Métodos de análisis de circuitos eléctricos de corriente alterna

1. PARTE 4PARTE 4
MÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOSMÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS
ELÉCTRICOS DE CORRIENTE ALTERNAELÉCTRICOS DE CORRIENTE ALTERNA
Jorge Patricio Muñoz Vizhñay
CIRCUITOS
ELÉCTRICOS II

2. MÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOSMÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS
ELÉCTRICOS DE CORRIENTE ALTERNAELÉCTRICOS DE CORRIENTE ALTERNA
MÉTODO DE LAS CORRIENTES DE MALLA
Sea el circuito de la Figura en el dominio de la frecuencia. Aplicando la ley
de Kirchhoff para las tensiones, se obtiene la ecuación matricial:
para las corrientes de malla desconocidas I1, I2 e I3. En este caso, Z11 = ZA +
ZB, la autoimpedancia de la malla 1, es la suma de todas las impedancias
por las que circula I1. Análogamente, Z22 = ZB + Zc + ZD y Z33 = ZD + ZE son
las autoimpedancias de las mallas 2 y 3.
˜˜
Va Vb

3. MÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOSMÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS
ELÉCTRICOS DE CORRIENTE ALTERNAELÉCTRICOS DE CORRIENTE ALTERNA
MÉTODO DE LAS CORRIENTES DE MALLA
El elemento Z12 de la matriz de impedancias esta definida como:
Z12 = Σ ± (impedancia común a I1 e I2)
donde un sumando cualquiera toma el signo positivo (+) si las dos
corrientes pasan a través de la impedancia en el mismo sentido y toma el
signo negativo (-) si tienen sentido contrario.
Z13 = Z31 = Σ ± (impedancia común a I1 e I3) = 0
Z23 = Z32 = Σ ± (impedancia común a I2 e I3) = - ZD
La matriz Z es simétrica

4. MÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOSMÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS
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MÉTODO DE LAS CORRIENTES DE MALLA
En la columna V a la derecha de la ecuación, los componentes Vk (k = 1, 2,
3) se definen exactamente igual que lo estudiado en Circuitos Electricos I.
Vk = Σ ± (tension en cada fuente situada en la malla k) (k = 1, 2, 3 ...)
donde un sumando cualquiera toma el signo positivo (+) si la tension d ella
fuente tien el mismo sentido que Ik, y toma el signo negativo (-) en caso
contrario..
V1 = + Va V2 = 0 V3 = - Vb
˜˜
Va Vb

5. MÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOSMÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS
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MÉTODO DE LAS TENSIONES EN LOS NUDOS
Un circuito en el dominio de la frecuencia, con n nudos principales, uno de
ellos elegido como nudo de referencia, requiere n - 1 ecuaciones de tensión
en los nudos. Así, para n = 4, la ecuación matricial sería
en la que las incógnitas, V1, V2, y V3 son las tensiones de los nudos
principales 1, 2 Y 3 con respecto a la del nudo principal 4, el nudo de
referencia.
4 4 4 4
1 2

6. MÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOSMÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS
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MÉTODO DE LAS TENSIONES EN LOS NUDOS
Y11 es la autoadmitancia del nudo 1, dada por la suma de todas las
admitancias conectadas al nudo 1. Análogamente, Y22 e Y33 son las
autoadmitancias de los nudos 2 y 3, respectivamente.
Y12, la admitancia de acoplamiento entre los nudos 1 y 2, está dada por la
suma de todas las admitancias conectadas entre los nudos 1 y 2, con signo
menos (-). Se deduce que Y12 = Y21.
Igualmente, las otras admitancias de acoplamiento: Y13 = Y31, Y23 = Y32. La
matriz Y es, por tanto, simétrica.

7. MÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOSMÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS
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MÉTODO DE LAS TENSIONES EN LOS NUDOS
A la derecha de la ecuación matricial, la columna I está formada por la
sumatoria de corrientes que entran o salen de ese nudo.
Ik = Σ ± (corriente dirigida hacia el nudo k) (k = 1, 2, 3 …)
en la que una corriente que entra al nudo k es positiva y la que sale del
nudo k se toma como negativa.

8. MÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOSMÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS
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MÉTODO DE LAS TENSIONES EN LOS NUDOS

9. MÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOSMÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS
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TEOREMAS DE THEVENIN Y NORTON
Considerando el circuito de la Figura en el que las impedancias Z1, Z2 y Z3
han de conectarse sucesivamente al circuito. Al unir cada una de ellas se
obtendrá una matriz diferente de Z o Y, y en consecuencia habrá tres
soluciones diferentes, para evitar esta situación, se puede remplazar el
circuito activo por un circuito simple equivalente.

10. MÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOSMÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS
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TEOREMAS DE THEVENIN
Establece que cualquier circuito lineal activo con terminales de salida A y B,
como se presenta en la Figura, puede sustituirse (o equivale) por una fuente de
tensión V’ en serie con una impedancia Z’. La tensión equivalente de Thevenin
V’, es la tensión entre los terminales AB medida a circuito abierto, y la
impedancia equivalente, Z’, es la impedancia de entrada en los terminales AB
con todas las fuentes internas iguales a cero (fuente de tensión en cortocircuito
y fuente de corriente en circuito abierto).
La polaridad de la tensión equivalente de Thevenin V’, se elige de forma que la
corriente en una impedancia que se conecte, tenga el mismo sentido que si
dicha impedancia se conecta al circuito activo original.

