Sesión de curso anotes etc

1. Programa Académico de
Ingeniería de Sistemas
Sesión 6
Tema:
OPTIMIZACIÓN DE
FUNCIONES:
Criterio de la primera y segunda
derivada. Problemas de
Optimización
Matemática

2. Resultado de aprendizaje
Calcula la integral indefinida haciendo uso de las
técnicas de integración.
Evidencia de aprendizaje
Práctica grupal calificada de Optimización de Funciones

3. Contenido
OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES:
Criterio de la primera y segunda derivada.
Problemas de Optimización.

4. Revisa el
siguiente
video: Criterio de la segunda derivada
https://youtu.be/-HeYNHFqIIM

5. Revisa el
siguiente
video: Optimización
https://youtu.be/RKnbsqKu1S8

6. Después de haber visualizado el video anterior,
reflexionamos y respondemos las siguientes
interrogantes:
01 ¿Qué es optimización?
02 ¿Cuál es du gráfica de problema planteado?
03 ¿Cuál es el valor de h(8)?

7. Tema
OPTIMIZACIÓN DE
FUNCIONES:
Criterio de la primera y
segunda derivada.
Problemas de Optimización

8. 1. OPTIMIZACIÓN
En matemáticas, optimizar consiste en determinar los valores de las
variables que intervienen en un proceso o sistema para que el resultado
que se obtenga sea el mejor posible.
MATEMÁTICA
–
Sesión
6

9. Punto máximo
relativo
Punto máximo
relativo
Punto mínimo
relativo
𝒇 crece
𝒇′ > 𝟎
𝒇 decrece
𝒇′ < 𝟎
𝒇 crece
𝒇′ > 𝟎
𝒇 decrece
𝒇′ < 𝟎
𝒇
Para una persona de negocios, la optimización, significa minimizar los costos,
maximizar los ingresos y las utilidades.
CASOS DE OPTIMIZACIÓN

10. Los métodos para hallar valores extremos aprendidos en este capítulo tienen
aplicaciones
prácticas en muchas áreas de la vida. Una persona de negocios quiere minimizar los
costos
y maximizar las utilidades. El principio de Fermat, en óptica, afirma que la luz sigue
la trayectoria que le toma menos tiempo. En esta sección y en la siguiente resolverá
problemas
como los de maximizar áreas, volúmenes y utilidades, y minimizar distancias,
tiempos y costos.
En la solución de esos problemas prácticos, el desafío más grande suele ser convertir el
problema en palabras en un problema matemático de optimización, establecer la
función
que debe maximizarse o minimizarse. Recuerde los principios de solución de
problemas
que se analizaron en la página 76 y adáptelos a esta situación:
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
MATEMÁTICA
–
Sesión
6

11. 1. Comprenda el problema: El primer paso es leer el problema con cuidado, hasta
que se entienda con claridad. Hágase las preguntas: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles
son las cantidades dadas? ¿Cuáles son las condiciones dadas?
2. Dibuje un diagrama: En la mayor parte de los problemas, resulta útil dibujar un
diagrama e identificar en él las cantidades dadas y requeridas.
3. Introduzca notación: Asigne un símbolo a la cantidad que se va a maximizar
o minimizar (llámela Q por ahora). Asimismo, seleccione símbolos ( a, b, c,…, x, y)
para las otras cantidades desconocidas y marque el diagrama con estos símbolos
sugerentes; por ejemplo, A para el área, h para altura y t para el tiempo.
4. Exprese Q en términos de algunos de los otros símbolos del paso 3.
5. Si en el paso 4 𝑸 se ha expresado como función de más de una variable, utilice
la información dada para hallar correspondencias (en la forma de ecuaciones)
entre estas variables. Enseguida, use estas ecuaciones para eliminar todas las
variables, excepto una, en la expresión para 𝑄. De esta suerte, 𝑄 se expresará
como función de una variable 𝑥, por ejemplo, 𝑄 𝑓(𝑥). Escriba el dominio de esta
función.
PASOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
MATEMÁTICA
–
Sesión
6

12. 6. Aplique los métodos de las secciones 4.1 y 4.3 para hallar el valor máximo o el
mínimo absolutos de 𝑓. En particular, si el dominio de 𝑓 es un intervalo cerrado,
después se puede utilizar el método del intervalo cerrado.
PROBLEMA 1
MATEMÁTICA
–
Sesión
6

13. Encuentre el punto sobre la parábola 𝑦2 = 2𝑥 más cercano al punto (1, 4).
SOLUCIÓN La distancia entre el punto (1, 4) y el punto (𝑥, 𝑦) es:
PROBLEMA 2
(Véase la figura 6.) Pero si (x, y) se encuentra sobre la parábola, entonces , de𝑥 =
1
2
𝑦2de modo
que la expresión para 𝑑 se convierte en:
𝑑 = (𝑥 − 1)2+ 𝑦 − 4 2
𝑑 = (
1
2
𝑦2 − 1)2+(𝑦 − 4)2
(Como otra opción pudo sustituir 𝑦 = 2𝑥 para obtener d en términos de sólo 𝑥.) En lugar de
minimizar 𝑑, minimice su cuadrado:
𝑑2
= 𝑓 𝑦 = (
1
2
𝑦2
− 1)2
+ 𝑦 − 4 2
(Convénzase por usted mismo que el mínimo de 𝑑 se tiene en el mismo punto que el mínimo
de , pero es más fácil trabajar con este último.) Al derivar, obtiene:
𝑓´ 𝑦 = 2
1
2
𝑦2 − 1 𝑦 + 2 𝑦 − 4 = 𝑦3 − 8

14. De modo que 𝑓´ 𝑦 = 0 cuando 𝑦 = 2. Observe que cuando y 𝑓´ 𝑦 < 0
Cuando y < 2 y 𝑓´ 𝑦 > 0 , cuando 𝑦 > 2, de suerte que por la prueba de la primera
derivada para valores extremos absolutos, se presenta el mínimo absoluto cuando 𝑦 = 2.
(O podría decir que, debido a la naturaleza geométrica del problema, es obvio que existe un
punto lo más próximo, pero no un punto que esté lo más alejado.)
El valor correspondiente de x =
1
2
𝑦2
= 2. Por esto, el punto de 𝑦2
= 2. Por esto, el punto de
𝑦2 = 2, más cercano a (1, 4) 𝑒𝑠 (2, 2).

15. Las funciones de costo y demanda mensual para una empresa dedicada a la
venta de seguros de vida son:
𝐶 𝑥 = 680 − 4𝑥 + 0,01𝑥2
𝑝 𝑥 = 12 −
𝑥
500
donde p es el precio en dólares, x es el número de unidades.
a) Determina el nivel de producción que maximiza la utilidad.
b) Utilidad máxima.
PROBLEMA 3

16. Función objetivo:
Hallamos la función ingreso
𝑈 𝑥 = 12𝑥 − 0,002𝑥2
− (680 − 4𝑥 + 0,01𝑥2
)
𝑈 𝑥 = −0,012𝑥2
+ 16𝑥 − 680
𝐼 𝑥 = (𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜)(𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑)
Hallamos la función utilidad
𝑈 𝑥 = 𝐼 𝑥 − 𝐶(𝑥)
𝐼 𝑥 = 12 −
𝑥
500
𝑥
𝐼 𝑥 = 12𝑥 − 0,002𝑥2
𝑈′(𝑥) = −0,024𝑥 + 16
𝑥  667
Puntos críticos: 𝑼′(𝒙) = 𝟎 −0,024𝑥 + 16 = 0
Solución:

17. 𝑈′′ 𝑥 = −0,024
a. Determina el nivel de producción que maximiza la utilidad.
𝟔𝟔𝟕 𝐬𝐞𝐠𝐮𝐫𝐨𝐬 𝐝𝐞 𝐯𝐢𝐝𝐚 𝐚𝐩𝐫𝐨𝐱𝐢𝐦𝐚𝐝𝐚𝐦𝐞𝐧𝐭𝐞.
b. Utilidad máxima
𝑈(667) = −0,012 667 2 + 16(667) − 680
Respuesta.- Para maximizar la utilidad mensual se debe vender 667 seguros de vida
que generará una utilidad mensual de $ 4 653,33 aproximadamente.
Ocurre un punto máximo
𝑈′′ 667 = −0,024 < 0
𝑈 667  4 653,33 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
Aplicando el criterio de la segunda derivada

18. Autoevaluación
Sesión 6

19. Pregunta
1
¿Qué entiendes por optimizar?

20. Pregunta
2
¿Qué es un punto crítico y cómo se obtiene?

21. Pregunta
3
Determina los puntos críticos, los intervalos de crecimiento, las
concavidades, puntos de inflexión, máximos y mínimos relativos y la
gráfica de las funciones:
c) 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟒 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟒

22. Pregunta
4
Determina los puntos críticos, los intervalos de crecimiento, las concavidades,
puntos de inflexión, máximos y mínimos relativos y la gráfica de las funciones:
d) 𝒇 𝒙 =
𝟏
𝟒
𝒙𝟑 + 𝟑𝒙 − 𝟐

23. Autoevaluación
¡Vamos por más logros!
¡Felicitaciones!
Ha concluido la autoevaluación

24. Conclusiones
El estudiante resuelve situaciones problemáticas
relacionadas a la derivada y sus aplicaciones.
La derivada son indispensables para comprender la
dinámica y los puntos críticos en diversas situaciones
de la vida real.
El estudiante resuelve situaciones problemáticas
reales, aplicando el criterio de la primera y segunda
derivada para optimizar diversas situaciones
demostrando dominio del tema y habilidad en la
resolución.

25. Aplicando lo
aprendido:
PROBLEMA:
Supongamos que deseas maximizar el área de un rectángulo
con perímetro constante P. Para ello, necesitas encontrar las
dimensiones del rectángulo que maximicen el área.

26. Aplicando lo
aprendido:
PROBLEMA:
Un hombre está en un punto A sobre una de las riberas
de un río recto que tiene 3 km de ancho y desea llegar
hasta el punto B, 8 𝑘𝑚 corriente abajo en la ribera
opuesta, tan rápido como le sea posible (véase la figura).
Podría remar en su bote, cruzar directamente el río hasta
el punto 𝐶 y correr hasta 𝐵, o podría remar hasta 𝐵 o, en
última instancia, remar hasta algún punto 𝐷, entre 𝐶 y 𝐵,
y luego correr hasta 𝐵. Si puede remar a 6 𝑘𝑚/ℎ y correr
a 8 𝑘𝑚/ℎ , ¿dónde debe desembarcar para llegar a B tan
pronto como sea posible? (Suponga que la rapidez del
agua es insignificante comparada con la rapidez a la que
rema el hombre.)

27. Referencias
STEWART, James. Cálculo de una Variable Trascendentes de
Tempranas [ en línea]. 8 ed.México D.F: Cengage
Learning,2018. ISBN: 9786075265513- Link:
:https://www.ebooks7-24.com:443/?il=5059&pg=5
VÉLEZ, Francisco y Hans WEINBERGER. Ecuaciones
diferenciales en derivadas parciales. Barcelona : Reverté,
1970.ISBN: 9788429191400. Link:
https://www.digitaliapublishing.com/a/67896