El documento describe los conceptos fundamentales de las sumas de Riemann. Explica que las sumas de Riemann permiten calcular el área bajo una curva dividiendo el intervalo en subintervalos y sumando el área de los rectángulos formados. También define formalmente las sumas de Riemann y explica que al aumentar el número de subintervalos, las sumas superior e inferior convergen al valor real del área.
Este documento describe los conceptos fundamentales de las sumas de Riemann y la integración. Introduce la definición del área de una región plana limitada por una función continua mediante el límite de sumas. Luego define las sumas de Riemann como una generalización de este concepto que permite calcular magnitudes como longitudes, valores medios y volúmenes. Finalmente, presenta las propiedades básicas de las funciones integrables y los teoremas fundamentales del cálculo integral.
Este documento presenta diapositivas sobre el cálculo integral. Explica que el teorema fundamental del cálculo establece que la derivación e integración son operaciones inversas, lo que unificó las ramas del cálculo diferencial y el cálculo de áreas. También introduce conceptos como la suma de Riemann, la definición formal de integral definida, y métodos para calcular integrales como el cambio de variable.
El documento habla sobre la integral definida, que determina el área limitada por curvas y rectas entre dos puntos. Explica que la integral definida denota el área bajo la curva de una función entre dos límites y presenta algunas propiedades como que la integral de una suma es la suma de las integrales y que al cambiar los límites, la integral cambia de signo. También cubre métodos para calcular integrales como la regla de Barrow y el cambio de variable.
El documento resume los conceptos fundamentales de la integral definida, incluyendo la notación de sumatoria, la suma superior e inferior, la definición de integral definida, y algunas de sus propiedades más importantes como los teoremas del valor medio y del cálculo fundamental. También cubre métodos como la sustitución y el cambio de variables para calcular integrales definidas.
Este documento presenta apuntes sobre el tema de cálculo integral. Explica conceptos como notación sumatoria, sumas de Riemann, definición de integral definida, teorema de existencia, propiedades de la integral definida, función primitiva, teorema fundamental del cálculo, cálculo de integrales e integral impropia. También incluye ejemplos y ejercicios resueltos sobre estos temas.
Equipo1 teorema existencia y def. integral defin.casilala2
El documento define la integral definida y cómo se usa para calcular el área bajo una curva. También presenta el teorema de existencia de integrales definidas, que establece que para funciones continuas existe al menos un punto promedio en el intervalo. Finalmente, resume las reglas de Barrow, los trapecios y Simpson para evaluar integrales definidas.
El documento resume las propiedades y conceptos fundamentales de las sumatorias, integrales definidas y el teorema fundamental del cálculo. Explica que una sumatoria indica la suma de una serie de términos algebraicos entre un intervalo especificado, y que las integrales definidas calculan el área bajo una curva dividiéndola en rectángulos infinitesimales. También resume 10 propiedades clave de las integrales definidas y explica el teorema del valor medio y el teorema fundamental del cálculo.
El documento explica el Teorema Fundamental del Cálculo, el cual establece que la derivación e integración son operaciones inversas. Específicamente, dice que para toda función continua integrable, la derivada de su integral es igual a la función original. También introduce conceptos como la integral definida, la suma de Riemann y el límite de la suma como definición de la integral.
Este documento describe los conceptos fundamentales de las sumas de Riemann y la integración. Introduce la definición del área de una región plana limitada por una función continua mediante el límite de sumas. Luego define las sumas de Riemann como una generalización de este concepto que permite calcular magnitudes como longitudes, valores medios y volúmenes. Finalmente, presenta las propiedades básicas de las funciones integrables y los teoremas fundamentales del cálculo integral.
Este documento presenta diapositivas sobre el cálculo integral. Explica que el teorema fundamental del cálculo establece que la derivación e integración son operaciones inversas, lo que unificó las ramas del cálculo diferencial y el cálculo de áreas. También introduce conceptos como la suma de Riemann, la definición formal de integral definida, y métodos para calcular integrales como el cambio de variable.
El documento habla sobre la integral definida, que determina el área limitada por curvas y rectas entre dos puntos. Explica que la integral definida denota el área bajo la curva de una función entre dos límites y presenta algunas propiedades como que la integral de una suma es la suma de las integrales y que al cambiar los límites, la integral cambia de signo. También cubre métodos para calcular integrales como la regla de Barrow y el cambio de variable.
El documento resume los conceptos fundamentales de la integral definida, incluyendo la notación de sumatoria, la suma superior e inferior, la definición de integral definida, y algunas de sus propiedades más importantes como los teoremas del valor medio y del cálculo fundamental. También cubre métodos como la sustitución y el cambio de variables para calcular integrales definidas.
Este documento presenta apuntes sobre el tema de cálculo integral. Explica conceptos como notación sumatoria, sumas de Riemann, definición de integral definida, teorema de existencia, propiedades de la integral definida, función primitiva, teorema fundamental del cálculo, cálculo de integrales e integral impropia. También incluye ejemplos y ejercicios resueltos sobre estos temas.
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El documento define la integral definida y cómo se usa para calcular el área bajo una curva. También presenta el teorema de existencia de integrales definidas, que establece que para funciones continuas existe al menos un punto promedio en el intervalo. Finalmente, resume las reglas de Barrow, los trapecios y Simpson para evaluar integrales definidas.
El documento resume las propiedades y conceptos fundamentales de las sumatorias, integrales definidas y el teorema fundamental del cálculo. Explica que una sumatoria indica la suma de una serie de términos algebraicos entre un intervalo especificado, y que las integrales definidas calculan el área bajo una curva dividiéndola en rectángulos infinitesimales. También resume 10 propiedades clave de las integrales definidas y explica el teorema del valor medio y el teorema fundamental del cálculo.
El documento explica el Teorema Fundamental del Cálculo, el cual establece que la derivación e integración son operaciones inversas. Específicamente, dice que para toda función continua integrable, la derivada de su integral es igual a la función original. También introduce conceptos como la integral definida, la suma de Riemann y el límite de la suma como definición de la integral.
Este documento presenta los conceptos básicos de la integral definida, incluyendo definiciones de partición, suma superior e inferior, integrabilidad y área bajo una curva. También expone propiedades clave como la linealidad y comportamiento ante funciones constantes o pares/impares.
El documento explica cómo calcular el área de una región plana limitada por una curva mediante las sumas inferior y superior. La suma inferior usa la altura máxima en cada subintervalo y subestimará el área, mientras que la suma superior usa la altura mínima y la sobreestimará. Ambas sumas convergen al área real cuando los subintervalos son más pequeños, lo que lleva al concepto de integral definida.
El documento resume el teorema fundamental del cálculo. Establece que la derivación e integración son operaciones inversas, de modo que la integral de la derivada de una función continua es igual a la función. También introduce conceptos como funciones primitivas, sumas de Riemann e integración como cálculo de áreas.
Este documento explica el concepto de integral definida y sus propiedades. Introduce la integral definida como el límite de una suma de áreas de rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito y su tamaño tiende a cero. Explica cómo la integral definida puede usarse para calcular áreas delimitadas por curvas y líneas rectas. También resume métodos como las reglas del trapecio y Simpson para aproximar valores de integrales definidas.
El documento explica los conceptos básicos de la integral definida, incluyendo su definición como el área bajo la curva de una función entre dos límites, y algunas de sus propiedades principales como la linealidad y el cambio de variable. También describe aplicaciones como calcular áreas, volúmenes de revolución, y la relación entre la integral y la derivada a través del teorema fundamental del cálculo.
Este documento explica el concepto de integral definida y sus propiedades. Introduce la integral definida como el límite de una suma de áreas de rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito y su tamaño tiende a cero. Explica que la integral definida puede usarse para calcular áreas delimitadas por curvas y rectas. Además, presenta métodos como el de trapecios y Simpson para aproximar el valor de integrales definidas.
Este documento trata sobre el cálculo de integrales definidas. Explica el concepto de integral definida para funciones escalonadas como la suma de áreas de rectángulos. Luego introduce la integral de Riemann para funciones acotadas mediante funciones escalonadas por defecto y exceso. Finalmente presenta el Teorema Fundamental del Cálculo que relaciona la integral definida con la derivada de su primitiva.
Este documento presenta los conceptos básicos de la integral definida. Explica que la integral representa el área bajo una curva y que se puede calcular dividiendo el intervalo en subintervalos para construir rectángulos de base Δx y altura f(x). También introduce las sumas inferior y superior como límites del área y la definición formal de integral definida como el límite de dichas sumas cuando la partición tiende a cero.
Este documento explica el concepto de integral definida y sus propiedades. Introduce la integral definida como el límite de una suma de áreas de rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito y su tamaño tiende a cero. Explica cómo la integral definida puede usarse para calcular áreas delimitadas por curvas y líneas rectas. También resume métodos como las reglas del trapecio y Simpson para aproximar valores de integrales definidas.
Este documento explica conceptos clave sobre el cálculo de integrales definidas, incluyendo:
1) La definición de integral definida para funciones escalonadas como la suma de áreas de rectángulos.
2) La definición general de integral definida para funciones acotadas usando particiones.
3) El teorema fundamental del cálculo que relaciona la derivación e integración.
Este documento introduce el concepto de integral definida y describe su aplicación para calcular áreas bajo curvas. Explica que la integral definida surge del límite de una suma de áreas de rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito. También describe métodos como las reglas del trapecio y Simpson para aproximar el valor de una integral definida.
Este documento presenta información sobre el cálculo integral, incluyendo diferentes métodos para calcular el área bajo una curva como la suma de Riemann y la integral definida. También discute conceptos como la notación sumatoria, propiedades de las integrales definidas y teoremas de existencia relacionados con la integración.
El documento explica el concepto de área bajo la curva para funciones continuas y positivas en un intervalo dado, así como cómo aproximar este área usando rectángulos inscritos y circunscritos. También cubre el cálculo del área entre dos curvas usando la integral definida, y presenta algunos ejemplos de problemas para calcular áreas bajo curvas y entre curvas.
1) El documento describe los conceptos básicos del cálculo integral, incluyendo las sumas de Riemann superior e inferior, las integrales de Riemann superior e inferior, y las condiciones para que una función sea Riemann-integrable. 2) También presenta el Teorema Fundamental del Cálculo, el cual relaciona el cálculo integral y diferencial. 3) Finalmente, introduce la Regla de Barrow para evaluar la integral definida de una función a partir de una primitiva.
El documento explica el concepto de integral definida, cómo se relaciona con el cálculo de áreas bajo curvas, y sus propiedades y aplicaciones. Incluye ejemplos de cálculo de áreas, aplicaciones en economía como el análisis de excedentes de consumidores y productores, y el análisis marginal.
La integral definida representa el área delimitada por una curva, los ejes y los límites del intervalo. Se denota como la suma de la función entre los límites. Posee propiedades como que la suma de integrales es igual a la suma de áreas, y que al cambiar los límites, cambia el signo. La función integral representa el área acumulada y su derivada es igual a la función original, según el teorema fundamental del cálculo.
El documento trata sobre el cálculo de integrales dobles. Explica que una integral doble representa el área de una región plana delimitada por funciones, y que se calcula integrando primero respecto de una variable y luego respecto de la otra. También define regiones de tipo I y II, y explica cómo calcular el área en cada caso utilizando integrales.
29 Pp Ejercicios Resueltos De Integrales(1)jctotre
Este documento presenta la noción de integral definida y su significado como el área bajo una curva. Explica cómo Riemann definió la integral de una función escalonada como la suma de las áreas de los rectángulos debajo de la función, y cómo esto puede generalizarse a funciones continuas usando particiones más finas que hacen coincidir el área inferior y superior. También introduce el teorema fundamental del cálculo, que vincula la derivada de una primitiva con la función original.
La notación sigma representa sumas de varios sumandos e incluso sumas infinitas. La expresión se lee "suma de Xi, donde i toma valores desde 1 hasta n". Las propiedades de las sumatorias incluyen que la suma del producto de una constante por una variable es igual a esa constante multiplicada por la suma de la variable. De manera similar, la integral definida representa el área bajo una curva y sigue propiedades como que la integral de una suma es la suma de las integrales.
Este documento clasifica los recursos didácticos de un maestro en tres categorías: recursos convencionales como fotocopias y textos, recursos innovadores como teléfonos inteligentes y películas, y recursos de elección personal como materiales creados por el profesor y tabletas. El maestro concluye que para enseñar de manera efectiva, es necesario estar equipado con una variedad de recursos y estar preparado para adaptarse cuando los recursos tecnológicos fallen.
The document announces an ORCID Outreach Meeting to be held on October 17, 2012 in Berlin. The meeting agenda includes welcome remarks and reviews of ORCID's launch progress, measures of success, membership information, and a preview of the ORCID registry. It also features demonstrations of ORCID integrations, a keynote on individual identifiers and interoperability, and a panel discussion on implementing ORCID on a national scale. The event is scheduled to run from 9am to 5:30pm with breaks for lunch and discussion.
Este documento presenta los conceptos básicos de la integral definida, incluyendo definiciones de partición, suma superior e inferior, integrabilidad y área bajo una curva. También expone propiedades clave como la linealidad y comportamiento ante funciones constantes o pares/impares.
El documento explica cómo calcular el área de una región plana limitada por una curva mediante las sumas inferior y superior. La suma inferior usa la altura máxima en cada subintervalo y subestimará el área, mientras que la suma superior usa la altura mínima y la sobreestimará. Ambas sumas convergen al área real cuando los subintervalos son más pequeños, lo que lleva al concepto de integral definida.
El documento resume el teorema fundamental del cálculo. Establece que la derivación e integración son operaciones inversas, de modo que la integral de la derivada de una función continua es igual a la función. También introduce conceptos como funciones primitivas, sumas de Riemann e integración como cálculo de áreas.
Este documento explica el concepto de integral definida y sus propiedades. Introduce la integral definida como el límite de una suma de áreas de rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito y su tamaño tiende a cero. Explica cómo la integral definida puede usarse para calcular áreas delimitadas por curvas y líneas rectas. También resume métodos como las reglas del trapecio y Simpson para aproximar valores de integrales definidas.
El documento explica los conceptos básicos de la integral definida, incluyendo su definición como el área bajo la curva de una función entre dos límites, y algunas de sus propiedades principales como la linealidad y el cambio de variable. También describe aplicaciones como calcular áreas, volúmenes de revolución, y la relación entre la integral y la derivada a través del teorema fundamental del cálculo.
Este documento explica el concepto de integral definida y sus propiedades. Introduce la integral definida como el límite de una suma de áreas de rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito y su tamaño tiende a cero. Explica que la integral definida puede usarse para calcular áreas delimitadas por curvas y rectas. Además, presenta métodos como el de trapecios y Simpson para aproximar el valor de integrales definidas.
Este documento trata sobre el cálculo de integrales definidas. Explica el concepto de integral definida para funciones escalonadas como la suma de áreas de rectángulos. Luego introduce la integral de Riemann para funciones acotadas mediante funciones escalonadas por defecto y exceso. Finalmente presenta el Teorema Fundamental del Cálculo que relaciona la integral definida con la derivada de su primitiva.
Este documento presenta los conceptos básicos de la integral definida. Explica que la integral representa el área bajo una curva y que se puede calcular dividiendo el intervalo en subintervalos para construir rectángulos de base Δx y altura f(x). También introduce las sumas inferior y superior como límites del área y la definición formal de integral definida como el límite de dichas sumas cuando la partición tiende a cero.
Este documento explica el concepto de integral definida y sus propiedades. Introduce la integral definida como el límite de una suma de áreas de rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito y su tamaño tiende a cero. Explica cómo la integral definida puede usarse para calcular áreas delimitadas por curvas y líneas rectas. También resume métodos como las reglas del trapecio y Simpson para aproximar valores de integrales definidas.
Este documento explica conceptos clave sobre el cálculo de integrales definidas, incluyendo:
1) La definición de integral definida para funciones escalonadas como la suma de áreas de rectángulos.
2) La definición general de integral definida para funciones acotadas usando particiones.
3) El teorema fundamental del cálculo que relaciona la derivación e integración.
Este documento introduce el concepto de integral definida y describe su aplicación para calcular áreas bajo curvas. Explica que la integral definida surge del límite de una suma de áreas de rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito. También describe métodos como las reglas del trapecio y Simpson para aproximar el valor de una integral definida.
Este documento presenta información sobre el cálculo integral, incluyendo diferentes métodos para calcular el área bajo una curva como la suma de Riemann y la integral definida. También discute conceptos como la notación sumatoria, propiedades de las integrales definidas y teoremas de existencia relacionados con la integración.
El documento explica el concepto de área bajo la curva para funciones continuas y positivas en un intervalo dado, así como cómo aproximar este área usando rectángulos inscritos y circunscritos. También cubre el cálculo del área entre dos curvas usando la integral definida, y presenta algunos ejemplos de problemas para calcular áreas bajo curvas y entre curvas.
1) El documento describe los conceptos básicos del cálculo integral, incluyendo las sumas de Riemann superior e inferior, las integrales de Riemann superior e inferior, y las condiciones para que una función sea Riemann-integrable. 2) También presenta el Teorema Fundamental del Cálculo, el cual relaciona el cálculo integral y diferencial. 3) Finalmente, introduce la Regla de Barrow para evaluar la integral definida de una función a partir de una primitiva.
El documento explica el concepto de integral definida, cómo se relaciona con el cálculo de áreas bajo curvas, y sus propiedades y aplicaciones. Incluye ejemplos de cálculo de áreas, aplicaciones en economía como el análisis de excedentes de consumidores y productores, y el análisis marginal.
La integral definida representa el área delimitada por una curva, los ejes y los límites del intervalo. Se denota como la suma de la función entre los límites. Posee propiedades como que la suma de integrales es igual a la suma de áreas, y que al cambiar los límites, cambia el signo. La función integral representa el área acumulada y su derivada es igual a la función original, según el teorema fundamental del cálculo.