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TEOREMAS DE THEVENIN

12. MÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOSMÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS
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TEOREMAS DE NORTON
Establece que cualquier circuito lineal activo con terminales de salida A y B, como
se presenta en la Figura, puede sustituirse (o equivale) por una fuente de
intensidad I’ en paralelo con una impedancia Z’. La fuente de intensidad I’,
equivalente de Norton, es la corriente en un cortocircuito aplicado a los
terminales del circuito activo. La impedancia equivalente, Z’ en paralelo, es la
impedancia de entrada en los terminales AB con todas las fuentes internas
iguales a cero (fuente de tensión en cortocircuito y fuente de corriente en
circuito abierto). Las impedancias Z’ de los circuitos equivalentes de Thevenin y
Norton son idénticas
La intensidad de la corriente en una impedancia conectada a los terminales del
circuito equivalente de Norton ha de tener el mismo sentido que la que circularía
por la misma impedancia conectada al circuito activo original.

13. MÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOSMÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS
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TEOREMAS DE NORTON

14. MÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOSMÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS
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TEOREMAS DE TRANSFERENCIA DE MÁXIMA POTENCIA
A veces se quiere calcular la máxima potencia que es capaz de transferir un
circuito activo a una resistencia exterior RL. Suponiendo que el circuito es
lineal, se puede reducir a un circuito equivalente como el de la Figura.
Entonces

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TEOREMAS DE TRANSFERENCIA DE MÁXIMA POTENCIA
La potencia absorbida por la carga es
Se ve que PL alcanza su valor máximo, V'2
/4R', cuando RL = R', con lo que la
potencia en R' es también V'2
/4R'. En consecuencia, cuando la potencia
transferida es máxima, el rendimiento es el 50 por 100.

16. MÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOSMÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS
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TRANSFORMACIÓN ESTRELLA - TRIANGULO
El circuito pasivo de tres terminales formado por las tres impedancias ZA,
ZB, ZC dispuestas en la forma representada en la Figura (a), constituyen una
conexión triangulo (conexión Δ). Se llama una conexión en estrella
(conexión Υ) al circuito pasivo de tres terminales formado por las tres
impedancias Z1, Z2, Z3 conectadas en la forma representada en la Figura
(b). Los dos circuitos son equivalentes y sus respectivas impedancias de
entrada, salida y transferencia son iguales.
(a) (b)
V1 V1V0 V0V1 I1 I0ZA ZC
ZB
I2
I1 I1Z2
Z1 Z3

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TRANSFORMACIÓN ESTRELLA - TRIANGULO
Aplicando las transformaciones respectivas mediante la forma matricial de
un sistema de ecuaciones de corrientes de malla, se llega a determinar las
siguientes relaciones de la transformación estrella – triangulo y triangulo –
estrella.

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TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN
El teorema de superposición establece que la respuesta en cualquier
elemento de un circuito lineal bilateral que contenga dos o mas fuentes es
la suma de las respuestas obtenidas para cada una de las fuentes, actuando
separadamente y con todas las demás fuentes iguales a cero.
Este principio de superposición esta implícito en los dos métodos de análisis
por las corrientes en las mallas y las tensiones en los nudos.

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TEOREMA DE TRANSFERENCIA DE LA POTENCIA MÁXIMA
El teorema determina el valor de las impedancias de carga que dan lugar a
la transferencia de un máximo de potencia entre los terminales de un
circuito activo. Se considera una combinación en serie de una fuente y una
impedancia compleja fija Zg (puede considerarse la impedancia interna de
la fuente) suministrando potencia a una carga formada por una resistencia
variable o por una impedancia compleja también variable.
Caso 1: Carga con resistencia variable RL.
Vg
Zg = Rg + j Xg

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TEOREMA DE TRANSFERENCIA DE LA POTENCIA MÁXIMA
Para determinar el valor de RL para que la potencia transferida a la carga
sea máxima, se hace la primera derivada dP/dRL igual a cero. Se obtiene:
En este caso se transmite la potencia máxima entre los terminales de un
circuito activo cuando la resistencia de carga es igual al valor absoluto de la
impedancia del circuito.
Vg
Zg = Rg + j Xg
Vg
|Zg|Rg
2
Xg
2

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TEOREMA DE TRANSFERENCIA DE LA POTENCIA MÁXIMA
Caso 2: Carga con impedancia ZL con resistencia y reactancia variables.
Para determinar el valor de ZL para que la potencia transferida a la carga
sea máxima, se considera primeramente constante RL y luego hace la
primera derivada dP/dXL igual a cero. Por otro lado considerando el Caso 1
respecto a RL, se obtiene lo siguiente:
Cuando la impedancia de carga esta formada por una resistencia y una
reactancia variables, la potencia transferida en los terminales del circuito
activo es máxima si la impedancia de carga ZL es igual al complejo
conjugado de la impedancia del circuito Zg.
Vg
Zg = Rg + j Xg
ZL =
RL + j XL

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TEOREMA DE TRANSFERENCIA DE LA POTENCIA MÁXIMA
Caso 3: Carga con impedancia ZL con resistencia variable y reactancia fija.
Con la condición XL constante se obtiene las mismas ecuaciones para la
corriente I y para la potencia P que en el caso 2. Igualando a cero la primera
derivada de P respecto de RL se deduce
Como Zg y XL son magnitudes fijas se puede combinar en una única
impedancia. Entonces, con RL variable, el Caso 3 se reduce al Caso 1 y la
potencia maxima se obtiene cuando RL es igual al valor absoluto de la
impedancia del circuito.
Vg
Zg = Rg + j Xg
ZL =
RL + j XL
RL = |Zg + j XL|