Este documento presenta una serie de funciones y pide hallar su derivada o derivadas con respecto a variables como x o t. También incluye ejercicios sobre máximos, mínimos, puntos críticos, concavidad, así como determinar ecuaciones de rectas tangentes y razones de cambio.

1. Análisis Matemático I
 Hallar la derivada con respecto a “x” de las siguientes funciones:
1) ))().(1004( 25
xSenxxy  11) y =
)(
)24ln( 2
xSen
xx 
2)
5 23
2
)(
1
x
x
y

 12) 7
85
5
12
x
xx
y


3)  
3 4
5 3
5
x x
f x
x x



13)  
2
2 5
12
x x
f x
x



4)   2
20f x x x  14)  
1
32
2 1f x x   
 
5)  
ln(ln(2 ))
5
x
f x  15)   6 3 10
( 6 9).(6 )f x x x x x
   
6)    4
1f x Cos x  16)    3
25f x Sen x
7)    3f x Cos Cos x 17)     5 1f x Sen Sen x 
8)   ( )
4 .x sen x
f x e 18)  
5
2 3
5 .x x
f x e 

9)  
 2
1Sec x
f x
x

 19)   2
1
16
f x
x
 

10)  
7
3 2
5 7
x
x e
f x
x x



20)   32 29
6 ln 6
2 3
Sen
h x x x x
       
 
 ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL AMBIENTAL 

2. Análisis Matemático I
 Hallar la derivada con respecto a “t” de:
21)    t
tCosSentf 2.()(
3
 22) 42
3
)ln(
)( 
 t
tc
tg
23)     53.7)( 24
 ttSentf 24)
1
)5(
)( 23



btat
bttaCos
tg
 ¿Cuál es el valor de  ' 0y de la siguiente función? Argumenta tu respuesta.
25)
2
1
lny arcSen arcCos arcTan arcCot arcSec arcCsc
x
      
                  
Demuestra que y es solución de la ecuación diferencial dada.
26)
2
2
tan
d y
x
dx
 ;  ln sec tany Cosx x x  
27) 2
1
dy xy
dx y


; 2 2
2lny y x  (Sug. Deriva implícitamente)
28) 3
2
dy
y x x
dx
  ; 2
1y x x 
29)
2
2 3
2
2 2
d y dy
x x y x
dx dx
   ; 3 2
1 2
1
2
y x c x c x   ; 1c y 2c son Constantes.
 El numero de dólares del costo total de la manufactura de x unidades de cierta mercancía está
dada por: C(x) = 40 + 3x + x29 . Obtenga:
(a) el costo marginal cuando se producen 50 unidades y
(b) el número de unidades producidas cuando el costo marginal es de $4.50
 El ingreso mensual “I” por vender compactadoras es una función de la demanda “X” del
mercado: I(x)= 300x – 2x2
La demanda es función del precio “p” por compactadora: X(p)= 300 – 2p
a) Hallar la dependencia del ingreso “I” en función del precio “p”.
b) Hallar la razón de cambio del Ingreso “I (p)” en miles de $, cuando p = 30 dólares.
Sugerencia: pruebe por
derivadas laterales que no
existe la derivada de

3. Análisis Matemático I
 Un taller de soldadura está especializado en la producción de silenciadores para autos. Los
precios de fabrica: C(x) en euros, están relacionados con el número de silenciadores
fabricados: “x”, a través de la siguiente expresión:
2
10 20 25C x x x
¿Cuál es el ingreso marginal relacionado con este artículo cuando se venden 4 unidades?
 Un estudio de eficiencia del turno matinal en cierta fábrica revela que un trabajador promedio
que llega al trabajo a las 8:00 am habrá producido   3 2
8 15Q t t t t    unidades t horas
más tarde.
a) Calcular la tasa de producción del trabajador a las 9:00 am.
b) ¿Cuál es la razón de cambio de la tasa de producción del trabajador con respecto al
tiempo a las 9:00 am.?
 Calcula f '(2), utilizando la definición de derivada, siendo:   2
2 5f x x x 
 Halla la ecuación de la recta tangente a la curva   2
2 3 1f x x x   , que es paralela a la
recta 2 3 1 0x y  

4. Lic. Mat. Jorge Guillermo Díaz Albújar ANÁLISIS MATEMÁTICO I
LABORATORIO: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
1.- Halla el dominio y los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones:
) 4
)
1
)
2
)
a y x
b y x
c y
x
d y x
 



 
2
2
)
) 4
)
1
) cos
e y
x
f y x
g y xsenx
h y
x

 

 
  
 
2
2
2
) 2
1
)
1
1
)
4
) 4
i y x
j y
x
k y
x
l y x
 




 
2
) 1
) 4
) 1
) 9
m y x
n y x
o y x
p y x
 
 
 
 
2.- Estudiar la simetría y periodicidad de las siguientes funciones:
3
3
3
2
) 5
5
)
2
)
a y x x
x x
b y
x x
c y x x
 



 
 
 
3
2
) 2 3
) 2
)
4
d y sen x
e y sen x
x
f y
x
 



3.- Estudia la derivabilidad y la continuidad de las siguientes funciones:
 
2
2
1
)
2
1
)
2
)
1
1
)
4 3
a y
x
b y
x
x
c y
x
x
d y
x x








 
2
2
3
) 1
3
)
3 10
1
)
3
cos
)
e y x
x
f y
x x
x
g y
x
x
h y
x
 


 




2
2
1
)
1
)
1 0
) 1 0 1
1 1
i y
x
x
j y
x
si x
k y x si x
x si x




   
 
2
1 1 0
2 0 1
) 1 1
2 4 1 2
0 2 3
x si x
x si x
l y si x
x si x
si x
   
 
 
   
 
4.- Estudia las asíntotas y ramas infinitas, así como la simetría de las siguientes funciones:
2
1
)
2 3
4
) 2
4
1
)
a y
x
b y
x
c y x
x


 

 
2
2
2
)
1
)
1
1
)
1
x
d y
x
x
e y
x
x
f y
x







2
2
2
2
4
)
1
1
)
2 4
1
)
4 3
x
g y
x
x
h y
x
x
i y
x x








 

5. Lic. Mat. Jorge Guillermo Díaz Albújar ANÁLISIS MATEMÁTICO I
5.- En las funciones siguientes determina los intervalos de monotonía, hallando la posición
de los puntos críticos y sólo con dicha información intenta razonar la existencia en los
mismos de mínimos, máximos o puntos de inflexión:
2
3 2
3
) 1
1
) 2
3 2 3
) 27 36
a y x x
x x
b y x
c y x x
  
   
  
   
2 3
4
) 3 2
) 2 11 13
)
d y x x
e y x x x
f y x
 
   

 
 
3
2
3
1
)
1
)
1
2
)
1
g y
x
h y
x
i y
x






6.- En las funciones del ejercicio anterior determina los intervalos de concavidad y
convexidad e intenta volver a razonar la existencia en los mismos de mínimos, máximos o
puntos de inflexión sólo con esos datos.
7.- Aplica ahora el criterio de la segunda derivada para determinar los máximos, mínimos y
puntos de inflexión de las funciones del ejercicio 5. Determina el valor de los máximos, los
mínimos y los puntos de inflexión. Distingue, con toda la información recogida en estos
tres ejercicios, entre máximos y mínimos absolutos y relativos.
8.- Representa gráficamente:
a)   2 2y x x x   b) 4 2
2y x x  c) 3 2
2 5 4y x x x  
d) 2
4 3y x x   e)
3
6
x
y x   f) 4 2
2 8y x x  
9.- Representa gráficamente:
a) 2
4
4
y
x


b) 2
2
2
x
y
x


c) 2
8
4
y
x


d)
2
2
x
y
x


e)
3 2
2
2
3 4
x x
y
x x
 

 
f)
2
2
3 2
3 2
x x
y
x x
 

 
g)
   
