Este documento presenta un ejemplo de cómo calcular los máximos y mínimos de una función utilizando el criterio de la primera derivada. Se deriva la función dada, se iguala a cero y se resuelven las raíces para obtener los puntos críticos. Luego, se prueba el signo de la derivada antes y después de cada punto para identificar los extremos. Finalmente, se sustituyen los puntos en la función original para determinar los valores de los máximos y mínimos.

1. Actividades de CÁLCULO
DIFERENCIAL APLICACIONES 2

2. ❑ Solución: Para hallar la ecuación de la recta tangente, necesitamos m y un punto P(x1, y1)
Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva en el punto x1 = 3 a la curva
de la función y = f(x) = 2x2 – 3x + 4. Graficar las 2 rectas y la función f(x) usando el Geogebra.
1) Hallando y1 = f(x1) = f(3) = 2(3)2 – 3(3) + 4 = 18 – 9 + 4 = 13
❑ Ya tenemos el punto P(x1, y1) = P(3, 13)
2) Con la derivada de f(x) hallamos la pendiente de la recta tangente mT
❑ Derivando 𝒚′
= 𝒎𝑻 =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟒𝒙 − 𝟑
❑ Sustituyendo x1 = 3 𝒆𝒏 𝒎𝑻 =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟒 𝟑 − 𝟑 = 𝟏𝟐 − 𝟑 = 𝟗
𝑚𝑻 = 𝟗
𝒚 − 𝑦1 = 𝒎 (𝒙 − 𝑥1)
𝒚 − 𝟏𝟑 = 𝟗(𝒙 − 𝟑)
P(3, 13) 𝒚 − 𝟏𝟑 = 𝟗𝒙 − 𝟐𝟕
𝟎 = 𝟗𝒙 − 𝟐𝟕 − 𝒚 + 𝟏𝟑
𝟗𝒙 − 𝒚 − 𝟏𝟒 = 0 ans
3) Con la pendiente 𝑚𝑻 = 𝟗 y el punto P(x1, y1) = P(3, 13), hallamos la Recta Tangente:

3. 3
𝑚𝑵 = −
𝟏
𝟗
𝒚 − 𝑦1 = 𝒎 (𝒙 − 𝑥1)
𝒚 − 𝟏𝟑 = −
𝟏
𝟗
(𝒙 − 𝟑)
P(3, 13)
𝟗 𝒚 − 𝟏𝟑 = −𝒙 + 𝟑
𝟗𝒚 − 𝟏𝟏𝟕 = −𝒙 + 𝟑
𝟗𝒚 − 𝟏𝟏𝟕 + 𝒙 − 𝟑 = 0
Con la pendiente 𝑚𝑵 = −
𝟏
𝟗
y el punto P(x1, y1) = P(3, 13), hallamos la Recta Normal:
4) Cambiando de signo y volteando la pendiente tangente 𝑚𝑻 = 𝟗, obtenemos la
pendiente normal:
Multiplicando todo el lado izquierdo por 9 y el lado derecho por – 1, tenemos:
𝒙 + 𝟗𝒚 − 𝟏𝟐𝟎 = 0 ans
Pasando al lado izquierdo – x + 3 con signo contrario, obtenemos:
Sustituyendo los valores conocidos en la ecuación, nos queda:
𝑚𝑵 = −
𝟏
𝟗

4. 4
𝜶𝑻 = 𝟖𝟑. 𝟔𝟓𝟗𝟖°
Calculando el ángulo de inclinación de la recta tangente:
5) Hallando los ángulos de inclinación usando  = Tan m
Cuando el ángulo es negativo, le sumaremos 𝟏𝟖𝟎°, esto es:
Calculando el ángulo de inclinación de la recta normal:
𝜶𝑻 = 𝑻𝒂𝒏−𝟏 𝟗 𝑺𝑯𝑰𝑭𝑻 𝑻𝑨𝑵 𝟗 𝑺𝑯𝑰𝑭𝑻 𝑴𝑶𝑫𝑬 𝑫𝑬𝑮
𝜶𝑵 = −𝟔. 𝟑𝟒𝟎𝟐°
𝜶𝑵 = 𝑻𝒂𝒏−𝟏 −
𝟏
𝟗
𝜶𝑵 = −𝟔. 𝟑𝟒𝟎𝟐° + 𝟏𝟖𝟎°
𝜶𝑵 = 𝟏𝟕𝟑. 𝟔𝟓𝟗𝟖°

5. 5

6. 6
𝟖𝟑. 𝟔𝟓𝟗𝟖° 𝟏𝟕𝟑. 𝟔𝟓𝟗𝟖°
𝜶𝑵
𝜶𝑻
Ejercicio: Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva en
el punto x1 = 4 a la curva de la función y = f(x) = 3x2 – Nx + 20.
Graficar las 2 rectas y la función f(x) usando el Geogebra.

7. Ejemplo: Determine el valor de sus máximos y/o mínimos (puntos óptimos) de la
función original 𝒚 = 𝒇 𝒙 =
𝟖
𝟑
𝒙𝟑 + 𝟔𝟎𝒙𝟐 − 𝟑𝟔𝟎𝟎𝒙 + 𝟔𝟎, utilizando el criterio de
la primera derivada. Grafique la función y su derivada en una misma gráfica
utilizando el Geogebra.
1) Primero derivamos la función original f(x) y su derivada la igualamos a
cero, nos queda:
𝒚′
=
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟑
𝟖
𝟑
𝒙𝟑−𝟏
+ 𝟐 𝟔𝟎 𝒙𝟐−𝟏
− 𝟑𝟔𝟎𝟎 = 𝟎
𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝒙 − 𝟑𝟔𝟎𝟎 = 𝟎
Nos queda una ecuación de segundo grado de la forma: ax2 + bx + c = 0
𝒚 =
𝟖
𝟑
𝒙𝟑 + 𝟔𝟎𝒙𝟐 − 𝟑𝟔𝟎𝟎𝒙 + 𝟔𝟎 Función original

8. 8
𝟖𝒙𝟐
+ 𝟏𝟐𝟎𝒙 − 𝟑𝟔𝟎𝟎 = 𝟎
Nos queda una ecuación de segundo grado de la forma: ax2 + bx + c = 0
Hallando las raíces de la ecuación de segundo grado por la fórmula general:
𝒙𝟏,𝟐 =
−𝒃 ± 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
Los valores de los coeficientes son: a = 8, b = 120 y c = - 3600
Sustituyendo los valores de los coeficientes en la fórmula general:
𝒙𝟏,𝟐 =
−𝟏𝟐𝟎 ± (𝟏𝟐𝟎)𝟐−𝟒(𝟖)(−𝟑𝟔𝟎𝟎)
𝟐(𝟖)
𝒙𝟏,𝟐 =
−𝟏𝟐𝟎 ± 𝟏𝟒𝟒𝟎𝟎 + 𝟏𝟏𝟓𝟐𝟎𝟎
𝟏𝟔
𝒙𝟏,𝟐 =
−𝟏𝟐𝟎 ± 𝟏𝟐𝟗𝟔𝟎𝟎
𝟏𝟔
𝒙𝟏,𝟐 =
−𝟏𝟐𝟎 ± 𝟑𝟔𝟎
𝟏𝟔
𝒙𝟏 =
−𝟏𝟐𝟎 + 𝟑𝟔𝟎
𝟏𝟔
=
𝟐𝟒𝟎
𝟏𝟔
= 𝟏𝟓
𝒙𝟐 =
−𝟏𝟐𝟎 − 𝟑𝟔𝟎
𝟏𝟔
=
−𝟒𝟖𝟎
𝟏𝟔
= −𝟑𝟎

9. 9
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟖𝒙𝟐
+ 𝟏𝟐𝟎𝒙 − 𝟑𝟔𝟎𝟎
2) Ahora probando en la derivada cada una de las soluciones halladas 𝒙𝟏 =15 y 𝒙𝟐 = −𝟑𝟎
Como la derivada cambió de – a + en 𝒙𝟏 =15 tenemos un mínimo.
Probando 𝒙𝟏 =15
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟖(𝟏𝟒. 𝟗)𝟐+𝟏𝟐𝟎 𝟏𝟒. 𝟗 − 𝟑𝟔𝟎𝟎 = −
Primero le damos un valor un poco menor que 15, por ejemplo 𝒙 =14.9
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟖(𝟏𝟓. 𝟏)𝟐+𝟏𝟐𝟎 𝟏𝟓. 𝟏 − 𝟑𝟔𝟎𝟎 = +
Después le damos un valor un poco mayor que 15, por ejemplo 𝒙 =15.1
Probando 𝒙𝟐 = −𝟑𝟎
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟖(−𝟑𝟎. 𝟏)𝟐+𝟏𝟐𝟎 −𝟑𝟎. 𝟏 − 𝟑𝟔𝟎𝟎 = +
Primero le damos un valor un poco menor que -30, por ejemplo 𝒙 = - 30.1
Primera derivada

10. 10
Como la derivada cambió de + a - en 𝒙𝟐 =- 30 tenemos un máximo.
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟖(−𝟐𝟗. 𝟗)𝟐+𝟏𝟐𝟎 −𝟐𝟗. 𝟗 − 𝟑𝟔𝟎𝟎 = −
Después le damos un valor un poco mayor que - 30, por ejemplo 𝒙 =-29.9
𝒚 =
𝟖
𝟑
𝒙𝟑 + 𝟔𝟎𝒙𝟐 − 𝟑𝟔𝟎𝟎𝒙 + 𝟔𝟎
3) Sustituyendo en la función original cada una de las soluciones halladas
𝒙𝟏 =15 y 𝒙𝟐 = −𝟑𝟎
𝒚𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 =
𝟖
𝟑
(𝟏𝟓)𝟑+𝟔𝟎(𝟏𝟓)𝟐−𝟑𝟔𝟎𝟎(𝟏𝟓) + 𝟔𝟎
𝒚𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 = −𝟑𝟏𝟒𝟒𝟎
𝒚𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 =
𝟖
𝟑
(−𝟑𝟎)𝟑+𝟔𝟎(−𝟑𝟎)𝟐−𝟑𝟔𝟎𝟎(−𝟑𝟎) + 𝟔𝟎
𝒚𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 = 𝟗𝟎𝟎𝟔𝟎
Función original

11. 11
PUNTOS ESPECIALES
EXTREMOS CON
LA ORIGINAL
RAÍCES CON LA
DERIVADA
DERIVADA
ORIGINAL

12. 12
MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICANDO EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA:
1º Se obtiene la primera derivada de la función original. La primera derivada se iguala a cero y
se calculan las raíces reales de la ecuación resultante, que representan los valores óptimos o
críticos de la ecuación.
2º Se obtiene la segunda derivada de la función. Se sustituye en la segunda derivada, en lugar
de la variable, cada uno de los valores críticos obtenidos; si el valor resultante es positivo, la
función tiene un MÍNIMO para el valor crítico que se está analizando; si el resultado es negativo,
la función tiene un MÁXIMO para el valor crítico que se analiza, si el valor de la segunda
derivada es cero, no podemos decir si existe máximo o mínimo, o posiblemente ni uno ni otro.
3º Se obtienen los máximos y mínimos sustituyendo los valores óptimos o críticos en la función
original.
El procedimiento de la segunda derivada, no es aplicable, si la segunda derivada es igual
a CERO o no existe, en tal caso, se aplica el procedimiento de la primera derivada.

13. Ejemplo: Determine el valor de sus máximos y/o mínimos (puntos óptimos) de la
función original 𝒚 = 𝒇 𝒙 = −𝟐𝒙𝟑 + 𝟏𝟓𝟎𝒙𝟐 − 𝟑𝟔𝟎𝟎𝒙, utilizando el criterio de la
segunda derivada. Grafique la función y su derivada en una misma gráfica utilizando
el Geogebra.
1) Primero derivamos la función original f(x) y su derivada la igualamos a
cero, nos queda:
𝒚′
=
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟑 −𝟐 𝒙𝟑−𝟏
+ 𝟐 𝟏𝟓𝟎 𝒙𝟐−𝟏
− 𝟑𝟔𝟎𝟎 = 𝟎
−𝟔𝒙𝟐 + 𝟑𝟎𝟎𝒙 − 𝟑𝟔𝟎𝟎 = 𝟎
Nos queda una ecuación de segundo grado de la forma: ax2 + bx + c = 0
𝒚 = −𝟐𝒙𝟑 + 𝟏𝟓𝟎𝒙𝟐 − 𝟑𝟔𝟎𝟎𝒙
Función original

14. 14
−𝟔𝒙𝟐 + 𝟑𝟎𝟎𝒙 − 𝟑𝟔𝟎𝟎 = 𝟎
Nos queda una ecuación de segundo grado de la forma: ax2 + bx + c = 0
Hallando las raíces de la ecuación de segundo grado por la fórmula general:
𝒙𝟏,𝟐 =
−𝒃 ± 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
Los valores de los coeficientes son: a = -6, b = 300 y c = - 3600
Sustituyendo los valores de los coeficientes en la fórmula general:
𝒙𝟏,𝟐 =
−𝟑𝟎𝟎 ± (𝟑𝟎𝟎)𝟐−𝟒(−𝟔)(−𝟑𝟔𝟎𝟎)
𝟐(−𝟔)
𝒙𝟏,𝟐 =
−𝟑𝟎𝟎 ± 𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟖𝟔𝟒𝟎𝟎
−𝟏𝟐
𝒙𝟏,𝟐 =
−𝟑𝟎𝟎 ± 𝟑𝟔𝟎𝟎
−𝟏𝟐
𝒙𝟏,𝟐 =
−𝟑𝟎𝟎 ± 𝟔𝟎
−𝟏𝟐
𝒙𝟏 =
−𝟑𝟎𝟎 + 𝟔𝟎
−𝟏𝟐
=
−𝟐𝟒𝟎
−𝟏𝟐
= 𝟐𝟎
𝒙𝟐 =
−𝟑𝟎𝟎 − 𝟔𝟎
−𝟏𝟐
=
−𝟑𝟔𝟎
−𝟏𝟐
= 𝟑𝟎

15. 15
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= −𝟔𝒙𝟐
+ 𝟑𝟎𝟎𝒙 − 𝟑𝟔𝟎𝟎
2) Ahora probando en la SEGUNDA derivada cada una de las soluciones halladas 𝒙𝟏 =20 y
𝒙𝟐 = 𝟑𝟎
Como la SEGUNDA derivada nos dió + en 𝒙𝟏 =20 tenemos un mínimo.
Probando 𝒙𝟏 =20
Derivando nuevamente, se tiene:
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐
= −𝟏𝟐 𝟐𝟎 + 𝟑𝟎𝟎 = +
Sustituyendo directamente el valor en la SEGUNDA derivada, obtenemos:
Probando 𝒙𝟐 = 𝟑𝟎
Primera derivada
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐
= −𝟏𝟐𝒙 + 𝟑𝟎𝟎 Segunda derivada
Como la SEGUNDA derivada nos dió – en 𝒙𝟐 =30 tenemos un máximo.
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐
= −𝟏𝟐 𝟑𝟎 + 𝟑𝟎𝟎 = −
Sustituyendo directamente el valor en la SEGUNDA derivada, obtenemos:

16. 16
𝒚 = −𝟐𝒙𝟑 + 𝟏𝟓𝟎𝒙𝟐 − 𝟑𝟔𝟎𝟎𝒙
3) Sustituyendo en la función original cada una de las soluciones halladas
𝒙𝟏 =20 y 𝒙𝟐 = 𝟑𝟎
𝒚𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 = −𝟐(𝟐𝟎)𝟑
+𝟏𝟓𝟎(𝟐𝟎)𝟐
−𝟑𝟔𝟎𝟎(𝟐𝟎)
𝒚𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 = −𝟐𝟖𝟎𝟎𝟎
𝒚𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 = −𝟐(𝟑𝟎)𝟑+𝟏𝟓𝟎(𝟑𝟎)𝟐−𝟑𝟔𝟎𝟎(𝟑𝟎)
𝒚𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 = −𝟐𝟕𝟎𝟎𝟎
Función original

17. 17
PUNTOS ESPECIALES
EXTREMOS CON
LA ORIGINAL
RAÍCES CON LA
DERIVADA
DERIVADA
ORIGINAL

18. 18
Ejercicio Especial: Determine el valor de los máximos y/o mínimos (puntos óptimos)
para cada una de las funciones siguientes utilizando el criterio de la primera
derivada o el de la segunda derivada. Para cada una de ellas, Grafique la función y
su derivada en una misma gráfica utilizando el Geogebra. Donde N, es tu número de
Lista.
4º A 4º C

19. PROBLEMAS DE Optimización
• Cuando se tiene un problema de la vida real y se le aplican máximos y
mínimos, se habla de un problema de optimización. En este caso se nos
da el enunciado del problema con sus datos y condiciones, cada una de
éstas condiciones, se convertirá en una ecuación.
• De la primera ecuación despejaremos una de las variables y su valor
despejado lo sustituiremos en la otra ecuación, de esta manera nos
quedará una función de una sola variable, a la cual le llamaremos función
original y a ésta función, le aplicaremos el procedimiento de máximos y
mínimos visto anteriormente.
19

20. PROBLEMAS DE Optimización
• El procedimiento de máximos y mínimos consta de los pasos siguientes:
1. Derivamos la función original y esta derivada la igualamos a cero.
2. Resolvemos la ecuación del paso anterior para hallar los valores
óptimos.
3. Cada valor óptimo lo probamos dándole en la derivada primero un
valor un poco menor y después un valor un poco mayor, si cambia de
+ a – es un máximo y si cambia de – a + es un mínimo.
4. Sustituimos los valores óptimos en la función original para hallar los
máximos y mínimos buscados.
20

