Analisis de puentes

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A
Coruña, Oc
R
MPO
N
ctubre del 22008

ÍNDICE
CAPITULO 1
INTRODUCCIÓN ..........................................................................................................1
1.1 Motivación y objetivos ...........................................................................................1
1.2 Organización de la memoria-tesis...........................................................................4
CAPITULO 2
METODOLOGÍAS AVANZADAS EN AEROELASTICIDAD DE PUENTES DE
GRAN VANO..................................................................................................................7
2.1 Introducción............................................................................................................7
2.2 Fenómenos aeroelásticos ......................................................................................11
2.2.1 Divergencia torsional.....................................................................................11
2.2.2 Vibración inducida por desprendimiento de torbellinos................................11
2.2.3 Galope............................................................................................................16
2.2.4 Flameo............................................................................................................17
2.2.5 Bataneo ..........................................................................................................18
2.3 Métodos experimentales .......................................................................................19
2.4 Métodos híbridos ..................................................................................................25
2.4.1 Fuerzas aerodinámicas...................................................................................27
2.4.2 Fuerzas aeroelásticas......................................................................................30
2.4.3 Fuerzas de bataneo.........................................................................................35
2.4.4 Clasificación de los métodos híbridos según el tipo de análisis ....................37
2.5 Métodos computacionales.....................................................................................42
2.5.1 Ecuaciones de la mecánica de fluidos............................................................43
2.5.2 Modelos de turbulencia..................................................................................44
2.5.3 Métodos numéricos en la mecánica de fluidos computacional......................49
2.5.4 Aplicaciones en aeroelasticidad de puentes...................................................53
2.6 Referencias............................................................................................................63
CAPITULO 3
ENSAYOS SECCIONALES DE TABLEROS DE PUENTES.................................75
3.1 Introducción..........................................................................................................75

3.2 Ensayos aerodinámicos .........................................................................................76
3.2.1 Modelo seccional ...........................................................................................76
3.2.2 Sustentación del modelo seccional.................................................................78
3.2.3 Obtención de los coeficientes aerodinámicos ................................................80
3.3 Obtención de las funciones de flameo ..................................................................81
3.3.1 Estimación mediante la aproximación cuasi estática.....................................85
3.3.2 Cálculo a partir de ensayos seccionales con vibración forzada .....................87
3.3.3 Cálculo a partir de ensayos seccionales en vibración libre............................93
3.4 Ensayos aeroelásticos en vibración libre.............................................................107
3.4.1 Modelo seccional .........................................................................................107
3.4.2 Sustentación del modelo seccional...............................................................109
3.4.3 Realización del ensayo con tres grados de libertad......................................119
3.5 Programa PCTUVI..............................................................................................123
3.5.1 Menú calibración..........................................................................................124
3.5.2 Menú ensayos...............................................................................................127
3.6 Ejemplos de ensayos seccionales........................................................................132
3.6.1 Ensayos aerodinámicos ................................................................................134
3.6.2 Ensayos aeroelásticos...................................................................................136
3.7 Referencias..........................................................................................................150
CAPITULO 4
AVANCES EN EL ANÁLISIS DE LA INESTABILIDAD DE FLAMEO ...........155
4.1 Introducción ........................................................................................................155
4.2 Formulación matricial del flameo de puentes.....................................................156
4.3 Geometría deformada debida a la carga de viento estática.................................169
4.3.1 Perfil de viento en altura ..............................................................................171
4.3.2 Carga de viento estática ...............................................................................172
4.4 Análisis no lineal de la deformada debida a la carga de viento estática .............175
4.4.1 Método iterativo en rigidez y fuerzas (ΙKF) ................................................176
4.4.2 Método incremental en rigidez y fuerzas (∆KF)..........................................179
4.4.3 Método incremental-iterativo en rigidez y fuerzas (∆ΙKF)..........................181
4.4.4 Método incremental-iterativo en fuerzas (∆IF)............................................183
4.4.5 Comparación de los métodos ∆IKF y ∆IF ...................................................187

4.5 Influencia de la carga de viento estática en los modos y frecuencias naturales de
vibración ...................................................................................................................199
4.6 Influencia de la carga de viento estática en la velocidad de flameo ...................201
4.6.1 Ejemplo del puente sobre el estrecho de Messina .......................................201
4.6.2 Ejemplo del puente sobre el estrecho de Akashi .........................................206
4.7 Referencias..........................................................................................................225
CAPITULO 5
AVANCES EN EL ANÁLISIS DEL FENÓMENO DEL BATANEO...................227
5.1 Introducción........................................................................................................227
5.2 Definición del viento como proceso aleatorio ....................................................229
5.2.1 Procesos estocásticos ...................................................................................229
5.2.2 Descripción del viento turbulento................................................................238
5.3 Fuerzas de bataneo..............................................................................................245
5.4 Formulación del bataneo en el dominio de la frecuencia ...................................249
5.5 Análisis del bataneo en el puente sobre el estrecho de Akashi...........................253
5.5.1 Estructura .....................................................................................................253
5.5.2 Carga de viento ............................................................................................254
5.5.3 Respuesta estructural de movimientos.........................................................259
5.6 Análisis del bataneo en el puente sobre el estrecho de Messina.........................264
5.6.1 Estructura .....................................................................................................264
5.6.2 Carga de viento ............................................................................................264
5.6.3 Respuesta estructural de movimientos.........................................................268
5.7 Referencias..........................................................................................................270
CAPITULO 6
MÉTODOS DE ANÁLISIS AEROELÁSTICO DE PUENTES EN EL DOMINIO
DEL TIEMPO.............................................................................................................273
6.1 Introducción........................................................................................................273
6.2 Teoría de Theodorsen y las funciones de flameo................................................275
6.3 Teoría de Wagner y las funciones indiciales. .....................................................282
6.4 Obtención de las funciones indiciales a partir de funciones de flameo ..............287
6.4.1 Método de mínimos cuadrados no lineales..................................................289
6.4.2 Método de integración directa .....................................................................290
6.4.3 Funciones indiciales de la placa plana.........................................................292
6.4.4 Funciones indiciales de la sección de un tablero de puente.........................297

6.5 Respuesta en el tiempo mediante la transformada inversa de fourier (IFTR).....299
6.6 Formulación cuasi estática (QS) .........................................................................302
6.6.1 Deducción de la formulación de Scanlan a partir de la teoría cuasi estática.
...............................................................................................................................304
6.7 Método de superposición de bandas (BS)...........................................................312
6.7.1 Elección de las bandas .................................................................................313
6.7.2 Método de Superposición de Bandas con Frecuencia de Banda y
Aproximación Cuasi Estática (BSWbandQ).........................................................315
6.7.3 Método de Superposición de Bandas con Frecuencia Aeroelástica y
Aproximación Cuasi Estática (BSWdaQ).............................................................320
6.8 Simulación de las fluctuaciones de viento ..........................................................323
6.8.1 Método de Shinozuka-Deodatis ...................................................................323
6.8.2 Ejemplo de generación de fluctuaciones de viento......................................327
6.9 Respuesta de un sistema en el dominio del tiempo mediante integración paso a
paso. ..........................................................................................................................335
6.9.1 Métodos paso a paso de Wilson-θ................................................................336
6.10 Ejemplos de aplicación .....................................................................................337
6.10.1 Respuesta de una placa plana con un grado de libertad.............................337
6.10.2 Puente sobre el estrecho de Akashi............................................................348
6.10.3 Puente sobre el estrecho de Messina..........................................................355
6.11 Referencias........................................................................................................361
CAPITULO 7
PROGRAMA NLAB...................................................................................................367
7.1 Introducción ........................................................................................................367
7.2 Instalación ...........................................................................................................369
7.3 Descripción del programa ...................................................................................371
00 Input .................................................................................................................371
01 Static Deformation ...........................................................................................392
02 Flutter Analysis (Laminar Flow)......................................................................396
03 IFTR (Laminar Flow).......................................................................................400
04 Spectral Analysis (Turbulent Flow).................................................................403
05 IFTR (Turbulent Flow) ....................................................................................410
06 BsWband (Turbulent Flow) .............................................................................414
07 BsWda (Turbulent Flow) .................................................................................416

08 BsWbandQ (Turbulent Flow) ..........................................................................419
09 BsWdaQ (Turbulent Flow) ..............................................................................421
CAPITULO 8
CONCLUSIONES.......................................................................................................425
8.1 Conclusiones generales.......................................................................................425
8.2 Conclusiones sobre la realización de ensayos seccionales .................................428
8.3 Conclusiones relativas al cálculo de la deformada debida a la carga de viento
estática.......................................................................................................................429
8.4 Conclusiones sobre el cálculo de la inestabilidad del flameo mediante análisis de
autovalores................................................................................................................430
8.5 Conclusiones sobre el cálculo de la respuesta frente al bataneo en el dominio de la
frecuencia..................................................................................................................431
8.6 Conclusiones sobre el análisis en el dominio del tiempo ...................................431
8.7 Líneas de investigación futuras...........................................................................433
CHAPTER 8
CONCLUSIONS .........................................................................................................435
8.1 Conclusions.........................................................................................................435
8.2 Conclusions about sectional tests........................................................................438
8.3 Conclusions about calculation of the deformed shape due to static wind forces439
8.4 Conclusions about flutter instability analysis calculating aeroelastic eigenvalues
...................................................................................................................................440
8.5 Conclusions about buffeting response analysis in frequency domain ................441
8.6 Conclusions about time domain analysis............................................................441
8.7 Further work........................................................................................................442
ANEXO 1
FUNCIONES DE FLAMEO DEL PUENTE DE MESSINA SEGÚN EL
CONVENIO DE ZASSO............................................................................................445
ÍNDICE DE FIGURAS...............................................................................................455
ÍNDICE DE TABLAS.................................................................................................467
Equation Chapter 1 Section 1

1
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN
1.1 MOTIVACIÓN Y OBJETIVOS
Desde muy temprana edad, el hombre ha buscado salvar las barreras geográficas que
impedían la comunicación y el comercio entre distintos pueblos. De forma lenta pero
continuada ha mejorado la fiabilidad y la calidad de las soluciones a estas barreras
naturales convirtiéndolas en nexos fijos y directos en los cuales los puentes juegan un
papel fundamental. La evolución tecnológica en el campo de la ingeniería civil ha
permitido que estas estructuras aumenten de tal manera su tamaño, en especial la
longitud de los vanos, que generaciones anteriores las considerarían como
inconcebibles. La razón de estos avances ha sido en buena medida el coraje y el
esfuerzo de unos pocos ingenieros que supieron convencer a la sociedad de que era
capaz de alcanzar esos logros, gracias a la experiencia práctica y la profundización en el
estudio de los fenómenos físicos que afectan al comportamiento de estas estructuras.
El desconocimiento de los efectos del viento motivó numerosos problemas durante el
siglo XIX cuando el avance de la revolución industrial y la aparición de nuevos
materiales de construcción impulso a los ingenieros a aumentar la longitud de vano de
los puentes. El viento fue el causante de la destrucción del puente de Brighton (UK
1836), del puente del estrecho de Menai (UK 1839) y del puente de Wheeling (USA
1854). Sin embargo, el colapso que tuvo un mayor impacto sobre la ingeniería y la
sociedad fue el del puente sobre el estrecho de Tacoma ya en el siglo XX, en 1940,
cuando se creía que las técnicas de cálculo de este tipo de puentes estaban
suficientemente desarrolladas.

Capítulo 1 INTRODUCCIÓN
2
Una de las consecuencias del desastre de Tacoma fue la incorporación de la
aeroelasticidad a la ingeniería de puentes. Esta ciencia nació en el seno de la ingeniería
aeronáutica, en el análisis de los perfiles de alas de aviones y en general estudia el
comportamiento de un cuerpo deformable sumergido en un medio fluido en movimiento
y la interacción recíproca existente entre las fuerzas que ejerce el fluido y la
deformación del cuerpo. Los avances producidos en la aeroelasticidad desde el desastre
de Tacoma han traído consigo mejoras en el diseño de puentes como el empleo por
primera vez de una sección aerodinámica en el tablero del puente sobre el río Severn en
Inglaterra en 1966 con 1083 m de vano, y un gran aumento en la longitud de la distancia
entre torres como ha sucedido con el puente del Gran Belt (1998) de 1624 m o el puente
sobre el estrecho de Akashi, actual récord con 1991 m entre torres y tablero en celosía.
La distancia entre torres seguirá ampliándose en el futuro con la construcción del puente
sobre el estrecho de Messina cuya longitud de vano será de 3300 m, y con nuevas ideas
para salvar barreras naturales como el proyecto del puente en la bahía de Tokio (2250 m
de vano principal). En España también existen estudios de construcción de este tipo de
puentes de gran vano como el enlace Rías Altas, en donde se han proyectado dos
puentes de más de 2 km de vano principal.
Entre los fenómenos que aparecen por efecto de la interacción entre el viento y la
estructura de los puentes colgantes, el más peligroso por su carácter destructivo es el
flameo. El flameo se produce a partir de una cierta velocidad crítica haciendo que una
pequeña oscilación se amplifique hasta que la estructura colapsa. Existen distintas
técnicas para su estudio en un puente entre las cuales se encuentra la metodología
híbrida que se ha venido desarrollando a partir de los trabajos publicados por Scanlan en
1971. Se denomina así por que consta de una fase experimental en donde se trabaja con
túneles de viento, donde se ensayan modelos reducidos de segmentos de tablero, y de
una fase computacional que determina con precisión el comportamiento de la estructura
completa.
Otro fenómeno que aparece por efecto del viento sobre los puentes de gran vano es el
bataneo. El bataneo son las vibraciones generadas en la estructura como consecuencia
de la naturaleza turbulenta del viento. Las rachas de viento de carácter aleatorio deben
considerarse como una carga dinámica que actúa sobre la estructura reduciendo la

3
operatividad si las oscilaciones que produce son de gran amplitud. Estas oscilaciones
reducen el tiempo de servicio del puente ya que pueden obligar a restringir el tráfico
para evitar accidentes y disminuyen su vida útil produciendo fatiga en los materiales.
Los primeros métodos híbridos creados para el análisis del bataneo de los puentes de
gran vano se basaban en el cálculo en el dominio de la frecuencia y proporcionaban las
desviaciones típicas de las vibraciones producidas por el viento turbulento. Actualmente
se están desarrollando métodos que permiten visualizar el comportamiento de la
estructura en el tiempo permitiendo también la aplicación de técnicas de análisis no
lineal de estructuras.
El estudio de los efectos del viento sobre los puentes resulta más complejo que en la
teoría de los perfiles que se utilizan en aeronáutica, ya que su forma no se puede
considerar como completamente aerodinámica debido a la presencia de barandillas y
barreras de protección. Por ello las secciones transversales de puentes necesitan
caracterizarse empleando modelos reducidos en túneles de viento identificando las
denominadas funciones de flameo que sirven para obtener las fuerzas aeroelásticas a
partir de los movimientos del tablero. Existen muy pocos laboratorios en el mundo
capaces de obtener simultáneamente las 18 funciones de flameo. Uno de los objetivos
de la presente tesis ha sido la obtención de las 18 funciones de flameo a partir de
ensayos seccionales en el túnel de viento de la E.T.S.I. de Caminos, Canales y Puertos
de la Universidad de la Coruña.
Los puentes de gran vano son estructuras muy flexibles que sufren grandes
movimientos por efecto de la deformada producida por la carga de viento estática. Esta
deformada hace que el ángulo de ataque a lo largo del tablero varíe de forma notable
hasta el punto de modificar el comportamiento aeroelástico de la propia estructura. Por
ello otro objetivo de la esta tesis ha sido averiguar la influencia de dicha variación en el
análisis de los fenómenos de flameo y bataneo.
Por otra parte, el análisis en el dominio de la frecuencia basado en la teoría de Scanlan
se fundamenta sobre la hipótesis de que las vibraciones producen pequeños
movimientos en la estructura y de que su comportamiento es lineal. Los métodos en el
dominio del tiempo prometen aportar la forma de eliminar estas dos hipótesis lo que

4
permitiría aumentar la precisión de los cálculos y diseñar estructuras más complejas.
Con este fin se plantea en la tesis el objetivo fundamental de estudiar los métodos en el
dominio del tiempo, para compararlos buscando los más eficientes e intentar mejorar su
aplicabilidad.
1.2 ORGANIZACIÓN DE LA MEMORIA-TESIS
Tras la introducción que se lleva a cabo en el primer capítulo, el capítulo 2 de la
presente tesis describe los fenómenos aeroelásticos que se presentan en los puentes de
gran vano y las tres metodologías que existen para su estudio: la metodología
experimental, los métodos basados en la mecánica computacional de fluidos, y la
metodología híbrida. Se exponen las ventajas y desventajas de unas metodologías frente
a las otras y se acota el ámbito de aplicación de cada una. Además, dado que la
metodología empleada a lo largo de la presente tesis es la híbrida, se exponen sus
fundamentos con mayor profundidad.
En el capítulo 3 se desarrolla la metodología para la caracterización aerodinámica y
aeroelástica de modelos seccionales de tableros de puentes utilizando el túnel de viento
de la E.T.S.I. de Caminos, Canales y Puertos de la Universidad de la Coruña. En primer
lugar se describe el procedimiento para la obtención de los coeficientes aerodinámicos
con un ensayo seccional con el modelo fijo. A continuación se describen los distintos
métodos existentes para la obtención de las funciones de flameo, tanto de forma
aproximada a partir de los coeficientes aerodinámicos, como mediante ensayos
experimentales. Se explica cómo obtener las 18 funciones de flameo con un modelo
seccional en vibración libre para lo cual se ha desarrollado un software denominado
PCTUVI que controla el túnel, adquiere los datos de los ensayos y a partir de los
mismos obtiene las funciones de flameo.
El capítulo 4 se dedica al análisis del flameo mediante el cálculo de autovalores. Se
explica la formulación matricial del flameo y se estudia la influencia que tiene en estos
análisis la consideración del ángulo de ataque modificado por la deformada que produce
la carga de viento estática. Para ello ha sido necesario previamente cuantificar la
influencia de dicha variación en el propio cálculo no lineal de la deformada que produce

5
la carga de viento estática, y en la modificación que produce esta deformación en los
modos y frecuencias naturales de vibración de la estructura.
El quinto capítulo trata el estudio de la respuesta frente al viento turbulento mediante
análisis espectral en el dominio de la frecuencia. A partir del espectro del viento en la
zona donde se ubica el puente es posible calcular el espectro de las vibraciones que
ocasiona en la estructura teniendo en cuenta también las fuerzas autoexcitadas que
conducen a la inestabilidad por flameo, y a partir de él la desviación típica de las
oscilaciones del puente. En este capítulo también se analiza cómo modifica la respuesta
frente al viento turbulento la variación del ángulo de ataque que produce la carga
estática del viento.
El capítulo 6 se centra en el cálculo de la respuesta de un puente colgante en el dominio
del tiempo. Se exponen y se comparan en primer lugar los dos métodos clásicos de
aeroelasticidad para la obtención de las fuerzas aeroelásticas que se basan en la
hipótesis de pequeños movimientos: la teoría de Theodorsen y la teoría de Wagner. La
teoría de Theodorsen es la precursora de la teoría de Scanlan que emplea las funciones
de flameo que dependen de la frecuencia, mientras que la teoría de Wagner emplea las
denominadas funciones indiciales que dependen del tiempo. Se compararán los
resultados de ambos métodos y se desarrollarán los procedimientos para la obtención de
las funciones indiciales a partir de las funciones de flameo. A continuación se
expondrán las dos teorías que admiten la hipótesis de grandes movimientos: la
formulación cuasi estática y el método de superposición de bandas. Como paso previo a
la comparación de los métodos de análisis de puentes en el dominio del tiempo, será
necesario simular un historial de velocidad de viento turbulento de referencia. Esto se
hará partiendo de espectros conocidos de fluctuaciones de velocidad de viento. La
respuesta estructural de movimientos se obtedrá mediante la integración directa paso a
paso de las ecuaciones aplicando métodos numéricos conocidos. Todos estos métodos
se van a aplicar en primer lugar sobre un sistema de un grado de libertad suponiendo la
forma aerodinámica simple de una placa plana. Posterioremente se llevarán a cabo
análisis del puente del estrecho de Akashi y del futuro puente de Messina.

6
El último capítulo antes de las conclusiones consiste básicamente en la descripción del
software elaborado durante la investigación, que implementa todos los tipos de análisis
que se han estudiado, tanto en el dominio del tiempo, como en el dominio de la
frecuencia, y con el que se han obtenido la mayor parte de los resultados mostrados.
Finálmente en el capítulo 8 se describen las conclusiones resultantes del conjunto de
investigaciones realizadas y se indican líneas futuras de extensión de los trabajos a otras
disciplinas asociadas a esta.
Equation Chapter (Next) Section 1

7
CAPÍTULO 2
METODOLOGÍAS AVANZADAS EN AEROELASTICIDAD
DE PUENTES DE GRAN VANO
2.1 INTRODUCCIÓN
El último siglo ha sido testigo de una evolución espectacular en la longitud de vano de
los grandes puentes colgantes, como son el puente del Gran Belt en Dinamarca con
1624 m entre torres, el del estrecho de Akashi en Japón con 1991 m o el futuro puente
sobre el estrecho de Messina en Italia con 3300 m. Este incremento de longitud hace
que estas estructuras sean cada vez más sensibles a las acciones del viento. Por otra
parte, la gran flexibilidad de este tipo de puentes conlleva la aparición de movimientos
importantes ocasionados por efecto del viento que modifican a su vez el flujo de aire
alrededor de la estructura. Esta dependencia recíproca entre las deformaciones y las
fuerzas del viento que las causan es un caso de interacción fluido-estructura y es el
objeto de estudio de la aeroelasticidad. Esta disciplina se define por tanto como la
ciencia dedicada al estudio de los fenómenos de interacción entre las fuerzas producidas
por el viento y los movimientos de las estructuras.
La aeroelasticidad surge inicialmente en el seno de la ingeniería aeronáutica y más tarde
se extiende al campo de la ingeniería civil. Adquirió importancia en la ingeniería de
puentes a raíz del bien conocido derrumbamiento en 1940 del puente de Tacoma (Figura
2.1), un puente diseñado con las mejores técnicas y métodos de cálculo de su época que,
tras cuatro meses de servicio, falló por efecto de un viento de solo 64

Capítulo 2 METODOLOGÍAS AVANZADAS EN AEROELASTICIDAD DE PUENTES DE GRAN VANO
8
km/h (Washington State Department of Transportation [130]). El colapso del puente de
Tacoma constató el desconocimiento que había de las acciones de viento en puentes, ya
que, según el cálculo realizado por el proyectista, el puente debía ser capaz de soportar
velocidades de viento muy superiores. Además para mayor asombro, los 800 m de vano
no suponían un récord que por aquel entonces ostentaba el Golden Gate (1280 m). Sin
embargo, sí se diferenciaba este puente por la sección bijácena del tablero frente a la
sección en celosía de tres planos del Golden Gate. Por ello, tras el desastre de Tacoma,
se reforzó la sección de ese puente cerrando el tablero con un cuarto plano de celosía
por la cara inferior.
Figura 2.1 Derrumbamiento del Puente de Tacoma en 1940. Washington State Department of
Transportation [130].
Otras consecuencias del desastre de Tacoma fueron el estancamiento en la construcción
de puentes de tanta longitud y la rigidización de la sección transversal de los mismos
mediante la adopción de celosías cerradas de gran canto para el tablero de estas
estructuras (Figura 2.2). Por otra parte, el colapso de Tacoma incitó a los ingenieros a
realizar numerosos estudios enfocados a explicar los fenómenos que tuvieron lugar allí,
como por ejemplo el trabajo de Ammann [2] o el de Wyatt & Walshe [132]; incluso

9
artículos recientes como los de Larsen [66] de 1997 siguen dedicándose a explicar lo
que ocurrió. El artículo de Yusuf & Scanlan [133] destaca por insistir en que el colapso
de la citada estructura fue consecuencia de la aparición del fenómeno aeroelástico del
flameo o flutter en la terminología inglesa y no fue un caso de resonancia como
explican erróneamente algunos libros de física.
Figura 2.2 Segundo puente del estrecho de Tacoma terminado en 1950. Washington State
Department of Transportation [130].
Para la comprensión y predicción de los fenómenos físicos que aparecen por causa de
las interacciones entre el viento y las estructuras, los ingenieros han estudiado su cálculo
mediante tres metodologías distintas:
• Metodología experimental
• Metodología híbrida
• Metodología computacional
La metodología experimental consiste en ensayar modelos reducidos de las estructuras
en túneles de viento. De las tres, es la más antigua y desarrollada. Con ella se han
estudiado y siguen estudiándose numerosas construcciones. Sin embargo, también

10
requiere instalaciones muy costosas que deben ser manejadas por ingenieros
experimentalistas especializados en este tipo de ensayos.
La metodología híbrida se compone de una primera etapa experimental para caracterizar
el comportamiento del tablero frente al viento y una segunda etapa en la que esta
información se utiliza en cálculos computacionales de un modelo estructural del puente
completo. Las instalaciones necesarias son más simples pero los resultados que
proporciona presentan la misma garantía que en los métodos completamente
experimentales.
La metodología computacional tiene por objetivo llevar a cabo el estudio aeroelástico
mediante simulación numérica de forma exclusiva. Para ello emplea métodos de
mecánica de fluidos computacional (Computational Fluid Dynamics, CFD). Con estos
métodos se han logrado grandes avances en muchos campos de la ingeniería como en la
aeronáutica, hidráulica, termodinámica… La aeroelasticidad computacional de puentes,
que podría incluirse dentro de la aerodinámica de cuerpos obtusos con números de
Reynolds altos, se encuentra todavía en fase de desarrollo. Sin embargo a pesar de la
dificultad actual para su aplicación, la mecánica computacional de fluidos promete ser
una herramienta muy útil en el futuro.
En este capítulo se describen en primer lugar los fenómenos físicos que aparecen en la
naturaleza por la interacción entre el viento y las estructuras. A continuación se hace un
repaso del estado actual de los métodos experimentales y se introduce la metodología
híbrida sobre la cual trata esta tesis, distinguiendo entre los análisis basados en el
dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia. Finalmente se explican algunos
conceptos sobre los métodos basados en la mecánica de fluidos computacional y se da
abundante información bibliográfica sobre estas prometedoras técnicas.

11
2.2 FENÓMENOS AEROELÁSTICOS
La interacción fluido-estructura que tiene lugar al incidir el viento sobre un cuerpo que
sufre movimientos da lugar a varios fenómenos aeroelásticos como se explica en Simiu
y Scanlan [114], Dowel [29] o Meseguer [83]:
• Divergencia torsional
• Desprendimiento de torbellinos
• Galope transversal
• Galope inducido por la estela
• Flameo
• Bataneo
2.2.1 Divergencia torsional
La divergencia torsional es una inestabilidad aeroelástica estática que se produce por el
aumento de la fuerza de momento aerodinámico debido al incremento del ángulo de
ataque por la deformación. Al aumentar el ángulo de ataque se modifica de nuevo el
momento, pudiéndose alcanzar un valor que no sea resistido por la estructura. Es un
problema más común en alas de avión que en tableros de puente para los cuales no suele
aparecer esta inestabilidad por su mayor rigidez a torsión.
2.2.2 Vibración inducida por desprendimiento de torbellinos
La vibración inducida por el desprendimiento de torbellinos (Vortex Induced Vibration)
es el fenómeno que se produce cuando la frecuencia de las fuerzas oscilantes causadas
por los torbellinos que se forman a sotavento de un cuerpo inmerso en el flujo de un
fluido coincide con su frecuencia natural de vibración. Debido a la forma no
aerodinámica de las secciones de tableros de puentes, al aumentar la velocidad del flujo,
la capa laminar se separa del contorno formándose una estela de torbellinos a sotavento
(Figura 2.3). Este fenómeno sucede cuando las fuerzas de inercia son más importantes
que las viscosas, es decir, cuando el número de Reynolds Re es grande:

12
Re
VBρ
µ
= (2.1)
donde V es la velocidad del fluido, ρ es la densidad (ρaire = 1.225 kg/m3
), µ es la
viscosidad (µaire = 1.7894e-5
kg/ms a 20 ºC), y B es la dimensión significativa que se
emplee, normalmente el ancho del tablero. Para un determinado rango de números de
Reynolds, la generación de torbellinos se produce con sentidos de giro alternativos
generando fuerzas de variación armónica.
Figura 2.3. Desprendimiento de torbellinos en las islas Canarias. NASA [90].
Si la frecuencia de las fuerzas generadas por el desprendimiento de torbellinos es
similar a la frecuencia natural del sistema elástico del cuerpo sobre el que incide el
viento se producen mayores amplitudes de oscilación. Además, en esta situación, el
movimiento de la sección controla la frecuencia de desprendimiento. Por ello, existe un
rango de velocidades de viento en el que se produce el acoplamiento entre la vibración
del sistema y el desprendimiento de vórtices (lock-in region) como se muestra en la
Figura 2.4 (Diana et al. [26], Larsen et al. [64]).

13
Velocidad de viento
Frecuencia
Frecuencia Natural.
Resonancia
Frecuencia de
desprendimiento
Figura 2.4 Evolución de la frecuencia de desprendimiento de torbellinos.
En tableros de puentes las vibraciones inducidas por los torbellinos se producen
normalmente para velocidades bajas de viento (24-46 km/h) sin efectos catastróficos
para la seguridad pero si peligrosos por problemas de fatiga e inaceptables para el
usuario (véase Astiz [4]). Por ello es importante suprimir estas oscilaciones en cuanto se
detectan. Las vibraciones inducidas por el desprendimiento de torbellinos suelen
producirse en el tablero aunque este fenómeno puede afectar a otros elementos como ha
sucedido recientemente durante la construcción a principios del año 2006 del puente
sobre el río Tajo en el embalse de Alcántara (Astiz [5]). En este puente, cuando se había
colocado el primero de los dos arcos y antes de construir el tablero, aparecieron unas
vibraciones apreciables a simple vista en las cuales el arco se movía con una geometría
antimétrica y de forma alternativa a la altura de los riñones (Figura 2.5). Después de
estudiar el problema en el túnel de viento de la Universidad Politécnica de Madrid, se
decidió modificar provisionalmente la sección transversal del arco añadiendo unos
alerones para reducir las vibraciones mientras se construía el tablero, como se muestra
en la Figura 2.6.
Figura 2.5 Forma de las vibraciones del puente sobre el embalse de Alcántara.

14
Figura 2.6 Puente sobre el embalse de Alcántara (izda). Detalle de alerones en arco (dcha).
EIPSA [30]
Una de las primeras explicaciones del colapso del puente de Tacoma fue precisamente
la creencia de que la excitación por torbellinos pudo originar las grandes deformaciones
que se observaron en el puente antes de su destrucción. Sin embargo, Yusuf y Scanlan
[133] explicaron claramente que la verdadera causa fue la interacción de la deformación
con el flujo de viento y por tanto se debió al fenómeno aeroelástico de flameo. Ha
habido otros puentes colgantes que presentaron cierta sensibilidad frente al fenómeno de
desprendimiento de torbellinos después de su construcción, como por ejemplo el
Golden Gate, Mil Islas, Isla de Deer, Fykesund, el Bronx-Whitestone (Vincent [126] y
Wardlaw [129]) y en el del Gran Belt (Frandsen [37]). También existen ejemplos de
puentes atirantados que han tenido problemas de vibraciones en el tablero o en los
cables debidas al este fenómeno: el de Longs Creek, el de Kessock y el del río Adige
(Belloli et al. [7]).
La forma de evitar la aparición de vibraciones debidas al desprendimiento de torbellinos
consiste en estudiar cuidadosamente la aerodinámica de la sección durante la fase de
diseño. Es posible también variar las frecuencias naturales de vibración para evitar que
se produzca el lock-in, o mitigar sus efectos aumentando el amortiguamiento estructural
mediante la adición de amortiguadores de masa afinados (Tuned Mass Dampers o
TMDs) (Ogata [94]).
En el puente de Bronx-Whitestone proyectado por Othmar Ammann (Figura 2.7) se han
empleado algunas de estas soluciones. El puente fue abierto al tráfico en 1939 con una
sección bijácena y seis carriles con un firme de hormigón. En 1940, después del colapso

15
de Tacoma, se le añadieron cables diagonales para estabilizar el tablero frente a vientos
fuertes. En 1946 le incorporaron unas celosías laterales de 4 m de alto que aumentaban
fundamentalmente la rigidez vertical del tablero así como su masa y oposición al viento.
En 1986 se montaron unos amortiguadores de masa afinados en el centro del vano.
Finalmente, y después de analizar la solución en el túnel de viento de la universidad de
Western Ontario, en la última modificación entre los años 2003 y 2004 se eliminaron las
celosías verticales, se sustituyó el firme de hormigón por uno más ligero de acero y de
resina epoxi, y se añadieron unos apéndices triangulares de fibra de vidrio en los
laterales del cajón para mejorar la aerodinámica del mismo.
Figura 2.7 Puente de Bronx-Whitestone en el 2002 (arriba) y en el 2003 (abajo).
New York Roads [50]

16
2.2.3 Galope
El galope transversal o galloping es una inestabilidad característica de estructuras muy
esbeltas, como por ejemplo cables de tendido eléctrico en zonas frías donde el hielo
puede hacer que la sección adquiera una forma parecida a una letra D. Suele darse a
frecuencias menores que la inestabilidad inducida por la generación de torbellinos y
produce oscilaciones en dirección perpendicular al flujo con amplitud hasta 10 veces
mayor que la sección, por lo que se trata de un movimiento de 2º orden con grandes
desplazamientos (Chabart & Lilien [19]).
El galope inducido por una estela o wake galloping es otra inestabilidad típica de los
cables de alta tensión, pero en este caso se produce en cables ubicados a sotavento de
otro. Debido a la estela de torbellinos que genera el cuerpo ubicado a barlovento, se
producen unas vibraciones siguiendo una órbita elíptica casi tangente a los límites de la
estela. Este fenómeno se ha observado en catenarias de ferrocarril y líneas eléctricas en
las que los cables se tienden paralelos unos a los otros.
Figura 2.8 Principales vibraciones aeroelásticas en cables de puentes. SRI Hybrid Limited [118]

17
Las vibraciones de cables en puentes atirantados (Figura 2.8) se suelen corregir
variando las frecuencias de vibración arriostrándolos en algún punto. También suelen
disponerse conexiones que permiten el giro en los extremos de los cables o
amortiguadores que absorben vibraciones (Figura 2.9). Conviene evitar estas acciones
sobre los cables ya que pueden llegar a causar la rotura frágil por fatiga.
Figura 2.9 Amortiguadores en los cables en el puente atirantado de Mannheim (Alemania).
2.2.4 Flameo
El flameo, flutter en inglés, es una inestabilidad aeroelástica en la cual las fuerzas del
viento cambian a causa de los movimientos de la estructura. De esta forma el viento
modifica la rigidez y el amortiguamiento del sistema. Cuando el amortiguamiento se
hace negativo un pequeño movimiento oscilatorio se amplifica exponencialmente hasta
que se produce el colapso estructural. El flameo sucede cuando la energía que se
transfiere del fluido a la estructura es tan grande que el amortiguamiento mecánico no es
capaz de disiparla. Se diferencia del desprendimiento de torbellinos en que los
desplazamientos no están limitados por el amortiguamiento estructural y se amplifican
exponencialmente. Además, una vez rebasada la velocidad crítica de flameo, este
movimiento ya no desaparece y se incrementa hasta el colapso de la estructura, mientras
que el fenómeno de desprendimiento de torbellinos se produce a frecuencias cercanas a

18
las naturales de la estructura en la llamada región lock-in, y al incrementar la velocidad
y cambiar la frecuencia de torbellinos, las vibraciones de mayor amplitud desaparecen.
Según Simiu y Scanlan [114] existen diferentes variedades de inestabilidad por flameo:
• Flameo clásico: se produce a la vez en los grados de libertad vertical y de torsión. Es
típico de alas de avión muy delgadas.
• Flameo por pérdida de sustentación: se produce en las alas de avión cuando el
ángulo de ataque se encuentra cerca de la posición de pérdida de sustentación. Se
debe a características no lineales de la fuerzas aeroelásticas en esta situación.
• Flameo en un grado de libertad: es típico de cuerpos no aerodinámicos o cuerpos
obtusos (bluff bodies) en las que existen movimientos predominantes en una
dirección.
• Flameo de paneles: oscilaciones producidas por el paso de un flujo de aire a gran
velocidad alrededor de una estructura laminar. Es típico de las láminas de cohetes
supersónicos. También es típico de banderas y cubiertas tensas de lona.
Dada la importancia del fenómeno del flameo para la seguridad de estructuras como
puentes de gran vano, es importante emplear medidas correctoras en la fase de diseño
para aumentar la velocidad crítica de flameo. Tales medidas son la modificación de
frecuencias naturales, el aumento del amortiguamiento o el cambio de forma en la
sección transversal del tablero (Cobo & Bengoechea [22]). Normalmente una sección
más alargada en el sentido del flujo es menos favorable a la aparición de inestabilidades
como el flameo o las vibraciones inducidas por torbellinos.
2.2.5 Bataneo
El bataneo, o buffeting, es el fenómeno que se produce por causa de la incidencia del
viento turbulento alrededor de una estructura esbelta. Este viento fluctuante puede
deberse a la formación de la estela de un cuerpo situado a barlovento, o al rozamiento
con una superficie que produzca una capa límite turbulenta (Simiu & Scanlan [114]). El
bataneo es un fenómeno más típico de las construcciones de ingeniería civil que de las
estructuras diseñadas en la ingeniería aeronáutica. Estructuras como puentes o edificios
de gran altura suelen estar sometidos a las turbulencias producidas por la orografía y las

19
edificaciones que le rodean. Las velocidades de viento fluctuantes que se originan en
estas situaciones deben analizarse como variables aleatorias en el espacio y en el tiempo
(Wirsching et al. [131] y Bocciolone et al. [10]). La respuesta de un puente de gran vano
frente al bataneo puede medirse en un túnel de viento de capa límite ensayando un
modelo completo que incluya la orografía colindante. También puede calcularse
computacionalmente utilizando análisis espectral para caracterizar la carga de viento
turbulento. Para ello se necesitan también datos experimentales obtenidos de ensayos
seccionales del tablero que definen su comportamiento aerodinámico y aeroelástico. El
estudio de fenómenos de flameo y bataneo es una parte fundamental de la presente tesis
por lo que se analizarán en capítulos sucesivos.
2.3 MÉTODOS EXPERIMENTALES
Como se ha mencionado anteriormente, los métodos experimentales se basan en el
empleo de modelos reducidos de estructuras completas ensayados en túneles de viento
para la obtención de la respuesta estructural frente a las acciones del viento. La historia
de los túneles de viento se remonta al siglo XIX. En aquel entonces no estaba tan claro
el modo en que debían ensayarse los objetos frente a la acción del viento. Sin embargo,
después la experimentación con brazos giratorios y otras máquinas en las cuales se
movía el cuerpo en lugar del aire, Frank H. Wenham construyó el primer túnel de viento
en 1871 en Inglaterra. Dicho túnel tenía una longitud de 3.6 m, una sección de 116 cm2
,
y su ventilador estaba impulsado por un motor de vapor. En él midió la sustentación y el
arrastre de varias secciones, lo cual tuvo un gran impacto en la aeronáutica de la época.
Desde entonces hasta la actualidad los túneles de viento han aumentado en número,
tamaño y velocidad de viento, logrando su mayor aplicabilidad en el campo de la
ingeniería aeronáutica y aeroespacial (Figura 2.10). En Baals & Corliss [6] se expone de
forma más detallada la historia de los túneles de viento.

20
Figura 2.10 Tipos de túnel de viento según el rango de velocidades. Baals & Corliss [6]
Por otro lado, los túneles de viento se han aplicado también en la ingeniería naval, en
automoción y en ingeniería civil entre otros campos. El primer estudio con túnel de
viento aplicado a construcciones según Holmes [49] data de 1893. En ese año W. C.
Kernot empleó un túnel de viento para medir la fuerza del viento sobre edificios. Kernot
estudió las fuerzas de viento sobre cubos, cilindros e incluso cubiertas. Al año siguiente,
según Larose y Franck [62], Irminger estudió las presiones ejercidas por el viento sobre
algunos cuerpos simples colocándolos en el interior de una chimenea.
En cuanto se refiere a la experimentación con puentes en túneles de viento no se conoce
ningún estudio significativo hasta los ensayos del modelo completo del primer puente
de Tacoma realizados por Farquharson [32] y supervisados por Von Kárman en 1942.
Farquharson ensayó en el túnel de viento de la Universidad de Washington [124] un
modelo de puente completo a escala 1/200 y un modelo de la sección del tablero a
escala 1/20 (Figura 2.11). En estos ensayos se modelaban tanto las cualidades
aerodinámicas del puente, como las propiedades estructurales, consiguiéndose
reproducir la interacción entre el fluido y la estructura. Por ello, este trabajo sirvió para
sentar las bases de la aeroelasticidad experimental de puentes.

21
Figura 2.11 Ensayo del modelo completo del puente de Tacoma. Washington State Department
of Transportation [130].
Desde los estudios de Farquharson el método experimental se ha desarrollado e
implantado mundialmente como técnica para modelar la respuesta estructural de puentes
frente a la acción del viento. Existe un número apreciable de túneles de viento de capa
límite que se dedican a este tipo de estudios entre los que se destacan: el de la
Universidad de Western Ontario [1] (Canadá), el del Danish Maritime Institute [24], el
del Politécnico de Milán [41], y el del Ministerio de la Construcción japonés en
Tsukuba [99].
El túnel de la Universidad de Western Ontario, comandado por Alan G. Davenport [25],
ha servido para el diseño aerodinámico de un gran número de puentes en todo el mundo
como por ejemplo la última modificación del puente de Bronx-Whitestone. El diseño
del puente del Gran Belt en Dinamarca fue estudiado en el túnel de viento del Danish
Maritime Institute por Larsen [64]. El diseño preliminar de 1992 del puente sobre el
estrecho de Messina también se ensayó en este túnel, mientras que el modelo del
proyecto constructivo se ensayó en el túnel del Politécnico de Milán [8]. En el túnel de
viento del Ministerio de la Construcción japonés en Tsukuba se ensayó el modelo del
puente sobre el estrecho de Akashi (Figura 2.12). Para ensayar el puente colgante con
mayor vano del mundo hubo que construir el túnel de viento de capa límite de mayores

22
dimensiones del mundo. La escala era 1/100 y por tanto la cámara de ensayos tenía más
de 40 m de anchura. Según el experimento para una velocidad equivalente de 268 km/h
el puente tendría una flecha horizontal de 30 m y un giro de 4º.
Figura 2.12 Modelo completo del puente sobre el estrecho de Akashi. PWRI [99].
12
3
4
5
6

23
Los túneles de viento mencionados anteriormente son túneles de capa límite. Esto
significa que buscan simular la capa límite atmosférica de la zona en donde se ubica la
estructura. Para ello en una fase previa se modela el terreno a una escala pequeña
(1:2000 a 1:5000) para conocer las características estadísticas de la turbulencia que
afecta al puente (Meseguer [83]). Entonces se ensaya el puente a una escala más grande
que puede variar entre 1:100 y 1:300 (Simiu [113]), y se genera una capa límite con las
características turbulentas obtenidas de los ensayos mencionados anteriormente o sobre
el terreno real. Para generar esta capa límite se disponen rugosidades durante una
longitud suficiente previa a la ubicación del modelo. Para que se pueda desarrollar esta
capa límite es necesaria una cámara de ensayos de gran longitud pudiendo llegar a ser
de decenas de metros.
Los modelos completos así ensayados deben ser semejantes geométricamente al
prototipo y mantener también la escala de frecuencias y rigideces para modelar
simultáneamente los efectos aerodinámicos y aeroelásticos. Además la escala no puede
ser muy grande para que la diferencia en el número de Reynolds no invalide los
resultados, todo lo cual complica y encarece la realización de estos experimentos. Por
otro lado, esta metodología se puede extender a todo tipo de estructuras flexibles en
donde puedan aparecer fenómenos aeroelásticos, como pueden ser cubiertas de estadios,
edificios, antenas, etc. Además de los fenómenos de flameo y bataneo, pueden
estudiarse el desprendimiento de torbellinos o el galope, o estudiar el campo de
velocidades alrededor del puente empleando líneas de humo, velocímetros de imágenes
de desplazamiento de partículas (PIV) (Raffel et al. [100]) o velocímetros láser-doppler
(LDV) (George & Lumley [4] y Cogotti [23]) como el ejemplo que se muestra en la
Figura 2.13.

24
Figura 2.13 Flujo detrás de un retrovisor obtenido con un LDV. Cogotti [23]
Según el Committe on Wind Effects de la ASCE los ensayos de modelo completo en
túnel de capa límite presentan las siguientes ventajas:
• Se representa la interacción entre todos los elementos del puente.
• Se modelan las distorsiones del flujo debidas a la presencia del terreno.
• Si la escala es suficiente pueden reproducirse las turbulencias de la ubicación real
del puente.
Entre las desventajas figuran:
• El gran coste de los modelos e instalaciones.
• Resulta muy difícil mantener la proporcionalidad en la geometría y a la vez en las
propiedades mecánicas.
• Las modificaciones en los modelos son difíciles de realizar.
Otra ventaja de este tipo de ensayos según Mosquera [88] y Nieto [91] es que permiten
la identificación de reacciones, movimientos, inestabilidades aeroelásticas, así como una
clara visualización de la deformación del modelo. Por otra parte, para que los resultados
sean válidos la escala no debe ser menor de 1:300, lo que obliga a aumentar el tamaño
del túnel de viento a medida que se incrementa la longitud del puente a ensayar.

25
Existen otros métodos experimentales para el estudio aeroelástico de los puentes aunque
su precisión es menor que la del modelo completo. Por ejemplo en algunos laboratorios
se ensayan modelos de tira tensa o taut strip models (Tanaka & Davenport [120]), que
consisten en una porción de tablero sujeta por cables tesados de manera que se
reproducen las primeras frecuencias de vibración torsional, vertical y horizontal del
tablero. Estos modelos proporcionan resultados menos precisos que los modelos
completos ya que en ellos solo se emplean las primeras frecuencias y no se reproduce la
forma de los modos de vibración. Además no se modela el resto de elementos del
puente ni la capa límite.
Por último, cabe añadir que, junto a los ensayos enfocados a la obtención de la
estructura global del puente, puede ser necesario estudiar los efectos locales sobre
algunas partes como cables o barreras de viento (Jones et al. [52]). En estos casos no es
necesario un túnel de viento de tan grandes dimensiones ya que, además de no requerir
la simulación de la capa límite, los elementos a ensayar no requieren escalas grandes.
2.4 MÉTODOS HÍBRIDOS
Los métodos híbridos de aeroelasticidad en puentes se distinguen por emplear el cálculo
computacional para la simulación de la respuesta estructural, y los ensayos en túnel de
viento para la definición de las cargas de viento por unidad de longitud sobre el tablero.
En primer lugar, en el túnel de viento se ensaya un modelo seccional del tablero
obteniéndose los coeficientes aerodinámicos con los que se modela la carga estática, y
las funciones de flameo, que definen las fuerzas aeroelásticas. Por otro lado la
deformada ocasionada por la carga de viento estática y las tensiones en materiales se
obtienen computacionalmente analizando un modelo de elementos finitos. Estos
métodos de cálculo presentan importantes ventajas sobre el ensayo de modelos
completos en un túnel de capa límite. En primer lugar, no dependen de la longitud del
puente y no necesitan instalaciones tan grandes y costosas. Permiten también la
modificación sencilla de parámetros estructurales durante la fase computacional. Por
ejemplo se puede modificar la colocación de los cables (Jurado et al. [54], Hernández et
al. [48]). Incluso es posible la optimización de las propiedades mecánicas de la

26
estructura (Nieto [91], Jurado et al. [53], Mosquera et al. [89], Hernández et al. [44]).
Sin embargo, el ensayo proporciona menos información estructural que el otro método y
la visualización de la evolución de los movimientos del puente completo es imposible.
El grupo de Mecánica de Estructuras de la Universidad de la Coruña, salva esta última
desventaja empleando visualización avanzada por computador (Figura 2.14) para
representar los movimientos en el tiempo con datos precisos y alta calidad gráfica,
consiguiéndose de esta forma aunar las ventajas de los métodos experimentales y
computacionales (Hernández y Jurado [47]).
Figura 2.14 Visualización avanzada de la respuesta aeroelástica de un puente. Hernández [45].
La presente tesis emplea el método híbrido para el estudio de los fenómenos
aeroelásticos de flameo y bataneo de puentes de gran vano. Mediante métodos híbridos

27
es posible estudiar también el galope o el fenómeno de desprendimiento de torbellinos
en el tablero o en los cables (Diana et al. [26]). La base de los métodos híbridos está en
la modelización experimental de las fuerzas que produce el viento sobre el tablero. Éstas
se dividen en fuerzas estáticas o aerodinámicas fs debidas a las velocidades de viento
medias, fuerzas aeroelásticas fa inducidas por los movimientos del tablero, y fuerzas de
bataneo fb producidas por las turbulencias del flujo. Las distintas fuerzas se introducen
en la ecuación de equilibrio dinámico del tablero
· · · s a b+ + = + +M u C u K u f f f (2.2)
donde M, C y K son respectivamente las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez
del sistema, y u el vector de desplazamientos.
2.4.1 Fuerzas aerodinámicas
Las fuerzas aerodinámicas fs de arrastre Ds, sustentación Ls y momento Ms se modelan
empleando coeficientes adimensionales aerodinámicos CD, CL y CM . Estas fuerzas
cuyos sentidos se toman positivos según se indica en la Figura 2.15 se calculan en un
túnel de viento aerodinámico ensayando un modelo seccional de tablero fijo, con todos
los movimientos impedidos. Las fuerzas aerodinámicas dependen del ángulo de ataque
α que se define como el ángulo entre la dirección del viento medio y el eje horizontal de
la sección. Para un tablero de anchura B, con velocidad viento V y densidad del aire ρ
las fuerzas por unidad de longitud en forma vectorial son:
2
( )
1
( )
2
( )
s D
s s L
s M
D C
L V B C
M BC
α
ρ α
α
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
= = ⋅⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
f (2.3)

28
V
Ls
Ms
α
Ds
Figura 2.15. Criterio de signos de las fuerzas aerodinámicas.
En la Figura 2.17 se muestran los coeficientes aerodinámicos obtenidos en el túnel de
viento de la E.T.S.I. de Caminos, Canales y Puertos de La Coruña para una sección
semejante al tablero del Gran Belt. Un ejemplo de ensayo seccional aerodinámico puede
observarse en la fotografía de la Figura 2.16.
Figura 2.16. Ensayo aerodinámico en el túnel de la ETSI de Caminos Canales y Puertos de La
Coruña.

29
0,00
0,20
0,40
-20 0 20
Ángulo de ataque (º)
Cd
-1,00
0,00
1,00
-20 0 20
Cl
-0,10
0,00
0,10
-20 0 20
Cm
Figura 2.17. Coeficientes aerodinámicos calculados de una sección semejante a la del Gran Belt
calculados por Rey [102].

30
Experimentalmente se comprueba que los coeficientes aerodinámicos de cuerpos
obtusos varían en función del número de Reynolds. En la Figura 2.18 se muestra la
evolución del coeficiente de arrastre de un cilindro al aumentar el número de Reynolds.
En función de la forma del flujo alrededor del cilindro y en la estela se distinguen varios
regímenes en los cuales los coeficientes aerodinámicos varían de forma distinta. El flujo
alrededor de las secciones de tableros de puentes se caracteriza por tener números de
Reynolds muy altos. Sin embargo en los túneles de viento convencionales no es posible
alcanzar estos números de Reynolds. Por ello cuando se obtienen los coeficientes
aerodinámicos es necesario comprobar que se ha alcanzado el régimen supercrítico en el
que los coeficientes aerodinámicos se estabilizan.
Figura 2.18. Coeficiente de arrastre de un cilindro en función del número de Reynolds.
2.4.2 Fuerzas aeroelásticas
Para modelar las fuerzas aeroelásticas fa sobre el tablero de un puente existen dos
posibilidades: la primera es emplear unas funciones adimensionales, denominadas de
flameo, que dependen de la frecuencia y de la velocidad del viento; la segunda es
utilizar funciones indiciales que sirven para expresar el régimen transitorio que se
produce en las fuerzas aerodinámicas cuando se produce un cambio brusco en el ángulo
de ataque.

31
Modelo de funciones de flameo
Las funciones de flameo fueron introducidas en 1971 por Scanlan [106] quien extendió
la teoría de Theodorsen para el flameo de una placa plana [122] a secciones de tableros
de puentes. Las fuerzas aeroelásticas por unidad de longitud linealizadas en función de
los movimientos y las velocidades del tablero según la teoría de Scanlan son las
siguientes (Figura 2.19):
* * * * * *
1 5 2 4 6 3
* * * 2 2 * * *
5 1 2 6 4 3
* * 2 * * * 2 *
5 1 2 6 4 3
1 1
· ·
2 2
a
l
a a
a
a a
D P P BP p P P BP p
L VKB H H BH h V K H H BH h
M BA BA B A BA BA B A
ρ ρ
α α
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
= = + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= +
f
C u K u
(2.4)
donde ρ es la densidad del aire, V es la velocidad media del viento, B es el ancho total
de la sección y Pi
*
, Hi
*
, Ai
*
con i = 1…6 son las funciones de flameo o de Scanlan que
deben calcularse experimentalmente para un ángulo de ataque α. Estas funciones
dependen de la forma de la sección, y varían con la frecuencia de oscilación ω
expresada adimensionalmente como frecuencia reducida K = ωB/V = 2k (Jurado et al.
[58]).
V
α
h
La
Da
p
Ma
Figura 2.19 Criterio de signos de Scanlan para desplazamientos y fuerzas en la sección del
tablero de un puente.
La expresión de las fuerzas aeroelásticas mediante las funciones de flameo (2.4) permite
el análisis de la condición de flameo empleando el cálculo de autovalores (Jurado [56]).

32
Suponiendo que sólo actúan las fuerzas aeroelásticas y escribiendo en forma matricial la
ecuación de equilibrio dinámico del tablero queda como
a a a+ + = = +Mu Cu Ku f C u K u (2.5)
donde Ka y Ca son respectivamente las matrices aeroelásticas de rigidez y
amortiguamiento que se calculan empleando las funciones de flameo. Como se verá en
el capítulo 4, a partir de (2.5) se llega a un problema de autovalores de la forma
( ) 0wIA =− t
eµ
µµ (2.6)
donde en la formación de la matriz A intervienen las matrices K, Ka, C y Ca. Cuando se
alcanza la velocidad crítica de flameo, alguno de los autovalores µ presenta un
amortiguamiento nulo, lo que es síntoma del umbral de la inestabilidad.
Este método para el cálculo del flameo no tiene en cuenta la influencia de las fuerzas
turbulentas en el fenómeno. Una posible mejora que se plantea en esta tesis es introducir
el ángulo de ataque dinámico en el cálculo de la respuesta, lo cual puede resultar
importante teniendo en cuenta que el flameo afecta directamente a la seguridad del
puente. En el capítulo 4, se analiza la influencia sobre el flameo del ángulo de ataque
debido a la deformada que produce la carga de viento estática empleando el cálculo de
autovalores. En el capítulo 6 se estudia mediante un análisis en el dominio del tiempo la
influencia del ángulo de ataque dinámico. El ángulo de ataque dinámico es el que forma
la línea media de la sección con la resultante de componer el vector de la velocidad
media del viento con la dirección instantánea de las fluctuaciones y del movimiento de
la sección.
Por otra parte, la obtención de las funciones de flameo es una tarea compleja ya que
dependen de la frecuencia de vibración. Existen tres formas diferentes de obtenerlas a
partir de ensayos de un modelo seccional en un túnel de viento. La primera es
imponiendo un movimiento armónico con un sistema de control activo como el
empleado en el túnel de viento del Politécnico de Milán [27]. La segunda es a partir de

33
la vibración libre de una sección inmersa en un flujo de viento. En este caso las
funciones de flameo se obtienen midiendo la variación de la rigidez y del
amortiguamiento al aumentar la velocidad del viento (Sarkar et al. [105], León et al.
[75] y [76]). Por último, existe la posibilidad de estimar el valor de las funciones de
flameo a partir de la respuesta de la estructura frente a una carga de viento aleatoria
como el trabajo realizado por Gu [43] o el de Zasso et al. [134].
En el capítulo 3 de la presente tesis se trata la obtención de las funciones de flameo
mediante ensayos seccionales en vibración libre (León et al. [78], Jurado et al. [57]). Se
ha desarrollado una metodología para la realización de ensayos de hasta tres grados de
libertad, y un software que obtiene los desplazamientos del modelo durante la
realización de los ensayos. Este software (León et al. [77] y Nieto et al. [92]) obtiene las
propiedades de rigidez y amortiguamiento del sistema con y sin viento empleando el
método en el dominio del Tiempo de Ibrahím Modificado (MITD) (Maia & Silva [81]).
Finalmente, a partir de la rigidez y amortiguamiento con y sin viento, obtiene las
funciones de flameo.
Modelo de funciones indiciales
Por otra parte, en la teoría de Wagner [127] se emplean las funciones indiciales (Figura
2.20) que expresan la variación con el tiempo de la carga aerodinámica tras un cambio
brusco con el ángulo de ataque. Para la placa plana Wagner demostró que esta fuerza es
la mitad en el instante inicial y tiende al valor estático a tiempo infinito.
Figura 2.20. Funciones indiciales de Jones )(sφ y Garrick )(sψ para la placa plana.
s=2Vt/B
)(sφ
)(sψ

34
Cuando se extiende esta teoría a secciones de tableros de puentes con tres grados de
libertad, las expresiones de las fuerzas aeroelásticas quedan como (Borri et al [11]):
( )
( ) )
2 ( ) ( )1 ˆ · (0) '( ) d
ˆ ˆ2
( ) ( )
(0) '( ) d
(0) ( ) '( ) ( ) d
s
D s D s
a D Dp Dp
D D
s
s s
Dh Dh
s
D s D s
C p s C p s
D s V BC Φ Φ
C V C V
h s h s
Φ Φ
V V
Φ s Φ sα α
σ
ρ σ σ
σ
σ σ
α σ α σ σ
−∞
−∞
−∞
⎛ ⎛ ⎞−
= − −⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜
⎝ ⎠⎝
⎛ ⎞−
+ + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ + −
∫
∫
∫
( )
( ) )
2 ( ) ( )1 ˆ · (0) '( ) d
ˆ ˆ2
( ) ( )
(0) '( ) d
(0) ( ) '( ) ( ) d
s
L s L s
a L Lp Lp
L L
s
s s
Lh Lh
s
L s L s
C p s C p s
L s V BC Φ Φ
C V C V
h s h s
Φ Φ
V V
Φ s Φ sα α
σ
ρ σ σ
σ
σ σ
α σ α σ σ
−∞
−∞
−∞
⎛ ⎛ ⎞−
= − −⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜
⎝ ⎠⎝
⎛ ⎞−
+ + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ + + −
∫
∫
∫
(2.7)
( )
( ) )
2 2 ( ) ( )1 ˆ · (0) '( ) d
ˆ ˆ2
( ) ( )
(0) '( ) d
(0) ( ) '( ) ( ) d
s
M s M s
a M Mp Mp
M M
s
s s
Mh Mh
s
M s M s
C p s C p s
M s V B C Φ Φ
C V C V
h s h s
Φ Φ
V V
Φ s Φ sα α
σ
ρ σ σ
σ
σ σ
α σ α σ σ
−∞
−∞
−∞
⎛ ⎛ ⎞−
= − −⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜
⎝ ⎠⎝
⎛ ⎞−
+ + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ + −
∫
∫
∫
En estas ecuaciones, aparece la derivada de los coeficientes aerodinámicos con respecto
al ángulo de ataque α : ˆ
DC , ˆ
LC y ˆ
MC , el tiempo adimensional 2 /s Vt B= y las
funciones indiciales QΦ α , QhΦ , QpΦ (donde Q=L, M y D) que describen la evolución de
las fuerzas de arrastre, sustentación y momento respectivamente, debidas a un
incremento unitario en el ángulo de ataque ( )s sα , la velocidad vertical
( )
( )s
dh s
h s
ds
= , (2.8)
y la velocidad lateral

35
( )
( )s
dp s
p s
ds
= (2.9)
definidas como componentes relativas con respecto a la posición de equilibrio principal.
El operador “˙” indica que se trata de la derivada con respecto a s. Las expresiones
derivadas de la teoría de Theodorsen y las derivadas de la teoría de Wagner son
equivalentes como se muestra en el capítulo 6.
Figura 2.21. Esquema del ensayo para la obtención de funciones indiciales sometiendo al
modelo a un giro brusco. Caracoglia [15]
La forma más extendida de obtener las funciones indiciales es a partir de las funciones
de flameo (Caracoglia [16]). Otra posibilidad es obtenerlas directamente mediante
ensayos seccionales en túnel de viento como el esquematizado en la Figura 2.21
(Caracoglia [15]) aunque este método plantea serias dificultades por la presencia de las
fuerzas inerciales.
2.4.3 Fuerzas de bataneo
Las otras fuerzas que quedan por reseñar son las fuerzas producidas por las turbulencias
del viento o fuerzas de bataneo fb. En la teoría de Scanlan estas fuerzas se calculan

36
empleando los coeficientes aerodinámicos, junto con las fluctuaciones de la velocidad
del viento
2
ˆ2
ˆ ( )2 ( )1
( )
( )2
ˆ2
D D
b
vl L L D
b b
v
b
M M
C C
V V
D
u tC C C
t L V B
w tV V
M
C C
B B
V V
ρ
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟⎧ ⎫
⎜ ⎟⎧ ⎫+⎪ ⎪
= = ⎜ ⎟⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎩ ⎭⎜ ⎟⎪ ⎪
⎩ ⎭ ⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
f
(2.10)
donde ρ es la densidad del aire, V es la velocidad media del viento, B es el ancho de la
sección del tablero, uv y wv son las velocidades de fluctuación en la dirección media del
viento y en dirección vertical, y CD, CL, CM, ˆC D, ˆC L, ˆC M, son los coeficientes
aerodinámicos de arrastre, sustentación y momento y sus correspondientes derivadas
con respecto al ángulo de ataque α. Para considerar un valor más preciso de las fuerzas
de bataneo que tenga en cuenta la variación de la frecuencia de las fluctuaciones, es
necesario corregir los valores de los coeficientes aerodinámicos y sus derivadas
mediante las denominadas funciones de admitancia que se suelen denotar vDuχ , vLuχ ,
vMuχ , vDwχ , vLwχ y vMwχ . La razón de que las fuerzas de bataneo dependan de la
frecuencia de los torbellinos se debe a la relación entre la frecuencia y el tamaño de los
mismos. Cuanto mayor es el torbellino, menor es su frecuencia. Asimismo, los
torbellinos de tamaño mucho mayor que la sección del tablero, afectan a éste en su
conjunto, casi como si fuera un cambio estático de la velocidad media mientras que los
más pequeños afectan al tablero de forma localizada pudiéndose compensar entre sí las
presiones que ejerce cada torbellino.
Empleando las funciones de admitancia para modificar las fuerzas de bataneo (2.10) en
función de la frecuencia se obtiene la siguiente expresión (Simiu & Scanlan [114]):
2
ˆ2
ˆ ( )2 ( )1
( )
( )2
ˆ2
v v
v v
v v
D D
Du Dw
b
vl L L D
b b Lu Lw
v
b
M M
Mu Mw
C C
V V
D
u tC C C
t L V B
w tV V
M
C C
B B
V V
χ χ
ρ χ χ
χ χ
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟⎧ ⎫
⎜ ⎟⎧ ⎫+⎪ ⎪
= = ⎜ ⎟⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎩ ⎭⎜ ⎟⎪ ⎪
⎩ ⎭ ⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
f
(2.11)

37
Por otra parte, al igual que con las funciones de flameo, existen equivalentes en el
dominio del tiempo de las funciones de admitancia (Lazzari [70]) análogas a las
funciones indiciales y que se pueden emplear junto con la teoría de Wagner.
2.4.4 Clasificación de los métodos híbridos según el tipo de análisis
Una vez que se tienen las fuerzas aerodinámicas, las fuerzas aeroelásticas y las fuerzas
de bataneo, puede emplearse la teoría de cálculo dinámico de estructuras y el método de
elementos finitos (Figura 2.22) para calcular la respuesta estructural. Con el método de
los elementos finitos se obtienen las matrices de masa M, rigidez K y amortiguamiento
C del problema dinámico
· · · s a b+ + = + +M u C u K u f f f (2.12)
Si se conocen las fuerzas para cada instante de tiempo es posible obtener la respuesta
dinámica mediante técnicas de integración paso a paso. Este modo de proceder se
denomina análisis en el dominio del tiempo y tiene como principal inconveniente que
requiere un gran esfuerzo computacional tanto en términos de memoria como de
potencia de cálculo. Por ello se han desarrollado primero técnicas en el dominio de la
frecuencia para el análisis híbrido. El análisis en el dominio de la frecuencia se
fundamenta en la descomposición en armónicos de todos los términos de la ecuación
(2.12) mediante la transformada de Fourier. Al mismo tiempo para disminuir el número
de grados de libertad y con ello la dimensión del problema se emplea el análisis modal.

38
Figura 2.22 Modelo de elementos finitos de un puente colgante. MIDAS [84]
Análisis en el dominio de la frecuencia
El análisis híbrido en el dominio de la frecuencia comienza por disminuir el número de
grados de libertad del sistema empleando análisis modal en la ecuación (2.12). El
análisis modal se basa en la descomposición de los movimientos u de la estructura en
una base vectorial =u Φq en donde la matriz de transporte Φ esta formada por los
modos propios de vibración de la estructura en columnas y el vector q se denomina
vector de participaciones ya que expresa la aportación de cada modo al movimiento.
Mediante esta transformación la ecuación (2.12) queda
( ) ( )· · ·a a b+ − + − =M Φq C C Φq K K Φq f (2.13)
donde Ka y Ca son las matrices aeroelásticas que se crean empleando las funciones de
flameo. Multiplicando por la izquierda por la transpuesta de la matriz de modos y
suponiendo que la solución es de la forma q = w·ei·ω·t
, se llega a

39
( ) ( ) ( )T
bt tω =V q Φ f (2.14)
donde a la matriz V(ω)
( )( ) ( )2
( ) T T
a aiω ω ω= − − + −V Φ K K Φ I Φ C C Φ (2.15)
se le denomina matriz de impedancia.
Para eliminar la variable temporal se lleva a cabo la transformada de Fourier de los dos
miembros con lo que el problema dinámico se reduce a resolver para cada frecuencia ω
un sistema de ecuaciones lineal de la forma
( )· ( ) ( )T
bω ω ω=V q Φ f (2.16)
donde ( ) i
( )· t
b b t e dtω
ω
∞
−
−∞
= ∫f f es la transformada de Fourier de las fuerzas de bataneo,
( ) i
( )· t
t e dtω
ω
∞
−
−∞
= ∫q q es la transformada de Fourier de la respuesta de cada uno de los
modos de vibración.
Por otra parte, dado que las fluctuaciones del viento uv y wv son aleatorias,
habitualmente se describen mediante funciones de densidad espectral en lugar de series
temporales (Jurado et al. [55] y León et al [73]). Las funciones de densidad espectral o
espectros son la expresión de la energía que transporta cada una de las ondas en que se
puede descomponer una serie temporal. El espectro del viento en un lugar concreto
puede medirse in-situ o estimarse a partir de un modelo del terreno en un túnel de viento
de capa límite. Es posible también emplear expresiones empíricas proporcionadas por
distintos autores para distintos tipos de terreno como las que se muestran en la Figura
2.23. Como se explica en el capítulo 5, a partir de los espectros del viento es posible
calcular los espectros de las fuerzas de bataneo, y a partir de estas últimas los espectros
de respuesta de la estructura. Por último, con los espectros de respuesta es posible
estimar la desviación típica de las vibraciones de la estructura.

40
Figura 2.23. Espectro de Kaimal y del Nacional Building Code of Canada. Simiu [113].
Este método de análisis produce un ahorro importante en el coste computacional del
cálculo. Sin embargo, el análisis en el dominio de la frecuencia tiene como contra
partida la imposibilidad de incluir en el cálculo algunos efectos no lineales como la
variación del ángulo de ataque a cada instante.
Análisis en el dominio del tiempo
El análisis aeroelástico en el dominio del tiempo consiste en la obtención paso a paso
(Clough [21]) de la respuesta de la estructura frente a la carga de viento. Los métodos
de integración paso a paso, como por ejemplo el de Euler-Gauss o los de Newmark,
permiten calcular los desplazamientos y sus derivadas en un instante a partir de los
desplazamientos y derivadas en un instante anterior. Para ello resuelven de manera
discreta la ecuación del equilibrio dinámico de la estructura
· · · s a b+ + = + +M u C u K u f f f . (2.17)
Estos métodos están muy extendidos en el cálculo dinámico de estructuras, sin embargo
su aplicación al análisis aeroelástico entraña la dificultad de la determinación de las
fuerzas aeroelásticas fa, ya que dependen de los movimientos de la propia estructura, y
de las fuerzas de bataneo fb, por depender de las fluctuaciones del viento que tienen un
carácter aleatorio. Por su parte, la respuesta frente a las fuerzas aerodinámicas fs suele
hacerse como paso previo mediante un cálculo estático que puede refinarse empleando
el perfil vertical de velocidades de viento y el ángulo de ataque de la estructura
deformada.

41
Como se describió en el punto 2.4.2 del presente capítulo, para la definición de las
fuerzas aeroelásticas fa pueden emplearse las funciones de flameo o las funciones
indiciales. Las funciones de flameo dependen de la frecuencia de los desplazamientos lo
que dificulta su utilización en el dominio del tiempo. Para resolver este problema es
posible recurrir a la descomposición en armónicos de la excitación o bien emplear las
frecuencias propias de vibración de la estructura como se explica en el capítulo 6 de la
presente tesis. Cuando se emplean funciones indiciales, las fuerzas aeroelásticas se
calculan en cada instante a partir de los desplazamientos en los instantes anteriores pero
no dependen de la frecuencia de la respuesta. Al requerir los movimientos de un periodo
de tiempo anterior suficientemente largo y no sólo del instante anterior como sucede
con el empleo de funciones de flameo, el uso de funciones indiciales demanda mucha
más memoria y además impide la variación del ángulo de ataque en cada instante de
tiempo.
Los métodos de análisis en el dominio del tiempo permiten la introducción de
numerosos efectos no lineales en el análisis aeroelástico. Ejemplos de estas no
linealidades son la variación de las propiedades mecánicas de la estructura por causa de
la deformación, la variación en el tiempo del ángulo de ataque debida a las turbulencias
de baja frecuencia, la inclusión de plastificación y contacto en el modelo de elementos
finitos, etc. Como inconveniente requieren más capacidad de cálculo y memoria que los
métodos en el dominio de la frecuencia.
El análisis en el dominio del tiempo de la respuesta aeroelástica de puentes es una
técnica joven por lo que existen muy pocos trabajos que traten el tema. Entre los más
recientes cabe destacar el de Caracoglia [17] del año 2000, y el de Rocchi [104] del
2004.

42
2.5 MÉTODOS COMPUTACIONALES
Los métodos computacionales de aeroelasticidad tienen por objetivo calcular la
interacción fluido-estructura prescindiendo de los ensayos en túnel de viento. Para poder
hacer efectivo su propósito, combinan el cálculo dinámico de estructuras y la mecánica
computacional de fluidos (Computacional Fluid Dynamics CFD). Hoy en día los CFD
se emplean profusamente en la ingeniería aeronáutica y otros campos, lo cual se
confirma por el gran número de programas comerciales que implementan esta
tecnología: AVL/FIRE, CFD-ACE+, EFDLab, CFD-FASTRAN, CFX y FLUENT de
ANSYS Inc., Coolit, FLOW-3D , KIVA, NUMECA, Phoenics, y STAR-CD. Con CFD
es posible modelar un gran número de problemas de fluidos: estacionarios o transitorios,
compresibles o incompresibles, con una o varias fases, con combustión, etc. Sin
embargo la simulación de flujo turbulento alrededor de cuerpos obtusos (bluff bodies)
con números de Reynolds altos, se encuentra en el límite de las posibilidades de los
CFD. La dificultad radica en que, en estas condiciones, el rango de tamaños del
fenómeno a simular es demasiado grande para las capacidades de cálculo actuales. Por
ello la mayoría de los ejemplos de aplicación que se encuentran en la literatura se
centran en geometrías sencillas como cilindros (Figura 2.24).
Figura 2.24. Vibración aeroelástica de un cable calculada mediante CFD. CERFAQS [18]

43
2.5.1 Ecuaciones de la mecánica de fluidos
Los modelos CFD resuelven las ecuaciones de Navier-Stokes de continuidad y
momento (Polyanin et al. [97]). La ecuación de continuidad expresa el balance entre la
masa de fluido introducida en el sistema y la que sale de él. Su expresión simplificada
para fluidos incompresibles y en ausencia de fuentes externas es
0
u v w
x y z
∂ ∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂
(2.18)
donde u, v y w son las componentes cartesianas de la velocidad del fluido en cada punto
e instante de tiempo t. La ecuación de momento en forma matricial se obtiene a partir
del equilibrio dinámico de la segunda ley de Newton
( )· ·p
t
ρ ρ τ ρ
∂
+ ∇ = −∇ + ∇ + +
∂
v
v v g f (2.19)
donde v es el vector velocidad de una partícula infinitesimal de fluido, ρ su densidad
que se supone constante, p es la presión, g es un vector de aceleración, f es un vector
que representa las fuerzas externas y por último τ es el tensor de esfuerzos viscosos
que se relacionan con los gradientes de velocidad mediante leyes constitutivas del
fluido. En coordenadas cartesianas cuando el fluido es isótropo y la densidad ρ y la
viscosidad µ son constantes, la ecuación de momento queda como
2 2 2
2 2 2 x x
u u v w p u u u
u v w g f
t x y z x x y z
ρ ρ ρ ρ µ ρ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + = − + + + + +⎜ ⎟
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
2 2 2
2 2 2 y y
v u v w p v v v
u v w g f
t x y z y x y z
ρ ρ ρ ρ µ ρ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + = − + + + + +⎜ ⎟
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
(2.20)
2 2 2
2 2 2 z z
w u v w p w w w
u v w g f
t x y z z x y z
ρ ρ ρ ρ µ ρ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + = − + + + + +⎜ ⎟
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

44
Cuando se desprecia la viscosidad (µ ≈ 0) se obtienen las ecuaciones de movimiento de
fluidos no viscosos. Estas ecuaciones se emplean para modelar flujos con números de
Reynolds extremadamente grandes como los que se dan alrededor de mísiles y obtener
una aproximación rápida de las fuerzas principales sobre el cuerpo.
2.5.2 Modelos de turbulencia
Dependiendo del método específico que se emplee cuando se calculan flujos turbulentos
con CFD, es necesario resolver otras ecuaciones además de las ecuaciones de Navier-
Stokes.
Simulación Numérica Directa (DNS)
El primer método ideado para resolver flujos turbulentos es la Simulación Numérica
Directa (Direct Numerical Simulation, DNS). Conceptualmente, es el método más
sencillo de todos ya que consiste en la resolución de las ecuaciones para todas las
escalas de turbulencia. Cuando un cuerpo obtuso o bluff body interfiere en un flujo, se
forman torbellinos en la parte posterior que se desplazan siguiendo la estela del cuerpo.
Estos torbellinos, a medida que viajan por la estela, van transmitiendo energía a
torbellinos más pequeños que producen turbulencias con frecuencias más bajas. Este
fenómeno se conoce como cascada de energía y puede observarse analizando el espectro
de las turbulencias en una estela (Figura 2.25). Cuanto mayor es la escala del torbellino
mayor es su número de Reynolds y mayor por tanto la importancia de los efectos
inerciales sobre los viscosos. Por el contrario, cuando el tamaño del torbellino es
suficientemente pequeño, las fuerzas inerciales se igualan a los efectos disipativos
viscosos (Re = 1) lo cual se manifiesta en el espectro como una caída abrupta de su
valor (Pope [98]).

45
Figura 2.25. PSD vs frecuencia espacial κ = 2π/λ
El tamaño de torbellino más pequeño se denomina escala de Kolmogorov [123] y puede
calcularse mediante la expresión
1
3 4
ν
η
ε
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
(2.21)
donde ν es la viscosidad cinemática del fluido y ε es la disipación de energía cinética
que depende del tamaño máximo de torbellino L y de su velocidad típica asociada u’:
3
'u
L
ε ≈ . (2.22)
De igual forma, la velocidad de los torbellinos más pequeños se denomina velocidad de
Kolmogorov v = (ν ε)1/4
, y su periodo T = η/v. Si se desea simular la escala de
Kolmogorov, deben definirse N puntos de integración a una distancia h de manera que
se cumpla la condición (Nh < η). Teniendo en cuenta que el número de Reynolds de los
torbellinos es
pendiente=-5/3
disipación
viscosa
generación
de vórtices
rango inercial
Espectrodepotencia
κ (cm-1
)

46
'
Re
u L
ν
= (2.23)
se deduce que la resolución de la malla de integración es proporcional a Re9/4
( 3 9/ 4
ReN ≥ ). Según Blazer [9] y Folich et al. [39] esto equivale a que el tiempo de
CPU es proporcional a Re3
y, por consiguiente, la Simulación Directa no es aplicable
hoy en día a problemas ingenieriles. De todas formas, es una herramienta útil para el
desarrollo de otros modelos de turbulencia. En la Figura 2.26 se muestra el resultado de
un DNS de un cilindro.
Figura 2.26. DNS del flujo turbulento alrededor de un cilindro. CERFAQS [18]
Los programas comerciales normalmente no implementan la simulación directa. Sin
embargo, suelen implementar un modelo laminar que resuelve únicamente las
ecuaciones de Navier-Stokes. Este modelo está indicado para números de Reynolds
bajos (Re<1000) donde no hay efectos turbulentos. (Fluent Inc. [33] y Ansys Cfx [3]).
Métodos de ecuaciones de Navier promediadas (RANS)
Una manera de evitar la simulación directa o DNS es trabajar con los valores medios de
las variables en lugar de trabajar con los valores instantáneos. En eso consisten los
métodos de ecuaciones de Navier promediadas o Reynolds Averaged Navier-Stokes

47
(RANS). A estas ecuaciones se llega introduciendo los cambios 'u u u= + , 'v v v= + ,
'w w w= + y 'p p p= + en las ecuaciones originales de Navier (2.18) y (2.20). Al
hacer esto, aparecen las correlaciones de las fluctuaciones o tensiones turbulentas ρ 2
'u ,
ρ 2
'v , ρ 2
'w , ρ ' 'u v , ρ ' 'u w y ρ ' 'v w , que deben calcularse mediante ecuaciones
adicionales, y dependiendo de las ecuaciones que se empleen para modelar estas
tensiones, se tienen distintos tipos de métodos RANS, que se clasifican en modelos de
viscosidad de remolino o Eddy Viscosity Models (EVM) y modelos de tensiones de
Reynolds o Reynolds Stress Models (RSM). Los principales EVM son por orden de
complejidad los modelos de cero ecuaciones, Spalart-Allmaras, k-ε y k-ω. Los EVM se
basan en la hipótesis de Boussinesq [12] que afirma que las tensiones turbulentas son
proporcionales al gradiente de velocidades y que la turbulencia es isótropa. Por su parte
los modelos de Tensiones de Reynolds (RSM) resuelven una ecuación de transporte
análoga a la de continuidad para cada elemento del tensor de tensiones turbulentas. Los
RSM son más precisos que los EVM cuando la anisotropía de la turbulencia juega un
papel importante en el flujo principal. De todas formas requieren la resolución de
muchas más ecuaciones lo cual incrementa el coste computacional y dificulta la
convergencia. Los modelos RANS se emplean extensamente en aplicaciones
industriales ya que proporcionan resultados suficientemente precisos sin requerir
demasiados recursos computacionales. El problema de los RANS es que al trabajar con
velocidades medias son incapaces de predecir fenómenos de naturaleza aleatoria como
el desprendimiento de torbellinos (Liaw [79]).
Modelos de simulación de torbellinos grandes (LES)
Otra forma de resolver flujos turbulentos con números de Reynolds altos es emplear
modelos de simulación de los torbellinos grandes denominados en la terminología
inglesa large eddy simulation (LES). Los LES consisten en resolver las ecuaciones de
Navier para los torbellinos de mayor tamaño y bajas frecuencias y emplear otras
ecuaciones para las escalas pequeñas. Las ecuaciones de los modelos LES se obtienen
filtrando las ecuaciones de Navier en el espacio. Con este filtrado las escalas pequeñas y
frecuencias altas, que son normalmente más disipativas e isotrópicas, se sustituyen por
viscosidades turbulentas µt que deben calcularse empleando un modelo de submalla. El
más popular es el modelo de Smagorinsky-Lilly (Smagorinsky [115] y Lilly [80])

48
basado en la hipótesis de Boussinesq [12] que calcula la viscosidad turbulenta a partir
de la longitud de mezcla. Esta longitud de mezcla la calcula como el producto de la
constante de Smagorinsky y la raíz cúbica del volumen del elemento. El problema de
este modelo de submalla funciona mal en las zonas laminares cerca de las paredes por lo
que se han desarrollado métodos para variar dinámicamente la constante de
Smagorinsky dentro del dominio (Modelo de Smagorinsky-Lilly dinámico). Otro
modelo de submalla es el modelo WALE, que se diseñó para flujo en tuberías, en el cual
se fuerza un perfil de velocidades en las zonas entre paredes. Por último está el Modelo
Dinámico de Energía Cinética que añade una ecuación de transporte para eliminar la
hipótesis de equilibrio local entre las distintas subescalas.
Simulación de remolinos separados (DES)
Para terminar con los métodos con malla, el modelo más reciente para el cálculo de
flujos turbulentos es el modelo de torbellinos separados o Detached Eddy Simulation
(DES) que consiste en emplear RANS para las zonas cerca de las paredes y LES en la
estela donde el flujo es transitorio y caótico. En la Figura 2.27 se muestra un ejemplo de
división del dominio según se haya empleando RANS o LES para su cálculo en un
instante determinado. Con este tipo de simulación, el tiempo de CPU requerido se
reduce con respecto a un modelo LES puro, lo cual resulta muy importante cuando se
trata de simular fenómenos con números de Reynolds altos. Como contrapartida, la
precisión de los DES es peor que la de los modelos LES. Los modelos DES han sido
desarrollados principalmente por el grupo de Boeing (Spalart [117]) y por los creadores
de ANSYS-CFX (Ansys Cfx [3]). Los primeros emplean el modelo RANS de Spalart-
Allmaras mientras que Menter [82] emplea el modelo SST.

49
Figura 2.27. Modelo DES. Regiones calculadas mediante RANS (rojo) y LES (azul) en un
instante determinado. Liaw [79]
2.5.3 Métodos numéricos en la mecánica de fluidos computacional
Para resolver las ecuaciones en derivadas parciales de los modelos anteriores hay que
recurrir a métodos numéricos. Los primeros en desarrollarse fueron los métodos con
malla: el método de las diferencias finitas (MDF), seguido por el método de los
elementos finitos (MEF), de los elementos de contorno (MEC) y el de los volúmenes
finitos (MVF). Por último, se han aplicado métodos sin malla a problemas de
turbulencia entre los que destaca el método de los vórtices discretos (MVD). Este
último método funciona de una manera radicalmente distinta a los otros métodos ya que
emplea una visión lagrangiana del proceso, esto es, en lugar de mantener un volumen de
control fijo como en los métodos anteriores, sigue el movimiento de las partículas del
fluido.
El método de los vórtices discretos está basado en la hipótesis de que para números de
Reynolds altos, el flujo se puede dividir en tres subdominios: el flujo libre irrotacional
lejos del cuerpo obtuso, el subdominio viscoso rotacional de la capa límite cercana a las
paredes del cuerpo y la estela rotacional. En este método no se define una malla del
dominio fluido. Sólo se definen los contornos y, comenzando desde los mismos, se traza

50
el transporte de la vorticidad mediante partículas. Además, resulta más fácil emplear
contornos móviles al no tener que modificar la malla. Las dificultades que entraña este
método están en la definición del radio del núcleo de cada partícula, de la circulación
que se desprende de cada elemento de contorno, de la distancia de desprendimiento y en
el coste computacional de la interacción entre partículas.
El método de las diferencias finitas se basa en emplear expansiones de Taylor para
resolver las ecuaciones en derivadas parciales mediante ecuaciones algebraicas cuyos
valores son los valores de las variables en los nodos de una malla. Es un método
sencillo y con él pueden alcanzarse resultados muy precisos. Sin embargo, requiere
mallas estructuradas lo que hace que sea complicado su empleo con geometrías
complejas.
El método de los elementos finitos divide el dominio en porciones llamadas elementos
de las cuales se estudian los valores en los vértices o nodos. Dentro de cada elemento,
los valores de las variables se interpolan a partir de los valores en los nodos con
diferentes funciones de forma que pueden ser lineales, cuadráticas, etc. Integrando las
ecuaciones en derivadas parciales en el dominio del elemento se obtienen unas
ecuaciones algebraicas que relacionan las variables en los nodos; y combinando varios
elementos se obtiene un sistema de ecuaciones que sirve para resolver el campo del
fluido en el dominio. Como contrapartida, su coste computacional es mayor que el del
método de las diferencias finitas y el de los volúmenes finitos.
El método de los volúmenes finitos divide el dominio en varios volúmenes de control.
En él las ecuaciones del fluido se integran y resuelven de forma iterativa para cada
volumen de control teniendo en cuenta las leyes de conservación. Este método permite
el empleo también de mallas no estructuradas y, dado que integra directamente las
ecuaciones, es más eficiente y fácil de programar que los elementos finitos.
Los dos métodos anteriores permiten, con ciertas modificaciones, la simulación de
contornos móviles. Es posible mover la malla como un sólido rígido o deformarla
durante la simulación en lo que se conoce como Arbitrary Lagrangian-Eulerian
approach (Nomura and Hughes [93], Tamura et al. [119] y Selvam et al. [107]). Para

51
ello, hay que incorporar a la ecuación (2.19) el movimiento de los nodos a la ecuación
de momento vg:
( ) ( ) ( )· ·g p
t
ρ ρ τ ρ
∂
⎡ ⎤+ ∇ − = −∇ + ∇ + +⎣ ⎦∂
v v v v g f (2.24)
Además, en los volúmenes finitos cabe la posibilidad de deslizar dos mallas con una
lámina de interpolación entre ambas (ver Figura 2.28 de sliding mesh Fluent Inc. [33])
Figura 2.28. Interface entre dos mallas. Fluent [34]
Cuando se aplican a problemas de turbulencia, tanto en el método de los elementos
finitos, como en el método de los volúmenes finitos, la definición de la malla es un paso
delicado y complejo ya que de ella depende por un lado el tiempo de computación y por
otro la convergencia. El número de elementos debe de ser el menor necesario para
representar el problema con el fin de limitar el tiempo de resolución. Por ello se suele
concentrar un mayor número de elementos donde el gradiente de las variables es mayor,
es decir, cerca de las paredes y en la estela. Asimismo, al mallar hay que cuidar varias
características de los elementos. Una es que la relación entre las dimensiones de los
lados del elemento denominada ratio de aspecto sea próximo a 1 y que el esviaje o
diferencia entre sus ángulos y los homólogos de un elemento equilátero y equiangular
sea casi nulo. Otra es que el tamaño entre celdas vecinas no debe variar más del 30 %
para que no se propague el error de truncamiento. Si no se tienen en cuenta estas
recomendaciones la interpolación de las variables en el dominio puede dar resultados
incorrectos.

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