Este documento describe diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de sustitución, igualación, reducción, método gráfico y métodos de eliminación gaussiana. Explica que un sistema de ecuaciones lineales consiste en un conjunto de ecuaciones que pueden ser compatibles y determinados, compatibles e indeterminados, o incompatibles. Además, describe algoritmos como el método de Gauss, Gauss-Jordan y eliminación de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando matrices.

1. NOMBRE: JUAN MARQUEZ
C.I:24161987
METERIA: ANALISIS NUMERICO
SECCION: SAIA B
.Sistema de ecuaciones lineales
.Solucion gaussiana

2. SISTEMA DE ECUACIÓN LINEAL:
UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES ES UN CONJUNTO DE ECUACIONES LINEALES DE LA
FORMA:
EN ESTE CASO TENEMOS M ECUACIONES Y N INCÓGNITAS. LOS NÚMEROS REALES SE
DENOMINAN COEFICIENTES Y LOS XI SE DENOMINAN INCÓGNITAS (O NÚMEROS A
DETERMINAR) Y SE DENOMINAN TÉRMINOS INDEPENDIENTES.
Tipos de sistemas:
En general, buscáremos las soluciones de los sistemas
en los números reales.
Sistema compatible determinado:
Un sistema compatible determinado tiene una sola solución
{3x-4y x=2 y=3
{2x+4y
Sistema compatible indeterminado:
Un sistema compatible indeterminado infinitas soluciones.
{x+y=1 {-2x-2y=-2
{2x+2y=2 {2x+y=2
Sistema incompatible:
Un sistema incompatible no tiene solución.
{x+y=3 {-2x-2y=-6
2x+2y=2 {2x+2y=2

3. Algoritmo para determinar si un sistema es compatible:
Podemos averiguar si un sistema es o no compatible mediante el teorema de Rouche´ Frobenius
que establece que un sistema de ecuaciones lineales es compatible sólo si el rango de su matriz
ampliada coincide con el de su matriz de coeficientes. Supongamos que el sistema es compatible.
Métodos de solución para sistemas de ecuaciones lineales:
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones con cualquier incógnita,
preferiblemente la que tenga menor coeficiente y a continuación sustituirla en otra ecuación por su
valor.
Igualación:
El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que
se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha
de ambas ecuaciones.
Reducción
Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los
casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales.

4. Método gráfico:
Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema.
El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones
mediante el método gráfico se resuelve en los siguientes
pasos:
Se despeja la incógnita en ambas ecuaciones.
Se construye para cada una de las dos ecuaciones de
primer grado obteniendo la tabla de valores
correspondientes.
Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes
coordenados.
En este último paso hay tres posibilidades:
 Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son
los únicos valores de las incógnitas (x,y). "Sistema compatible
determinado".
 Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas
soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos
de esa recta en la que coinciden ambas. «Sistema compatible
indeterminado».
 Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución en los
reales pero si en los complejos.

5. Métodos de Eliminación Gussiana utilizando métodos Numéricos :
En esta unidad examinaremos los aspectos numéricos que se presentan al resolver
sistemas de ecuaciones, utilizando matrices que permiten utilizar algoritmos para
resolver estos sistemas.
Métodos De Eliminación Gaussiana:
El proceso de eliminación de Gaussisana o de Gauss, consiste en realizar transformaciones elementales
en el sistema inicial (intercambio de filas, intercambio de columnas, multiplicación de filas o columnas
por constantes, operaciones con filas o columnas, . . . ), destinadas a transformarlo en un sistema
triangular superior, que resolveremos por remonte.
Método de Gauss-Jordan:
El proceso de eliminación de Gauss - Jordán consiste en realizar transformaciones elementales en el
sistema inicial, destinadas a transformarlo en un sistema diagonal. El número de operaciones
elementales de este método, es superior al del método de Gauss (alrededor de un 50% más).
Eliminación de Gauss-Jordan:
Una variante de este método, denominada eliminación de gauss-jordan, es un método aplicable
únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del
sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo
valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al
anterior de reducción, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico.