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Curso: Límites, derivadas e integrales
Unidad 4: Comprender la integral como proceso de reversibilidad y cálculo de áreas
Tema: Nociones de integración
Contenido: Sumas de Riemann e integral definida
Apuntes Unidad 4
Sumas de Riemann e integral definida

APROXIMACIÓN DEL ÁREA BAJO UNA PARÁBOLA
En esta sección desarrollaremos una estrategia que nos permita aproximar el área bajo la
parábola , con en el intervalo , como se muestra a continuación.
𝑓(𝑥) = 𝑥
2
𝑥 [0, 3]
En este caso, no disponemos de una fórmula conocida, por lo que una opción es aproximar
el área bajo la curva usando figuras de área conocida. Como por ejemplo, usando
triángulos, rectángulos, trapecios, combinación de las anteriores, etc. Todas son válidas.
A continuación te mostramos una forma de aproximar el área usando una cuadrícula, que
divide al plano en rectángulos pequeños.

El área bajo la parábola se puede acotar inferiormente por los rectangulitos azules, y
superiormente por los rectangulitos azules más los verdes.
Observemos, que hay rectangulitos azules y verdes, por lo tanto, el área bajo la
22 18
parábola está entre y rectangulitos. Dado que los lados de cada
22 22 + 18 = 40
rectangulito son y el área de cada uno de ellos es . Entonces, el área bajo la
0, 3 1 0, 3 𝐴
parábola verifica la siguiente desigualdad:
22 · 0, 3 ≤ 𝐴 ≤ 40 · 0, 3
6, 6 ≤ 𝐴 ≤ 12
Podemos tomar una primera aproximación como el promedio entre la cota superior e
inferior:
𝐴 ≈
6,6 + 12
2
= 9, 3
Esta aproximación se puede mejorar, tomando por ejemplo, rectangulitos de lados
suficientemente pequeños.
Veamos otra aproximación. Usaremos rectángulos de igual base y distintas alturas.
Comencemos acotando inferiormente el área:

Puedes observar que hay rectángulos, cuyas bases miden . Notemos que cada
9 0, 3
rectángulo tiene como altura a la función evaluada en el borde izquierdo de cada
subintervalo. Por ejemplo, en el último rectángulo, el borde izquierdo es , por lo tanto,
2, 7
su altura mide:
.
𝑓(2, 7) = (2, 7)
2
= 7, 29
Llamemos suma inferior y denotémosla por , al área de los rectángulos bajo la parábola
𝐼
en el intervalo :
𝑓(𝑥) = 𝑥
2
[0, 3]
𝐼 = 𝑓(0, 3) · 0, 3 + 𝑓(0, 6) · 0, 3 + ... + 𝑓(2, 4) · 0, 3 + 𝑓(2, 7) · 0, 3 = 7, 7
Ahora, resolveremos de manera análoga para acotar superiormente el área:
En este caso, la altura de cada rectángulo corresponde a la función evaluada en el borde
derecho de cada intervalo.
Llamemos suma superior y denotémosla por , al área de los rectángulos sobre la parábola
𝑆
en el intervalo . Luego, una cota superior de esta área, es:
𝑓(𝑥) = 𝑥
2
[0, 3]
𝑆 = 𝑓(0, 3) · 0, 3 + 𝑓(0, 6) · 0, 3 + ... + 𝑓(2, 7) · 0, 3 + 𝑓(3) · 0, 3 = 7, 7
Notemos que en este caso, la diferencia entre la suma inferior y la suma superior, es el
término que aparece al final en la suma superior. Dado que ,
𝑓(3) · 0, 3 𝑓(3) = 3
2
= 9
obtenemos:

𝑆 = 𝐼 + 0, 3 · 9
En resumen, si tomamos como aproximación del área bajo la parábola el promedio de la
cota superior e inferior:
○ En el caso de los rectangulitos, se obtiene 𝐴 ≈ 9, 3
○ En el caso de los rectángulos de igual base, se obtiene 𝐴 ≈ 9, 05
Entonces, este método mejoró la aproximación anterior.
Nota:
Si ahora dividimos el intervalo en rectángulos de igual ancho (es decir, dividimos el
[0, 3] 𝑛
intervalo en partes iguales):
𝑛
● Se observa que se aproxima cada vez más al área bajo la parábola
𝐼𝑛
𝐴
● Se puede conjeturar que la cota inferior tiende a
𝐼𝑛
9
● A partir de los puntos anteriores, se puede conjeturar que el valor exacto del área
bajo la parábola es 9
APROXIMACIÓN ÁREA BAJO UNA CURVA DE FUNCIONES MONÓTONAS Y NO
MONÓTONAS
En las siguientes imágenes se muestra la suma inferior y superior del área bajo la curva de
funciones estrictamente decrecientes y estrictamente crecientes (funciones monótonas).
Función estrictamente decreciente en [𝑎, 𝑏]
Suma inferior Suma superior

Observemos que en este caso, la altura de los rectángulos corresponde a la función
evaluada en el borde:
● Derecho de cada intervalo, si estamos considerando la suma inferior.
● Izquierdo de cada intervalo, si estamos considerando la suma superior.
Función estrictamente creciente en [𝑎, 𝑏]
Observemos que en este caso, la altura de los rectángulos corresponde a la función
evaluada en el borde:
● Izquierdo de cada intervalo, si estamos considerando la suma inferior.
● Derecho de cada intervalo, si estamos considerando la suma superior.
En el caso de la función , que es no monótona en , se puede observar que la altura
𝑓(𝑥) [𝑎, 𝑏]
de los rectángulos de la suma inferior corresponde al valor mínimo de en cada
𝐼𝑛
𝑓(𝑥)
subintervalo. En algunos de esos subintervalos el valor donde se produce el mínimo de la
función está en alguno de los bordes, mientras que en otros está en el interior.

De manera similar, la altura de los rectángulos de la suma superior corresponde al valor
𝑆𝑛
máximo de en cada subintervalo. En algunos de esos subintervalos el valor donde se
𝑓(𝑥)
produce el máximo de la función está en alguno de los bordes, mientras que en otros está
en el interior.
Notemos que si la función es creciente o decreciente en un subintervalo, la altura del
rectángulo respectivo corresponde al valor de en alguno de los bordes de ese
𝑓(𝑥)
subintervalo, que es donde se produce el mínimo o máximo de la función. Si la función es
no monótona en un subintervalo, la altura corresponde a la función evaluada en un valor al
interior de dicho subintervalo, específicamente el valor donde se produce el mínimo o
máximo de .
𝑓(𝑥)

DEFINICIÓN DEL ÁREA BAJO UNA CURVA F(X)
Sea el área bajo la curva en un intervalo , que supondremos que existe.
𝐴 𝑓(𝑥) [𝑎, 𝑏]
Una manera de aproximar el área bajo una curva en un intervalo , consiste en sumar el
[𝑎, 𝑏]
área de rectángulos de igual base, como se aprecia en las siguientes imágenes:
𝑛
Suma Inferior Suma Superior
Esto corresponde a dividir el intervalo en , es decir, la base de cada rectángulo mide
[𝑎, 𝑏] 𝑛
𝑏𝑎𝑠𝑒 =
𝑏−𝑎
𝑛

lo que se llama una equipartición del intervalo. Nota que esta equipartición genera 𝑛
subintervalos.
La altura de cada uno de los rectángulos es variable y depende de la función 𝑓(𝑥):
● Para la suma inferior de los rectángulos, que denotamos por , la altura
𝑛 𝐼𝑛
corresponde al mínimo de la función en cada subintervalo.
𝑓(𝑥)
● Para la suma superior de los rectángulos, que denotamos por , la altura
𝑛 𝑆𝑛
corresponde al máximo de la función en cada subintervalo.
𝑓(𝑥)
De esta manera, en la suma inferior, todos los rectángulos están debajo de la función,
mientras que en la suma superior, todos están sobre ella. Por lo tanto, se tiene que
𝐼𝑛
≤ 𝐴 ≤ 𝑆𝑛
para todo natural.
𝑛
Notemos que y son sucesiones que dependen de . Si aplicamos límite a esta
𝐼𝑛
𝑆𝑛
𝑛
desigualdad, obtenemos
𝑛 ∞
lim
→
𝐼𝑛
≤ 𝐴 ≤
𝑛 ∞
lim
→
𝑆𝑛
Si se tiene que el límite de la suma inferior es igual al límite de la suma superior:
𝑛 ∞
lim
→
𝐼𝑛
=
𝑛 ∞
lim
→
𝑆𝑛
entonces, podemos definir el área bajo la curva en un intervalo , como
𝐴 𝑓(𝑥) [𝑎, 𝑏]
𝐴 =
𝑛 ∞
lim
→
𝐼𝑛
=
𝑛 ∞
lim
→
𝑆𝑛
Lo expuesto es válido para funciones continuas y positivas. Por ahora no veremos casos en
los que la función sea discontinua o negativa.

EJEMPLO DE APLICACIÓN
Dada la función , acotemos el área bajo la curva en el intervalo .
𝑓(𝑥) = 12𝑥 − 𝑥
3
[1, 3]
Para eso, consideremos una partición del intervalo en subintervalos de igual
[1, 3] 10
longitud. Luego, el ancho de los subintervalos será de .
0, 2
A continuación se muestra una imagen de la suma inferior y superior del área bajo la curva.

Notemos que la función es decreciente en y creciente en .
𝑓(𝑥) = 12𝑥 − 𝑥
3
]2, 3] [1, 2[
Haremos los cálculos tomando estos dos casos por separado.
Suma inferior:
Para los subintervalos ubicados entre 1 y
2
3
La altura de los rectángulos corresponden
a la función evaluada en el borde izquierdo.
a la función evaluada en el borde derecho.
Suma superior:
2
3
a la función evaluada en el borde derecho.
a la función evaluada en el borde izquierdo.
Para calcular tanto como , basta sumar el área de cada uno de los rectángulos
𝐼𝑛
𝑆𝑛
correspondientes en cada caso. Para eso, multiplicamos su altura por el ancho (que está
dado por el ancho de cada intervalo).
Otra manera de realizar estos cálculos, es con la ayuda de GeoGebra. En primer lugar,
graficamos la función, ingresando su fórmula en la línea de entrada:
Luego, también en la línea de entrada, ingresamos los comandos:
● SumaInferior(f,1,3,10) Para calcular
→ 𝐼𝑛
● SumaSuperior(f,1,3,10) Para calcular
→ 𝑆𝑛
El primer argumento de este comando corresponde a la función (f), el segundo argumento
al borde izquierdo del intervalo (1), el tercero al borde derecho (3) y el último argumento a
la cantidad de rectángulos de igual base que se consideran (10).

Obtenemos:
Así, tenemos que y .
𝐼𝑛
= 26, 72 𝑆𝑛
= 29, 12
SUMATORIA
La sumatoria es una notación matemática que permite representar de manera abreviada
la suma de varios elementos. La expresión:
𝑘=1
𝑛
∑ 𝑎𝑘
representa la suma de los primeros elementos de una sucesión , es decir:
𝑛 𝑎𝑘
𝑘=1
𝑛
∑ 𝑎𝑘
= 𝑎1
+ 𝑎2
+ ... + 𝑎𝑛
y se lee como “sumatoria desde igual a hasta , de sub ”.
𝑘 1 𝑛 𝑎 𝑘
Por ejemplo, la suma de los primeros número naturales se
𝑛 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 𝑛
puede expresar como sumatoria de la siguiente manera:
𝑘=1
𝑛
∑ 𝑘
Mientras que la suma de los cuadrados de los primeros números naturales
𝑛
se puede expresar como:
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ 4
2
+ ... + 𝑛
2
𝑘=1
𝑛
∑ 𝑘
2
Algunas de las propiedades de la sumatoria se muestran a continuación. Considera que y
𝑚
son números naturales, y que tanto como son sucesiones de elementos que
𝑛 𝑎𝑘
𝑏𝑘
depende de :
𝑘
𝑘=1
𝑛
∑ (𝑎𝑘
± 𝑏𝑘
) =
𝑘=1
𝑛
∑ 𝑎𝑘
±
𝑘=1
𝑛
∑ 𝑏𝑘

