UNIDAD III. Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales Actividad 3. Slideshare Carlos Santos

1. UNIDAD III.
Solución de Sistemas de
Ecuaciones Lineales
Alumno:
Santos, Carlos.
C.I.V Nº 20.015.249
Análisis Numérico (SAIA-B)
Barquisimeto, Diciembre del 2016.
Universidad Fermín Toro
Vice Rectorado Académico
Facultad de Ingeniería
Escuela Mantenimiento Mecánico

2. Una ecuación lineal o de primer grado es
aquella que involucra solamente sumas y
restas de variables elevadas a la primera
potencia (elevadas a uno, que no se
escribe).
Son llamadas lineales por que se
pueden representar como rectas
en el sistema cartesiano.

3. Se denomina ecuación lineal a
aquella que tiene la forma de un
polinomio de primer grado, en otras
palabras a, las incógnitas no están
elevadas a potencias, ni multiplicadas
entre sí, ni en el denominador.
Las ecuaciones lineales con 2
incógnitas representan una
recta en el plano cartesiano.
Representación gráfica
de la recta en el plano

4. Se reducen términos semejantes cuando es posible.
Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros
de la ecuación y se simplifica.
Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.
Se hace la transposición de términos.
Primer
miembro
Segundo
miembro

6. Determinar la primera columna (a la izquierda) no cero.
Obtener ceros abajo del elemento delantero sumando múltiplos
adecuados a los renglones debajo de él.
Si el primer elemento de la columna es cero, intercambiarlo por un
renglón que no tenga cero.
También llamado Algoritmo de Gauss, propone la eliminación
progresiva de variables en el sistema de ecuaciones, hasta
tener sólo una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta
ésta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los
valores de todas las variables.
Consta de los siguientes pasos:

7. Cubrir el renglón y la columna de trabajo y repetir el proceso
comenzando en el paso 1. Al término del ciclo entre el paso 1 al 4
(es decir cuando se han barrido todos los renglones), la matriz
debería tener forma de escalón.
Comenzando con el último renglón no cero avanzar hacia arriba
para que en cada renglón tenga un 1 delantero y arriba de él
queden sólo ceros. Para ello debería sumar múltiplos adecuados
del renglón a los renglones correspondientes.

9. Determinar la primera columna (a la izquierda) no cero.
Obtener ceros arriba y abajo del 1 pivote sumando múltiplos
adecuados a los renglones debajo de renglón pivote en la matriz
completa.
Si el primer elemento de la columna es cero, intercambiarlo por un
renglón que no tenga cero. Multiplicar el renglón, y hacerlo 1. Este
primer 1 será llamado 1 pivote.
Consiste en realizar transformaciones elementales en el
sistema inicial, destinadas a transformarlo en un sistema
diagonal. El número de operaciones de este método, es mayor
en un 50% al del método de Gauss.
Pasos de este método:
Cubrir la columna y el renglón de trabajo y repetir el proceso
comenzando en el paso 1 con la columna siguiente.

11. Descomposición LU: A se factoriza en matrices triangulares inferior L
y superior U.
Sustitución: L y U se usan para determinar una solución X para un
lado derecho b. Primero se genera un vector intermedioY mediante
la sustitución hacia delante. Después el resultado se sustituye en la
ecuación para obtener mediante sustitución hacia atrás el valor de X.
Se basa en la descomposición de la matriz
original de coeficientes (A) en el producto de
dos matrices (L y U). Esto es: A=LU, siendo L la
MatrizTriangular Inferior y U la Matriz
Triangular Superior con todos los elementos de
la diagonal principal iguales a 1.
Consta de los siguientes pasos:

13. Una matriz simétrica definida positiva puede ser descompuesta
como el producto de una matriz triangular inferior y la
traspuesta de la matriz triangular inferior. La matriz triangular
inferior es el triángulo de Cholesky de la matriz original positiva
definida. El resultado de Cholesky ha sido extendido a matrices
con entradas complejas. Es una manera de resolver sistemas de
ecuaciones matriciales y se deriva de la factorización LU con
una pequeña variación.

15. La Factorización QR Dada una matriz cuadrada y no singular A de
orden n x n, entonces existe una matriz ortogonal Q y una matriz
triangular superior R tal que A = QR; esta es llamada la
factorización QR de A. Si la matriz A no es cuadrada y de orden m
x n con m mayor que n entonces:
donde R1 es una matriz triangular inferior de orden n x n y 0 es una matriz de ceros de
orden (m-n) x n.
Si la matriz A es de orden m x n con m menor que n entonces A =
QR = (R1 S); donde S es un matriz de orden (n-m) por m.
Existen tres métodos de obtener la factorización QR y uno de
ellos esTransformaciones Householder.

16. Transformaciones Householder y la factorización QR
Una matriz de la forma:
es llamada una matriz Householder, donde I es la matriz
identidad y u es un vector no nulo.
Propiedades de la matriz H:
a) |Hx|2=|x|2 para todo vector x. Es decir, la matriz
Householder no cambia la longitud del vector.
b) H es una matriz ortogonal.
c) H2= I
d) Det(H)=-1.

18. Primero se determina la ecuación de recurrencia. Para ello se ordenan
las ecuaciones y las incógnitas. De la ecuación i se despeja la incógnita
i. En notación matricial se escribirse como: x = c + Bx, donde x es el
vector de incógnitas.
Se itera en el ciclo que cambia la aproximación xi+1 = c + Bxi
Se toma una aproximación para las soluciones y a ésta se le designa
por x0
Es el método más simple y se aplica sólo a sistemas
cuadrados, es decir a sistemas con tantas incógnitas
como ecuaciones.

19. Matriz A 
D: matriz diagonal
L: matriz triangular inferior
U: matriz triangular superior
A𝑥 = b D𝑥 = b + (L + U) 𝑥 = b

20. Este método utiliza valores iniciales y después itera para obtener estimaciones
refinadas de la solución. Es un método indirecto, puesto que después de tener la
aproximación inicial, se repite el proceso hasta alcanzar la solución con un margen de
error tan pequeño como se desee.
La fórmula utilizada para hallar los xi viene dada por el despeje de cada una de
las xi en cada una de las ecuaciones. Los nuevos valores de xi sustituyen de
inmediato a los valores anteriores y los cálculos deben llevarse a cabo por orden,
ya que el nuevo valor xi depende de los valores actualizados de x1, x2, ..., xi-1.
La desventaja de este método es que no siempre converge a la solución
exacta o algunas veces los hace de manera muy lenta. Únicamente es
confiable para aquellos sistemas dominantes diagonalmente.

22. Gracias…
“Mejor que de nuestro
juicio, debemos
fiarnos del cálculo
algebraico”
Leonhard Euler