El documento explica conceptos matemáticos relacionados con la derivada de funciones, incluyendo la recta tangente y normal a una curva, el ángulo de intersección entre dos curvas, y proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos.
1. Se define el plano tangente a una superficie en un punto como el plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por ese punto. La recta normal es perpendicular al plano tangente.
2. Para calcular el plano tangente y la recta normal, se utilizan las ecuaciones de las derivadas parciales evaluadas en el punto.
3. Los máximos, mínimos y puntos silla de una función de varias variables se determinan igualando sus derivadas parciales a cero y analizando el signo de
El documento define la derivada y presenta fórmulas para derivar funciones algebraicas, logarítmicas, exponenciales y trigonométricas. También incluye fórmulas para derivar las funciones inversas trigonométricas.
1) El documento presenta tres ejemplos de aplicación del Teorema de Lagrange para encontrar extremos de funciones sujetas a restricciones. El primer ejemplo busca el volumen máximo de una caja rectangular dada una cantidad fija de cartón. El segundo ejemplo calcula el valor mínimo de una función sujeta a una restricción lineal. El tercer ejemplo encuentra las temperaturas máxima y mínima en la intersección de una esfera y un plano.
Este documento resume los conceptos fundamentales de las integrales indefinidas. Explica que una integral indefinida representa el conjunto de todas las primitivas de una función, y que las primitivas difieren entre sí en una constante arbitraria. También presenta varios métodos para calcular integrales indefinidas, como integrales inmediatas, integración por partes, sustitución y descomposición de fracciones para integrales racionales.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de derivadas, incluyendo derivadas de funciones constantes, potencias, suma, producto y cociente, así como derivadas de funciones trigonométricas. También cubre temas como la regla de la cadena y aplicaciones a problemas de máximos y mínimos. Finalmente, proporciona los contactos del autor para cualquier consulta.
La Regla de Cramer es un método para resolver sistemas de ecuaciones determinando los valores de x, y, z. Se calculan las determinantes del sistema y de cada incógnita. Luego, se dividen las determinantes de las incógnitas entre la determinante del sistema para obtener los valores de x, y, z, los cuales satisfacen todas las ecuaciones del sistema.
Aplicaciones Ecuaciones Diferenciales ResueltosJafet Duran
El documento presenta varios ejercicios resueltos sobre aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo: 1) la concentración de sal en un depósito que recibe salmuera con sal a una tasa constante, 2) la cantidad de sal en un depósito que recibe y pierde salmuera a tasas constantes, 3) la cantidad de sal en un depósito que recibe salmuera con sal y la pierde a tasas constantes.
Este documento presenta la ley de Coulomb sobre la fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales. Explica la historia detrás del descubrimiento de esta ley y provee la expresión matemática de la fuerza entre dos cargas en términos del módulo, la distancia entre las cargas y la constante de permitividad del vacío. También cubre el principio de superposición para calcular la fuerza total sobre una carga debido a múltiples cargas usando la suma vectorial de las fuerzas individuales. Finalmente, presenta dos ej
1. Se define el plano tangente a una superficie en un punto como el plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por ese punto. La recta normal es perpendicular al plano tangente.
2. Para calcular el plano tangente y la recta normal, se utilizan las ecuaciones de las derivadas parciales evaluadas en el punto.
3. Los máximos, mínimos y puntos silla de una función de varias variables se determinan igualando sus derivadas parciales a cero y analizando el signo de
El documento define la derivada y presenta fórmulas para derivar funciones algebraicas, logarítmicas, exponenciales y trigonométricas. También incluye fórmulas para derivar las funciones inversas trigonométricas.
1) El documento presenta tres ejemplos de aplicación del Teorema de Lagrange para encontrar extremos de funciones sujetas a restricciones. El primer ejemplo busca el volumen máximo de una caja rectangular dada una cantidad fija de cartón. El segundo ejemplo calcula el valor mínimo de una función sujeta a una restricción lineal. El tercer ejemplo encuentra las temperaturas máxima y mínima en la intersección de una esfera y un plano.
Este documento resume los conceptos fundamentales de las integrales indefinidas. Explica que una integral indefinida representa el conjunto de todas las primitivas de una función, y que las primitivas difieren entre sí en una constante arbitraria. También presenta varios métodos para calcular integrales indefinidas, como integrales inmediatas, integración por partes, sustitución y descomposición de fracciones para integrales racionales.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de derivadas, incluyendo derivadas de funciones constantes, potencias, suma, producto y cociente, así como derivadas de funciones trigonométricas. También cubre temas como la regla de la cadena y aplicaciones a problemas de máximos y mínimos. Finalmente, proporciona los contactos del autor para cualquier consulta.
La Regla de Cramer es un método para resolver sistemas de ecuaciones determinando los valores de x, y, z. Se calculan las determinantes del sistema y de cada incógnita. Luego, se dividen las determinantes de las incógnitas entre la determinante del sistema para obtener los valores de x, y, z, los cuales satisfacen todas las ecuaciones del sistema.
Aplicaciones Ecuaciones Diferenciales ResueltosJafet Duran
El documento presenta varios ejercicios resueltos sobre aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo: 1) la concentración de sal en un depósito que recibe salmuera con sal a una tasa constante, 2) la cantidad de sal en un depósito que recibe y pierde salmuera a tasas constantes, 3) la cantidad de sal en un depósito que recibe salmuera con sal y la pierde a tasas constantes.
Este documento presenta la ley de Coulomb sobre la fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales. Explica la historia detrás del descubrimiento de esta ley y provee la expresión matemática de la fuerza entre dos cargas en términos del módulo, la distancia entre las cargas y la constante de permitividad del vacío. También cubre el principio de superposición para calcular la fuerza total sobre una carga debido a múltiples cargas usando la suma vectorial de las fuerzas individuales. Finalmente, presenta dos ej
Este documento presenta una introducción al concepto de límite matemático a través de varios ejemplos intuitivos. Luego, explica formalmente la definición precisa de límite y métodos para calcular límites, incluyendo tablas, gráficas, teoremas y sustitución directa. Finalmente, cubre límites laterales, límites que involucran el infinito, asíntotas y continuidad. El objetivo es proporcionar una comprensión básica pero rigurosa de este importante concepto.
El documento presenta 4 ejemplos de funciones racionales y analiza su continuidad y tipo de discontinuidades en puntos donde anula el denominador. El primer ejemplo muestra una discontinuidad evitable. El segundo y tercer ejemplo presentan discontinuidades salto infinito. El cuarto ejemplo analiza discontinuidades salto infinito en dos puntos y tiene una asíntota horizontal.
Este documento resume las ecuaciones diferenciales de orden superior y cómo resolverlas. Explica que las ecuaciones diferenciales de la forma ay'' + by' + cy = 0 se resuelven determinando las raíces del polinomio característico ar2 + br + c = 0. Luego presenta dos ejemplos resueltos, mostrando cómo determinar las raíces y encontrar las soluciones de la ecuación diferencial original.
Este documento presenta ejercicios resueltos relacionados con funciones vectoriales y curvas en el espacio. El primer ejercicio analiza si se intersectan dos curvas definidas por vectores posición y en qué puntos ocurre. El segundo ejercicio describe gráficamente una curva y prueba que su vector tangente es unitario cuando se usa la longitud de arco como parámetro. El tercer ejercicio calcula la velocidad de una partícula y determina el tiempo para recorrer una distancia dada.
El documento describe diferentes aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en diversos campos como la dinámica de poblaciones, desintegración radiactiva, propagación de enfermedades y circuitos eléctricos. Se explica el proceso de modelado matemático mediante ecuaciones diferenciales y se presentan ejemplos de problemas resueltos relacionados con crecimiento poblacional, vida media radiactiva y préstamos con intereses.
Este documento describe tres métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución: el método del disco, el método de la arandela y el método de los casquillos cilíndricos. Explica cómo usar cada método para aproximar el volumen integrando el área de las secciones transversales. Además, incluye ejemplos resueltos demostrando cómo aplicar los métodos.
El documento presenta ejercicios sobre determinantes. Se calculan valores de determinantes de diferentes matrices utilizando propiedades como la definición por recurrencia y el desarrollo por filas o columnas. También se comprueba que un determinante es múltiplo de un número y se calculan determinantes de productos y cocientes de matrices.
Este documento introduce los conceptos de espacio vectorial y subespacio vectorial. Define un espacio vectorial como un conjunto que cumple con diez propiedades relacionadas con la suma y multiplicación de vectores. Presenta varios ejemplos de conjuntos que son y no son espacios vectoriales. Finalmente, anticipa la discusión de subespacios vectoriales en la próxima sección.
Este documento presenta varios ejercicios de álgebra lineal relacionados con transformaciones lineales. Propone determinar si ciertas funciones son transformaciones lineales, calcular el núcleo e imagen de transformaciones dadas, y encontrar las matrices asociadas a transformaciones respecto a bases específicas. El documento contiene 8 ejercicios con múltiples partes cada uno sobre diversos temas de álgebra lineal aplicados a transformaciones lineales.
Este documento explica el concepto de integrales triples. 1) Define una integral triple como el límite de sumas triples de Riemann cuando la partición tiende a cero. 2) Explica que una función debe ser continua y tener discontinuidades confinadas para ser integrable. 3) Enumera propiedades como linealidad y descomposición de regiones. El documento también cubre cálculo de integrales triples mediante iteración y coordenadas cilíndricas.
Este documento presenta los conceptos básicos sobre límites de funciones en el cálculo diferencial. Introduce la definición formal de límite y explica cómo calcular límites mediante tablas asignando valores cada vez más cercanos al valor al que tiende la variable. También define límites laterales y presenta teoremas clave para el cálculo directo de límites como el uso de límites de funciones constantes, sumas, productos y cocientes. El documento contiene ejemplos resueltos demostrando la aplicación de estos conceptos
APLICACIONES DE LA DERIVADA EN LA CARRERA DE (Mecánica, Electrónica, Telecomu...WILIAMMAURICIOCAHUAT1
El cálculo diferencial proporciona información sobre el comportamiento de las funciones
matemáticas. Todos estos problemas están incluidos en el alcance de la optimización de funciones y pueden resolverse aplicando cálculo
Aplicaciones de calculo de integrales dobles y tripleswalterabel03
2
0
2
∫
−2 x + 20
4x
2
dydx
x) dx + ∫ (20 − 2x) dx = 36
Este documento presenta aplicaciones de las integrales múltiples, incluyendo el cálculo del área de figuras planas mediante integrales dobles. Se explica que el área de una región D se obtiene como la integral doble de la función constante 1 sobre D. Además, se resuelven dos ejemplos de cálculo de áreas de regiones mediante integrales dob
Este documento presenta nueve problemas resueltos sobre cálculo de integrales múltiples y de línea. En el primer problema se calcula la integral de una función definida en un rectángulo sobre la región donde no es nula. En el segundo problema se calcula el volumen de un sólido limitado por una superficie y dos planos. En el tercer problema se calcula una integral doble sobre una región delimitada por hipérbolas y líneas rectas.
G2.3 calculo de volumen de revolucion, metodo de arandelas2.docxJesse Lem
El documento explica el método de las arandelas para calcular el volumen de sólidos de revolución. Este método involucra integrales que representan el volumen interno y externo de la arandela, cuya diferencia da el volumen total. Se proporcionan ejemplos resueltos de aplicar este método para encontrar el volumen de diferentes sólidos.
Este documento describe los pasos para configurar una nueva red inalámbrica. Explica que primero se debe instalar el hardware como el enrutador y las tarjetas de red inalámbricas. Luego se debe configurar el enrutador asignando una dirección IP, una máscara de subred y un nombre de red. Finalmente, se deben configurar las estaciones de trabajo para que se conecten a la red inalámbrica recién creada.
1) El documento describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior, incluyendo ecuaciones lineales y no lineales, homogéneas y no homogéneas.
2) Explica que para ecuaciones lineales existe una solución única si los coeficientes son continuos. También introduce conceptos como conjunto fundamental de soluciones y wronskiano.
3) Presenta el método de reducción de orden para encontrar una segunda solución a partir de una solución conocida.
Este documento presenta los objetivos de aprendizaje relacionados con la ecuación de la recta. Los estudiantes aprenderán a reconocer la expresión algebraica y gráfica de la ecuación de la recta, identificar la pendiente e intercepto, y analizar las posiciones relativas de dos rectas. También aprenderán a establecer las relaciones de paralelismo y perpendicularidad entre rectas y resolver problemas modelados con la ecuación de la recta.
Este documento propone un nuevo enfoque para explicar el límite de funciones de dos variables sin utilizar inicialmente las definiciones formales. Sugiere comenzar analizando el comportamiento algebraico y gráfico de la función, y relacionarlo con conceptos de límites de una variable. Luego, define formalmente el límite de dos variables utilizando la noción de entorno en R2. El objetivo es que los estudiantes comprendan mejor el concepto a través de un desarrollo más intuitivo antes de presentar las definiciones.
primer parcial de analisis del cbc ciencias economicasapuntescbc
1) El conjunto A se puede expresar como la unión de dos intervalos: A = (0, 1/2) ∪ (2, +∞). El ínfimo de A es 0 pero no tiene supremo.
2) El límite cuando x tiende a 0 del seno de 3x entre raíz cuadrada de x es 0.
3) Para calcular la demanda marginal en x=48 de la función de ingreso total R(x)=x(800-6x)^(1/3), se deriva R(x) y se evalúa en x=48.
Este documento contiene una prueba parcial de cálculo con 3 preguntas. La primera pregunta involucra una carrera entre 2 deportistas y determinar quién es más rápido. La segunda pregunta trata sobre la evaporación de agua. La tercera pregunta analiza puntos críticos, valores extremos y concavidad de una función.
Este documento presenta una introducción al concepto de límite matemático a través de varios ejemplos intuitivos. Luego, explica formalmente la definición precisa de límite y métodos para calcular límites, incluyendo tablas, gráficas, teoremas y sustitución directa. Finalmente, cubre límites laterales, límites que involucran el infinito, asíntotas y continuidad. El objetivo es proporcionar una comprensión básica pero rigurosa de este importante concepto.
El documento presenta 4 ejemplos de funciones racionales y analiza su continuidad y tipo de discontinuidades en puntos donde anula el denominador. El primer ejemplo muestra una discontinuidad evitable. El segundo y tercer ejemplo presentan discontinuidades salto infinito. El cuarto ejemplo analiza discontinuidades salto infinito en dos puntos y tiene una asíntota horizontal.
Este documento resume las ecuaciones diferenciales de orden superior y cómo resolverlas. Explica que las ecuaciones diferenciales de la forma ay'' + by' + cy = 0 se resuelven determinando las raíces del polinomio característico ar2 + br + c = 0. Luego presenta dos ejemplos resueltos, mostrando cómo determinar las raíces y encontrar las soluciones de la ecuación diferencial original.
Este documento presenta ejercicios resueltos relacionados con funciones vectoriales y curvas en el espacio. El primer ejercicio analiza si se intersectan dos curvas definidas por vectores posición y en qué puntos ocurre. El segundo ejercicio describe gráficamente una curva y prueba que su vector tangente es unitario cuando se usa la longitud de arco como parámetro. El tercer ejercicio calcula la velocidad de una partícula y determina el tiempo para recorrer una distancia dada.
El documento describe diferentes aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en diversos campos como la dinámica de poblaciones, desintegración radiactiva, propagación de enfermedades y circuitos eléctricos. Se explica el proceso de modelado matemático mediante ecuaciones diferenciales y se presentan ejemplos de problemas resueltos relacionados con crecimiento poblacional, vida media radiactiva y préstamos con intereses.
Este documento describe tres métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución: el método del disco, el método de la arandela y el método de los casquillos cilíndricos. Explica cómo usar cada método para aproximar el volumen integrando el área de las secciones transversales. Además, incluye ejemplos resueltos demostrando cómo aplicar los métodos.
El documento presenta ejercicios sobre determinantes. Se calculan valores de determinantes de diferentes matrices utilizando propiedades como la definición por recurrencia y el desarrollo por filas o columnas. También se comprueba que un determinante es múltiplo de un número y se calculan determinantes de productos y cocientes de matrices.
Este documento introduce los conceptos de espacio vectorial y subespacio vectorial. Define un espacio vectorial como un conjunto que cumple con diez propiedades relacionadas con la suma y multiplicación de vectores. Presenta varios ejemplos de conjuntos que son y no son espacios vectoriales. Finalmente, anticipa la discusión de subespacios vectoriales en la próxima sección.
Este documento presenta varios ejercicios de álgebra lineal relacionados con transformaciones lineales. Propone determinar si ciertas funciones son transformaciones lineales, calcular el núcleo e imagen de transformaciones dadas, y encontrar las matrices asociadas a transformaciones respecto a bases específicas. El documento contiene 8 ejercicios con múltiples partes cada uno sobre diversos temas de álgebra lineal aplicados a transformaciones lineales.
Este documento explica el concepto de integrales triples. 1) Define una integral triple como el límite de sumas triples de Riemann cuando la partición tiende a cero. 2) Explica que una función debe ser continua y tener discontinuidades confinadas para ser integrable. 3) Enumera propiedades como linealidad y descomposición de regiones. El documento también cubre cálculo de integrales triples mediante iteración y coordenadas cilíndricas.
Este documento presenta los conceptos básicos sobre límites de funciones en el cálculo diferencial. Introduce la definición formal de límite y explica cómo calcular límites mediante tablas asignando valores cada vez más cercanos al valor al que tiende la variable. También define límites laterales y presenta teoremas clave para el cálculo directo de límites como el uso de límites de funciones constantes, sumas, productos y cocientes. El documento contiene ejemplos resueltos demostrando la aplicación de estos conceptos
APLICACIONES DE LA DERIVADA EN LA CARRERA DE (Mecánica, Electrónica, Telecomu...WILIAMMAURICIOCAHUAT1
El cálculo diferencial proporciona información sobre el comportamiento de las funciones
matemáticas. Todos estos problemas están incluidos en el alcance de la optimización de funciones y pueden resolverse aplicando cálculo
Aplicaciones de calculo de integrales dobles y tripleswalterabel03
2
0
2
∫
−2 x + 20
4x
2
dydx
x) dx + ∫ (20 − 2x) dx = 36
Este documento presenta aplicaciones de las integrales múltiples, incluyendo el cálculo del área de figuras planas mediante integrales dobles. Se explica que el área de una región D se obtiene como la integral doble de la función constante 1 sobre D. Además, se resuelven dos ejemplos de cálculo de áreas de regiones mediante integrales dob
Este documento presenta nueve problemas resueltos sobre cálculo de integrales múltiples y de línea. En el primer problema se calcula la integral de una función definida en un rectángulo sobre la región donde no es nula. En el segundo problema se calcula el volumen de un sólido limitado por una superficie y dos planos. En el tercer problema se calcula una integral doble sobre una región delimitada por hipérbolas y líneas rectas.
G2.3 calculo de volumen de revolucion, metodo de arandelas2.docxJesse Lem
El documento explica el método de las arandelas para calcular el volumen de sólidos de revolución. Este método involucra integrales que representan el volumen interno y externo de la arandela, cuya diferencia da el volumen total. Se proporcionan ejemplos resueltos de aplicar este método para encontrar el volumen de diferentes sólidos.
Este documento describe los pasos para configurar una nueva red inalámbrica. Explica que primero se debe instalar el hardware como el enrutador y las tarjetas de red inalámbricas. Luego se debe configurar el enrutador asignando una dirección IP, una máscara de subred y un nombre de red. Finalmente, se deben configurar las estaciones de trabajo para que se conecten a la red inalámbrica recién creada.
1) El documento describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior, incluyendo ecuaciones lineales y no lineales, homogéneas y no homogéneas.
2) Explica que para ecuaciones lineales existe una solución única si los coeficientes son continuos. También introduce conceptos como conjunto fundamental de soluciones y wronskiano.
3) Presenta el método de reducción de orden para encontrar una segunda solución a partir de una solución conocida.
Este documento presenta los objetivos de aprendizaje relacionados con la ecuación de la recta. Los estudiantes aprenderán a reconocer la expresión algebraica y gráfica de la ecuación de la recta, identificar la pendiente e intercepto, y analizar las posiciones relativas de dos rectas. También aprenderán a establecer las relaciones de paralelismo y perpendicularidad entre rectas y resolver problemas modelados con la ecuación de la recta.
Este documento propone un nuevo enfoque para explicar el límite de funciones de dos variables sin utilizar inicialmente las definiciones formales. Sugiere comenzar analizando el comportamiento algebraico y gráfico de la función, y relacionarlo con conceptos de límites de una variable. Luego, define formalmente el límite de dos variables utilizando la noción de entorno en R2. El objetivo es que los estudiantes comprendan mejor el concepto a través de un desarrollo más intuitivo antes de presentar las definiciones.
primer parcial de analisis del cbc ciencias economicasapuntescbc
1) El conjunto A se puede expresar como la unión de dos intervalos: A = (0, 1/2) ∪ (2, +∞). El ínfimo de A es 0 pero no tiene supremo.
2) El límite cuando x tiende a 0 del seno de 3x entre raíz cuadrada de x es 0.
3) Para calcular la demanda marginal en x=48 de la función de ingreso total R(x)=x(800-6x)^(1/3), se deriva R(x) y se evalúa en x=48.
Este documento contiene una prueba parcial de cálculo con 3 preguntas. La primera pregunta involucra una carrera entre 2 deportistas y determinar quién es más rápido. La segunda pregunta trata sobre la evaporación de agua. La tercera pregunta analiza puntos críticos, valores extremos y concavidad de una función.
El documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con el cálculo de derivadas. Se incluyen preguntas tipo test sobre tasas de variación media, rectas tangentes, derivadas de funciones compuestas y derivabilidad. También contiene ejercicios para calcular derivadas, analizar derivabilidad y hallar valores que hagan derivable una función.
Ejercicios Resueltos de Integrales (Cálculo Diferencial e Integral UNAB)Mauricio Vargas 帕夏
El documento presenta la solución de varios problemas de cálculo integral resueltos mediante diferentes métodos como sustitución, integración por partes y trigonométricas. En menos de 3 oraciones resume los principales puntos tratados: la resolución de 8 integrales indefinidas utilizando sustitución y 5 integrales utilizando integración por partes con diferentes funciones integrandas.
1) El documento presenta varios ejercicios de matemáticas resueltos. Incluye ecuaciones, sistemas de ecuaciones, conjuntos solución e intervalos.
2) Los ejercicios van desde determinar conjuntos solución y comprobar desigualdades hasta calcular pendientes, ecuaciones de rectas y maximizar funciones.
3) Se resuelven problemas relacionados con áreas de triángulos, coordenadas de puntos y restricciones para funciones.
Este documento presenta la unidad VI sobre la aplicación de la derivada. La unidad contiene seis secciones que explican conceptos como la interpretación gráfica de la derivada, ecuaciones de tangentes y normales, funciones crecientes y decrecientes, y valores extremos. El objetivo de la unidad es que los estudiantes identifiquen el concepto de derivada y lo apliquen para resolver problemas geométricos, físicos y sus aplicaciones.
Este documento presenta ejercicios resueltos de cálculo diferencial que incluyen: coordenadas polares, espacios métricos, topología de la recta, límites, continuidad de funciones y el teorema de Bolzano. Se resuelven problemas sobre curvas polares, puntos de acumulación, límites formales, y continuidad.
El documento presenta 13 ejercicios resueltos sobre ecuaciones cuadráticas. En cada ejercicio se resuelve una o más ecuaciones cuadráticas mediante el método de factorización o la fórmula cuadrática, y se determinan las soluciones reales o la naturaleza de las raíces. El último ejercicio pide hallar los valores de p que hacen que -1/2 sea solución de una ecuación cuadrática dada.
1) El documento presenta varios ejercicios de matemáticas resueltos. Incluye ecuaciones, sistemas de ecuaciones, conjuntos solución e intervalos.
2) Los ejercicios van desde determinar conjuntos solución y rangos hasta calcular pendientes, ecuaciones de rectas y áreas de triángulos.
3) Se resuelven problemas como maximizar expresiones sujetas a restricciones o determinar si funciones son crecientes o decrecientes en ciertos intervalos.
El documento trata sobre la programación cuadrática, que minimiza funciones cuadráticas sujetas a restricciones lineales. Explica cómo reconocer ecuaciones de circunferencias, elipses, hipérbolas y parábolas. Luego presenta ejemplos resueltos de problemas de programación cuadrática que involucran minimizar o maximizar funciones cuadráticas sujetas a restricciones.
El documento define la diferencial de una función y explica que la diferencial de la variable independiente es igual a su incremento, mientras que la diferencial de la variable dependiente no es igual a su incremento. Además, presenta propiedades de la diferencial y métodos para calcular diferenciales de funciones. Finalmente, discute cómo usar diferenciales para aproximar incrementos y da ejemplos de aplicaciones.
solucion-de-examen-de-ecuaciones-diferenciales-espol Frank Fernandez
1. El documento presenta la solución de varios ejercicios de ecuaciones diferenciales.
2. En el primer ejercicio se resuelve la ecuación diferencial y0 + xy = xpy mediante el cambio de variable z = y1−1/2.
3. En el quinto ejercicio se encuentra la solución general de la ecuación diferencial (x − 1)2y00 + (x − 1)y0 − y = 0 en potencias de x, la cual converge a funciones de la forma y(x) = a0(1 + 1/2x2
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con las derivadas y sus aplicaciones. En la primera sección, se pide analizar las condiciones de crecimiento y decrecimiento de una función basadas en el signo de su primera y segunda derivada. Luego, se pide graficar una función con ciertas condiciones dadas en sus intervalos. En la segunda sección, se piden hallar ecuaciones de rectas tangentes a curvas en puntos específicos.
1. El documento describe diferentes técnicas para derivar funciones algebraicas utilizando la regla general de derivación. 2. Explica cómo derivar constantes, variables independientes, productos de constantes por variables, sumas de funciones, productos y cocientes de funciones. 3. Proporciona ejemplos para ilustrar cada tipo de derivación.
1) La programación cuadrática minimiza funciones cuadráticas sujetas a restricciones lineales. 2) Se presentan ejemplos de cómo reconocer ecuaciones de circunferencias, elipses, hipérbolas y parábolas. 3) Se explica el algoritmo de ramificación y acotamiento para obtener soluciones enteras de problemas de programación cuadrática mediante la división del espacio de soluciones y el establecimiento de límites.
1. La función describe las condiciones de curvatura y signo de la segunda derivada en diferentes intervalos. Es convexa cuando f''<0 y cóncava cuando f''>0.
2. Se pide dibujar una función que pase por tres puntos dados y cumpla ciertas condiciones de curvatura en diferentes intervalos.
3. Se calculan las rectas tangentes a una función en diferentes puntos.
Este documento presenta los conceptos y métodos de integración indefinida y definida. Incluye ejemplos resueltos de diferentes métodos de integración como integración inmediata, sustitución o cambio de variables e integración por partes. También incluye aplicaciones como cálculo de áreas, volúmenes y longitudes de curvas.
Este documento describe los conceptos básicos de la geometría analítica en uno, dos y tres dimensiones. Introduce el sistema de coordenadas cartesiano unidimensional y bidimensional. Explica cómo calcular la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano utilizando la fórmula de la distancia. También cubre la división de segmentos en una razón dada y los conceptos de pendiente, ángulo entre rectas y ecuaciones de rectas.
Este documento presenta 13 problemas de álgebra resueltos por un profesor. Cada problema contiene los pasos para resolver ecuaciones polinómicas, hallar mínimos comunes múltiplos y máximos comunes divisores, y descomponer fracciones parciales.
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales. Define ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, y explica conceptos como orden, linealidad, clasificación, soluciones, valores iniciales, variables separables, exactitud y variación de constantes.
Esta exposición tiene como objetivo educar y concienciar al público sobre la dualidad del oxígeno en la biología humana. A través de una mezcla de ciencia, historia y tecnología, se busca inspirar a los visitantes a apreciar la complejidad del oxígeno y a adoptar estilos de vida que promuevan un equilibrio saludable entre sus beneficios y sus potenciales riesgos.
¡Únete a nosotros para descubrir cómo el oxígeno puede ser tanto un salvador como un destructor, y qué podemos hacer para maximizar sus beneficios y minimizar sus daños!
¿Qué es?
El VIH es un virus que ataca el sistema inmunitario del cuerpo humano, debilitándolo y dejándolo vulnerable a otras infecciones y enfermedades.
Se transmite a través de fluidos corporales como sangre, semen, secreciones vaginales y leche materna.
A medida que avanza, el VIH puede desarrollarse en SIDA, una etapa avanzada de la infección donde el sistema inmunitario está severamente comprometido.
Estadísticas
Más de 38 millones de personas viven con VIH en todo el mundo, según datos de la ONU.
Las tasas de infección varían según la región y el grupo demográfico, con una prevalencia más alta en África subsahariana.
Modos de Transmisión
El VIH se transmite principalmente a través de relaciones sexuales sin protección, compartir agujas contaminadas y de madre a hijo durante el parto o la lactancia.
No se transmite por contacto casual como estrechar la mano o compartir utensilios.
Prevención y Tratamiento
La prevención incluye el uso de preservativos durante las relaciones sexuales, evitar compartir agujas y acceder a la profilaxis preexposición (PrEP) para aquellos con mayor riesgo.
El tratamiento del VIH implica el uso de terapia antirretroviral (TAR), que ayuda a controlar la replicación viral y permite que las personas con VIH vivan vidas más largas y saludables
La era precámbrica comenzó hace 4 millones de años y se cuenta hasta hace 570 millones de años. Durante este período se creó el complejo basal propio de la Guayana venezolana, al sur del país; también en Los Andes; en la cordillera norte de Perijá, estado de Zulia; y en el Baúl, estado de Cojedes.
Cardiopatias cianogenas con hipoflujo pulmonar.pptxELVISGLEN
Las cardiopatías congénitas acianóticas incluyen problemas cardíacos que se desarrollan antes o al momento de nacer pero que normalmente no interfieren en la cantidad de oxígeno o de sangre que llega a los tejidos corporales.
Los objetos de aprendizaje enfocados en las caracteristicas primcipales
28. aplicaciones de la derivada
1. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Aplicaciones de la derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
dy
- = -
1
MATEMÁTICAS BÁSICAS
APLICACIONES DE LA DERIVADA
A través del uso del concepto de derivada se logra conocer algunas propiedades relevantes de las
funciones. El estudio de estas características facilita la representación gráfica y la interpretación analítica
de las mismas, lo que posibilita su mejor entendimiento. El objetivo de este capítulo es obtener
información de las funciones a partir de su derivada y conocer más acerca de su comportamiento.
RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL DE UNA CURVA
Si una función y = f (x) posee una derivada en el punto x , la curva tiene una tangente en P ( x , y
) 1 1 1 cuya pendiente es: = tan q = =
'
( ) .
1 1 1
f x
dy
dx
m
=
x x
Se sabe que la ecuación de la recta que pasa por un punto y con una pendiente dada es:
( ) 1 1 y - y = m x - x . Por lo tanto, si se sustituye la pendiente por la derivada, la ecuación de la recta
tangente en un punto de una curva es:
( ) 1 1
1
x x
dx
y y
=
x x
Si m= 0 tiene tangente horizontal a la curva. Si m = ¥ tiene tangente vertical a la curva.
x
y
Recta
Tangente
Recta
Normal
90°
P (x1,y1)
y = f(x)
Una recta normal a una curva en uno de sus puntos es la recta que pasando por dicho punto es
perpendicular a la recta tangente en él.
La condición de perpendicular entre dos rectas es:
1
1 1
1
m dy
1
1 2 2
x x dx
m m m
=
× = - ⇒ = - = -
2. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Aplicaciones de la derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
La ecuación de la recta normal en el punto ( 1 1 ) P x , y es:
- = - -
m
y - 6 = 7(x - 2) ⇒ y - 6 = 7x -14 ⇒ 7x - y -8 = 0 (recta tangente).
dy
1 = = - = - - = - =
m
y - (- 2) =15(x - (-1)) ⇒ y + 2 =15(x +1) ⇒ y + 2 =15x +15
⇒ 15x - y +13= 0 (recta tangente).
m
( ) ( ( 1)) 15( 2) ( 1) 15 30 1
y - - 2 = - x - - ⇒ y + = - x + ⇒ y + = -x -
⇒ x +15y +31= 0 (recta normal).
y - = - x - ⇒ y - x y x x y
(recta tangente).
1 = - + ⇒ + - = - ⇒ - - =
2
( ) 1
1
1
1
1
x x
m
y y
=
x x
Ejemplos.
Hallar las ecuaciones de las recta tangente y normal de las siguientes curvas en el punto indicado.
1) 3 5 4 (2,6) 2 y = x - x + P
Solución:
6 5 6(2) 5 12 5 7
dy
1 2 = = - = - = - = x= x
dx
1 1
7
2 = - = -
m
1
m
( 2) 7( 6) ( 2) 7 42 2
7
1
y - 6 = - x - ⇒ y - = - x - ⇒ y - = -x +
⇒ x + 7y -44 = 0 (recta normal).
2) 9 12 5 ( 1, 2) y = x3 - x - P - -
Solución:
27 12 27( 1) 12 27 12 15 2
1
2
x=-
x
dx
1 1
15
2 = - = -
m
1
1
15
=
1
3)
2
2,
1
P
x
y
Solución:
1
4
1 1
dy
1 2 = = - = - = -
2
2
2
x= dx x
m
( ) 1
( 2) 4 2 2 4 4 0
2
2 4
1
4
2
4
1 1
2 =
1
4
1
-
= - = -
m
m
3. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Aplicaciones de la derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
( ) 4 8 2 1 8 16
1 y - = x - ⇒ y - = x - ⇒ y - = x -
⇒ 8x - 2y -15 = 0 (recta normal).
= - +
2 0 3 6 2 0 3
-3 = - - ⇒ - = - ⇒ - = -
⇒ 3x + 2y -6 = 0 (recta tangente).
dy
1 = = - + + = - + + = - + + =
m
y - 9 = 0(x -1) ⇒ y - 9 = 0 ⇒ y = 9 (recta tangente).
m (pendiente de 90°, o sea, es infinita)
Recta
Normal
3
1
2
4 2
2
4) 6 4 12 0 (0,3) 2 2 2 - x y + x - y x + y - = P
Solución:
( )
( )( ) ( )( )
6
3
( 0 ) 2 ( 0 ) ( 3 ) 4
4
2
= - +
xy xy
2 6 2
2 4
2 2
2
0,3
2 2
2
- ¶
f
¶
x
dy
1 = - = -
- - +
- - +
¶
f
¶
= =
x x y
y
dx
m
3
y (x 0) 2(y 3) 3x 2y 6 3x
2
2
3
4
2 = =
6
1 1
6
4
1
-
= - = -
m
m
2
( 0) 3( 3) 2 3 9 2 2 3 9 0
3
y -3 = x - ⇒ y - = x ⇒ y - = x ⇒ x - y + = (recta normal).
5) 7 12 4 (1,9) 4 2 y = - x + x + x P
Solución:
28 24 4 28(1) 24(1) 4 28 24 4 0 3
1
3
x=
x x
dx
1 1
0
2 = - = -
m
1
( 1) 0( 9) ( 1) 0 1 1
0
1
y -9 = - x - ⇒ y - = - x - ⇒ = -x + ⇒ x = (recta normal).
Gráficamente, esto es:
x
y
10
8
6
4
2
-1 1
2
y = 9
x = 1
Recta
Tangente
f(x) = -7x4 + 12x2 + 4x
4. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Aplicaciones de la derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
q = - -
m m
+ ×
1 1 2
1
5x - 7 = -3x + 9 ⇒ 8x =16 ⇒ x = =
4
ÁNGULO ENTRE DOS CURVAS
Dadas dos curvas cualesquiera, el ángulo de intersección entre ellas está dado por el ángulo formado por
sus tangentes en el punto de intersección.
x
y
m1
Curva 2
Curva 1
m2
P (x,y)
q
El procedimiento para obtener el ángulo de intersección entre dos curvas es el siguiente:
1. Se calculan las coordenadas de los puntos de intersección, resolviendo las ecuaciones formadas por las funciones.
2. Se derivan las ecuaciones para encontrar las pendientes de las tangentes de las curvas para cada
uno de los puntos de intersección.
3. Se aplica la siguiente expresión:
1 2
tan
m m
En caso de que se obtenga un ángulo agudo q que sea negativo, el ángulo de intersección es: -q .
En caso de que se obtenga un ángulo no agudo q que sea positivo, el ángulo de intersección es: 180°-q .
En caso de que se obtenga un ángulo no agudo q que sea negativo, el ángulo de intersección es: 180°+q .
Nótese como:
· Si las pendientes son iguales, el ángulo de intersección es cero.
· Si
2
1
1
m
m = - , el ángulo de intersección es de 90°, es decir las curvas son ortogonales.
Ejemplos.
Obtener el ángulo de intersección entre las siguientes curvas:
1) f (x) = 5x - 7 y g(x) = -3x + 9
Solución:
16
Igualando las funciones: 2
8
Derivando:
5. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Aplicaciones de la derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
⇒ = - - - - - tan 0.5714 29.74
= - - - - tan 0.0407 2.33
= - - - - tan 0.3913 21.37
2 4 4 4 4 0 x2 = x - 2 ⇒ x2 = x2 - x + ⇒ x - = ⇒ x = =
5
( ) = 5
dx
df x
( ) = -3
dx
dg x
( )
( )( ) = (- )= - °
tan 1 1 1
-
=
5 3
+ -
8
14
tan
1 5 3
1 q
= 29.74° 1 q
2) ( ) 3 10 14 f x = - x2 - x - y g(x) =11x +16
Solución:
Igualando las funciones: 3 10 14 11 16 3 21 30 0 - x2 - x - = x + ⇒ - x2 - x - =
3 21 30 0 7 10 0 ( 5)( 2) 0 ⇒ x2 + x + = ⇒ x2 + x + = ⇒ x + x + =
5; 2 1 2 x = - x = -
Derivando:
( ) = -6x -10
dx
df x
dg ( x
) =11
dx
Evaluando el punto 5 1 x = - :
6 10 6( 5) 10 30 10 20
1 5 = - - = - - - = - = x=- m x
2 5 = = x=- m
11 11
( )( ) = = ( )= °
20 11
tan 1 1 1
+
9
221
tan
1 20 11
1 q
Evaluando el punto 2 1 x = - :
6 10 6( 2) 10 12 10 2
1 2 = - - = - - - = - = x=- m x
2 2 = = x=- m
11 11
( )( ) = (- )= ° = -
2 11
tan 1 1 1
+
9
23
tan
1 2 11
1 q
3) f ( x ) = x 2 y g ( x ) = ( x - 2
)2 Solución:
( ) 4
Igualando las funciones: 1
4
Derivando:
df ( x
) x
dx
= 2
( ) = 2(x - 2)
dx
dg x
Evaluando el punto x =1:
2 2(1) 2
1 1 = = = x= m x
6. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Aplicaciones de la derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
⇒ = - - - - - tan 1.3333 53.13
= - + = = = - - = - 30
x x = -
1 2 Derivando:
( ) = 8x + 5
dx
= - - ⇒ tan - 1 - 1 tan - 1
0.1752 9.94
q = - - - - - tan 0.2072 11.70
+ - = + - ⇒ - = - ⇒ = - x y x x y x x
4 8 4 8 2 2 2 2 =
6
2( 2) 2(1 2) 2( 1) 2
2 1 = - = - = - = - x= m x
( )
4
( )( ) = (- )= - °
tan q 1 1 1
-
=
2 2
+ -
3
tan
1 2 2
q = 53.13°
4) ( ) 4 5 7 f x = x2 + x - y ( ) 6 2 5 g x = - x2 - x +
Solución:
Igualando las funciones:
4 5 7 6 2 5 10 7 12 0 10, 7, 12 x2 + x - = - x2 - x + ⇒ x2 + x - = ⇒ a = b = c = -
( )( )
( ) 20
7 23
7 529
20
7 49 480
20
- ± - -
7 7 4 10 12
2 10
= - b ± b - ac
=
2
4 2 2 - ± = - ± + = - ± =
a
x
1.5
20
7 23
20
0.8;
16
20
7 23
20
df x
dg ( x
) = -12x - 2
dx
Evaluando el punto 0.8 1 x = :
8 5 8(0.8) 5 6.4 5 11.4
1 0.8 = + = + = + = x= m x
12 2 12(0.8) 2 9.6 2 11.6
2 0.8 = - - = - - = - - = - x= m x
( )
( )( ) =
= (- )= - °
-
11.4 11.6
+ -
23
131.24
tan
1 11.4 11.6
1 q
= 9.94° 1 q
Evaluando el punto 1.5 2 x = - :
8 5 8( 1.5) 5 12 5 7
1 1.5 = + = - + = - + = - x=- m x
12 2 12( 1.5) 2 18 2 16
2 1.5 = - - = - - - = - = x=- m x
= -
( )( ) = ( )= °
tan 1 1 1
-
7 16
+ -
23
111
tan
1 7 16
2
5) x2 + y2 - 4 x = 0 y x2 + y2 - 8 =
0 Solución:
8
Igualando las funciones: 2
4
-
obteniendo las ordenadas: 8 8 2 8 4 4 2 y = ± - x2 = ± - 2 = ± - = ± = ±
(2,2); (2, 2) 1 2 P P -
Derivando:
( )
= - 2 x
+ 4
y
df x
dx
2
7. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Aplicaciones de la derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
7
( )
x
= - 2
y
dg x
dx
2
Evaluando el punto (2,2):
1 = - + = - + = =
( )
( )
0
( ) 0
4
2 2 4
2 2
x
2 4
2
2,2
y
m
2 = - = - = - = -
( )
( )
4
( ) 1
4
2 2
2 2
2
2
2,2
x
y
m
( )
( ) = = ( ) = °
= - 0 - - 1
tan 1 - 1 tan - 1
1 45
+ -
1
1
tan
1 0 1
1 q
Evaluando el punto (2,-2):
= - x
+ = - +
1 =
( )
( )
0
( ) 0
4
2 2 4
2 2
2 4
2
2, 2
-
=
-
- y
m
= -
x
2 =
( )
2 ( 2
)
4
( ) 1
4
2 2
2
2
2, 2
-
-
= - = -
- y
m
q = - - - - tan 1 45
( ) = (- ) = - ° = -
0 1
tan 1 1 1
+
1
1
tan
1 0 1
1
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Función creciente
dy
Sea y = f (x) una función continua en el intervalo (a,b). Si se cumple que > 0
dx
, la función es creciente.
Función decreciente
dy
Sea y = f (x) una función continua en el intervalo (a, b). Si se cumple que < 0
dx
, la función es decreciente.
x
y
Creciente
va de (–) a (+)
a b
> 0
dy
dx
x
y
Decreciente
va de (+) a (-)
a b
< 0
dy
dx
8. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Aplicaciones de la derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
Criterio de la primera derivada
Si la derivada de una función es cero, se tiene un punto critico (PC) y existen dos casos:
1. Si pasa de signo (+) a (-), la función tiene un máximo relativo.
2. Si pasa de signo (-) a (+), la función tiene un mínimo relativo.
El máximo más grande se denomina máximo absoluto. El mínimo más pequeño se denomina mínimo
absoluto.
8
Si
dy
dx
no cambia de signo, la derivada no tiene ni máximo ni mínimo.
Criterio de la segunda derivada
dy
· Si = 0
dx
d y
2
<
dx
y 0
2
, la función y = f (x) tiene un máximo relativo en el punto en
cuestión.
dy
· Si = 0
dx
d y
2
>
dx
y 0
2
, la función y = f (x) tiene un mínimo relativo en el punto en
cuestión.
Concavidad
Un arco de curva y = f (x) es cóncavo, si cada uno de sus puntos están situados por encima de la
d y
2
>
dx
tangente. Como la pendiente aumenta: 0
2
Convexidad
Un arco de curva y = f (x) es convexo, si cada uno de sus puntos están situados por debajo de la
d y
2
<
dx
tangente. Como la pendiente disminuye: 0
2
Punto de inflexión (PI)
Es el punto en el cual la curva pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava. Una curva tiene
punto de inflexión en 1 x si:
d y
i. 0
1
2
2
=
x=x dx
d y
ii. 0
1
3
3
¹
x=x dx
, es decir, que existe su tercera derivada.
9. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Aplicaciones de la derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
PI
9
x
y
Máximo
Relativo
Máximo
Relativo
PC
CV
PC
Dec
CV
PC
Cre
CV
PC
PC
PC
CX
PI
Mínimo
Relativo
PI
Mínimo
Relativo
Cre: Creciente
Dec: Decreciente
CV: Cóncavo
CX: Convexo
Mínimo
Absoluto
Máximo
Absoluto
y = f(x)
PI
PI
Cre
Dec
Dec
Cre
CX
Cre
CX
a b
Ejemplos.
Dadas las siguientes funciones obtener (en caso de aplicar):
a) puntos críticos, sus máximos y mínimos; b) ubicar donde son crecientes y donde decrecientes; c)
determinar donde son cóncavas, donde convexas y establecer sus puntos de inflexión; d) trazar la gráfica
en el intervalo dado.
1) f ( x ) = -x2 + 6 x + 7 en el intervalo 0 £ x £ 5
Solución.
df ( x
) = -2x + 6
dx
igualando a cero para obtener los puntos críticos:
3
6
- + = ⇒ - = - ⇒ = - x x x
(3) (3) 6(3) 7 9 18 7 16 2 f = - + + = - + + =
PC (3,16)
aplicando el criterio de la segunda derivada:
2 6 0 2 6 =
2
-
d y
2
= - <
dx
2 0
2
por lo tanto es un máximo y su forma es convexa. Eso implica que en 0 £ x <3, la
función es creciente y en 3< x £5 es decreciente.
0
d y
3
=
dx
3
, por lo tanto, no existen puntos de inflexión.
Calculando las ordenadas de los puntos extremos:
(0) (0) 6(0) 7 0 0 7 7 (0,7) 2 f = - + + = + + = ⇒ P
(5) (5) 6(5) 7 25 30 7 12 (5,12) 2 f = - + + = - + + = ⇒ P
Trazando la gráfica:
10. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Aplicaciones de la derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
Máximo
PC (3,16)
x2 - x = ⇒ x x - = ⇒ x = x - = ⇒ x = ⇒ x = =
(0) (0) 3(0) 4 0 0 4 4 3 2 f = - + = - + =
10
x
y
18
16
14
12
8
6
4
1 2
10
3
2
4 5 6
Cóncavo
2) f ( x ) = x3 - 3 x2 + 4 en el intervalo -2 £ x £ 4
Solución.
df ( x
) = 3 x 2 -
6 x
dx
igualando a cero para obtener los puntos críticos:
( ) 6
2
3
3 6 0 3 6 0 0; 3 6 0 3 6 1
(0,4) 1 PC
(2) (2) 3(2) 4 8 12 4 0 3 2 f = - + = - + =
(2,0) 2 PC
aplicando el criterio de la segunda derivada:
d y
2
= x -
dx
6 6
2
6 6 6(0) 6 6 0
0 - = - = - < x= x
por lo tanto es un máximo y su forma es convexa.
6 6 6(2) 6 12 6 6 0
2 - = - = - = > x= x
por lo tanto es un mínimo y su forma es cóncava.
Eso implica que en -2 £ x < 0 , la función es creciente, en 0 < x £ 2 es decreciente y en 2 < x £ 4 es
creciente.
0
d y
3
¹
dx
3
, por lo tanto, sí existen puntos de inflexión.
igualando a cero la segunda derivada para obtener los puntos de inflexión:
1
6
6x -6 = 0 ⇒ 6x = 6 ⇒ x = =
6
11. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Aplicaciones de la derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
x3 - x = ⇒ x x2 - = ⇒ x = x - = ⇒ x = ⇒ x = ±
11
(1) (1) 3(1) 4 1 3 4 2 3 2 f = - + = - + =
PI (1,2)
Calculando las ordenadas de los puntos extremos:
( 2) ( 2) 3( 2) 4 8 12 4 16 3 2 f - = - - - + = - - + = -
(4) (4) 3(4) 4 64 48 4 20 3 2 f = - + = - + =
Trazando la gráfica:
y
20
16
12
8
0
PC (0,4)
Convexo
-4 x
-8
-2 -1
4
1
Máximo
-12
2 3 4
Cóncavo
-16
PC (2,0)
Mínimo
PI (1,2)
3) f ( x ) = x4 - 2 x2 + 1 en el intervalo -1.5£ x £1.5
Solución.
df ( x
) = 4 x 3 -
4 x
dx
igualando a cero para obtener los puntos críticos:
( ) 4
1
4
4 4 0 4 4 0 0; 4 4 0 2 2
1
1; 1 2 3 x = x = -
(0) (0) 2(0) 1 0 0 1 1 4 2 f = - + = - + =
(0,1) 1 PC
(1) (1) 2(1) 1 1 2 1 0 4 2 f = - + = - + =
(1,0) 2 PC
( 1) ( 1) 2( 1) 1 1 2 1 0 4 2 f - = - - - + = - + =
( 1,0) 3 PC -
aplicando el criterio de la segunda derivada:
d y
2
= x -
dx
12 4 2
2
12 2 - 4 = 12(0) 2
- 4 = - 4 <
0 0
x=
x
por lo tanto es un máximo y su forma es convexa.
12. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Aplicaciones de la derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
12 4 0 12 4 x2 - = ⇒ x2 = ⇒ x2 = = ⇒ x = ±
12
12 2 - 4 = 12(1) 2
- 4 = 12 - 4 = 8 >
0 x=
1
x
por lo tanto es un mínimo y su forma es cóncava.
12 2 - 4 = 12( - 1) 2
- 4 = 12 - 4 = 8 >
0 x=-
1
x
por lo tanto es un mínimo y su forma es cóncava.
Eso implica que en -1.5£ x < -1, la función es decreciente, en -1< x < 0 es creciente, en 0 < x <1
es decreciente y en 1< x £1.5 es creciente.
0
d y
3
¹
dx
3
, por lo tanto, sí existen puntos de inflexión.
igualando a cero la segunda derivada para obtener los puntos de inflexión:
1
3
1
3
4
12
0.5773; 0.5773 2 3 x = x = -
(0.5773) (0.5773) 2(0.5773) 1 0.1111 0.6666 1 0.4444 4 2 f = - + = - + =
(0.5773,0.4444) 1 PI
( 0.5773) ( 0.5773) 2( 0.5773) 1 0.1111 0.6666 1 0.4444 4 2 f - = - - - + = - + =
( 0.5773,0.4444) 2 PI -
Calculando las ordenadas de los puntos extremos:
( 1.5) ( 1.5) 2( 1.5) 1 5.0625 4.5 1 1.5625 4 2 f - = - - - + = - + =
(1.5) (1.5) 2(1.5) 1 5.0625 4.5 1 1.5625 4 2 f = - + = - + =
Trazando la gráfica:
x
y
2
-1
-1.5 -1 -0.5
Máximo
0.5 1 1.5
Cóncavo
PC (0,1)
-2
Mínimo
Convexo
PC (1,0)
PI PI
Cóncavo
PC (-1,0)
Mínimo
1
4) f ( x ) = -x3 + 6 x2 - 9 x + 8 en el intervalo -1£ x £ 5
Solución.
df ( x
) = - 3 x2 + 12 x -
9 dx
igualando a cero para obtener los puntos críticos:
13. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Aplicaciones de la derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
3 12 9 0 3 12 9 0 4 3 0 ( 1)( 3) 0 - x2 + x - = ⇒ x2 - x + = ⇒ x2 - x + = ⇒ x - x - =
- - 6 x + 12 = 0 ⇒ - 6 x = - 12 ⇒ x
= =
f (2) = - (2) 3 + 6(2) 2 - 9(2) + 8 = - 8 + 24 - 18 + 8 =
6 PI (2,6)
Calculando las ordenadas de los puntos extremos:
f ( - 1) = - ( - 1) 3 + 6( - 1) 2 - 9( - 1) + 8 = 1 + 6 + 9 + 8 =
24 f (5) = - (5) 3 + 6(5) 2 - 9(5) + 8 = - 125 + 150 - 45 + 8 = -
12 Trazando la gráfica:
13
1; 3 1 2 x = x =
(1) (1) 6(1) 9(1) 8 1 6 9 8 4 3 2 f = - + - + = - + - + =
(1,4) 1 PC
(3) (3) 6(3) 9(3) 8 27 54 27 8 8 3 2 f = - + - + = - + - + =
(3,8) 2 PC
aplicando el criterio de la segunda derivada:
d y
2
= - x +
dx
6 12
2
6 12 6(1) 12 6 12 6 0
1 - + = - + = - + = > x= x
por lo tanto es un mínimo y su forma es cóncava.
6 12 6(3) 12 18 12 6 0
3 - + = - + = - + = - > x= x
por lo tanto es un máximo y su forma es convexa.
Eso implica que en -1£ x <1, la función es decreciente, en 1< x £ 3 es creciente y en 3< x £ 5 es decreciente.
0
d y
3
¹
dx
3
, por lo tanto, si existen puntos de inflexión.
igualando a cero la segunda derivada para obtener los puntos de inflexión:
2
12
6
-
x
y
24
16
12
-8
2
Máximo
5
Cóncavo
PC (3,8)
-16
Convexo
PI (2,6)
PC (1,4)
Mínimo
8
4
-4
-12
1 4
20
-1 3
14. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Aplicaciones de la derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
3 3 0 3 3 x2 + = ⇒ x2 = - ⇒ x2 = - = - ⇒ x = ± -
Como no está definido ese valor en los número reales, no se tienen puntos críticos. Eso significa que no
hay ni máximos ni mínimos.
Calculando las ordenadas de los puntos extremos:
( 3) ( 3) 3( 3) 27 9 36 3 f - = - + - = - - = -
(3) (3) 3(3) 27 9 36 3 f = + = + =
En la siguiente gráfica, se muestra que la función siempre es creciente:
14
5) f (x) = x 3 + 3x en el intervalo -3£ x £ 3
Solución.
df ( x
) = 3 x2 +
3 dx
igualando a cero para obtener los puntos críticos:
1 1
3
3
x
y
36
18
9
-2 3
-18
-27
-36
2
27
-3 1
-9
-1
TEOREMA DE ROLLE
Sea y = f (x) una función que cumple con las condiciones siguientes:
i. y = f (x) es continua en el intervalo cerrado [a,b]
ii. y = f (x) es derivable en el intervalo abierto (a,b)
iii. f (a) = f (b)
Por lo tanto existe, al menos un valor xÎ(a,b), para el cual f '(x) = 0
Demostración:
Existen tres casos:
1. Si f (x) = 0 en el intervalo (a, b), entonces f '(x) = 0 , para todo x , y así x puede ser cualquier
valor en (a, b) .
15. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Aplicaciones de la derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
2. Si f (x) está por encima de f (a) = f (b) en algún punto del intervalo (a, b), entonces en un punto
2 x la función pasa de ser creciente a decreciente. Por definición, el punto donde ocurre eso es un
máximo, por lo tanto '( ) 0 2 f x = , en dicho intervalo.
3. Si f (x) está por debajo de f (a) = f (b) en algún punto del intervalo (a, b), entonces en un punto
1 x la función pasa de ser decreciente a creciente. Por definición, el punto donde ocurre eso es un
mínimo, por lo tanto '( ) 0 1 f x = , en dicho intervalo.
Puesto que toda función debe estar en uno de estos tres casos, el teorema queda demostrado.
ffff ((((aaaa)))) ffff ((((bbbb))))
= - 1 '
f b f a
- = -
construyendo la función F(x) pasando el término del segundo miembro al primero:
( ) ( ) ( ) ( )(x a) f (a)
15
x
y
f ’(x2) = 0
f ’(x1) = 0
a x1 x2 b
El teorema establece que por lo menos existe un punto de la gráfica de y = f (x), en el intervalo (a,b) en
donde se tiene pendiente cero (tangente paralela al eje x ) si sus extremos son de igual altura, ( f (a) = f (b)).
TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL
Si y = f (x) es una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b)
, existe por lo menos un valor x (a,b) 1 Î en que se cumple que:
( ) ( ) ( )
b a
f x
-
Demostración:
La ecuación de la recta que pasa por los puntos P y Q es:
( ) f ( b ) f ( a
)(x a)
y f a -
-
b a
= - -
f b f a
F x f x - -
-
b a
16. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Aplicaciones de la derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
= ⇒ = - 1 2 1
= - 2
16
sustituyendo x = a y después x = b, se tiene:
( ) ( ) f ( b ) - f ( = - a
)( a - a )- f ( a
)= 0
F a f a
b -
a
( ) ( ) f ( b ) - f ( = - a
)( b - a )- f ( a
)= 0
-
b a
F b f b
Se aprecia que F(x) satisface todas las hipótesis del Teorema de Rolle. Por lo tanto debe existir un valor
tal que '( ) 0 1 F x = .
Ahora, derivando F(x):
( ) ( ) ( ) ( )
= - f b - f a
F ' x f '
x
b -
a
Como F '( x ) = 0 , esto implica que:
( ) ( 1 ) ( )
= f b - f a
f '
x
1 b -
a
por lo tanto el teorema queda demostrado.
f b f a
x
y
a x b 1
ffff ((((bbbb)))) – ffff ((((aaaa))))
ffff ((((bbbb))))
ffff ((((aaaa))))
bbbb – aaaa
Q
P
Por condición de paralelismo:
( ) 1 1 m = f ' x
( ) ( )
b a
f b f a
m
-
( ) ( ) ( )
b a
m m f x
-
El teorema establece que existe por lo menos un punto ( ) 1 1 1 P x , y de la curva entre los puntos P y Q en
la cual la recta tangente a dicha curva es paralela a la secante que pasa por dichos puntos
APLICACIONES DE LA DERIVADA EN OTRAS DISCIPLINAS
Muchos de los aspectos de la vida diaria como los de las ciencias y las ingenierías tienen que ver con el
cambio de las cosas y, en especial, con el cambio de una variable con relación a otras.
En el estudio del Cálculo Diferencial es primordial el concepto de variación o cambio continuo. En este
sentido, la aplicación del concepto de derivada es interdisciplinaria, puesto que hay una gran cantidad de
ámbitos en que se puede aplicar la razón de cambio instantánea de una variable con respecto a otra. Por
ejemplo, la velocidad de un automóvil representa un cambio de su posición con respecto al tiempo.
17. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Aplicaciones de la derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
= D
=
mg lim
0 1 2 C x a a x a x a x
17
ECONOMÍA
Sea C = f (x) la función de costo que una compañía incurre al producir x unidades de un cierto artículo
o proveer cierto servicio.
El costo marginal se define como la razón instantánea de cambio del costo respecto al número de
artículos producidos o de bienes ofrecidos:
dC
dx
C
x
C
x
D
D ®0
El costo marginal representa el costo de producir un artículo adicional de las normalmente producidas.
Para fines prácticos, la función de costo se modela a través de una función polinomial de la forma:
( ) = + + 2
+ 3 + × × ×
3
donde el término 0 a representa los costos fijos (rentas de los bienes, mantenimientos, etc.) y los demás
términos representan los costos variables (gasto en los insumos, sueldos de los trabajadores, etc.). Si se
deriva esta función, se observa que el costo marginal sólo depende de los costos variables, es decir, la
capacidad instalada no influye en el costo de incrementar la producción.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
En problemas de aplicación de derivadas, el objetivo es calcular la razón de cambio de las cantidades en
términos de otra que puede medirse más fácilmente a través del establecimiento de una ecuación que
relacione las dos cantidades involucradas mediante la aplicación de la regla de la cadena.
Para todo fin práctico, la metodología sugerida para resolver problemas es la siguiente:
1. Leer cuidadosamente el problema.
2. Esbozar un dibujo que refleje el contenido del problema.
3. Definir las variables y asignar la simbología.
4. Determinar las cantidades que tengan razones de variación, expresarlas en forma de derivadas e
identificar la incógnita.
5. Establecer una ecuación que relacione todas las cantidades del problema aplicando los aspectos
geométricos.
6. Aplicar la regla de la cadena.
7. Sustituir la información y resolver para la razón buscada.
Ejemplos.
1) A un globo esférico se le bombea aire de forma que su volumen aumenta a razón de
cm3
200 , ¿con
s
qué rapidez crece el radio del globo cuando su diámetro es de 30 cm?
Solución.
Interpretando los datos:
dV cm
3
s
dt
= 200 , D = 30 cm ⇒ r =15cm
18. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Aplicaciones de la derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
18
4
V = pr
El volumen de un globo es: 3
3
dV = 12
p = p
Derivando: 2 2 4
3
r r
dr
La razón buscada es:
dr
dt
Relacionando las expresiones aplicando la regla de la cadena:
dV = ×
Sustituyendo:
dr
dt
dV
dr
dt
dr
dt
cm = r
2 ×
s
3
200 4p
despejando
dr
dt
y sustituyendo r:
cm
cm
s
200
( cm
) s
dr
dt
0.0707
4 15
2
3
= =
p
.
m
dV
2) Se deja caer una piedra en un lago que crea una onda circular que se desplaza con una velocidad de
cm
40
s
. Hallar la razón a la cual aumenta el área dentro del círculo después de 2 segundos.
Solución.
Interpretando los datos:
dr
= cm
40 , t =
2 s 1 s
dt
El área de un circunferencia es: 2 A =pr
Derivando: r
dA = 2p
dr
La razón buscada es:
dA
dt
Relacionando las expresiones aplicando la regla de la
cadena:
dA = ×
Para t = 2 s :
dr
dt
dA
dr
dt
cm
( s) cm
s
r = 40 2 = 80
Sustituyendo:
dA 2
= p .
( )
m
s
m
s
m
dt
0106 . 2 40 . 0 80 . 0 2 =
r = 30 cm.
s
dt
= 200
m
t = 2 s
s
dr
= 40
dt
19. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Aplicaciones de la derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
3) En una construcción, un camión vierte arena y se forma un montículo de forma cónica, cuya altura es
3
igual a los
del radio de la base. Obtener el incremento del volumen por unidad de tiempo cuando el
r = , h = 3 m
19
2
radio de la base es igual a 2 metros, sabiendo que el radio se incrementa a razón de 30 centímetros.
cada segundo.
Solución.
Interpretando los datos: h r
3 = ,
2
30 1 r = ,
cm
s
dr
= 30
dt
El volumen de un cono es:
1
3
= =
1
r r r h r V p p p =
2 2 3
2
2
3
1
3
dV = 3
p
Derivando: 2
2
r
dr
La razón buscada es:
dV
dt
Relacionando las expresiones aplicando la regla de la cadena:
dV = ×
sustituyendo:
dr
dt
dV
dr
dt
dV 3
( ) ( )
m
s
dt
3 = p =
2 2 0.30 5.6548
2
4) Se vierte gasolina en un tanque cilíndrico a razón de
cm
dr
= 30
3 =
m
8 . Si el radio es la cuarta parte de la altura, ¿a
s
qué velocidad sube el nivel de gasolina cuando h = 3 m?
Solución.
Interpretando los datos:
m
s
dV
dt
= 8 ,
h
4
El volumen de un cilindro es:
3
2
= =
2
1
16
4
h h
h
h r V p p p =
dV = 3
p
Derivando: 2
16
h
dh
La razón buscada es:
dh
dt
Relacionando las expresiones aplicando la regla de la cadena:
dh
dt
dV = dV
×
dh
dt
h
s
dt
h r
2
r = 2 m
3 m
dV m
3
s
dt
= 8
1 =
r h
4
r = 2 m
20. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Aplicaciones de la derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
20
despejando
dh
dt
y sustituyendo:
m
= =
( ) s
dh
dt
1.5090
3
3
16
8
2
p
5) Una escalera de 5 metros de largo está apoyada contra una pared vertical. Si el extremo inferior de la
m
escalera resbala alejándose de la pared a razón de 0.5
s
, ¿con qué rapidez resbala hacia abajo su
extremo superior cuando este extremo está a 3
metros de la pared?
Solución.
Interpretando los datos: z = 5 m ,
dx
= cm
0.5 , y =
3 1 s
dt
La razón buscada es:
dy
dt
Aplicando el teorema de Pitágoras:
2 2 2 x + y = 5
Derivando con respecto a t:
d
dy
dx
2 × + 2 × = (25) = 0
dt
dt
y
dt
x
Despejando
dy
dt
:
dx
x
= - × =
- ×
=
dt
y
y
dx
dt
x
dy
dt
2
2
Obteniendo x cuando 3 1 y =
x 25 3 25 9 16 4 m = - 2 = - = =
( )
m
s
dy
dt
4 = - = -
0.5 0.66
3
el signo negativo significa que la escalera pierde altura.
m
dx
= 0.5
6) Una persona de 1.8 metros de estatura camina en la noche en línea recta a una velocidad de 2.5
m
s
.
Si pasa a junto a un arbotante de 6 metros de altura, obtener la velocidad del extremo de la sombra que
se genera sobre la calle después de 3 segundos.
Solución.
Interpretando los datos:
dx
= m
2.5 , H = 6 m, h =1.8 m, t = 3 s
s
dt
m
( s) m
s
x = 2.5 3 = 7.5
s
dt
z = 5 m
y1 = 3 m
m
s
dx
= 2.5
dt
h = 1.8 m
H = 6 m
y
sombra
x = 7.5m
21. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Aplicaciones de la derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
21
La razón buscada es:
dy
dt
Aplicando el concepto de semejanza de triángulos:
h
y x
H
y
-
=
Despejando y:
h
x
H
x y
h
H
- = - = ⇒ y x ⇒ y
-
h
H
y y
h
H
y x
-
= ⇒ =
1
1
Derivando con respecto a t:
dx
h
dt
H
dy
dt
-
=
1
Sustituyendo:
m
s
m
m
1.8
m
dy
dt
10.71
6
1
7.5 =
-
=
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
Una de las aplicaciones con mayor trascendencia del Cálculo Diferencial son aquellos problemas de
optimización, cuyo objetivo es determinar los mejores resultados posibles.
A través de las derivadas se pueden resolver de manera sencilla y rápida muchos problemas que se
presentan tanto en Matemáticas como en otras disciplinas científicas. Para optimizar una función, se
deben encontrar sus valores máximos y mínimos y darles su apropiada interpretación. Por ejemplo se
busca minimizar los costos de una producción determinada; encontrar la forma adecuada para
comercializar un producto, etc.
La metodología para resolver problemas de aplicación es la siguiente:
1. Leer cuidadosamente el problema
2. Cuando sea conveniente, hacer un dibujo
3. Identificar con letras cada una de las cantidades que intervienen
4. Seleccionar la variable que se debe optimizar y expresarla en función de otras variables
5. Eliminar todas las variables exceptuando una, para poder obtener una función en una sola variable.
6. Derivar para obtener la cantidad optimizada
7. Sustituir ese valor para encontrar las demás cantidades buscadas.
Ejemplos.
1) Encontrar dos números cuya suma sea 20 y su producto sea máximo.
Solución:
Sea x un número y 20- x el otro.
( ) 2 P = x 20 - x = 20x - x
x
dP
dx
= 20 - 2
22. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Aplicaciones de la derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
= ⇒ - = ⇒ - = - ⇒ = - x x x
0 20 2 0 2 20 =
3 3 = ⇒ - = ⇒ = ⇒ x = ⇒ x = =
x
0 2400 4 0 4 2400 =
22
2
d P
2
2
= -
dx
(por lo tanto, es máximo)
10
20
2
-
dP
dx
20- x = 20-10 =10
Los números buscados son 10 y 10 .
2) Hallar dos números diferentes cuyo producto sea 16 y la suma de uno de ellos con el cuadrado del otro
sea mínima.
Solución.
x
xy y
16
= 16 ⇒ =
2
2
= + = +
2 16 256
x
S x y x = x
+ x
512
3
dS = 1
-
dx x
d S = (por lo tanto, es mínimo)
2 1536
dx 2 x
4
512 512 8
512
0 1
512
0 1 3 3
dS
dx x x
2
16 16 = = =
8
x
y
Los números buscados son 8 y 2 .
3) Una persona posee 2400 metros de malla y desea cercar un terreno rectangular que está sobre un río.
Si no necesita cercar al río, ¿cuáles son las dimensiones del terreno que posee el área más grande para
así optimizar su malla?
Solución.
Área = xy
Longitud = 2x + y = 2400
y = 2400- 2x
( ) 2 A = x 2400 - 2x = 2400x - 2x
x
dA
dx
= 2400 - 4
4
d A
2
2
= -
dx
(por lo tanto, es máximo)
600
2400
4
-
= ⇒ - = ⇒ - = - ⇒ = - x x x
dA
dx
y
y = 2400 - 2x = 2400 - 2(600) = 2400 -1200 = 1200
Las dimensiones de la malla deben ser: 600m de profundidad y 1200 m de ancho.
x
23. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Aplicaciones de la derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
4) Se desea construir una caja rectangular de cartón sin tapa. Si a un cartón de 10 x 16 cm se le hace
una corte cuadrado en cada esquina y se doblan los bordes por las líneas punteadas. Cuál debe se el
tamaño de los cuadrados recortados para maximizar el volumen?
Solución.
La longitud de la base es: 16 - 2x
La anchura de la base es: 10 - 2x
La altura de la caja es: x
Volumen = (16 - 2x)(10 - 2x)x
23
( x x x )x 2 = 160-32 - 20 + 4
2 2 3 =160x -32x - 20x + 4x
V 4x 52x 160x = 3 - 2 +
12 104 160 = x2 - x +
dV
dx
0 12 104 160 0 = ⇒ x2 - x + =
dV
dx
resolviendo la ecuación de segundo grado:
( ) ( )( )
- - ± -
104 104 4 12 160 2 = ±
104 56
( ) 24
2 12
x =
2
48
1 2 ⇒ x = = x = =
24
6.66;
160
24
24 104
d V
2
2
= x -
dx
24 104 24(6.66) 104 160 104 56 0
6.66 - = - = - = > x= x
por lo tanto es un mínimo.
24 104 24(2) 104 48 104 56 0
2 - = - = - = - < x= x
por lo tanto es un máximo.
Se toma el valor que es máximo, es decir, los cuadrados recortados para maximizar el volumen deben medir 2 cm.
5) Se desea producir una lata que contenga un litro de leche. Determinar las dimensiones que minimizan
el costo del metal para fabricar la lata.
Solución.
El área total de la lata es igual a la suma de las áreas de la base, la tapa y los lados:
Área 2pr 2prh = 2 +
2 3 Volumen =pr h = 1000 cm
1000
r
h
=
p
2
sustituyendo en el área:
r
= + p
2 = r
+ r
A r r
2000
2
1000
2 2 2
2
p
p p
2000
2
dA = 4
p -
r
r
dr
d A = p +
2 4000
4
dr r
2 3
x
x
x
x
x x
x
x
10
16
h
r
A = pr2
A = 2prh
A = pr2
24. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Aplicaciones de la derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
2000
2 = ⇒ - = ⇒ - = ⇒ = =
r r cm
3 p + = p + = + = >
600 . Si las trayectorias son perpendiculares, calcular el tiempo que
2D = 2 600 600+ 2 250-950 -950 = 720,000 - 475,000+1'805,000
⇒ = 2'525,000 - 475,000 = -
dD 1'262,500 237,500
24
r
r
dA
dx
5.41
4
3
0 4 2000 0
2000
0 4 3
p
p p
1000 1000
2 2 = = =
p p
h 10.82
( ) cm
r
5.41
12.56 25.13 37.69 0
4000
5.41
4
4000
4
3
5.41
x= r
(por lo tanto, es mínimo)
La lata debe tener: 5.41cm de radio y 10.82 cm de altura (es decir 2r ).
6) Cuando un avión que viene del puerto de Veracruz desplazándose a velocidad constante de
km
hr
950
y está a 250 km de la ciudad de México, otro avión sale de la ciudad de México rumbo a Acapulco con
velocidad constante de
km
hr
transcurrirá hasta que la distancia que los separe sea mínima.
Solución.
La posición del avión que viene de Veracruz en el instante inicial es 0 A
La posición del avión que va a Acapulco en el instante inicial es 0 B
La posición del avión que viene de Veracruz t horas más tarde es 1 A
La posición del avión que va a Acapulco t horas más tarde es 1 B
D
México D.F.
A0
600t
A1
B1 B0
250 - 950t 950t
Veracruz
Acapulco
Aplicando el teorema de Pitágoras y sabiendo que dis tancia = velocidad×tiempo, la distancia D
entre los aviones es:
2 ( )2 ( )2 D = 600t + 250 - 950t
derivando implícitamente con respecto a t :
( t ) ( t)( ) t t
dD
dt
dD
D
2 = 2'525,000t - 475,000
dt
t
D
t
D
dt
2
25. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Aplicaciones de la derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
0 = ⇒ - = - = ⇒ t
0 1'262,500 237,500 0
- = - = -
1'262,500 237,500 1'262,500 0 237,500 237,500
- = - =
1'262,500 237,500 1'262,500 1 237,500 1'025,000
lim
lim , se tiene una forma indeterminada del tipo:
=
lim lim
® ®
=
lim lim
® ®
25
t
1'262,500 237,500
D
dD
dt
237,500 t = = hrs »
0.188 11.28 min
1'262,500
( )
t
D D D
t
0
=
( )
t
D D D
t
=
1
como D siempre es positiva, la función pasa de decreciente a creciente, por lo tanto es un mínimo.
El tiempo que transcurre para que la distancia sea mínima es de aproximadamente 11min.
sustituyendo:
(600(0.188)) (250 950(0.188)) 12,723.84 5,097.96 17,821.80 D2 = 2 + - 2 = + =
D = 17,821.80 =133.49 km.
FORMAS INDETERMINADAS
Si en el proceso de calcular el límite de un cociente de funciones del tipo:
f ( x
)
g(x)
x®a
se presentan los siguientes casos:
· si lim ( )®0
®
f x
x a
y lim ( )®0
®
g x
x a
, se tiene una forma indeterminada del tipo:
0
0
· si ( )®¥
lim y ( )®¥
®
f x
x a
®
g x
x a
¥
¥
Para resolver el límite se puede efectuar mediante el siguiente procedimiento:
REGLA DE L’HOPITAL
La regla de L’Hopital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de
sus derivadas:
· Forma
0
:
0
Sea ( )
0
f x
lim =
® g x
( ) 0
x a
f ( x
)
, se verifica que ( )
f ( x
)
g (x)
g x
'
x a x a '
· Forma
¥
¥
:
Sea ( )
lim , se verifica que ( )
= ¥
f x
( ) ¥
® g x
x a
f x
( )
f ( x
)
g (x)
g x
'
x a x a '
26. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Aplicaciones de la derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
La regla de L’Hopital debe aplicarse tantas veces como sea necesario, hasta que se elimine la
indeterminación.
Ejemplos.
Calcular los siguientes límites aplicando la regla de L’Hopital:
x
2 1
= 10 + 8
= ¥ +
- - -
- - -
x x
d
x x x
2 - +
26
1)
+ -
4
6
lim
x x
2
2
2 -
® x
x
sustituyendo:
( 2 )
2
+ 2 -
6
= 4 + 2 -
6
0
( ) =
2 2
-
4
4 -
4
0
( )
( )
( )
5
( ) 4
2 2 1
2 2
2
lim
+ -
4
6
lim
+ -
4
6
lim
x x
2 2
2
2
x x
2
2
2
= + = + =
-
=
-
dx
d
® ® ® x
x
dx
d
x
x x x
2)
+ +
x x
2
+
5 8 3
7
lim
2
®¥ x
x
sustituyendo:
( ) ( )
= ¥
= ¥ + ¥ +
¥ + ¥ +
5 8 3
( ¥ ) +
¥ +
7
¥
3
7
2
2
( )
( )
( )
( ) = ¥ +
= ¥
¥
¥
10 8
¥
+ +
x x
5 8 3
+
=
+ +
x x
5 8 3
+
d
d
®¥ ®¥ ®¥
8
2
2
lim
7
lim
7
lim
2
2
2
2
x
x
x
dx
dx
x
x x x
derivando una vez más:
( )
( )
5
10
2
lim
10 8
2
lim
+ +
x x
5 8 3
7
lim
2
2
= =
+
=
+
d
d
x®¥ x®¥ x®¥ x
dx
x
dx
x
3)
2
- - -
x 3 x 2
x
2 - + -
® x x x
3 3 2
lim
3 2
x
sustituyendo:
( 2 ) 3 - ( 2 ) 2
- ( 2 )
-
2
= 8 - 4 - 2 -
2
0
( 2 ) 3 ( 2 ) 3 ( 2 ) 2
8 12 6 2
0
lim
3 2
2
=
- + -
- + -
x®
( 3 2
2
)
3 2
2 1
( ) lim
3 6 3
3 3 2
lim
2
3 2
3 3 2
lim
2
3 2 2
2
3 2
= - -
- + -
=
- + -
d
® ® ® x x
x x x
dx
x x x
dx
x x x
x x x
( ) ( )
= 12 - 4 -
1
7
( ) ( ) 12 12 3
3
2
= - -
3 2 2 2 1
2
3 2 6 2 3
=
- +
- +
27. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Aplicaciones de la derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
= +
1 3cos3
27
4)
sen x
x
lim
x ®
0
sustituyendo:
( )
0
0
0 = sen
0
( )
( )
1
1
sen x
dx
= = = =
1
cos
1
sen x
lim lim lim
d
® ® ®
0 0 0
x
x
dx
d
x
x x x
5)
+
x sen 3
x
0 -
x sen x
lim
®
x 3
sustituyendo:
( )
= +
0
( ) 0
+
sen
0 3 0 0 0
=
0 0
0 3 0
-
-
sen
( )
( )
( )
= 1 +
3
4
( ) 2
1 3
2
= +
1 3 1
1 3 1
1 3cos3
lim
3
3
lim
x sen 3
x
3
lim
+
+
d
d
0 0 0
= -
-
=
-
-
-
-
=
-
x
® ® ® x
x sen x
dx
x sen x
dx
x sen x
x x x
6)
x
1
ln
lim
x
®1 x -
sustituyendo:
( )
0
0
ln 1 =
1 -
1
( )
( )
1
1
= = = =
1
1
1
1
1
1
lim
1
ln
lim
1
ln
lim
d
d
1 1 1
-
=
® - ® ®
x
x
dx
x
dx
x
x
x x x
7)
x
x
x
ln
lim
®¥
sustituyendo:
( )
= ¥
¥
ln ¥
¥
( )
( )
0
d
lim = = = ¥ = 0
=
®¥ ®¥ ®¥
1
1
1
1
1
lim
ln
lim
ln
x
x
d
dx
x
dx
x
x
x x x
8)
81
9
lim
4
x
2
3 -
-
® x
x
sustituyendo:
28. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Aplicaciones de la derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
d
x
= = ®¥ ®¥ ®¥ x xe e e ¥ e ¥ xe
x
sec 1
x x
2sec tan
= × + ×
2sec sec tan 4sec tan
28
0
0
= -
81 81
9 9
4
-
3 81
2
3 9
=
-
-
( )
( )
( )
( )
( ) 108
18
6
4 27
6
4 3
2 3
4
x
2
lim
81
9
lim
81
9
lim
3 3
4
-
2 3
3
4
2
3
= = = = =
-
=
-
-
d
d
x
® ® ® x
x
dx
x
dx
x
x x x
9) 2 2 lim x
x
x e-
®¥
el limite puede rescribirse como:
2
2
x
lim
x e x
®¥
sustituyendo:
¥ = ¥
¥ 2
2
e
( ) ¥
( )
( )
( )
= ¥
( ) ( ) ¥
2
d
= = = ¥®¥ ®¥ ®¥ ¥ 2 2
¥
x x
x x x 2
x 3
2
2
2
2
2
x
lim lim lim
x
xe e
e
d
dx
x
dx
e
derivando una vez más:
( )
( 2
2
2
( ) ) ( ) 2 ( )( ( ) ( ) ) ( ) 2 ( 2
) 0
x x x x x x x
2 2 2
lim
2
2
3
lim lim 2 2 2 2
2
2
=
¥ + ¥
=
¥ ¥ +
=
+
d
dx
x
dx
e
x x
10) 3
0
tan
lim
x
x
-
®
sustituyendo:
( )
0
0
0 0
0
tan 0 0
0
3 - = - =
( tan
)
1 1
0
( ) lim
3
0
0
lim
tan
lim
2
2
d
d
0 3 0
x x
3
0
= - = - =
-
- =
® ® ® x
x
dx
x x
dx
x
x x x
derivando una vez más:
( )
( )
( ) ( )
0
( ) 0
2 1 0
6 0
6
lim
sec 1
3
lim
tan
lim
2 2
2 0
2
0
x x
3
0
= × = =
-
- =
d
d
® ® ® x
x
dx
x
dx
x
x x x
derivando una vez más:
( 2sec ×
tan
)
( )
( )
6
lim
® ® ®
6
lim
tan
lim
2 2 2
0
2
0
- =
x x
3
0
x x x x x
x
d
dx
x x
d
dx
x
x x x
29. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Aplicaciones de la derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
29
( ) ( ) ( ( )( ))
2
6
2 1 2 1 2
= + 0 4 1 1 = 2 + 0
=
6
6
e 4
x
5
11) 2
4
lim
x
x®¥
sustituyendo:
( ¥
)
¥
( ) = ¥
5e
¥
2
4
4
( )
( )
( )
= ¥
( ) ¥
d
e x
4 e
¥
e
20
5
4
= = =
¥
20
5
d
®¥ ®¥ ®¥ 8
8
lim
4
lim
4
lim
4 4
2
2
x
x
dx
e
dx
x
x
x
x
x
x
derivando una vez más:
( )
( )
( ¥
)
20
d
= = = = ¥ = ¥
e x
4 80
e 80
e
5
d
®¥ ®¥ ®¥ 8
8 8
lim
8
lim
4
lim
4 4
4
2
x
dx
e
dx
x
x
x
x
x
x
en este ejemplo se demuestra que no todos los límites existen a pesar de la aplicación de esta regla.
12)
ln
x
x
lim
®¥
x 1
sustituyendo: ( )
ln ¥
= ¥
1 0
¥
. No aplica la regla de L’Hopital.