El documento trata sobre el cálculo de integrales dobles. Explica que una integral doble representa el área de una región plana delimitada por funciones, y que se calcula integrando primero respecto de una variable y luego respecto de la otra. También define regiones de tipo I y II, y explica cómo calcular el área en cada caso utilizando integrales.
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Este documento presenta la noción de integral definida y su significado como el área bajo una curva. Explica cómo Riemann definió la integral de una función escalonada como la suma de las áreas de los rectángulos debajo de la función, y cómo esto puede generalizarse a funciones continuas usando particiones más finas que hacen coincidir el área inferior y superior. También introduce el teorema fundamental del cálculo, que vincula la derivada de una primitiva con la función original.
La notación sigma representa sumas de varios sumandos e incluso sumas infinitas. La expresión se lee "suma de Xi, donde i toma valores desde 1 hasta n". Las propiedades de las sumatorias incluyen que la suma del producto de una constante por una variable es igual a esa constante multiplicada por la suma de la variable. De manera similar, la integral definida representa el área bajo una curva y sigue propiedades como que la integral de una suma es la suma de las integrales.
Este documento clasifica los recursos didácticos de un maestro en tres categorías: recursos convencionales como fotocopias y textos, recursos innovadores como teléfonos inteligentes y películas, y recursos de elección personal como materiales creados por el profesor y tabletas. El maestro concluye que para enseñar de manera efectiva, es necesario estar equipado con una variedad de recursos y estar preparado para adaptarse cuando los recursos tecnológicos fallen.
The document announces an ORCID Outreach Meeting to be held on October 17, 2012 in Berlin. The meeting agenda includes welcome remarks and reviews of ORCID's launch progress, measures of success, membership information, and a preview of the ORCID registry. It also features demonstrations of ORCID integrations, a keynote on individual identifiers and interoperability, and a panel discussion on implementing ORCID on a national scale. The event is scheduled to run from 9am to 5:30pm with breaks for lunch and discussion.
Este documento compara las ventajas y desventajas de los navegadores Explorer, Chrome, Opera, Firefox y Safari. Explorer tiene widgets y recuperación automática de errores, pero es lento e inestable. Chrome consume menos recursos que Firefox pero ocupa más memoria RAM. Opera permite ajustar el ancho de páginas y recuperar pestañas cerradas, pero a veces las páginas no cargan correctamente. Firefox incluye etiquetas HTML5 pero se vuelve lento con aplicaciones. Safari es rápido para CSS pero tiene poca cuota de mercado y
This document provides an overview and summary of key compliance updates regarding wage and hour laws, including:
- Changes to overtime exemptions under the Fair Labor Standards Act that will raise the minimum salary threshold for exempt employees.
- Requirements under California law for meal periods, rest breaks, minimum wage, and overtime pay.
- The California Fair Pay Act, which aims to address gender pay disparities.
- Potential future requirements from the EEOC to report pay data in an effort to uncover pay discrimination.
- Best practices for developing accurate and legally compliant job descriptions.
MetaMath and MathGeAr Projects: Students' Perceptions of Mathematics in Engin...Mohamed El-Demerdash
This research aims at studying engineering students’ perceptions of their mathematics courses. We present the methodology of data collection, the main themes that the questionnaire investigates and the results. The population on which we base this study are partners in two Tempus projects, MetaMath in Russia and MathGeAr in Georgia and Armenia.
Pedro Lealdino Filho, Christian Mercat, Mohamed El-Demerdash. MetaMath and MathGeAr Projects: Students’ perceptions of mathematics in engineering courses. In E. Nardi, C. Winsløw & T. Hausberger (Eds.), Proceedings of the First Conference of the International Network for Didactic Research in University Mathematics (INDRUM 2016, 31 March-2 April 2016), (pp. 527-528). Montpellier, France: University of Montpellier.
فاعلية وحدة مقترحة في الرياضيات البيولوجية في تنمية مهارات الفهم العميق لدى ط...Mohamed El-Demerdash
مرفت حامد محمد هاني، ومحمد السيد أحمد الدمرداش. (٢٠١٥). فاعلية وحدة مقترحة في الرياضيات البيولوجية في تنمية مهارات الفهم العميق لدى طلاب المرحلة الثانوية. مجلة التربية العلمية، المجلد (١٨)، العدد (٥).
1) The document contains a math lesson assignment for Set 60 that is due the next day.
2) It provides a warm up with 5 math problems simplifying and comparing fractions.
3) The main lesson explains that to add fractions or mixed numbers, they must have a common denominator, and provides examples of adding fractions with different denominators.
Este documento presenta tres principios básicos del enfoque AICLE (Aprendizaje Integrado de Contenidos y Lenguas Extranjeras): 1) La lengua se usa para aprender contenido académico y aprender la lengua, 2) La materia determina el tipo de lenguaje que se necesita aprender, 3) La fluidez es más importante que la precisión gramatical. También enfatiza la importancia de la colaboración entre profesores de lenguas y otras asignaturas.
ICT refers to information communication technology, which is the use of technology to send and receive information through computers, phones, radio, etc. ICT allows for the transmission of a variety of information from sources around the world. While ICT has advantages like facilitating access to information and reducing paper usage, it also has disadvantages. The document expresses hope that ICT can benefit society by not only connecting people socially but also by making work and finding information easier and helping to address global warming.
El documento presenta información sobre el clima y los continentes. En primer lugar, describe los diferentes tipos de clima y cómo afectan a las temperaturas y precipitaciones. Luego, explica cómo los climas influyen en los paisajes naturales. Finalmente, resume brevemente cada uno de los seis continentes, destacando sus características geográficas principales.
Este documento presenta un resumen de conceptos clave sobre cálculo integral. Explica que las integrales se desarrollaron originalmente para calcular áreas bajo curvas. Define la integral definida como un límite de suma que representa un número, y la integral indefinida como el conjunto de primitivas de una función. También establece el Teorema Fundamental del Cálculo, el cual vincula la derivada de una función área con la función original. Finalmente, aplica estas ideas para calcular el área de una región delimitada por una curva y una recta tangente.
El documento describe cómo calcular el área de una región plana limitada por una curva mediante la suma inferior y superior de Riemann. La suma inferior aproxima el área usando rectángulos con altura igual al valor mínimo de la función, mientras que la suma superior usa el valor máximo. Ambas sumas convergen al área real cuando los intervalos son más pequeños.
El documento trata sobre las integrales definidas. Explica que una integral definida representa el área delimitada entre la gráfica de una función, el eje x y las líneas verticales x=a y x=b. Define los elementos de una integral definida como la función a integrar f(x), los límites a y b, y la variable de integración dx. Además, menciona que una integral definida representa el límite de la suma de Riemann de una función.
Este documento describe conceptos clave relacionados con las integrales definidas, incluyendo:
1) La definición de integral escalonada y sus propiedades.
2) La definición de integral de Riemann para funciones acotadas.
3) El significado de la integral definida como el área bajo la curva de una función.
Este documento proporciona una introducción a la integral definida y al cálculo de áreas bajo curvas. Explica cómo dividir un intervalo en subintervalos para aproximar el área total, y cómo el número de subdivisiones afecta la precisión de la aproximación. También define la integral de Riemann y el Teorema Fundamental del Cálculo, que relaciona la derivación e integración.
NOTACIÓN SIGMA: Los números cuya suma se indica en una notación sigma, pueden ser naturales, complejos u objetos matemáticos más complicados. Si la suma tiene un número infinito de términos, se conoce como serie infinita.
SUMAS SUPERIORES E INFERIORES: Es un intervalo [a,b], asociadas a una partición del mismo. Estas sumas son aproximaciones al área que queremos calcular.
LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS PROPIEDADES: Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES: Este teorema es importante porque asegura que una función continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto.
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO: Consiste en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma.
SUSTITUCIÓN Y CAMBIO DE VARIABLE: Esta técnica es la regla de la cadena de las integrales. Lo cual sugiere que hay una función cuya derivada está presente en la integral. Es para funciones compuestas. Recordando que cuando se deriva este tipo de funciones (compuestas) se considera su derivada interna por lo tanto ella debe estar presente en su integral.
El documento explica conceptos fundamentales de cálculo integral, incluyendo el cálculo de áreas limitadas por funciones, la interpretación geométrica de la integral como cálculo de área, y técnicas para calcular volúmenes y longitudes generados por la revolución de funciones.
Este documento trata sobre integrales dobles. Explica que las integrales dobles se pueden calcular variando los límites interiores o exteriores de integración y que al realizar las integraciones sucesivas se obtiene un número real. También define regiones de tipo I y II para calcular el área entre curvas, y explica cómo usar coordenadas polares para evaluar integrales dobles en regiones circulares.
Este documento trata sobre integrales dobles. Explica que las integrales dobles se pueden calcular variando los límites interiores o exteriores de integración y que al realizar las integraciones sucesivas se obtiene un número real. También define regiones de tipo I y II para calcular el área entre curvas, y explica cómo usar coordenadas polares para evaluar integrales dobles en regiones circulares.
Este documento trata sobre el concepto de integral definida en matemáticas. Explica que una integral es la suma de infinitos sumandos infinitesimales y que se utiliza principalmente para calcular áreas y volúmenes. Además, presenta algunos objetivos del cálculo integral como calcular áreas de regiones, integrales definidas e integrales múltiples. Finalmente, introduce conceptos como la integral de Riemann y el teorema fundamental del cálculo.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la integral definida. Explica que la integral definida es el límite de una suma de Riemann y que representa el área bajo la curva de una función. También introduce el Teorema Fundamental del Cálculo, que establece la relación entre la derivación e integración, y el Teorema de Integrabilidad, que determina si una función es integrable.
Este documento explica el concepto de integral definida y su cálculo. Introduce la noción de integral de Riemann como el límite de sumas de áreas de rectángulos en particiones cada vez más finas de un intervalo. Explica cómo usar la regla de Barrow para calcular integrales definidas mediante el cálculo de primitivas. Finalmente, presenta algunas aplicaciones como calcular el área bajo una curva.
Este documento trata sobre el concepto de integral definida y su cálculo. Explica cómo Riemann definió la integral de una función a través de funciones escalonadas, y cómo esto condujo al desarrollo del cálculo de áreas bajo curvas. También presenta el Teorema Fundamental del Cálculo y la regla de Barrow, que permiten calcular integrales definidas encontrando primitivas. Por último, muestra algunas aplicaciones como el cálculo de áreas entre dos curvas.
El documento presenta una introducción a los conceptos de integral definida y integral de Riemann. Explica que la integral definida de una función escalonada es la suma de las áreas de los rectángulos determinados por la función en cada intervalo de una partición dada. Luego, define la integral de Riemann de una función cualquiera como el límite de las sumas de las áreas de funciones escalonadas por defecto y por exceso, y establece que toda función continua es integrable. Finalmente, enuncia el teorema fundamental del cálculo y la regla de Bar
Este documento explica el símbolo de la sumatoria y sus elementos. La sumatoria permite representar sumas de múltiples sumandos y se expresa como la suma desde un límite inferior m hasta un límite superior n de un valor x sub-i. Se usa para calcular áreas mediante la suma inferior y superior, que aproximan el área total dividiendo un intervalo en subintervalos. La integral definida establece el límite de la suma de Riemann para representar el área bajo una curva.
Este documento describe el símbolo de la sumatoria y sus propiedades. La sumatoria permite representar sumas de múltiples sumandos y se define como la suma desde un límite inferior m hasta un límite superior n de un valor x sub-i. Debe cumplirse que m sea menor o igual que n. El documento también explica cómo usar la sumatoria y la integral definida para calcular el área bajo una curva.
Este documento describe el símbolo de la sumatoria y sus elementos. La sumatoria permite representar sumas de múltiples sumandos y se expresa como la suma desde un límite inferior m hasta un límite superior n de un valor x sub-i. Se usa para calcular áreas mediante la suma de áreas de rectángulos inscritos y circunscritos en una región delimitada por una curva y los ejes x. El límite de la suma de Riemann cuando los subintervalos tienden a cero es igual a la integral definida de la función sobre el intervalo.
Este documento explica el símbolo de la sumatoria y sus elementos. La sumatoria permite representar sumas de múltiples sumandos y se expresa como la suma desde un límite inferior m hasta un límite superior n de un valor x sub-i. Se usa para calcular áreas mediante la suma de áreas de rectángulos inscritos y circunscritos en una región delimitada por una curva y los ejes x. El teorema del valor medio establece que existe un punto α tal que el área de un rectángulo de altura f(α)
El documento explica los conceptos básicos de la integral definida, incluyendo su definición como el área bajo la curva de una función entre dos límites, las propiedades de la integral definida, el teorema fundamental del cálculo y su relación con la derivación e integración, y ejemplos de cálculo de integrales definidas utilizando diferentes métodos como la regla de Barrow. También presenta aplicaciones como el cálculo de áreas, volúmenes de objetos generados por rotación, y el área entre dos funciones.
El documento explica la integral definida, que representa el área delimitada entre la gráfica de una función y los ejes. Se define mediante una fórmula y se describen propiedades como la linealidad y el cambio de signo al permutar los límites. También introduce el teorema fundamental del cálculo y la relación entre integrales y derivadas.
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
SEMIOLOGIA DE HEMORRAGIAS DIGESTIVAS.pptxOsiris Urbano
Evaluación de principales hallazgos de la Historia Clínica utiles en la orientación diagnóstica de Hemorragia Digestiva en el abordaje inicial del paciente.
