Este documento discute la función lineal como un ejemplo de cómo los conceptos matemáticos se pueden aplicar a situaciones del mundo real. Explica que los costos de producción de un producto incluyen costos fijos que no dependen de la cantidad producida y costos variables que sí dependen. Representa esta relación mediante una función lineal donde el costo total es igual a los costos variables más los costos fijos. Luego ilustra cómo calcular los parámetros de la función lineal a partir de puntos de datos sobre los costos.

1. APLICACIONES MATEMÁTICAS
LA FUNCIÓN LINEAL: UN CASO PARTICULAR
Prof. Eduardo Aguilar Fernández*, Prof. Andrey Zamora Araya*
U na de las materias donde los y las
estudiantes pueden encontrar gran número
de aplicaciones a situaciones del entorno,
es sin duda alguna la Matemática.
cualquier bien por una empresa, intervienen dos
tipos de costos: fijos y variables.
Los costos fijos son aquellos costos, que bajo
condiciones normarles, no dependen del nivel de
Sin embargo, son pocos los espacios que se producción, es decir, deben enfrentarse sin
dedican al desarrollo del potencial que brindan los importar la cantidad de artículos producidos
cursos de matemática que se imparten período a
período para ejemplificar la gran utilidad práctica Por otro lado, los costos variables son aquellos
que tienen los contenidos en las situaciones que dependen del nivel de producción, es decir,
cotidianas a las que se enfrentan muchos están relacionados en forma directa con la
profesionales en las distintas áreas del saber. cantidad de artículos producidos.
No obstante, valorar las razones por las que no se Por ejemplo, para fabricar un lapicero se requiere
aprovecha este potencial no es el objetivo de este la utilización de una serie de elementos como lo
artículo. El elemento principal que se pretende son la tinta, plástico o metal, el uso de
desarrollar está enfocado en brindar situaciones electricidad, la publicidad, personal que ejecute la
particulares de la vida cotidiana que nos permitan labor, etc. El conjunto de estos elementos forman
acercarnos a un contexto específico a partir de un parte de lo que se denomina estructura de costo de
enfoque matemático, que si ser excesivamente producción donde la cantidad de tinta, de plástico
formal, permita visualizar las aplicaciones y de metal pueden ser considerados como costos
prácticas de uno o más contenidos de un programa variables; ya que, a mayor cantidad de lapiceros
de estudio en particular. fabricados es mayor la cantidad de estos insumos
que se requieran, estableciéndose así una relación
Es decir, un concepto matemático que se pueda entre nivel de producción y cantidad de
ver reflejado dentro de la realidad de los seres materiales.
humanos y no como una simple definición llena
de simbolismo y de elementos abstractos. Por otro lado, rubros como alquileres, intereses
sobre préstamos y salarios de administrativos se
Para visualizar lo expuesto con anterioridad mantienen constantes independientemente de la
consideremos en primer lugar un curso de producción de la empresa. Es decir, forman parte
Matemática Introductoria para estudiantes de la de lo que se denominó costos fijos.
carrera de Administración de Negocios. Uno de
los contenidos básicos de este curso es el de Por tanto, en resumen podemos decir
función real de variable real y donde usualmente Costo total = Costos variables + Costos fijos
se desarrollan modelos de funciones lineales,
cuadráticas, exponenciales y logarítmicas. Si designamos C como costo total, Cv como costos
variables y CF como costo fijo, la relación anterior
Tomemos como ejemplo el caso de la función puede escribirse como
lineal dada por f: IR→ IR tal que f (x) = m x + b y C = CV + CF
consideremos un determinado artículo, sea el caso
de un lapicero. En la producción o venta de
donde CV es igual al número artículos producidos
cualquier bien por una empresa, intervienen
multiplicado por el costo variable por unidad y CF
ciertos rubros, los cuales van a establecer su
es una constante.
precio en el mercado. Así podemos definir dos
tipos de precios, precio de costo y precio de venta.
Si x representa el número de artículos producidos
Se llama precio de costo a la suma de los montos y m el costo variable por unidad entonces
podemos definir la función f: IR ∩ {0}→ IR tal
de todos los rubros que intervienen en la
que C (x) = mx + CF .
producción del artículo. En la producción de

2. Ejemplo y 2 ! y1
Supongamos que el costo variable por unidad de m=
producir un lapicero es de ¢100 y que los costos x2 ! x1
fijos mensuales ascienden a ¢2.225.000.
Suponiendo que el costo total tiene un Para determinar el valor numérico de CF se debe,
comportamiento lineal, una función que evaluar uno de los dos puntos anteriores en la
representa la situación anterior viene dada por fórmula: b = y ! mx
C (x) = 100 x + 1500000, donde x representa el
número de lapiceros producidos por mes. Con Por tanto, el problema anterior se resuelve de la
base en la relación anterior, ¿cuál será el costo que siguiente manera.
representaría para la empresa la producción de
100.000 lapiceros en el mes? Solución
y 2 ! y1 8500000 ! 5800000
Solución m= =
C (100000) = 100 (100000) + 1500000 x2 ! x1 80000 ! 50000
C (100000) = 11500000 2700000
m= = 90
El costo total de producir 100.000 lapiceros en 30000
un mes es de ¢11.500.000.
b = y ! mx = 8500000 ! 90 (80000 )
Para reflexionar: b = 1300000
Para la función dada C (x) = 100 x + 1500000. El Por tanto, la nueva estructura productiva define
valor de 100 significa que por cada lapicero la función de costo total C(x) = 90 x + 1300000
adicional que se produzca, el costo total aumenta
en ¢100. Por otro lado, el valor de 1500000, como Como puede observarse, el tema de función lineal
se dijo anteriormente, representa el costo fijo o de constituye, tan solo, un ejemplo de las variadas
forma análoga, el costo de producción que debe aplicaciones que los contenidos de la disciplina de
cubrirse aunque no se fabrique ningún lapicero. la Matemática encuentran en el desarrollo de las
actividades propias del ser humano, entre ellas la
Supongamos ahora que la empresa sufrió un Administración y la Economía.
cambio en su estructura productiva por lo que su
función de costo total se vio afectada de tal forma Bibliografía
que si se producen 50.000 lapiceros, en un mes, el Haeussler, E. y Paul, R. Matemáticas para
costo asciende ¢5.800.000 y se producen 80.000 administración y economía. Décima Edición.
lapiceros los costos ascienden a ¢8.500.000. Pearson Educación. México. 2003.
Suponiendo un modelo de costo lineal, determine
la relación del costo total C de producir x Rees, P y otros. Álgebra. Décima Edición.
lapiceros al mes. Editorial Mc Graw Hill. 1983.
Para establecer el criterio de una función lineal Swokowski, E. y Cole, J. Álgebra y Trigonometría
cualquiera sólo necesitamos conocer dos pares con Geometría Analítica. Tercera Edición. Grupo
ordenados. De acuerdo con este caso particular, la Editorial Iberoamérica. Estados Unidos.1993.
primera componente representa la cantidad de
lapiceros producidos por mes, y la segunda * Profesores de Matemática de la Escuela de
componente representa el costo total mensual. Administración de la Universidad Interamericana
Para determinar el valor numérico de m se de Costa Rica
requiere conocer dos pares ordenados del gráfico
de la función. Basta tomar los puntos (x1 , y1 ) y
( x2 , y 2 ) , que en este caso vienen dados por
(50000, 5800000) y (80000, 8500000), y aplicar la
siguiente fórmula.