1
2 3 4
x
y
x x x


  
h)
1
x
y
x


i)
  
  
1 2
1 3
x x x
y
x x
 

 
CURVA
DE
AGNESI

6. Lic. Mat. Jorge Guillermo Díaz Albújar ANÁLISIS MATEMÁTICO I
10.- Representa gráficamente:
a) 2
1y x  b)
2
y x    c)
2
2
x
y
x



d)
1
4 1
x
y
x

 

e)
2
2
4
x
y
x
 

f)
2
3
x
y
x

11.- Sea   3 2
2 2 5f x x x   . Hallar   0 0,P x f x de modo tal que la recta 2 7y x  sea
tangente al gràfico de f en el punto P.
12.- Sea   3 2
5 2 3f x x x   . Hallar   0 0,P x f x de modo tal que la recta 3 7y x  sea
tangente al gràfico de f en el punto P.
13.- Sea    2
ln 8 5f x x   . Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en el punto
de abscisas 3x  .
14.- Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de    2
ln 8 3f x x x   en el punto de
abscisa 0 3x  .
15.- Si   3
2 4f x x x   escribir la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en el punto de
abscisa x = 3.
16.- Sea  
 2
3 ln
2 1
x x
f x
x



. Hallar la pendiente de la recta tangente al grafico de f en el punto
de abscisa 0 1x  .
17.- Sea      2
1 1f x k x e x   , hallar el valor de k real para que la recta tangente al gráfico
de f en el punto de abscisa 0 1x   tenga pendiente 9.
18.- Sea     2
ln 7 6f x ax x   . Hallar a para que la recta tangente al grafico de f en 0 1x 
tenga pendiente 11m  .
19.- Dada   1 2 cosf x x  , calcular α perteneciente a los reales, en 0x  . Dicha recta
debe ser paralela a 3 2y x  .
20.-  
2
3 1x
f x ax e b
  . Hallar ,a b de modo tal que la recta de ecuación 15 10y x  sea
tangente al gráfico de f en el punto  1;5 .
21.- La puntuación obtenida por un estudiante en un examen depende del tiempo que haya
dedicado a su preparación ( x ,expresado en horas ) en los siguientes términos:

7. Lic. Mat. Jorge Guillermo Díaz Albújar ANÁLISIS MATEMÁTICO I
 
si 0 15
3
2
si 15
0.2 3
x
x
G x
x
x
x

 
 
 
 
a) Estudiar el crecimiento de esta función. Si un estudiante ha dedicado menos de 15 horas a
preparar el examen, justificar que no aprobará, esto es, que obtendrá menos de 5 puntos.
b) Justificar que la puntuación nunca puede ser superior a 10 puntos.
22.- La producción de cierta hortaliza en un invernadero,  Q x en kg; depende dela temperatura,
x en C , según la expresión:
     
2
1 32Q x x x  
a) Calcular razonadamente cuál es la temperatura óptima a mantener en el invernadero.
b) ¿Qué producción de hortaliza se obtendría?
23.- El precio alcanzado por cierto tipo de obras de arte en una subasta,  P x en miles de
soles; está relacionado con el número de asistentes que estén interesados en su adquisición,
a través de la siguiente expresión:
 
5 50 si 0 10
38 700
si 10
9
x x
P x x
x
  

 

a) Estudiar la continuidad de  P x en el punto 10x  . ¿Qué ocurre con el precio si el número de
interesados es “ligeramente” superior a 10?
b) Estudiar el crecimiento del precio. Calcular el precio de salida, 0x  , y justificar que se trata
del precio más bajo que puede alcanzar una obra en la subasta.
24.-

8. Lic. Mat. Jorge Guillermo Díaz Albújar ANÁLISIS MATEMÁTICO I
25.-
26.-
27.-

9. Lic. Mat. Jorge Guillermo Díaz Albújar ANÁLISIS MATEMÁTICO I
28.-
29.-
30.-
INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN