Este documento presenta el análisis de un problema numérico sobre la aproximación de funciones. Se programa una solución usando GNU Fortran que calcula la función log(x) para diferentes valores de x. Para valores mayores que 2, se usa la fórmula log(x) - log(1/x) = 2log(x), mientras que para valores entre 0.5 y 1.5 se aproxima mediante la serie de Taylor hasta el orden 800,000, obteniendo resultados más precisos cerca de 1.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL Ing. Electrónica y Telecomunicaciones
TECNOLOGICA V Ciclo
DEL CONO SUR DE LIMA 2011-II
ANÁLISIS NUMÉRICO
Problema 10.c Encuentre la manera de aproximar la función con mayor exactitud:
Solución.
Haciendo uso del GNU FORTRAN COMPILER (CODE BLOCKS) se programa y compila.
A continuación el programa fuente:
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Compilando el código (como se muestra), obtenemos la primera parte, donde se nos pedirá
ingresar el valor de ‘x’ para calcularlo en la función:
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En este caso, como podemos ver en la programación, para valores mayores que 2, tales como 3, 4,
5, etc. podemos calcularlo haciendo uso de la fórmula:
Log(x) – Log(1/x) = 2 Log(x)
Sin embargo para valores entre 0.5 y 1.5 el número obtenido en la función tiende a ser muy
pequeño, por esta razón, hacemos uso de un artificio para corregir el error obtenido al calcular
estos valores. Hacemos uso de la serie de Taylor para el log(x+1), que es:
Como podemos ver, está definida para valores entre -1 y 1, o sea, el logaritmo se puede aproximar
para valores entre (0 y 2) pero nosotros lo usaremos para valores entre 0.5 y 1.5 por ser nuestro
interés el analizar mejor la aproximación para valores próximos a 1 (donde el logaritmo es 0).
Ingresamos el valor x = 0.999, o sea muy próximo a 1, donde el logaritmo sería 0, y obtenemos:
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El resultado es como vemos -2.00097496 · 10-³, o sea: -0.00200097496 aprox.
Si lo hacemos con una calculadora común, obtendríamos -0.002, o que significa que se obtiene una
mejor aproximación haciendo uso de la serie de Taylor hasta 800,000
Obs. La mejor aproximación de la serie se obtiene en el infinito.
Alumno: Marvin Thomas Concha Sandoval
Código: 2009200023 – V ciclo
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