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡
Como −𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 ± 180°
Entonces 𝑒 = 𝐸 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 ± 180°
Por lo que:
𝑒 = −𝐸 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 = 𝐸 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 180°
= 𝐸 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 180°

92. Ejercicio 12
Determine los valores rms y promedio de las siguientes
formas de onda senoidales:
a. v = 120 sen(377t + 60°) V
b. i = 6x10-3 sen(2𝜋1000t) A
c. v = 8x10-6 sen(2𝜋5000t + 30°) V

93. Ejercicio 13
Escriba las expresiones senoidales para los voltajes y corrientes
cuyos valores son los siguientes a una frecuencia de 60 Hz con
desplazamientode fase indicado:
a. vrms = 4.8 V desfase de 30°
b. irms = 2.5 A desfase de 90°
c. iavg = 50 mA desfase de -40°
d. vavg = 2 kV desfase de -25°

94. Ejercicio 14
Escriba la expresión analítica para las formas de onda de la figura.

95. Sean dos ondas senoidales con los siguientes argumentos:
𝑣 = 𝑉𝑚 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 ± 𝜃 𝑣)
𝑖 = 𝐼 𝑚 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 ± 𝜃𝑖)
Vm
Im
ϴv
ϴi
Ф
La relación de fase se define
como el ángulo de
desfasamiento que existe
entre ambas ondas:
∅ = 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖

96. Ejercicio 15
Determine la relación de fase entre las siguientes formas de onda:

97. La fuente alterna tiene un valor variable en el tiempo de acuerdo a la
siguiente expresión:
𝑣 𝑡 = 𝑉𝑝 sen 𝜔𝑡 ± 𝜃
𝑖 𝑡 = 𝐼 𝑝 sen 𝜔𝑡 ± 𝜃
Para su análisis requiere trabajar con Series de Fourier y Transformada
de Laplace dado que los valores son instantáneos y se requiere emplear
fundamentos matemáticos más complicados.
Una herramienta para facilitar el estudio es el uso del método fasorial
1.3 Concepto de fasor

98. Características de los fasores
• Las senoides se expresan fácilmente en términos de fasores, con los
que es más cómodo trabajar que con las funciones seno y coseno.
• Un fasor es un número complejo que representa la amplitud y la fase
de una senoide.
• Los fasores brindan un medio sencillo para analizar circuitos lineales
excitados por fuentes senoidales; las soluciones de tales circuitos
serían impracticables de otra manera.
• Resolver circuitos de ca usando fasores la propuso originalmente
Charles Proteus Steinmetz en 1893.

99. Método fasorial
Este consiste en asociar a cada onda senoidal (de tensión o de corriente) un
número complejo denominado fasor. Estatécnica es muy importante en la
ingeniería por varias razones:
1. numerosos circuitos operan esencialmente en régimen permanente
senoidal.
2. es sumamente eficiente, con amplio rango de aplicabilidad (circuitos
eléctricos, sistemasde control, electromagnetismo, etc.)
3. si conocemos la respuesta de un circuito lineal invariante en el tiempo a
una entrada sinusoidal de cualquier frecuencia, podemos calcular su
respuesta a cualquier señal periódica que podamos desarrollar en serie
de Fourier.

100. Representación del fasor
𝑉𝑥 = 𝑉 cos 𝜃
𝑉𝑦 = 𝑉 sin 𝜃
El operador complejo j, realiza una
rotación de 90° o
𝜋
2
𝑟𝑎𝑑, por lo que
podemos colocar la expresión como:
𝑉 = 𝑉 (cos 𝜃 + 𝑗 sen 𝜃)
En notación polar podemos expresarlo
como sigue:
𝑉 = 𝑉 𝑒±𝑗(𝜔𝑡+𝜃)
𝑉 (cos 𝜔𝑡 + 𝜃 ± 𝑗𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜃 )
V
Vx
Vy
ϴ

101. El fasor
Una función senoidal admite una representación en el plano complejo
llamada representación fasorial.
Notación de euler
𝑒±𝑗𝛼
= 𝑐𝑜𝑠𝛼 ± 𝑗𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑒±𝑗(𝜔𝑡+𝜙)
= cos(𝜔𝑡 + 𝜙) ± 𝑗𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜙)
cos ∅ = 𝑅𝑒 𝑒 𝑗∅
sen ∅ = 𝐼𝑚 𝑒 𝑗∅
𝑉 = 𝑉𝑚 𝑒 𝑗∅
= 𝑉𝑚∠∅

102. Representación fasorial
• La corriente alterna se puede representar con una flecha girando
a velocidad angular ω. Este elemento recibe el nombre de fasor y se
representa como un número complejo.
• Su longitud coincide con el valor máximo de la tensión o corriente.
• El ángulo (corrimiento de la señal sobre el eje horizontal) representa
la fase. La velocidad de giro ω está relacionada con la frecuencia de la
señal.
• Por convención se emplea el valor eficaz dado que es el valor medido
en los instrumentos

103. Representación geométrica del fasor
𝑽 = 𝑉𝑚∠∅ 𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚 cos 𝜔𝑡 + ∅
Representación en el dominio fasorial Representación en el dominio temporal
⟺

104. Desfasamiento
En ocasiones, las tensiones y las corrientes de circuitos con corriente
alterna presentan desfasajes entre sí (corrimientos horizontales). En los
diagramas fasoriales esto se representa con un ángulo entre los fasores.
En la figura hay dos señales desfasadas 90° y a la izquierda de las mismas
se pueden ver los dos fasores con un ángulo de 90 grados entre sí.
Representaciónfasorial
v
i

105. Ejemplo
Forma polar
V = 15<30º V
Forma compleja
v = 12.99 + j7.5 v

106. 1.4 Respuesta en estado estacionario de
elementos R, L, C
• Un circuito de corriente alterna consta de una combinación de
elementos (resistencias, capacitancias e inductancias) y un generador
que suministra la corriente alterna.
• Una fem alterna se produce mediante la rotación de una bobina con
velocidad angular constante dentro de un campo magnético uniforme
producido entre los polos de un imán (generador).
v(t) = Vp sen(𝛚t)

107. • Mediante las representaciones vectoriales, la longitud del vector
representa la amplitud y su proyección sobre el eje vertical representa
el valor instantáneo de dicha cantidad. Los vectores se hacen girar en
sentido levógiro (contrario a las agujas del reloj).
• Con letras mayúsculas representaremos los valores de la amplitud y
con letras minúsculas los valores instantáneos.

108. Efectos de una Resistencia
• A frecuencias de línea de potencia y a frecuencias hasta de algunos
cientos de kilohertz, la resistencia, para todos los propósitos
prácticos, no se ve afectada por la frecuencia del voltaje o corriente
senoidal que se haya aplicado.
𝑣 = 𝑉𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡
𝐼 𝑚 =
𝑉𝑚
𝑅
𝑉𝑚 = 𝐼 𝑚 𝑅

109. Una curva de v e i en un elemento puramente resistivo, el voltaje y
corriente que pasan a través del elemento están en fase, con sus
valores pico relacionados por la ley de Ohm.

110. Inductor
El voltaje a través de un inductor está directamente relacionado con la
velocidad de cambio de la corriente a través de la bobina.
Cuanto más alta es la corriente, mayor es la velocidad de cambio de la
corriente a través de la bobina, y mayor es la magnitud del voltaje.
𝑣 𝐿 = 𝐿
𝑑𝑖 𝐿
𝑑𝑡

111. Inductor
La inductancia de una bobina determina la velocidad de cambio del
flujo que la enlaza con un cambio particular de la corriente a través de
la bobina.
Cuanto más alta sea la inductancia, mayor será la velocidad de cambio
de las líneas de flujo y mayor el voltaje resultante que pasa a través de
la bobina.
𝑖 𝐿 =
1
𝐿
න 𝑣 𝐿 𝑑𝑡

112. A partir 𝑣 𝐿 = 𝐿
𝑑𝑖 𝐿
𝑑𝑡

113. El valor pico de vL está directamente relacionado con 𝛚 (2𝜋f) y L.
La derivada provoca que la curva de vL se adelante 90° de iL, o bien
iL se atrase 90° vL.
Si se incluye un ángulo de fase en la expresión senoidal para iL,
como

114. Respuesta del inductor

115. Reactancia
La oposición establecida por un inductor en una red de ca senoidal
ahora puede determinarse con la ecuación:
𝑂𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 =
𝑐𝑎𝑢𝑠𝑎
𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑂𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 =
𝑉𝑚
𝐼 𝑚
=
𝜔𝐿𝐼 𝑚
𝐼 𝑚
= 𝜔𝐿
𝑋𝐿 =
𝑉 𝑚
𝐼 𝑚
= 𝜔𝐿 = 2𝜋𝑓𝐿 𝑂ℎ𝑚𝑠, Ω

116. Reactancia Inductiva XL
Es la oposición al flujo de corriente, la cual produce el
intercambio continuo de energía entre la fuente y el campo
magnético del inductor.
En otras palabras,la reactancia inductiva, a diferencia de la
resistencia (la cual disipa energía en forma de calor) no disipa
energía eléctrica sino genera un campo magnético (ignorando
los efectos de la resistencia interna del inductor.)

117. Capacitor
En redes capacitivas, el voltaje a través del capacitor está limitado por
la velocidad a la cual se deposita la carga en, o es liberada por, las
placas del capacitor durante las fases de carga y descarga,
respectivamente.
En otras palabras, hay oposición al cambio instantáneo de voltaje a
través de un capacitor porque hay un elemento de tiempo requerido
para que se deposite la carga en (o que la carga sea liberada por) las
placas de un capacitor, y V = Q/C.

118. La capacitancia es una medida de la velocidad a la cual
un capacitor almacenará carga en sus placas, para un
cambio particular del voltaje que pasa a través del
capacitor, a mayor valor de capacitancia, mayor es la
corriente capacitiva resultante.
𝑣 𝐶 =
1
𝐶
න 𝑖 𝐶 𝑑𝑡

119. La ecuación fundamental que relaciona el voltaje que
pasa por un capacitor con la corriente de un capacitor,
es:
𝑖 𝐶 = 𝐶
𝑑𝑣 𝐶
𝑑𝑡
Para una capacitancia particular, a mayor velocidad de
cambio del voltaje que pasa a través del capacitor, mayor
es la corriente capacitiva.

120. La corriente del capacitor será: 𝑖 𝐶 = 𝐶
𝑑𝑣 𝐶
𝑑𝑡
Derivando
𝑑𝑣 𝐶
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑉𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 = 𝑉𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 ∙ 𝜔 = 𝜔𝑉𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡
Sustituyendo
en un capacitor, iC va 90° delante de vC, o vC va 90° detrás de iC

121. Si se incluye un ángulo de fase en la expresión senoidal para vC

122. Reactancia XC
La oposición establecida por un capacitor en una red de ca senoidal
ahora puede determinarse con la ecuación:
𝑂𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 =
𝑐𝑎𝑢𝑠𝑎
𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑂𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 =
𝑉𝑚
𝐼 𝑚
=
𝑉𝑚
𝜔𝐶𝑉𝑚
=
1
𝜔𝐶
𝑋 𝐶 =
𝑉 𝑚
𝐼 𝑚
=
1
𝜔𝐶
=
1
2𝜋𝑓𝐶
𝑂ℎ𝑚𝑠, Ω

123. Reactancia Capacitiva XC
Es la oposición al flujo de carga, lo que resulta en el
intercambio continuo de energía entre la fuente y el
campo eléctrico del capacitor.
El capacitor no disipa energía en cualquier forma
(ignorando los efectos de la resistencia de fuga).

124. Reactancia Capacitiva XC
• Es posible determinar si una red con uno o más elementos
es predominantemente capacitiva o inductiva, con sólo
observar la relación de fase entre el voltaje y la corriente de
entrada.
• Si la corriente de la fuente va adelante del voltaje aplicado,
la red es predominantementecapacitiva, pero si el voltaje
va adelante de la corriente de la fuente, es
predominantemente inductivo.

125. Aplicando la ley de Ohm
Para el calculo de los parámetros, empleando las reactancias inductivas
o capacitivas no es necesario utilizar derivadas o integrales se obtienen
aplicando la ley de Ohm,
𝐼 𝑚 =
𝐸 𝑚
𝑋𝐿
ó 𝐼 𝑚 =
𝐸 𝑚
𝑋𝑐
teniendo en cuenta la relación de fase entre el voltaje y la corriente de
cada elemento, se puede predecir su comportamiento.

126. Ejercicio 16
Trace las formas de onda senoidales v e i en el mismo eje.
a. El voltaje que pasa por un resistor de 3 𝛺 es v= 30 V sen(377t+
20°). Determine la expresión senoidal para la corriente.
b. La corriente que fluye a través de una bobina de 0.1 H es 10 sen
(100t - 60°) A ¿Cuál es la expresión senoidal para el voltaje?
c. El voltaje que pasa a través de una reactancia capacitiva de 2.5 𝜇F
es 120 V sen (ωt + 40°) ¿Cuál es la expresión senoidal para la
corriente?

127. Ejercicio 17
Determine la reactancia inductiva (en ohms) de una bobina de
2 mH para
a. cd
para las siguientes frecuencias:
b. 60 Hz
c. 4 kHz
d. 1.2 MHz

128. Ejercicio 18
Determine la reactancia capacitiva (en ohms) de un capacitor de 5 𝜇F
para
a. cd
y para las siguientes frecuencias:
b. 60 Hz
c. 2 kHz
d. 2 MHz

129. Ejercicio 19
Para los siguientes pares de voltajes y corrientes, indique si el elemento
implicado es un capacitor, un inductor o un resistor, y determine el
valor de C, L o R:
a. v = 550 sen(377t + 50°); i = 11 sen(377t - 40°)
b. v = 36 sen(754t - 80°); i = 4 sen(754t - 170°)
c. v = 10.5 sen(𝛚t - 13°); i = 1.5 sen(𝛚t - 13°)

130. 1.5 Impedancia
• Se denomina impedancia a la resistencia al paso de una corriente
alterna.
• Es similar al concepto de resistencia en circuitos de corriente
continua pero, a diferencia de la resistencia, la impedancia se
representa mediante un número polar o un número complejo.
𝑍 ∟𝜃°
𝑍 = 𝑅 ± 𝑗𝑋

131. Impedancias de los elementos R
Suponga que se aplica 𝑣 = 𝑉𝑚 sen 𝜔𝑡
De forma fasorial V = V∟0° donde V =
𝑉 𝑚
2

132. Impedancia Resistiva, se mide en ohms y es una medida de en qué
grado el elemento “impedirá” el flujo de carga a través de la red
i v
+
j
En forma fasorial

133. Impedancia en los elementos inductores

134. Impedancia Inductiva. Se mide en ohms y es una medida de qué
tanto el elemento inductivo “controla o impide” el nivel de corriente
que pasa a través de la red (los elementos inductivos son dispositivos
de almacenaje y no disipan energía como los resistores).
i
v
+
jEn forma fasorial

135. Impedancia en los elementos capacitores

136. Impedancia Capacitiva. Se mide en ohms y es una medida de qué tanto
el elemento capacitivo “controla o impide” el nivel de corriente que
fluye a través de la red (los elementos capacitivos son dispositivos de
almacenaje y no disipan energía como los resistores)
En forma fasorial
i
v
+
j

137. Diagrama de impedancia
Para cualquier red la resistencia siempre aparecerá en el eje real positivo,
la reactancia inductiva en el eje imaginario positivo, y la reactancia
capacitiva en el eje imaginario negativo.
Plano complejo

139. Configuración en serie
Las propiedades generales de los circuitos de ca en serie son las
mismas que las de circuitos de cd. Por ejemplo, la impedancia total de
un sistema es la suma de las impedancias individuales:
+
j
ZT
R
XL
𝛳T

140. Regla divisora de voltaje
El formato básico de la regla divisora de voltaje en circuitos de ca es
exactamente el mismo que en circuitos de cd:
𝑉𝑥 =
𝑍 𝑥 𝐸
𝑍 𝑇
Donde: Vx es el voltaje a través de uno o más elementos en una serie
cuya impedancia total es Zx,
E es el voltaje total que aparece a través del circuito en serie.
ZT es su impedancia total.

141. Resonancia en Serie.
Un circuito en serie que contiene R, L y C, está en
resonancia cuando la reactancia resultante es cero. Puesto
qué la caída a través de la inductancia se adelanta a la
corriente en 90°, mientras que la caída a través del
condensadorse retrasa en 90°, las dos caídas son opuestas.
Si se hacen iguales, se neutralizan las caídas de voltaje
reactivas y el voltaje es igual únicamente a la caída
resistiva.

142. Frecuencia de resonancia
Como las reactancias se anulan el factor de
potencia es igual a la unidad, es decir:
𝐼𝑋𝐿 = 𝐼𝑋 𝐶
𝑋𝐿 = 𝑋 𝐶
2𝜋𝑓𝐿 =
1
2𝜋𝑓𝐶
𝑓𝑚 =
1
2𝜋 𝐿𝐶

143. Potencia suministrada al circuito
Factor de potencia

144. Ejercicio 20
Calcule la impedancia total de los circuitos de la figura. Exprese su
respuesta en formas rectangular y polar, y trace el diagrama de
impedancia.

145. Ejercicio 21
Determine la impedancia en ohms de los elementos del circuito en
serie que debe ir adentro del recipiente cerrado en la figura para que
se den los voltajes y corrientes indicados en las terminales de entrada.

146. Ejercicio 22
Para el circuito de la figura:
a. Determine la impedancia total ZT en forma polar.
b. Trace el diagrama de impedancia.
c. Determine la corriente I y los voltaje VR y VL en forma fasorial.
d. Trace el diagrama fasorial de los voltajes E, VR y VL, y la corriente I.
e. Verifique la ley del voltaje de Kirchhoff alrededor del lazo cerrado.
f. Determine las expresiones senoidales para los voltajes y corrientes si la
frecuencia es de 60 Hz.
g. Trace la forma de onda de los voltajes y corrientes en el mismo sistema
de ejes.

147. Ejercicio 23
Para el circuito de la figura:
a. Determine la impedancia total ZT en forma polar.
b. Trace el diagrama de impedancia.
c. Determine la corriente I y los voltaje VR y VL en forma fasorial.
d. Trace el diagrama fasorial de los voltajes E, VR y VL, y la corriente I.
e. Verifique la ley del voltaje de Kirchhoff alrededor del lazo cerrado.
f. Determine las expresiones senoidales para los voltajes y corrientes si la
frecuencia es de 60 Hz.
g. Trace la forma de onda de los voltajes y corrientes en el mismo sistema
de ejes.

148. Ejercicio 24
Para el circuito de la figura:
a. Determine la impedancia total ZT en forma polar.
b. Trace el diagrama de impedancia.
c. Determine el valor de C en microfarads y L en mH.
d. Determine la corriente I y los voltajes VR, VL y VC en forma fasorial.
e. Trace el diagrama fasorial de los voltajes E, VR, VL y VC y la corriente I.
f. Verifique la ley del voltaje de Kirchhoff alrededor del lazo cerrado.
g. Determine las expresiones senoidales para los voltajes y la corriente.
h. Trace las formas de onda de los voltajes y la corriente en el mismo
sistemade ejes.

149. Configuración en paralelo
En circuitos de cd: la conductancia (G) se define como 1/R.
En circuitos de ca: la admitancia (Y) se define como 1/Z.
La unidad de medición de la admitancia definida por el sistema
SI es el “siemens” cuyo símbolo es S.
La admitancia mide qué tan bien un circuito admitirá o
permitirá que fluya corriente en el circuito.

150. Impedancia en paralelo
También puede hallarse la admitancia total de un circuito
determinando la suma de las admitancias en paralelo. La impedancia
total ZT del circuito es entonces 1/YT

152. Susceptancia
El recíproco de la reactancia (1/X) se llama susceptancia y es una
medida de qué tan susceptible es un elemento al paso de la corriente
que fluye a través de él. La susceptancia también se mide en siemens y
se representa con la letra mayúscula B.

153. Diagrama de admitancias
Para cualquier configuración (en
serie, en paralelo, en serie-
paralelo, etc.) el ángulo asociado
con la admitancia total es el
ángulo con el que la corriente de
la fuente adelanta al voltaje
aplicado. Para redes inductivas, 𝛳T
es negativo, en tanto que para
redes capacitivas 𝛳T es positivo.

154. Regla divisora de corriente
El formato básico de la regla divisora de corriente en circuitos de ca es
exactamente igual a la de circuitos de cd; es decir, con dos ramas en
paralelo con impedancias Z1 y Z2 como se muestra

155. Resonancia en Ramas Paralelas
Las ramas paralelas que contienen inductancia y capacitancia están en
resonancia cuando la corriente reactiva en la rama inductiva es igual a
la corriente reactiva en la rama capacitiva. La corriente reactiva
resultante para el conjunto del circuito es, en consecuencia, cero. Para
la resonancia
𝑉𝐵𝐿 = 𝑉𝐵 𝐶
𝐵𝐿 = 𝐵 𝐶
De aquí que la corriente resultante que fluye, esté en fase con el voltaje
aplicado y el factor de potencia de todo el circuito sea 1. Esto se llama,
algunas veces, resonancia de factor de potencia unidad.

156. 2𝜋𝑓𝐿
𝑅 𝐿
2
+ 2𝜋𝑓𝐿 2
=
1
2𝜋𝑓𝐶
𝑅 𝐶
2
+
1
2𝜋𝑓𝐶
2
𝑓𝑚 ≈
1
2𝜋 𝐿𝐶

157. Ejercicio 25
Para los circuitos en paralelo de la figura, determine un circuito en serie
que tendrá la misma impedancia total.

158. Ejercicio 26
Para la red de la figura:
a. Calcule E, IR e IL en forma fasorial.
b. Trace el diagrama de admitancia.
c. Trace el diagrama fasorial de las corrientes Is, IR e IL, y el voltaje E.
d. Determine el circuito en serie de un elemento resistivo y un elemento reactivo que
tendrá la misma impedancia que el circuito original.