21. Problemas de Optimización
Ejercicio 1 de aplicación práctica
• Agapito fue premiado por un Jeque árabe, para lo cual lo llevó al desierto
abundante en petróleo y le entregó una cuerda de 50N m de longitud y le
dijo: “Con esta cuerda tienes que encerrar un terreno rectangular cuya área
sea máxima”. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del terreno rectangular
para que su área sea máxima? ¿Cuánto vale el área máxima?
21
y
x
x
y
El perímetro del terreno es:
P = 2x + 2y = 50N
Dividiendo entre 2
x + y = 25N
Despejando y
y = 25N – x E1
Sustituyendo y en el área:
A= xy
A= x (25N – x)
A=25Nx − 𝒙𝟐
Original

22. Ejercicio 1 de aplicación práctica
2) Aplicarle a la función original A = 25Nx − 𝒙𝟐 , el procedimiento de
máximos y mínimos visto anteriormente y hallaríamos el valor de x.
Hallarías y con la ecuación E1 y el área máxima con la función Original.
22
y
x
x
y

23. 3º HACER Su gráfica CON GEOGEBRA:
hallarías el
valor de x
con PUNTOS
ESPECIALES,
la que te da
el área máxima.
23
4º A, 4º B
Derivada
Función
Original

24. Ejercicio 2 de aplicación práctica
• Venecio desea cercar 2 terrenos iguales con una Área de 100N m2 cada
uno. Si los terrenos colindan con un río, de ese lado no se necesitará
cerca. Determine las dimensiones de los terrenos para que la longitud
de su cerca sea mínima. Si en cada lado de la cerca se utilizarán 5 hilos
de alambre de púas y cada rollo de alambre de púas tiene 300 m de
longitud. Determine también la cantidad de rollos de alambre que se
necesitarán.
24
Huacaca River
y
x x
y y
A=100N A=100N

25. A = xy = 100N
Huacaca River
y
x x
y y
A=100N A=100N
P(x) = 2x +
𝟑𝟎𝟎𝑵
𝒙
El área de cada uno de los terrenos está dada por:
Despejando a y
y =
𝟏𝟎𝟎𝑵
𝒙
2
El perímetro de la cerca es:
P = 2x + 3y 3
P = 2x + 3(
𝟏𝟎𝟎𝑵
𝒙
)
No. De Rollos =
𝟓𝑷
𝟑𝟎𝟎
4
P = 2x + 𝟑𝟎𝟎𝑵𝒙−𝟏 Original

26. 3º HACER Su gráfica CON GEOGEBRA:
hallarías el valor de x con PUNTOS ESPECIALES, la que te da el perímetro mínimo.
26
4º D
PUNTOS ESPECIALES

27. Problemas de optimización
ejercicio 3 de aplicación práctica
• Lucrecya® es dueña de una ferretería y
recibe un pedido de una caja metálica sin
tapa de volumen máximo. Para surtirlo,
decide usar una hoja de lámina de (N+10)
cm de longitud por cada lado, cortándole
4 esquinas cuadradas e iguales, doblando
hacia arriba la parte restante y soldándole
las aristas. ¿Cuáles deben ser las
dimensiones de la esquina para que el
volumen de la caja sea máximo? ¿Cuánto
vale el volumen máximo en litros?
27

28. Ejercicio 3 de aplicación práctica
• Se le quitarían 2x a cada lado, porque 2 esquinas se le
recortan. La altura de la caja es x, porque sólo se dobla
hacia arriba la parte restante.
• Por lo tanto, el volumen estaría dado por:
• V=(N+10-2x) (N+10-2x) (x) Original
• 𝐏𝐨𝐫 𝐞𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝐬𝐢 𝐍 = 𝟏𝟓
• 𝑉 = (15 + 10 − 2𝑥) 15 + 10 − 2𝑥 𝑥
• 𝑉 = (25 − 2𝑥) 25 − 2𝑥 𝑥
• 𝑉 = 625 − 50𝑥 − 50𝑥 + 4𝑥2
𝑥
• 𝑉 = 625 − 100𝑥 + 4𝑥2 𝑥
• 𝑉 = 625𝑥 − 100𝑥2
+ 4𝑥3
Sustituye tu número de lista. Multiplicarías los binomios y
obtendrías un polinomio cúbico, el cual sería la función
original.
x

29. Ejercicio 3 de aplicación práctica
2) Derivarías la función original V respecto
a x, igualarías a 0 la derivada y hallarías los
valores de x por la fórmula general, la que
te da el volumen máximo y también el valor
de x que te da el volumen mínimo.
Hallarías los volúmenes máximo y mínimo
sustituyendo los 2 valores de x en la
función Original.
Construir la caja en cartulina los de
N <= 30 y en papel Bond los de N >=
31.
x

30. 30
3º HACER Su gráfica CON GEOGEBRA: hallarías los valores de x con PUNTOS ESPECIALES,
que te darían el volumen máximo y el volumen mínimo.