version2016

1. UNIVERSIDAD ANDINA NÉSTOR CÁCERES VELÁSQUEZ
ESCUELA PROFESIONAL
INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES
CURSO: MATEMÁTICA APLICADA SEMESTRE: IV FECHA: 03/06/2016
1. EXPANSIÓN EN SERIE DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN EN UN
INTERVALO INFINITO
Una función f(t) no periódica, definida en cierto intervalo finito (0, ) . Se puede
desarrollar en una serie de Fourier, la cual está definida solamente en el intervalo
(0, ) . Es posible desarrollar f(t) en una serie de Fourier con cualquier frecuencia
deseada; además f(t) representar por una serie de términos de seno o coseno
solamente, lo cual se puede hacer construyendo una periódica adecuada que sea
idéntica a f(t) en el intervalo (0, ) y que se satisfaga las condiciones de simetría que
conduzca a la forma deseada de las series de Fourier.
(a)
(d)
(g)
(e) (f)
(b)
(c)
t t t
t t t
f(t) f(t) f(t)
f(t) f(t) f(t)
 T=2T
T
T=4T
T=2T T=4T
T=2T
a) La función f(t) dada.
b) Simetría par: término del coseno 0
 

.
c) Simetría impar: término del seno 0
 

.
d) Termino del seno y del coseno 0
2 

(T: arbitrario).
e) Simetría de media onda: término del seno y del coseno, y armónicos
impares 0
 

.

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INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES
CURSO: MATEMÁTICA APLICADA SEMESTRE: IV FECHA: 03/06/2016
f) Simetría del cuarto de onda: término del coseno y armónicos impares
0 (2 )
 

.
g) Simetría cuarta de onda impar: término del seno y armónicos impares,
0 (2 )
 

.
PROBLEMA 1: Dada la función
f(t)
t
1
0
2


1
0 para 0 t
2f(t)
1
1 para t
2

  
 
    

Desarrollar f(t) en una serie de Fourier de término del coseno y trazar la
correspondiente extensión periódica f(t).
SOLUCIÓN: en la figura muestra la gráfica de la extensión periódica par de f(t).
puesto que f(t)se extiende a una función par, se tiene
f (t)e
tt
1
0
2

- -
2


Par, se tiene
nb 0 n 1,2,... 

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INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES
CURSO: MATEMÁTICA APLICADA SEMESTRE: IV FECHA: 03/06/2016
n 0 2
n 0
2
n 0
2 2
a f(t)cos(nt)dt cos(nt)dt
2 2
a f(t)cos(nt)dt sen(nt)
n
2 2 n
a f(t)cos(nt)dt sen ;
n 2
 





 
 
 
 

  
 
 


Esto es:
n
0, n Par(n 0)
2
a n=1,5,...
n
2
n=3,7,...
n

 


 




Para n=0,
0 2
2
a dt 1


 
 
De esta manera, se tiene
e
1 2 1 1
f (t) cos t cos3t cos5t ...
2 3 5
 
       
Para 0 t  
f (t)e
t
1
0
2

- -
2