Si es una constante, entonces:
𝐶
●
𝑘=1
𝑛
∑ 𝐶 = 𝑛 · 𝐶
●
𝑘=1
𝑛
∑ 𝐶 · 𝑎𝑘
= 𝐶 ·
𝑘=1
𝑛
∑ 𝑎𝑘
Usemos lo anterior para resolver la siguiente sumatoria, a modo de ejemplo.
𝑘=1
15
∑ 5𝑘 + 𝑘
2
Usamos las propiedades de la suma para reescribir la sumatoria buscada:
𝑘=1
15
∑ 5𝑘 + 𝑘
2
= 5 ·
𝑘=1
15
∑ 𝑘 +
𝑘=1
15
∑ 𝑘
2
Ahora podemos resolver cada sumatoria por separado:
● 5 ·
𝑘=1
15
∑ 𝑘 = 5(
𝑛(𝑛+1)
2
) = 5(
15(15+1)
2
) = 600
●
𝑘=1
15
∑ 𝑘
2
=(
𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)
6
) =(
15(15+1)(2·15+1)
6
) = 1 240
Finalmente sumamos los resultados obtenidos para cada sumatoria:
𝑘=1
15
∑ 5𝑘 + 𝑘
2
= 5 ·
𝑘=1
15
∑ 𝑘 +
𝑘=1
15
∑ 𝑘
2
= 600 + 1 240 = 1 840
En la próxima sección veremos cómo la notación sumatoria es útil para expresar la
aproximación del área bajo una curva como la suma de las áreas de cada rectángulo .
𝐴𝑘
SUMA DE RIEMANN
Supongamos que se desea aproximar el área bajo la gráfica de una función que es
𝑓
continua en el intervalo .
[𝑎, 𝑏]
Consideremos que al intervalo se le realiza una equipartición en partes iguales de
[𝑎, 𝑏] 𝑛
ancho . La partición genera rectángulos cuyas bases corresponden a los
∆𝑥 =
𝑏−𝑎
𝑛
subintervalos para . Para definir la altura de cada rectángulo, en
[ 𝑥𝑘−1
, 𝑥𝑘
] 𝑘 = 1, ... , 𝑛

cada intervalo se elige un valor . De esta manera se obtienen rectángulos de base y
𝑥𝑘
*
𝑛 ∆𝑥
respectivas alturas .
𝑓(𝑥𝑘
*
)
En la siguiente figura se representa la descripción anterior para una función en rojo
𝑓(𝑥)
cuyo intervalo se divide en partes. Notemos que y .
[𝑎, 𝑏] 𝑛 = 8 𝑥0
= 𝑎 𝑥𝑛
= 𝑏
Se define la Suma de Riemann como la suma de las áreas de los rectángulos obtenidos
por este procedimiento de subdivisión.
𝑅𝑛
=
𝑘=1
𝑛
∑ 𝑓(𝑥𝑘
*
) ∆𝑥
De este modo es una aproximación al área bajo la curva de la función en el intervalo
𝑅𝑛
𝑓
. Según el valor que se elija se pueden obtener distintos tipos de Sumas de
[𝑎, 𝑏] 𝑥𝑘
*
Riemann:
● La expresión para corresponderá a la suma de Riemann Inferior cuando, para
𝑅𝑛
𝐼𝑛
todo , el valor de corresponda al mínimo valor que toma al interior del
𝑘 𝑥𝑘
*
𝑓(𝑥)
intervalo .
[𝑥𝑘−1
, 𝑥𝑘
]

● La expresión para corresponderá a la suma de Riemann Superior cuando,
𝑅𝑛
𝑆𝑛
para todo , el valor de corresponda al máximo valor que toma al interior
𝑘 𝑥𝑘
*
𝑓(𝑥)
del intervalo .
[𝑥𝑘−1
, 𝑥𝑘
]
● De modo similar, la expresión para corresponderá a la suma de Riemann de
𝑅𝑛
punto medio cuando, para todo , el valor de corresponda al punto medio
𝑀𝑛
𝑘 𝑥𝑘
*
del intervalo .
[ 𝑥𝑘−1
, 𝑥𝑘
]

En general, en lugar de considerar equiparticiones, se pueden considerar particiones del
intervalo en las cuales los subintervalos no sean del mismo largo. La Suma de
[𝑎, 𝑏]
Riemann, en este caso general es:
𝑅𝑛
=
𝑘=1
𝑛
∑ 𝑓(𝑥𝑘
*
) ∆𝑥𝑘
donde corresponde al ancho de k-ésimo subintervalo, como se aprecia en la figura:
∆𝑥𝑘
EJEMPLO DE APLICACIÓN
Calculemos el área bajo la parábola , pero en el intervalo . Para eso,
𝑓(𝑥) = 𝑥
2
[2, 5]
consideremos que al intervalo , se le realiza una equipartición en subintervalos como
[2, 5] 𝑛
se ilustra a continuación:

A partir de la imagen podemos notar que el ancho de cada subintervalo mide .
∆𝑥 =
3
𝑛
Además, el intervalo empieza en , y como cada vez se agrega un para obtener
𝑥0
= 2 ∆𝑥
entonces .
𝑥1
, 𝑥2
, ... , 𝑥𝑘
= 2 + 𝑘 ∆𝑥
Dado que la función es creciente en el intervalo , el mínimo de la función en
𝑓(𝑥) = 𝑥
2
[2, 5]
cada subintervalo se encuentra en el borde izquierdo, mientras que el máximo se encuentra
en el borde derecho.
Recordemos que la altura de cada rectángulo está dada por . Luego, la suma
ℎ𝑘
= 𝑓(𝑥𝑘
*
)
inferior se puede expresar como:
𝐼𝑛
=
𝑘=1
𝑛
∑ 𝑓(𝑥𝑘−1
) ∆𝑥
Reemplazamos con obtenida previamente, en la expresión de y
𝑥𝑘
= 2 + 𝑘 ∆𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
obtenemos:
𝐼𝑛
=
𝑘=1
𝑛
∑ (2 + (𝑘 − 1) ∆𝑥)
2
∆𝑥
Usando el valor de encontrado anteriormente, y las expresiones
∆𝑥
𝑘=1
𝑛
∑ 1 = 𝑛
𝑘=1
𝑛
∑ 𝑘 =
𝑛(𝑛+1)
2
𝑘=1
𝑛
∑ 𝑘
2
=
𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)
6
se puede llegar a:
𝐼𝑛
=
78 𝑛
2
− 63 𝑛 + 9
2𝑛
2

Haciendo un desarrollo análogo al anterior, se obtiene que la suma de Riemann superior 𝑆𝑛
se expresa como:
𝐼𝑛
=
78 𝑛
2
+ 63 𝑛 + 9
2𝑛
2
Luego, calculando los límites y , se puede llegar a que el área bajo la
𝑛 → ∞
lim 𝐼𝑛 𝑛 → ∞
lim 𝑆𝑛
parábola en el intervalo es .
𝑓(𝑥) = 𝑥
2
[2, 5] 𝐴 = 39
LA INTEGRAL DEFINIDA
Supongamos que se tiene la función continua en el intervalo , el cual se divide en
𝑓(𝑥) [𝑎, 𝑏]
subintervalos de igual ancho .
𝑛 ∆𝑥 =
𝑏−𝑎
𝑛
Bajo estas condiciones, se puede demostrar que el límite cuando de existe y
𝑛 → ∞ 𝑅𝑛
tiene un único valor para cualquier elección de los puntos . Esto nos permite dar sentido
𝑥𝑘
*
al área bajo la curva a través de la noción de un nuevo concepto que llamaremos integral
definida como veremos a continuación.
La integral desde hasta de la función , que anotamos como , se define
𝑎 𝑏 𝑓(𝑥)
𝑎
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
como:
𝑎
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑛 → ∞
lim
𝑘=1
𝑛
∑ 𝑓(𝑥𝑘*
) ∆𝑥
En esta definición, tanto como se heredan de los términos y respectivos en
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑓(𝑥𝑘
*
) ∆𝑥
la suma de Riemann. A efectos prácticos, el nos indica también cuál es la variable de
𝑑𝑥

integración, que hasta ahora ha sido , sin embargo, también podrían integrarse funciones
𝑥
donde la variable de integración sea otra, como por ejemplo el tiempo .
𝑡
La variable de integración solo tiene un rol referencial, pues lo importante es la función que
se integra y el intervalo sobre el que se hace. De esta manera, las siguientes expresiones
indican exactamente la misma integral:
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 =
𝑎
𝑏
∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧
Cuando la función solo toma valores positivos, la integral definida entre y nos
𝑓(𝑥) 𝑎 𝑏
permite definir el área de la región delimitada por el gráfico de una función , el eje ,
𝑓(𝑥) 𝑥
y las líneas verticales y .
𝑥 = 𝑎 𝑥 = 𝑏
Observemos que tanto la suma de Riemann como la integral definida tienen sentido cuando
la función toma tanto valores positivos como negativos:
Cuando , el producto es negativo, por lo que la suma de Riemann ya no
𝑓(𝑥𝑘
*
) < 0 𝑓(𝑥𝑘
*
) ∆𝑥
representa el área. Precisamente, en el caso de la figura anterior, al calcular directamente la
integral sobre el intervalo lo que se obtiene es la diferencia entre el área de las región
[𝑎, 𝑐]
por sobre el eje menos el área de las región bajo el eje :
𝑥 𝑥
𝑎
𝑐
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐴1
− 𝐴2

Si queremos calcular el área total encerrada entre el gráfico de la función y el eje ,
𝑥
podemos hacerlo usando valor absoluto, como se muestra en la siguiente expresión:
𝑎
𝑐
∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 = 𝐴1
+ 𝐴2
Además, como una consecuencia de las propiedades de las sumas y de los límites, se
pueden establecer las siguientes propiedades de la integral definida:
Consideremos las funciones y ambas continuas en el intervalo . Bajo estas
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) [𝑎, 𝑏]
condiciones se cumple que:
●
𝑎
𝑎
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0
●
𝑎
𝑏
∫ [ 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) ] 𝑑𝑥 =
𝑎
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ±
𝑎
𝑏
∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

Si además, es una constante, entonces:
𝐶
●
𝑎
𝑏
∫ 𝐶 · 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐶
𝑎
𝑏
Sea la función continua en el intervalo entonces, si se cumple que:
𝑓 [𝑎, 𝑐] 𝑎 < 𝑏 < 𝑐
●
𝑎
𝑐
𝑎
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +
𝑏
𝑐
SÍNTESIS
En esta lección aprendimos:
● A aproximar el área bajo una curva en un intervalo , mediante la suma del
𝑓(𝑥) [𝑎, 𝑏]
área de rectángulos de igual base, y altura variable dependiendo de .
𝑓(𝑥)
○ Suma inferior: la altura de cada rectángulo corresponde al mínimo de la
función en cada subintervalo.
○ Suma superior: la altura de cada rectángulo corresponde al máximo de la
función en cada subintervalo.
● En el caso de funciones monótonas, la altura de cada rectángulo es igual a la
función evaluada en uno de los bordes izquierdo o derecho de cada subintervalo.
● En GeoGebra, los comandos 'SumaInferior(f,a,b,n)' y 'Suma Superior(f,a,b,n)'
permiten encontrar las sumas inferior y superior del área bajo la curva , al
𝑓
considerar una equipartición en partes del intervalo .
𝑛 [𝑎, 𝑏]

● Una estrategia para conocer el área bajo la gráfica de una función que es
𝑓
continua en el intervalo es la siguiente:
[𝑎, 𝑏]
○ Consideremos que a dicho intervalo se le realiza una equipartición en 𝑛
partes de ancho . Esta partición genera rectángulos cuyas bases
∆𝑥 =
𝑏−𝑎
𝑛
corresponden a los subintervalos para . Además,
[𝑥𝑘−1
, 𝑥𝑘
] 𝑘 = 1, ... , 𝑛
para definir la altura de cada rectángulo, en cada subintervalo se elige un
valor . De este modo se obtienen rectángulos de área
𝑥𝑘
*
𝑛 𝑓(𝑥𝑘
*
) · ∆𝑥
○ Con esta notación se define Suma de Riemann como la suma de las áreas de
los rectángulos obtenidos por este procedimiento de subdivisión.
𝑅𝑛
=
𝑘=1
𝑛
∑ 𝑓(𝑥𝑘
*
) ∆𝑥
○ Esta estrategia entregará la suma de Riemann Inferior cuando, para todo , el
𝑘
valor de corresponda al mínimo valor que toma al interior del
𝑥𝑘
*
𝑓(𝑥)
intervalo .
[𝑥𝑘−1
, 𝑥𝑘
]
○ De modo similar, esta estrategia entregará la suma de Riemann Superior
cuando, para todo el valor de corresponda al máximo valor que toma
𝑘, 𝑥𝑘
*
al interior del intervalo .
𝑓(𝑥) [𝑥𝑘−1
, 𝑥𝑘
]
Además, si el límite de la Suma de Riemann cuando existe y tiene un
𝑛 → ∞
único valor para cualquier elección de los puntos , es posible dar sentido
𝑥𝑘
*
al área bajo la curva a través de la integral definida, la cual se expresa
como:
𝑎
𝑏
𝑛 ∞
lim
→ 𝑘=1
𝑛
∑ 𝑓(𝑥𝑘
*
) ∆𝑥

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