Este documento presenta notas sobre cálculo diferencial. Contiene 7 capítulos que cubren temas como límites, derivación, aplicaciones de derivadas como crecimiento exponencial, linealización, optimización, teoremas como el valor medio y L'Hospital. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos para reforzar los conceptos.
ALGEBRA SUPERIOR MÓDULO I - Funciones y LimitesDaniel Vliegen
Un libro corto y sencillo que aborda la introducción a la álgebra superior por las funciones, racionales, irracionales, trigonometricas y exponenciales y logaritmicas. Se trata de reconocer los puntos de discontinuidad de una función.
Como tratar un problema de limite cuando hay indeterminación. Limite por la derecha y por la izquierda
El libro contiene muchos ejemplos de calculo de funciones y de limites. Limites aplicadas a la funciones exponenciales y trigonométricas.
ALGEBRA SUPERIOR MÓDULO I - Funciones y LimitesDaniel Vliegen
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Como tratar un problema de limite cuando hay indeterminación. Limite por la derecha y por la izquierda
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Explicación y presentación de ejemplos del concepto del límite. Incluye estudio de los métodos númerico, gráfico y algebraico para hallar el límite de una función. Curso Cálculo I. Dr. Juan R. Mejías Ortiz.
Máximos y Mínimos de una función de varias variableslobi7o
Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo diferencial es posible encontrar respuestas a estos problemas, que de otro modo parecían imposible su solución, por lo tanto en este apartado hablaremos sobre los valores máximos y mínimos de una función de varias variables. En numerosas ocasiones encontraremos fenómenos que dependen del valor de una sola variable (el tamaño de un potro que varía solamente con respecto al tiempo transcurrido). Sin embargo, podremos también enfrentarnos a situaciones en las que han de considerarse dos o más variables.
ÍNDICE DE LA UNIDAD
1.- INTRODUCCIÓN. .
2.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.
3.- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA.
4.- CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD.
5.- FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS
6.- ÁLGEBRA DE DERIVADAS. REGLA DE LA CADENA..
7.- DERIVADA DE FUNCIONES ELEMENTALES
8.- DERIVACIÓN LOGARÍTMICA
9.- APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
9.1.- CÁLCULO DE LÍMITES: REGLAS DE L´HÔPITAL
9.2.- MONOTONÍA Y EXTREMOS RELATIVOS. OPTIMIZACIÓN
9.3.- CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
9.4.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
10.- ACTIVIDADES
11.- SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
Brand strategy, when untethered from direct creative execution, has tremendous potential to set the agenda for companies, leading to greater retention, operational efficiency, and audience love. The trick is taking the brave step to think of the power of brand differently.
Explicación y presentación de ejemplos del concepto del límite. Incluye estudio de los métodos númerico, gráfico y algebraico para hallar el límite de una función. Curso Cálculo I. Dr. Juan R. Mejías Ortiz.
Máximos y Mínimos de una función de varias variableslobi7o
Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo diferencial es posible encontrar respuestas a estos problemas, que de otro modo parecían imposible su solución, por lo tanto en este apartado hablaremos sobre los valores máximos y mínimos de una función de varias variables. En numerosas ocasiones encontraremos fenómenos que dependen del valor de una sola variable (el tamaño de un potro que varía solamente con respecto al tiempo transcurrido). Sin embargo, podremos también enfrentarnos a situaciones en las que han de considerarse dos o más variables.
ÍNDICE DE LA UNIDAD
1.- INTRODUCCIÓN. .
2.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.
3.- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA.
4.- CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD.
5.- FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS
6.- ÁLGEBRA DE DERIVADAS. REGLA DE LA CADENA..
7.- DERIVADA DE FUNCIONES ELEMENTALES
8.- DERIVACIÓN LOGARÍTMICA
9.- APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
9.1.- CÁLCULO DE LÍMITES: REGLAS DE L´HÔPITAL
9.2.- MONOTONÍA Y EXTREMOS RELATIVOS. OPTIMIZACIÓN
9.3.- CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
9.4.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
10.- ACTIVIDADES
11.- SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
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Matemáticas Básicas: Introducción a las Matemáticas FinancierasJuliho Castillo
Curso introductorio a las herramientas matemáticas básicas para finanzas. En este material se cubren temas de precálculo, sistemas lineales y matemáticas discretas.
Curso introductorio a la teoría de conjuntos, basado en lógica matemática y cálculo proposicional, dirigido a estudiantes de tecnologías de la información.
Physics of Fast Graphics. Presented at ImageCon 2017 by Tobin Titus.
Getting content to the user fast is one the chief concerns of web performance. Performance best practices for graphics currently include a number of recommendations that are usually aimed at reducing network utilization. These recommendations are important. However, as our landscape continues to shift to lower-cost devices on mobile networks, we face more challenges than we would have ever expected.
This sessions will cover physical limitations of these devices, choices of graphics formats, and how those limitations affect not just graphics, but your entire site or application performance.
Curso introductorio a las herramientas matemáticas básicas para finanzas. En este material se cubren temas de precálculo, sistemas lineales y matemáticas discretas.
When SEO and UX practices are combined, the results can be extraordinary. Rand walks through how the practices have evolved to have far more combined value than tensions and tradeoffs, and some ways for each to learn from the other.
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En este documento van a encontrar la definición de la derivada con mas profundidad, además de su gráfica para su mayor entendimiento. Allí de igual forma, podemos ver la derivada compuesta, implícita y laterales. También, están insertas las propiedades de la derivada con sus respectivos ejemplos.
Conceptos Estadísticos para la Modelación PredictivaJuliho Castillo
En esta presentación, introducimos conceptos claves como pruebas de hipótesis y correlación. Hacemos uso intensivo de Python 3 para desarrollar nuestros ejemplo. Este tema forma parte del curso de Probabilidad y Estadística de la Universidad LaSalle de Oaxaca.
En esta lección, analizaremos tres distribuciones de probabilidad importantes en aplicaciones, a saber, la binomial, la normal y la de Poisson. Aprenderemos a implementarlas para encontrar soluciones en Python utilizando diversos paquetes como scipy.stats, numpy y matplotlib.pyplot.
En esta unidad, estudiamos medidas de tendencia central y de dispersión para variables aleatorias, así como indicadores de correlación entre las mismas.
Variables Aleatorias y Distribuciones de ProbabilidadJuliho Castillo
En esta unidad del curso de Probabilidad y Estadística, estudiaremos el concepto de variable aleatoria tanto discreta como continua y aprenderemos a calcular funciones de probabilidad, distribución y densidad.
Primera Unidad del Curso de Probabilidad y Estadística impartido en Universidad LaSalle Oaxaca, Ingeniería en Software y Sistemas Computacionales, con una introducción a Python.
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Curso introductorio a las herramientas matemáticas básicas para finanzas. En este material se cubren temas de precálculo, sistemas lineales y matemáticas discretas.
En estas notas, revisamos el teorema fundamental del cálculo, el cuál relaciona los conceptos de antiderivada (integral indefinida) con área bajo la curva (integral definida).
Brevísima Intruducción a las Sumas de RiemannJuliho Castillo
Estas notas presentan una introducción informal a las sumas de Riemann, diferentes métodos para calcularlas y una introducción al uso del sistema algebraico de computo SageMath para su estudio.
En esta sección, repasamos el concepto integral definida, motivada por áreas bajo curvas y algunas de las propiedades. Definimos de manera rigurosa la integra como el límite de una suma de Riemann.
123Los números enteros
-Máximo Común Divisor
-Mínimo Común Múltiplo
Los números racionales
-Simplificación
-Conversión y comparación
-Operaciones
Razones y proporciones
-Razones inversas
-Ejemplos
Curso Impartido en ESDAI UP. Los ejercicios de este curso se pueden encontrar en mi canal de YouTube https://www.youtube.com/channel/UCb1i-EtybaWWX5urFfmMUWQ
Instrucciones del procedimiento para la oferta y la gestión conjunta del proceso de admisión a los centros públicos de primer ciclo de educación infantil de Pamplona para el curso 2024-2025.
Today is Pentecost. Who is it that is here in front of you? (Wang Omma.) Jesus Christ and the substantial Holy Spirit, the only Begotten Daughter, Wang Omma, are both here. I am here because of Jesus's hope. Having no recourse but to go to the cross, he promised to return. Christianity began with the apostles, with their resurrection through the Holy Spirit at Pentecost.
Hoy es Pentecostés. ¿Quién es el que está aquí frente a vosotros? (Wang Omma.) Jesucristo y el Espíritu Santo sustancial, la única Hija Unigénita, Wang Omma, están ambos aquí. Estoy aquí por la esperanza de Jesús. No teniendo más remedio que ir a la cruz, prometió regresar. El cristianismo comenzó con los apóstoles, con su resurrección por medio del Espíritu Santo en Pentecostés.
ACERTIJO DE CARRERA OLÍMPICA DE SUMA DE LABERINTOS. Por JAVIER SOLIS NOYOLAJAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA, crea y desarrolla ACERTIJO: «CARRERA OLÍMPICA DE SUMA DE LABERINTOS». Esta actividad de aprendizaje lúdico que implica de cálculo aritmético y motricidad fina, promueve los pensamientos lógico y creativo; ya que contempla procesos mentales de: PERCEPCIÓN, ATENCIÓN, MEMORIA, IMAGINACIÓN, PERSPICACIA, LÓGICA LINGUISTICA, VISO-ESPACIAL, INFERENCIA, ETCÉTERA. Didácticamente, es una actividad de aprendizaje transversal que integra áreas de: Matemáticas, Neurociencias, Arte, Lenguaje y comunicación, etcétera.
Las capacidades sociomotrices son las que hacen posible que el individuo se pueda desenvolver socialmente de acuerdo a la actuación motriz propias de cada edad evolutiva del individuo; Martha Castañer las clasifica en: Interacción y comunicación, introyección, emoción y expresión, creatividad e imaginación.
1. Notas de C´alculo Diferencial
Juliho Castillo
E-mail address: jdcastillo@up.edu.mx
2.
3. ´Indice general
Cap´ıtulo 1. L´ımites y continuidad 5
1. Reglas para calcular l´ımites 5
Cap´ıtulo 2. Diferenciaci´on 9
1. La Derivada como L´ımite 9
2. La derivada como funci´on 13
3. T´ecnicas de Derivaci´on 16
4. Derivaci´on implicita 18
5. Derivaci´on logar´ıtmica 20
Cap´ıtulo 3. Aplicaciones 25
1. Crecimiento exponencial 25
2. Linealizaci´on 27
3. Optimizaci´on 28
4. Teorema del Valor Medio 31
5. Graficaci´on 35
6. Teorema de L’Hospital 37
7. Proyecto final: Polinomios de Taylor 38
Bibliograf´ıa 41
3
4.
5. Cap´ıtulo 1
L´ımites y continuidad
1. Reglas para calcular l´ımites
Resumen.
Proposici´on 1.1 (Reglas para calcular l´ımites). Si c es una constante
y L = l´ımx→a f y M = l´ımx→a g existen, entonces:
1. l´ımx→a(f ± g) = L ± M,
2. l´ımx→a(cf) = cL,
3. l´ımx→a(fg) = LM,
4. Si M = 0, l´ımx→a(f
g
) = L
M
.
Observaci´on. Nos referiremos a las dos primeras reglas como lineali-
dad.
Proposici´on 1.2 (L´ımites de potencias y raices). Si l´ımx→a f(x) = L,
entonces
1. l´ımx→a fn
(x) = Ln
,
2. Si n es impar o n es par y L ≥ 0, l´ımx→a
n
f(x) = n
√
L,
Proposici´on 1.3. 1. l´ımx→a c = c, donde c es una constante y
2. l´ımx→a x = a.
Problema 1.1 (†). Demuestre que si p(x) es un polinomio, siempre
se cumple que
l´ım
x→a
p(x) = p(a).
Sugerencia. Primero muestre la afirmaci´on para monomios, usando se
todas las reglas enunciadas anteriormente. Finalmente use la linealidad
para extenderlo a cualquier polinomio.
Observaci´on. Si f, g son funciones en alg´un intervalo abierto y f(x) =
g(x) cuando x = a, entonces
l´ım
x→a
f = l´ım
x→g
.
Ejemplo 1.1. Sea f(x) = x + 1 y g(x) = x2−1
x−1
. Entonces f(x) = g(x)
si x = 1. Como
l´ım
x→1
f = 2,
5
6. 6 1. L´IMITES Y CONTINUIDAD
entonces
l´ım
x→1
x2
− 1
x − 1
= 2.
Proposici´on 1.4 (Teorema del emparedado). Si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x),
para x ≈ a, pero x = a, y
l´ım
x→a
f = l´ım
x→a
h = L,
entonces
l´ım
x→a
g = L.
Ejemplo 1.2. Como −1 ≤ sin(1
x
) ≤ 1, para todo x ∈ R − {0} , y x2
≥
0, para toda x ∈ R, entonces −x2
≤ x2
sin(1
x
) ≤ x2
, para x ∈ R − {0} .
Como
l´ım
x→0
−x2
= l´ım
x→0
x2
= 0,
por el teorema del emparedado,
l´ım
x→0
x2
sin
1
x
= 0,
aunque la funci´on no esta definida en x = 0.
Figura 1. −x2
≤ x2
sin(1/x) ≤ x2
Consulta la hoja de trabajo de este ejemplo en GeoGebraTube.
Ejercicios. Los ejercicios de esta secci´on se pueden encontrar en
[1, sec. 2.3] y [2, sec. 1.3].
§ 1.1. En los siguientes ejercicios, halla los l´ımites.
1. l´ımx→2
x2
+ x − 6
x − 2
2. l´ımx→−3
t2
− 9
2t2 + 7t + 3
7. 1. REGLAS PARA CALCULAR L´IMITES 7
3. l´ımh→0
(4 + h)2
− 16
h
4. l´ımx→−2
−2x − 4
x3 + 2x2
5. l´ımu→1
u4
− 1
u3 − 1
6. l´ımx→9
√
x − 3
x − 9
7. l´ımx→1
x − 1
√
x + 3 − 2
8. l´ımx→−2
x + 2
x3 + 8
9. l´ımh→0
(2 + h)3
− 8
h
10. l´ımx→−4
1
4
+ 1
x
4 + x
11. l´ımt→0
1
t
−
1
t2 + t
12. l´ımx→16
4 −
√
x
16x − x2
13. l´ımh→0
(3 + h)−1
− 3−1
h
14. l´ımt→0
1
t
√
1 + t
−
1
t
15. l´ımx→−4
√
x2 + 9 − 5
x + 4
§ 1.2 (‡). Encuentre los siguientes l´ımites usando el teorema 1.4. Gra-
fique.
1. l´ımx→0 x6
cos(20πx)
2. l´ımx→0
√
x3 + x2 sin π
x
3. l´ımx→0 x4
cos 2
x
4. l´ımx→0+
√
xesin π
x
5. l´ımx→0 x3
sin(1
x
)
§ 1.3. Evalue el siguiente l´ımite
l´ım
h→0
f(x + h) − f(x)
h
,
en los siguientes casos:
1. f(x) = x2
, x = 1
2. f(x) = 3x − 4, x = 2
3. f(x) = 1
x
, x = −2
9. Cap´ıtulo 2
Diferenciaci´on
1. La Derivada como L´ımite
Resumen.
Definici´on 1.1. Sea f : D ⊂ R → R una funci´on y a ∈ D. Suponga-
mos que
m = l´ım
x→a
f(x) − f(a)
x − a
existe. Entonces, decimos que la recta con pendiente m que pasa por
el punto (a, f(a)) es la recta tangente a f en x = a.
De manera alternativa,
m = l´ım
h→0
f(a + h) − f(a)
h
.
Ejemplo 1.1. Si f(x) = x2
y a = 1, entonces
l´ım
h→0
(1 + h)2
− (1)2
h
= l´ım
h→0
(2 + h) = 2.
La recta tangente a f en a = 1, decir, que pasa por el punto
(1, f(1)) = (1, 1) esta dada por la ecuaci´on
2 =
y − 1
x − 1
,
es decir, y = 2x − 1.
Figura 1. Recta tangente a x2
en a = 1. Consulta la
hoja de trabajo.
9
10. 10 2. DIFERENCIACI´ON
Definici´on 1.2. Si s : I ⊂ R → R es la funci´on distancia en un
intervalo de tiempo I, entonces la velocidad en el instante t se define
como
v(t) = l´ım
h→0
a(t + h) − a(t)
h
,
si acaso este l´ımite existe.
Ejercicio muestra 2.1. La altura a de un objeto en ca´ıda libre, con
altura inicial a0 y velocidad inicial v0, esta dada por
a(t) = h0 + v0t + 4.9t2
,
medido en unidades del sistema mks.
Supongamos que la altura inicial es 450mts y se deja con velocidad
nula. Encuentre la velocidad del objeto al tocar el suelo.
Soluci´on. Primero, planteamos la ecuaci´on a(t) = 0 para encontrar el
tiempo en que el objeto tiene altura 0, es decir, toca el suelo. Resolve-
mos la ecuaci´on
450 − 4.9t2
= 0,
usando la f´ormula general o bien un sistema algebr´aico de computa,
como WxMaxima, en cuyo, el c´odigo que tenemos que usar es el si-
guiente:
(%i1)
solve([450-4.9*t^2], [t]);
rat : replaced − 4.9by − 49/10 = −4.9
( %o1) [t = −
6 5
3
2
7
, t =
6 5
3
2
7
]
(%i2)
float(%), numer;
( %o2) [t = −9.583148474999101, t = 9.583148474999101]
La soluci´on que nos interesa es t ≈ 9.58 y calculamos la velocidad
en este momento
v(9.58) = l´ım
h→0
([450 − 4.9(9.58 + h)2
] − [450 − 4.9(9.58)2
])
h
,
la cual podemos calcular usando WxMaximade la siguiente manera:
(%i1)
a(t):=450-4.9*t^2;
( %o1) a (t) := 450 − 4.9 t2
11. 1. LA DERIVADA COMO L´IMITE 11
(%i2)
limit((a(9.58+h)-a(9.58))/h, h, 0);
( %o2) − 93.88400000000002
Definici´on 1.3. La derivada de una funci´on f : D ⊂ R → R en a ∈ D
se define como
(1) f (a) = l´ım
h→0
f(a + h) − f(a)
h
,
o de manera alternativa
(2) f (a) = l´ım
x→a
f(x) − f(a)
x − a
,
si es que este l´ımite existe.
Ejercicio muestra 2.2. Calcular f (a) para f(x) = x2
− 8x + 9.
Soluci´on. Por definici´on,
f (a) = l´ım
h→0
[(a + h)2
− 8(a + h) + 9] − [a2
− 8a + 9]
h
,
y podemos usar WxMaximade la siguiente manera:
(%i1)
f(x):=x^2-8*x+9;
( %o1) f (x) := x2
− 8 x + 9
(%i2)
limit((f(a+h)-f(a))/h, h, 0);
( %o2) 2 a − 8
Observaci´on. En alguna ocasiones ocupamos diferentes notaciones
para la derivada, por ejemplo, para f(x)
f (a) =
df
dx
|x=a,
o simplemente f (x) = df
dx
, si nos referimos a la derivada como funci´on.
Ejercicios. Para los ejercicios de esta secci´on, puede consultar [2,
sec. 1.6, 2.1].
§ 2.1. En los siguiente incisos, encuentra una ecuaci´on para la recta
tangente a la curva en el punto (x, f(x)). Despu´es, usando GeoGebra,
grafica la curva y la recta tangente.
1. y = 4 − x2
; x = −1
2. y = 2
√
2; x = 1
3. y = x3
, (−2, −8)
12. 12 2. DIFERENCIACI´ON
4. f(x) = x + 9
x
, x = 3
5. k(x) = 1
2+x
, x = 2
6. s = t3
− t2
, t = −1
7. y = (x + 1)3
, x = −2
8. f(x) = 8√
x−2
, x = 6
9. g(z) = 1 +
√
4 − z, z = 3
§ 2.2. 1. Se deja caer un objeto desde lo alto de una torre de
100m. Su altura sobre el suelo despu´es de t segundos es 100 −
4.9t2
m. ¿Con qu´e rapidez cae a los 2 segundos de haber sido
soltado?
2. t segundos despu´es del despegue, la altura de un cohete es de
3t2
pies. ¿Conque rapidez asciende despu´es de 10 segundos?
3. ¿Cu´al es la raz´on de cambio de un circulo (A = πr2
) con res-
pecto de su radio, cuando el radio es r = 3?
4. ¿Cu´al es la raz´on de cambio del volumen de una esfera (V =
4
3
πr2
) con respecto al radio, cuando el radio es r = 2?
§ 2.3. Usando la definici´on, calcula las derivadas de las funciones de
los siguientes ejercicios, y despu´es halla los valores de las derivadas
que se piden.
1. f(x) = 4 − x2
; f (x)(−3), f (0), f (1),
2. F(x) = (x − 1)2
+ 1; F (−1), F (0), F (2),
3. g(t) =
1
t2
; g (−1), g (2), g (
√
3),
4. k(z) =
1 − z
2z
; k (−1), k (1), k (
√
2),
5. p(θ) =
√
3θ; p (1), p (3), p (2/3),
6. r(s) =
√
2s + 1; r (0), r (1), r (1/2).
7. ds
dt
|t=−1 si s = 1 − 3t2
8. dy
dx
|√
3 si y = 1 − 1
x
9. dr
dθ
|θ=0 si r = 2√
4−θ
10. dw
dz
|z=4 si w = z +
√
z
§ 2.4. Algunas veces, es mejor usar la definici´on (2) de derivada. Usan-
do ambas definiciones, calcule las siguiente derivadas en el punto a
dado y compare los procedimientos.
1. f(x) = 1
x+2
, a = −1,
2. f(x) = 1
(x−1)2 , a = 2
3. g(t) = t
t−1
, a = 3
4. k(s) = 1 +
√
s, a = 9
13. 2. LA DERIVADA COMO FUNCI´ON 13
2. La derivada como funci´on
Resumen. En la secci´on anterior, vimos la definici´on de derivada
en un punto. Dijimos que f : D ⊂ R → R tiene derivada f (a) en
a ∈ D si el l´ımite
f (a) = l´ım
h→0
f(a + h) − f(a)
h
exist´ıa. Consideremos A ⊂ D de puntos donde tal l´ımite existe y po-
demos definir la funci´on derivada de f : D → R como
f : A → R, f (x) = l´ım
h→0
f(x + h) − f(x)
h
.
En este caso, decimos que f es diferenciable en A.
Ejercicio muestra 2.3. Indicar en que puntos,
f : R → R, f(x) = c,
es diferenciable, donde c ∈ R esta fijo y encontrar la funci´on derivada
de f en los puntos en los que es diferenciable.
Soluci´on. Observamos que
l´ım
h→0
f(x + h) − f(x)
h
= l´ım
h→0
c − c
h
= l´ım
h→0
0
h
= c.
Entonces el l´ımite existe para toda x ∈ R, por lo cual f es diferenciable
en toda R y la funci´on derivada de f es
f : R → R.f (x) = 0.
Ejercicio muestra 2.4. Indicar en que puntos,
f : R → R, f(x) = cx,
es diferenciable, donde c ∈ R esta fijo y encontrar la funci´on derivada
de f en los puntos en los que es diferenciable.
Soluci´on. Observamos que
l´ım
h→0
f(x + h) − f(x)
h
= l´ım
h→0
c(x + h) − cx
h
= l´ım
h→0
ch
h
= c.
Entonces el l´ımite existe para toda x ∈ R, por lo cual f es diferenciable
en toda R y la funci´on derivada de f es
f : R → R.f (x) = c.
Ejercicio muestra 2.5. Encontrar los puntos donde f : R → R, f(x) =
|x| es diferenciable, y hallar su derivada en tales puntos.
14. 14 2. DIFERENCIACI´ON
Figura 2. Valor Absoluto
Soluci´on. Observemos que si x < 0, entonces f(x) = −x y por tanto
f (x) = −1. De manera similar, si x > 0, entonces f (x) = 1. El
problema lo encontramos cuando x = 0. Como
l´ım
h→0−
|x + h| − |x|
h
= −1
y
l´ım
h→0+
|x + h| − |x|
h
= 1,
el l´ımite (por ambos lados) no existe y por tanto f no es diferenciable
en x = 0.
Entonces f(x) = |x| es diferenciable en R−{0} ,; si x < 0, entonces
f (x) = −1 y si x > 0, entonces f (x) = 1.
La figura 2 es la gr´afica de esta funci´on. Observa que en x = 0 hay
un pico.
Proposici´on 2.1. Si f : D → R es diferenciable en A ⊂ D, entonces
es continua en A.
Observaci´on. Observe que el inverso no es cierto: f(x) = |x| es una
funci´on continua en todo R, pero no es diferenciable en x = 0.
Observaci´on. Si f es diferenciable en x, entonces f es la funci´on que
asigna a x la pendiente de la recta tangente a f en el punto (x, f(x)).
Consulta las hojas de trabajo “Funciones derivadas y rectas tangentes”
y “Una funci´on que no es diferenciable”.
Ejercicios. Los ejercicios de esta secci´on se pueden encontrar en
[1, sec. 2.8]
§ 2.5. Correlacione la gr´afica de cada funci´on dada en las gr´aficas (a)-
(d) con las graficas I.IV de sus derivadas en la figura 3. Explique las
razones de su elecci´on.
15. 2. LA DERIVADA COMO FUNCI´ON 15
Figura 3. Ejercicio 2.5
§ 2.6. Trace un bosquejo de las funciones derivadas de las funciones
graficadas en la figura 4.
§ 2.7. Encuentre la derivada de la funci´on dada aplicando la definici´on
de derivada. D´e los dominio de la funci´on y de su derivada.
1. f(x) = 1
2
x − 1
3
2. f(t) = 5t − 9t2
3. f(x) = x3
− 3x + 5
4. g(x) =
√
1 + 2x
16. 16 2. DIFERENCIACI´ON
5. G(t) = 4t
t+1
6. f(x) = x4
3. T´ecnicas de Derivaci´on
Reglas para derivar. En esta secci´on, aprenderemos a usar al-
guna reglas de derivaci´on, que nos ayudar´an a encontrar de manera
algebr´aica una gran familia de derivadas. Posteriormente, usando la
definici´on de l´ımite, demostraremos cada una de estas.
Proposici´on 3.1. Si f, g : D → R son diferenciables en x ∈ D y
α ∈ R una constante, entonces
1. (αf) (x) = αf (x)
2. (f + g) (x) = f (x) + g (x)
3. (fg) (x) = f(x)g (x) + f (x)g(x)
Observaci´on. Las dos primeras reglas se pueden combinar en la si-
guiente:
(αf + g) (x) = αf (x) + g (x),
y a esta propiedad se conoce como linealidad.
La ´ultima se conoce como regla de Leibniz.
Ejemplo 3.1. Supongamos que queremos encontrar la derivada de
h(x) = f(x)
g(x)
, g(x) = 0 Entonces f(x) = h(x)g(x). Por la regla de Leib-
niz,
f (x) = h(x)g (x) + h (x)g(x).
Despejando h (x) obtenemos:
h (x) =
f (x) − h(x)g (x)
g(x)
.
Sustituyendo h(x) = f(x)
g(x)
y simplificando obtenemos:
h (x) =
f (x)g(x) − f(x)g (x)
g2(x)
.
Corolario 3.2.
d
dx
f(x)
g(x)
=
f (x)g(x) − f(x)g (x)
g2(x)
.
Proposici´on 3.3 (Regla de la cadena). Si f : D → R es diferenciable
en x ∈ D y g : f(D) → R lo es en y = f(x), entonces
(g ◦ f) (x) = g (y)f (x).
17. 3. T´ECNICAS DE DERIVACI´ON 17
Derivadas de Funciones Elementales.
Proposici´on 3.4. 1. d
dx
xα
= αxα−1
2. d
dx
αx
= αx
ln(a)
Ejemplo 3.2. Por definici´on, ln : (0, +∞) → R es la funci´on inversa
de exp : R → (0, +∞), es decir
eln(x)
= ln(ex
) = x.
En particular, ln(e) = 1. Por lo tanto
d
dx
ex
= ex
.
Ejemplo 3.3. Para simplificar la notaci´on, digamos que f(y) = loga(y).
Por definici´on, tenemos que f(y) es la funci´on inversa de ay
. Entonces
x = f(ay
), y usando regla de la cadena, obtenemos que
1 = f (ay
) (ay
ln(a)) .
Despejando, obtenemos que
f (ay
) =
1
ay ln(a)
.
Sustituyendo f(y) = loga(y) y x = ay
, tenemos que
(loga) (x) =
1
x ln(a)
.
En particular,
ln (x) =
1
x
.
Proposici´on 3.5 (Funciones trigonom´etricas). 1. d
dx
cos(x) = − sin(x)
2. d
dx
sin(x) = cos(x)
Ejemplo 3.4. Como tan(x) = sin(x)
cos(x)
, cos(x) = 0, usando la regla del
cociente, obtenemos que
tan (x) =
sin (x) cos(x) − sin(x) cos (x)
cos2(x)
.
Ahora, usando las derivadas de funciones trigonom´etricas, obtene-
mos
tan (x) =
cos(x) cos(x) − sin(x)(− sin)(x)
cos2(x)
.
Finalmente, simplificamos usando la identidad trigonom´etricas
cos2
(x) + sin2
(x) = 1,
18. 18 2. DIFERENCIACI´ON
y la funci´ıon sec(x) = 1
cos(x)
, para obtener
tan (x) = sec2
(x).
4. Derivaci´on implicita
Ejemplos. Denotaremos por y la derivada dy
dx
.
Ejercicio muestra 2.6. Si
x2
+ y2
= r2
,
donde r es una constante, encontrar y .
Soluci´on. Por regla de la cadena, (y2
) = 2yy . Esto porque
dy2
dx
=
dy2
dy
dy
dx
.
Si derivamos el lado izquierdo de la ecuaci´ıon, respecto de x, usando
linealidad, obtenemos 2x + 2yy , mientras que si derivamos el derecho,
ya que r2
es contante, obtenemos cero e igualando, tenemos que
2x + 2yy = 0.
Despu´es de despejar obtenemos que
y = −
x
y
.
Podemos comprobar nuestros resultados en WxMaxima, de la siguien-
te manera.
1. Introducimos la ecuaci´on y le asignamos el nombre eqn.
(%i1) eqn:x^2+y^2=r^2;
( %o1) y2
+ x2
= r2
2. Declaramos a y en funci´on de x.
(%i2) depends(y,x);
( %o2) [y (x)]
3. Derivamos de manera implicita.
(%i3) der_eqn:diff(eqn,x);
( %o3) 2 y
d
d x
y + 2 x = 0
4. Despejamos y = dy
dx
.
(%i4) solve(der_eqn, ’diff(y,x));
( %o4) [
d
d x
y = −
x
y
]
19. 4. DERIVACI´ON IMPLICITA 19
Observaci´on. Observe que
x2
+ y2
= r2
es la ecuaci´on de un c´ırculo con centro en el origen con radio r > 0. Use
GeoGebrapara graficar esta ecuaci´on para un radio dado, por ejemplo,
r = 5.
1. Compare las pendientes de las rectas tangente en (x, y) y (−x, −y) .
¿Que relaci´on sobre est´as dos rectas podemos deducir?
2. Compare las pendiente de la recta tangente en (x, y) y la recta
que pasa por el origen y este punto. ¿Que relaci´on sobre est´as
dos rectas podemos deducir?
Ejercicio muestra 2.7. Si
x3
+ y3
= 6xy,
encontrar y .
Soluci´on. Por regla de la cadena
d
dx
y3
=
dy3
dy
dy
dx
,
es decir, (y3
) = (3y2
) (y ) .
Adem´as, por la regla de Leibniz,
(xy) = x y + xy = y + xy .
Entonces, derivando ambos lados de la ecuaci´on, y usando lineali-
dad, tenemos que
3x2
+ 3y2
y = 6 (y + xy ) .
Despejando y , obtenemos
y =
2y − x2
y2 − 2x
.
Ejercicio muestra 2.8. Encuentree y en t´erminos de x, si y =
arcsin(x), con imagen −π
2
≤ y ≤ π
2
.
Soluci´on. En este caso x = sin(y). Por regla de la cadena obtenemos
que
d
dx
sin(y) =
d
dy
sin(y)
dy
dx
= cos(y)y .
Sin embargo,tambien sabemos que
d
dx
sin(y) =
dx
dx
= 1.
20. 20 2. DIFERENCIACI´ON
Por lo cual 1 = cos(y)y , y entonces y = 1/ cos(y). Pero tambi´en
sabemos que, por la manera en que escogemos el rango de y, cos(y) > 0,
y por tanto
cos(y) = 1 − sin2
(y) =
√
1 − x2.
Es decir
y =
1
√
1 − x2
.
Ejercicios. Para resolver los siguientes ejercicios, puede consultar
los ejemplos de [1, sec. 3.5].
§ 2.8. Encuentre y . Grafique y y y usando GeoGebra. Compruebe sus
resultados usando WxMaxima.
1. sin(x + y) = y2
cos(x),
2. x4
+ y2
= 16,
3. y = arc cos(x),
4. y = arctan(x).
5. Derivaci´on logar´ıtmica
Resumen. Recordemos que y = ex
si y solo si x = ln(y), por
lo cual ln(y) solamente est´a definido para y > 0. Dos propiedades
fundamentales del logar´ıtmo son las siguientes:
1. ln(ab) = ln(a) + ln(b),
2. ln(ab
) = b ln(a).
De esto se deduce, usando leyes de los exponentes, que ln a
b
=
ln(a) − ln(b).
Por regla de la cadena,
d
dx
ln(y) =
d
dy
ln(y)
dy
dx
,
es decir,
(ln(y)) =
y
y
.
De esto se deduce que
(3) y = y
d
dx
ln(y) .
Esta forma de derivar, conocida como derivaci´on logar´ıtmica, es
especialmente ´util si necesitamos derivar funciones que involucren mul-
tiplicaci´on, divisi´on, exponenciaci´on y radicales.
Ejercicio muestra 2.9. Si y =
x + 1
√
x − 2
, encontrar y .
21. 5. DERIVACI´ON LOGAR´ITMICA 21
Soluci´on. Primero, escribimos y = (x + 1)(x − 2)−1/2
. Entonces
ln(y) = ln(x + 1) −
1
2
ln(x − 2),
de donde
d
dx
ln(y) =
1
1 + x
−
1
2
1
x − 2
.
Simplificando la ´ultima expresi´on obtenemos
d
dx
ln(y) =
x − 3
2(x + 1)(x − 2)
,
de donde obtenemos
y =
x + 1
(x − 2)1/2
x − 3
2(x + 1)(x − 2)
,
y simplificando obtenemos,
y =
x − 3
2(x − 2)3/2
.
De hecho, podemos obtener la f´ormula para la derivada del cociente
usando la f´ormila (3). En efecto,
ln
f
g
= ln(fg−1
) = ln(f) − ln(g).
Derivando obtenemos
d
dx
ln
f
g
=
f
f
−
g
g
.
Entonces
f
g
=
f
g
f
f
−
g
g
=
f g − g f
g2
.
Otro ejemplo del uso de la derivada es el siguiente. Supongamos
que y = xα
, con x = 0. Entonces ln(y) = α ln(x), y por tanto
d
dx
ln(y) =
α
x
.
Entonces y = (xα
) (αx−1
) = αxα−1
.
Por ´ultimo, derivaremos y = ln |x| . Observe que solamente necesita-
mos deducir el caso cuando x < 0, es decir |x| = −x. En esta situaci´on
y = ln(−x)y por regla de la cadena, sustituyendo u = −x, y = ln(u)
dy
dx
=
dy
du
du
dx
=
1
u
u =
u
u
.
22. 22 2. DIFERENCIACI´ON
Pero u = −1, y por tanto
d
dx
ln(−x) =
−1
−x
=
1
x
. Entonces, siempre
que x = 0,
d
dx
ln |x| =
1
x.
Ejercicios.
§ 2.9. Encuentre y usando derivaci´on logar´ıtmica.
1. y =
x3/4
√
x2 + 1
(3x + 2)5
,
2. y = x
√
(x)
,
3. y = ln(e−x
+ xe−x
),
4. y =
x
1 − ln(x − 1)
5. y = xx
,
6. y = xsin(x)
,
7. xy
= yx
.
Problema 2.1. Use la definici´on de derivada para demostrar que
l´ım
x→0
ln(1 + x)
x
= 1.
24. 24 2. DIFERENCIACI´ON
Figura 5. Ejercicios de repaso para el examen. Consul-
te [1, Ejercicios de Repaso, pag. 265].
25. Cap´ıtulo 3
Aplicaciones
1. Crecimiento exponencial
Resumen. Si la raz´on de cambio (instantanea) de una funci´on
x : R → R diferenciable es proporcional a la propia funci´on, esto lo
podemos expresar con la siguiente ecuaci´on diferencial:
(4)
dx
dt
= kx.
La funci´on x : R → R
x(t) = Cekt
,
donde C ∈ R es una constante, satisface esta ecuaci´on y por el teore-
ma de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales ordinarias, si
fijamos la condici´on inicial x(0) = x0 ∈ R, esta es la ´unica soluci´on.
De hecho, esa f´acil comprobar que en este caso, C = x0.
Observaci´on. En las aplicaciones, regularmente escogemos condicio-
nes iniciales positivas, es decir, x0 > 0. En esta situaci´on, tenemos los
siguientes casos
1. Si k = 0, entonces x(t) = x0ekt
permanece constante y no es de
nuestro inter´es;
2. Si k > 0, entonces x(t) = x0ekt
es estrictamente creciente y
decimos que k es una constante de crecimiento.
3. Si k < 0, entonces x(t) = x0ekt
es estrictamente decreciente y
decimos que k es una constante de deca´ımiento.
Ejercicio muestra 3.1. Si P(t) es la poblaci´on humana, medida en
millones de personas, a partir de 1950, entonces tenemos los siguientes
datos:
a˜no t P(t) ≈
1950 0 2 518
1960 10 2 755
¿Cu´al ser´a la poblaci´on mundial en 2010?
25
26. 26 3. APLICACIONES
Soluci´on. Usando nuestro modelo, obtenemos las siguiente ecuaciones
x0ek(0)
= 2518
x0ek(10)
= 2982.
De la primera, es claro que la poblaci´on inicial es x0 = 2518, mientras
que sustituyendo y despejando en la segunda obtenemos:
k =
1
10
ln
2982
2518
≈ 0.0169.
Entonces, obtenemos:
P(t) = 2518e.0169t
,
y sustituyendo como el a˜no 2010, corresponde a t = 60, obtenemos
P(60) = 2518e.0169(60)
≈ 6941.
La poblaci´on mundial en 210 fue aproximadamente 6854 millones
de habitantes, es decir, el error relativo de nuestra aproximaci´on es
Errrel =
6941 − 6854
6854
≈ 1.26 %.
Ejercicios.
§ 3.1. Una poblaci´on de protozoarios se desarrollan en una raz´on de
crecimiento relativo contante de 0.7944 por miembro cada d´ıa. En el
d´ıa cero, la poblaci´on consiste de dos miembros. Hallar el tama˜no de
la poblaci´on despu´es de seis d´ıas.
§ 3.2. Un habitante com´un del intestino humano es la bacteria esche-
richia coli. Una celula de esta bacter´ıa en un caldo nutriente se divide
en dos c´elulas cada 20 minutos. La poblaci´on inicial de un cultivo es
de 60 celulas.
1. Hallar la raz´on de crecimiento relativo.
2. Encontrar una expresi´on para el n´umero d´elulas despu´es de t
horas.
3. Establecer la raz´on de crecimiento despu´es de 8 horas.
4. ¿Cu´ando la poblaci´on alcanzar´a 20,000 celulas.
§ 3.3. Un cultivo de bacterias al inicio contiene 100 d´elulas y crece en
una cantidad proporcional a su tama˜no. Despu´es de 1 hora la poblaci´on
se ha incrementando a 420.
1. Establecer una expresi´on para n´umero de bacterias despu´es de
3 horas.
2. Calcular el n´umero de bacterias despu´es de 3 horas.
3. Encuentre la tasa de crecimiento despu´es de 3 horas.
27. 2. LINEALIZACI´ON 27
Figura 1. Linealizaci´on de (x) alrededor a = 4.
4. ¿Cu´ando la poblaci´on alcanza 10,000?
§ 3.4. Un cultivo de bacterias crece con una rapidez de crecimiento
relativo constante. Despu´es de 2 horas existen 600 bacterias y despu´es
de 8 horas la cuenta es de 75,000.
1. Hallar la poblaci´on inicial.
2. establecer la expresi´on para la poblaci´on despu´es de t horas.
3. Calculae el n´umero de c´alulas despu´es de 5 horas.
4. establecer la rapidez de crecimiento despu´es de 5 horas.
5. ¿Cu´ando la poblaci´on alcanzar´a 200,000?
2. Linealizaci´on
Resumen. Supongamos que f : R → R es diferenciable en a ∈ R,
es decir, existe la derivada f (a). Como ya hemos visto, esta derivada
en la pendiente de la recta tangente, que es la mejor aproximaci´on lineal
de f en a. La ecuaci´on de la recta tangente se puede obtener a partir
de la siguiente ecuaci´on:
y − f(a)
x − a
= f (a),
que es la ecuaci´on de una recta que pasa por el punto (a, f(a)) con
pendiente f (a).
Definici´on 2.1. Sea f : R → R una funci´on diferenciable. Definimos
la linealizaci´on de f alrededor de (o con pivote en) a ∈ R como
Lf,a(x) = f(a) + f (a)(x − a).
La linealizaci´on Lf,a(x) se puede usar para hacer calcular de manera
bastante precisa de valor de f(x) para x ≈ a.
Ejemplo 2.1. Existen varios algoritmos para calcular la raiz de un
n´umero real. Sin embargo, podemos calcular raices de n´umeros reales
de manera muy precisa, usando la linealizaci´on.
28. 28 3. APLICACIONES
Por ejemplo, calculemos
√
4.1. Primero determinamos la funci´on a
linealizar, en este caso, f(x) =
√
x. La derivada de f es
f (x) =
1
2
√
x
.
Despu´es, escogemos como pivote el punto a = 4. En este caso f(4) =
2 y f (4) = 1
4
. De donde obtenemos
L(x) = f(4) + f (4)(x − 4) = 2 +
1
4
(x − 4).
Entonces
√
4.1 ≈ L(4.1) = 2 + .25(4.1 − 4) = 2.025.
Si usaramos una calculador, obtendriamos
√
4.1 = 2.02484567313.
El error absoluto entre este valor y el que obtuvimos de la aproximaci´on
es
Err = |2.025 − 02484567313| ≈ 1.54 × 10−4
.
Ejercicios.
§ 3.5. Use una aproximaci´on lineal para calcular los siguientes valores.
Posteriormente, use una calculadora para encontrar su valor y deter-
mine el error absoluto.
1. (2.001)5
2. e−0.015
3. (8.06)2/3
4. 1
1002
5. tan(44o
)
6.
√
99.8
3. Optimizaci´on
Resumen.
Definici´on 3.1. Sea f : D ⊂ R → R. Decimos que:
1. f alcanza su valor m´aximo o m´aximo global en c ∈ D si f(c) ≥
f(x), para toda x ∈ D;
2. f alcanza su valor m´ınimo o m´ınimo global en c ∈ D si f(c) ≤
f(x), para toda x ∈ D.
Teorema 3.1 (Teorema del Valor Extremo). Si f : [a, b] → R es
continua, entonces f alcanza su m´aximo y su m´ınimo.
29. 3. OPTIMIZACI´ON 29
Aunque el cr´ıterio anterior nos es ´util al optimizar en intervalos
compactos, es decir, de la forma [a, b], en un caso general no siempre
esto es cierto. Sin embargo, tenemos la siguiente noci´on de m´aximo
(m´ınimo) en intervalos abiertos.
Definici´on 3.2. Sea f : D ⊂ R → R. Decimos que:
1. f tiene un m´aximo local en c ∈ D si existe un radio > 0
suficientemente peque˜no, de manera que f(c) ≥ f(x), para toda
x ∈ (c − , c + ) ⊂ D;
2. f tiene un m´ınimo local en c ∈ D si existe un radio > 0
suficientemente peque˜no, de manera que f(c) ≤ f(x), para toda
x ∈ (c − , c + ) ⊂ D.
Observaci´on. La condici´on de que exista si existe un radio > 0
suficientemente peque˜no, y que x ∈ (c− , c+ ) ⊂ D se puede entender
como que x ∈ D este suficientemente cerca de c ∈ D. De manera
informal, podemos decir que f alcanza un m´aximo local en c si f(c) ≥
f(x) para x suficientemente cercanos a c. Lo mismo se puede decir
para un m´ınimo local. Note que todo m´aximo (m´ınimo) global es, en
particular, un m´aximo (m´ınimo resp.) local.
Teorema 3.2 (Teorema de Fermat). Si f : D ⊂ R → R alcanza un
m´aximo o m´ınimo local en c ∈ D y f (c) existe, entonces necesaria-
mente f (c) = 0.
Observaci´on. Debemos tener cuidado al usar el teorema de Fermat.
Por ejemplo f = |x| alcanza su m´ınimo en cero, pero en este punto la
derivada no existe. En cambio, f(x) = x3
tiene derivada igual a cero
en x = 0, pero este punto no es m´aximo ni m´ınimo de la funci´on.
Como podemos apreciar, los puntos m´as interesantes para nuestro
estudio son aquellos donde la derivada no existe o si existe, es igual a
cero.
Definici´on 3.3. Sea f : D ⊂ R → R y c ∈ D. Decimos que c es un
punto cr´ıtico si f (c) no existe o si existe, f (c) = 0.
Con los resultados anteriores, podemos describir un criterio para
optimizar funciones continuas en compactos.
Proposici´on 3.3. Supongamos que
1. f : [a, b] → R es continua,
2. f : (a, b) → R es diferenciable.
Si f alcanza su m´aximo (o m´ınimo) global en c, entonces
1. c = a o c = b, o
30. 30 3. APLICACIONES
Figura 2. f(x) = x3
− 3x2
+ 1
2. f (c) = 0 un punto cr´ıtico.
En decir, para encontrar donde f alcanza sus valores extremos,
basta probar en los extremos del intervalo o en los puntos cr´ıticos, que
se encuentran en su interior.
Ejercicio muestra 3.2. Encuntre el m´aximo y el m´ınimo global de la
funci´on f(x) = x3
− 3x2
+ 1 si −1
2
≤ x ≤ 4.
Soluci´on. Como f es continua en [−1
2
, 4] y diferenciable en su interior
(−1
2
, 4) (¿porqu´e?), podemos aplicar el criterio de la proposici´on 3.3.
Primero evaluamos en los extremos.
f(−1
2
) = 1
8
f(4) = 17
Derivamos f y obtenemos los puntos cr´ıticos, resolviendo la ecua-
ci´on
f (x) = 3x2
− 6x = 3x(x − 2) = 0.
Los puntos cr´ıticos son x = 0 y x = 2. Sus respectivos valores son
f(0) = 1 y f(2) = −3.
Finalmente, basta comparar los diferente valores obtenidos para
concluir que el m´aximo global es 17 y se alcanza en x = 4, mientras
que el m´ınimo global es −3 y se alcanza en x = 2.
Ejercicios.
§ 3.6. Encuentre los m´aximos y m´ınimos absolutos en el intervalo in-
dicado. Grafique.
1. f(x) = 2x3
− 3x2
− 12x + 1, [−2, 3]
2. f(x) = x
x2−x+1
, [0, 3]
3. f(x) = t
√
4 − t2, [−1, 2]
4. φ(t) = 2 cos(t) + sin(2t), [0, π
2
]
5. f(x) = xe−x2/8
, [−1, 4]
6. f(x) = ln(x2
+ x + 1), [−1, 1]
7. f(x) = x − 2 arctan(x), [0, 4]
31. 4. TEOREMA DEL VALOR MEDIO 31
4. Teorema del Valor Medio
Introducci´on. ¿Como calculamos la velocidad de un objeto? Su-
pongamos que en un intervalo de tiempo I := [t0, tf ], el desplazamiento
de ´este esta dado por s : I → R, es decir, solamente se mueve a lo largo
de una l´ınea recta. Si queremos calcular la velocidad promedio en I,
usamos la siguiente f´ormula:
¯v =
s(tf ) − s(t0)
tf − t0
.
Sin embargo, puede ser que la velocidad var´ıe instantaneamente y
en tal caso, necesitariamos considerar la velocidad instantanea en un
tiempo t ∈ I dada por:
v (t) =
ds
dt
.
El siguiente teorema, uno de los m´as importantes del c´alculo, nos
dice que en alg´un instante t∗
∈ I, la velocidad intantanea ser´a igual a
la velocidad promedio en dicho intervalo I.
Teorema 4.1 (Teorema del Valor Medio). Sea f : [a, b] → R una fun-
ci´on continua, que adem´as es diferenciable en (a, b). Entonces, existe
c ∈ (a, b) tal que
f(b) − f(a)
b − a
= f (c).
Este teorema nos permitir´a estudiar el comportamiento de las fun-
ciones en ciertos intervalos, a partir del comportamiento de sus de-
rivadas en el mismo. A continuaci´on, presentamos algunos resultados
importantes que se pueden obtener a patir de este teorema.
Crecimiento y primera derivada.
Proposici´on 4.2. Sea f : (a, b) → R una funci´on diferenciable. En-
tonces f es constante en (a, b) si y solo si f (c) = 0 para todo c ∈ (a, b)
Demostraci´on. Sabemos que si una funci´on es constante, enton-
ces su derivada es cero. Ahora supongamos que f (c) = 0 para todo
c ∈ (a, b). Comparemos el valor de las funciones en dos puntos diferen-
tes x, y ∈ I tales que x ≤ y.
Aplicando el teorema del valor medio en el intervalo [x, y] y como
f (c) para todo c ∈ (a, b), en particular, para todo c ∈ (x, y) ⊂ (a, b),
tenemos que para alg´un c ∈ (x, y) ⊂ (a, b):
f(y) − f(x)
y − x
= f (c) = 0.
32. 32 3. APLICACIONES
Multiplicando por ambos lados por y − x, tenemos que
f(y) − f(x) = 0,
y por tanto, para todo x, y ∈ (a, b),
f(x) = f(y),
es decir, la funci´on f es contante en este intervalo.
Definici´on 4.1. Decimos que una funci´on f.D ∈ R → R es creciente
(resp. decreciente) en su dominio D si
x < y ⇒ f(x) < f(y) (resp. f(x) > f(y)).
Proposici´on 4.3. Si f : (a, b) → R una funci´on diferenciable, enton-
ces f es creciente en (a, b) si y solo si f (c) > 0 para todo c ∈ (a, b)
Demostraci´on. Primero supongamos que f es creciente y sea x ∈
(a, b). Si h > 0, entonces f(x + h) > f(x), porque x + h > x y por lo
tanto
f(x + h) − f(x)
h
> 0.
Si tomamos el l´ımite cuando h → 0, entonces
f (x) = l´ım
h→0+
f(x + h) − f(x)
h
> 0,
y por lo tanto f (x) > 0 para toda x ∈ (a, b).
Ahora, supongamos que para toda x ∈ (a, b) : f (x) > 0. Escojamos
dos puntos, x, y ∈ (a, b), tales que x < y. Aplicando el teorema del valor
medio en el intervalo [x, y] tenemos que para alg´un c ∈ (x, y)
f(y) − f(x)
y − x
= f (c) > 0,
y multiplicando por y − x > 0 de ambos lados, obtenemos
f(y) − f(x) > 0,
es decir, si x < y entonces f(x) < f(y).
De manera similar, se puede demostrar que
Proposici´on 4.4. Si f : (a, b) → R una funci´on diferenciable, enton-
ces f es decreciente en (a, b) si y solo si f (c) < 0 para todo c ∈ (a, b).
33. 4. TEOREMA DEL VALOR MEDIO 33
Figura 3. Funci´on concava hacia arriba
Concavidad y segunda derivada. Consideremos la funci´on f :
D → R en la figura 3 y supongamos que es diferenciable en cada
punto; su gr´afica es concava hacia arriba. ¿C´omo podemos definir esto
de manera analitica? Note que para cualquier punto a ∈ D, la l´ınea
tangente esta siempre por debajo de la gr´afica. La funci´on que describe
esta recta es
La(x) = f(a) + f (a)(x − a),
y entonces esta condici´on de concavidad se expresar´ıa como que para
cada punto x0 ∈ D
f(a) + f (a)(x − a) ≤ f(x), x ∈ D.
Entonces, tenemos la siguiente definici´on.
Definici´on 4.2. Una funci´on f : D → R diferenciable es concava hacia
arriba si para todo x, x0 ∈ D, tenemos que
(5) f(x) − f(x0) ≤ f (x0)(x − x0).
En particular, si a < b, es decir, 0 < b − a, entonces usando la
ecuaci´on 6 para x0 = a, obtenemos que
f(b) − f(a)
b − a
≥ f (a).
De manera similar, entonces usando la ecuaci´on 6 para x0 = b,
f(b) − f(a)
b − a
≤ f (b).
Por tanto,
f (a) ≤
f(b) − f(a)
b − a
≤ f (b),
34. 34 3. APLICACIONES
es decir, la derivada es creciente si la funci´on es concava hacia arriba.
Lo cu´al se puede observar en la figura 3.
Ahora bien, si la derivada es creciente, ¿la funci´on necesariamente
es concava hacia arriba? S´ı, y veamos porque.
Si la derivada es creciente y c ≤ a, entonces f (c) ≤ f (a). Suponga-
mos que x > a, y que la derivada es creciente. Entonces, por el teorema
del valor medio, existe un c ∈ R, x > c > a, tal que
f(x) − f(a) = f (c)(x − a) ≥ f (a)(x − a),
que no es m´as que la condici´on 6 para el caso x > a. El caso x < a se
obtiene de manera similar.
Podemos resumir nuestros resultados en la siguiente
Proposici´on 4.5. Si f : (a, b) → R es diferenciable, entonces f es
concava hacia arriba si y solo si f es una funci´on creciente.
Por el teorema 4.3, obtenemos el siguiente
Corolario 4.6. Si f : (a, b) → R es diferenciable, entonces f es con-
cava hacia arriba si y solo si f (x) > 0 para todo x ∈ (a, b).
De manera similar, podemos definir la concavidad hacia abajo.
Definici´on 4.3. Una funci´on f : D → R diferenciable es concava hacia
abajo si para todo x, x0 ∈ D, tenemos que
(6) f(x) − f(x0) ≥ f (x0)(x − x0).
y obtenemos resultados similares,
Proposici´on 4.7. Si f : (a, b) → R es diferenciable, entonces f es
concava hacia abajo si y solo si f es una funci´on decreciente.
Corolario 4.8. Si f : (a, b) → R es diferenciable, entonces f es con-
cava hacia abajo si y solo si f (x) < 0 para todo x ∈ (a, b).
En particular, obtenemos una manera de caraterizar los m´aximos y
m´ınimos locales de manera pr´atica.
Teorema 4.9 (Criterio de la Segunda Derivada). Sea f : (a, b) → R
con segunda derivada. Entonces:
1. c ∈ (a, b) es m´aximo local si y solo si f (c) = 0 y f (c) < 0.
2. c ∈ (a, b) es m´ınimo local si y solo si f (c) = 0 y f (c) > 0.
Para finalizar, tenemos la siguiente definici´on
Definici´on 4.4. Sea f : (a, b) → R con segunda derivada. Entonces
decimos que c ∈ (a, b) es punto de inflexi´on si
f (c) = 0,
es decir la funci´on f cambia de concavidad en c.
35. 5. GRAFICACI´ON 35
Figura 4. Puntos de inflexi´on
Figura 5. Puntos de silla
5. Graficaci´on
M´etodo para graficar. Supongamos que f : (a, b) es una funci´on
con segunda derivada. Podemos proceder de la siguiente manera para
encontrar su gr´afica.
1. Encontrar las raices, es decir, los puntos c tales que f(c) = 0;
2. Encontrar los puntos cr´ıticos, es decir, los puntos c tales que
f (c) = 0;
a) Si f (c) > 0, entonces c es m´ınimo local,
b) Si f (c) < 0, entonces c es m´aximo local,
3. Encontrar los puntos de inflexi´on, es decir, los puntos c tales
que f (c) = 0.
Los puntos de inflexi´on pueden ser como en la figura 4. Si f cambia
de negativa a positiva, la gr´afica localmente como la de la izquierda,
mientras que en el otro caso, luce como en la de la derecha.
Falta por caracterizar los puntos cr´ıticos c donde f (c) = 0, es decir,
que tambi´en son puntos de inflexi´on. Estos puntos se les conoce como
puntos de silla y alrededor de estos, la gr´afica se ve como alguna de las
de la figura 5.
Ejercicio muestra 3.3. Grafique la funci´on f : [−1, 1] → R, f(x) =
x3
− x.
Soluci´on. Primero, resolvemos la ecuaci´on
x3
− x = 0,
36. 36 3. APLICACIONES
Figura 6. Gr´afica del ejericicio 3.3
y tenemos que las raices de f son x = −1, 0, 1.
Despu´es derivamos f:
f (x) = 3x2
− 1,
y resolvermos la ecuaci´on f (c) = 0.
Entonces, los puntos cr´ıticos de la funci´on son x = ± 1√
3
. Utilizamos
el criterio 4.9 para decidir si son m´aximo o m´ınimos locales, o incluso,
puntos de silla.
La segunda derivada de f es
f (x) = 6x.
Como f ( 1√
3
) = 6 1√
3
> 0, entonces
c =
1
√
3
es un m´ınimo local.
De manera similar, concluimos que
c = −
1
√
3
es un m´aximo local.
Finalmente, resolvemos f (c) = 0, pero la ´unica soluci´on es c = 0
y por tanto, este es el ´unico punto de inflexi´on. Como antes de c = 0,
f < 0, mientras que despu´es f >, concluimos que en este punto, la
gr´afica se ve localmente como la gr´afica de la derecha en la figura 4.
Podemos utilizar GeoGebra para graficar y comparar con nuestros
resultados. La gr´afica esta dada en la figura 6.
37. 6. TEOREMA DE L’HOSPITAL 37
Ejercicios.
§ 3.7. Esboce la gr´afica de cada una de las siguientes funciones, uti-
lizando el m´etodo anterior. Grafique usando GeoGebra y compare sus
resultados.
1. x3
− 7x + 6,
2. 6x3
− x2
− 5x + 2,
3. x4
− 3x3
+ 3x2
− 3x + 2.
6. Teorema de L’Hospital
El siguiente teorema nos ser´a util para encontrar l´ımites de formas
indeterminadas, tales como
0
0
,
±∞
±∞
.
Teorema 6.1 (L’Hospital). Sea f, g : (c − , c + ) → R funciones
diferenciables, tales que
g (x) = 0 si x ∈ (c − , c + ), x = c,
l´ımx→c f(x) = l´ımx→c g(x) = 0.
Entonces,
l´ım
x→c
f(x)
g(x)
= l´ım
x→c
f (x)
g (x)
,
si es que el l´ımite del lado derecho existe.
La misma conclusi´on vale si cambiamos la hip´otesis (2) por
l´ım
x→c
f(x) = l´ım
x→c
g(x) = ±∞.
Ejercicio muestra 3.4. Encuentre
l´ım
x→1
ln(x)
x − 1
.
Soluci´on. Las funciones f(x) = ln(x) y g(x) = x−1 son diferenciables
en sus respectivos dominios y de hecho,
f (x) =
1
x
, g (x) = 1.
Como g (x) = 1 = 0 en R, se cumple la primera hip´otesis del Teorea
de L’Hospital. Adem´as,
l´ım
x→1
ln(x) = l´ım
x→1
(x − 1) = 0.
Ahora bien,
l´ım
x→1
f (x) = l´ım
x→1
1
x
= 1,
38. 38 3. APLICACIONES
mientras que
l´ım
x→1
g (x) = l´ım
x→1
1 = 1.
Por tanto
l´ım
x→1
ln(x)
x − 1
= l´ım
x→1
1/x
1
= 1.
Ejercicios.
§ 3.8. Encuentre los siguientes l´ımites
1.
l´ım
x→∞
ex
x3
,
2.
l´ım
x→∞
ln(x)
3
√
x
,
3.
l´ım
x→0
tan(x) − x
x3
,
4.
l´ım
π−
sin(x)
1 − cos(x)
,
5.
l´ım
x→0+
x ln(x),
6.
l´ım
x→ π
2
−
(sec(x) − tan(x)) ,
7.
l´ım
x→0+
xx
.
7. Proyecto final: Polinomios de Taylor
La aproximaci´on de la recta tangente L(x) es la mejor aproximaci´on
de primer grado (lineal) a f(x), cerca de x = a, porque f(x) y L(x)
tienen la misma relaci´on de cambio (derivada) en a. Para tener una
mejor aproximaci´on que la lineal, intente una aproximaci´on de segundo
grado (cuadr´atica)
P(x) = A + Bx + Cx2
.
En otras palabras, aproxime una curva mediante una parabola en lugar
de una recta. Para tener la seguridad de que la aproximaci´on es buena,
estipule lo siguiente:.
(i) P(a) = f(a)
(ii) P (a) = f (a)
(iii) P (a) = f (a)
39. 7. PROYECTO FINAL: POLINOMIOS DE TAYLOR 39
(a) Encuentre la aproximaci´on cuadr´atica
P(x) = A + Bx + Cx2
para la funci´on f(x) = cos(x), que satisfaga las condiciones (I)-
(III), con a = 0. Grafique P, f, y L. ¿Que tanto se aproximan P y
L a f en el intervalo (−1, 1)? Calcule el error absoluto y el relativo.
(b) Determine los valores de x para los cuales la aproximaci´on cuadr´ati-
ca P(x) del inciso anterior tiene un margen de error menos que 0.1.
Sugerencia: Grafique y = P(x), y = cos(x) − 0.1 y y = cos(x) + 0.1
en una misma pantalla.
(c) Para aproximaci´on una funci´on f por una cuadr´atica P cerca de
un n´umero a, lo mejor es escribir
P(x) = A + B(x − a) + C(x − a)2
.
Mostrar que la funci´on cuadr´atica que satisface (I)-(III) es
P(x) = f(a) + f (a)(x − a) +
1
2
f (a)(x − a)2
.
(d) Encuentre la aproximaci´on cuadr´atica a f(x) =
√
x + 3 alrededor
de a = 1. Grafique f y sus aproximaciones lienal y cuadr´atica, en
una pantalla com´un. Coment´e acerca del resultado.
(e) De manera similar, podemos aproximar una funci´on f alrededor
de a con un polinomio de grado n usando el n-´esimo polinomio de
Taylor:
Tn(x) = f(a)+f(1)
(a)(x−a)+...+
f(k)
(a)
k!
(x−a)k
+...+
f(n)
(a)
n!
(x−a)n
,
donde k! = 1 · 2 · · · k, si k > 0 y f(k)
(a) denota la k-´esima derivada
evaluada en a.
Encuentre los polinomios de Taylor de f(x) = cos(x) en a = π
correspondientes a k = 1, 2, 3, 4 y grafiquelos en el intervalo [0, 2π]
en una misma pantalla. Encuentre el error absoluto de cada uno en
x = 0.
40.
41. Bibliograf´ıa
[1] Stewart, J.; C´alculo de una variable, trascendentes tempranas; Cengage Lear-
ning, 6a Edici´on, 2008.
[2] Thomas, G., Finney, R.; C´alculo, una variable; Addison-Wesley, 9a Edici´on,
1998.
[3] Courant, R., Fritz, J.; Introduction to Calculus and Analysis; Interscience Pu-
blisher, 1965.
[4] Rudin, W.; Priciples of Mathematical Analysis; Mc-Graw Hill,3a ed., 1976.
41