1. SUMAS DE RIEMANN
Área
En la geometría euclídea, la región más simple es el
h
b
rectángulo. Aunque suele decirse que la fórmula para el área
Rectángulo: A = bh del rectángulo es A = bh (Fígura). es más apropiado decir que
eso es la definición del área del rectángulo.
De esa definición se pueden deducir fórmulas para las
h
b
áreas de otras regiones planas. Así, para determinar la de un
triángulo, formamos un rectángulo de área doble (Figura). Y
Triángulo: A = 1bh
2
una vez que sabemos hallar la del triangulo, el área de los
polígonos se calcula dividiéndolos en triángulos (Figura).
Paralelogramo Hexágono Polígono
Calcular las áreas de regiones no poligonales es mucho más difícil. Los
antiguos griegos fueron capaces de encontrar fórmulas para algunas regiones
generales, acotadas por cónicas, mediante el método de exhaución. La
descripción más precisa de este método se debe a Arquímedes. Esencialmente es
un proceso de límites en el que el área se encierra entre polígonos, unos inscritos
y otros circunscritos a la región en cuestión.
Por ejemplo, en la Figura el círculo se aproxima por polígonos inscrito y
circunscrito de n lados. Para cada valor de n, el área del polígono inscrito es
menor que la del círculo y la del circunscrito es mayor que la del círculo. Más aún,
al crecer n las áreas de los polígonos se acercan más y más a la de la región
circular.
2. n=6
EL MÉTODO DE EXHAUCIÓN PARA HALLAR EL ÁREA DEL CÍRCULO
DEFINICIÓN DEL ÁREA DE UNA REGION PLANA
Sea f continua y no negativa en el intervalo [a, b]. El área de la región
limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b es
n
Área Lím
n i 1
f (ci ) x xi 1 ci xi
donde ∆x = (b – a) / n (veáse Figura).
y
a xi-1 ci xi b x
Sumas de Riemann
3. En la definición de área, las particiones se hacían en subintervalos de igual
longitud. Pero era sólo por facilitar los cálculos. El ejemplo que abre esta sección
muestra que no es necesario tomar subintervalos de la misma longitud.
En la sección precedente se usó el límite de una suma para definir el área
de una región plana. Ésta es sólo una de las múltiples aplicaciones de los límites
de sumas. Un procedimiento similar se puede utilizar para calcular magnitudes tan
distintas como longitudes de arco, valores medios, centroides, volúmenes, trabajos
y áreas superficiales. El desarrollo que vamos a presentar lleva el nombre de
Georg Friedrich Bernhard Riemann. Si bien la integración definida se usó mucho
antes de Riemann, éste generalizó el concepto y lo hizo aplicable a clases muy
amplias de funciones.
En la definición que sigue debe hacerse notar que la única restricción sobre
f es que esté definida en el intervalo [a, b]. (En la sección anterior se suponía que f
era continua y no negativa, por que tratábamos el área bajo una curva.)
DEFINICIÓN DE LAS SUMAS DE RIEMANN
Sea f definida en el intervalo cerrado [a, b] y sea ∆
una partición de [a, b] dada por
a x0 x1 x 2 ... x n 1 xn b
donde ∆xi es la longitud del i-ésimo subintervalo. Si
ci es cualquier punto del i-ésimo subintervalo, la
suma.
n
f (ci ) xi , xi 1 ci xi
i 1
en la suma de Riemann de f asociada a la partición .
La longitud del subintervalo más grande de una partición se llama norma
de la partición y se denota por . Si todos los subintervalos son de la misma
longitud, se dice que la partición es regular y la norma se denota por
b a
x
n Partición regular.
4. Donde: ci = a + i x
Donde haciendo de esta como un promedio entre la suma superior e inferior
de Darboux.
Para esta suma es importante saber las siguientes identidades:
Sabiendo que:
Podemos obtener las siguientes igualdades:
(Donde C es constante)
EJEMPLOS
Ejemplo # 1
Evaluando la suma de Riemann en cuatro subintervalos tomando los puntos de la
derecha para determinar una aproximación del área de la siguiente función:
f(x) = 2 - x² , límites [0, 2]
5. La suma de Riemann representa la suma de las áreas sobre el eje , menos la
suma de las áreas debajo del eje ; esa es el área neta de los rectángulo
respecto al eje .
CONCEPTO DE INTEGRAL
La geometría nos facilita ciertas fórmulas para calcular el área de determinadas
figuras (círculo, triángulo, etc.). El problema se nos plantea cuando deseamos
conocer el área definida por una función y = f(x), por ejemplo cuando alcanza
zonas positivas y zonas negativas. Es decir, partiendo de un punto O y teniendo
dos intervalo (a, O) y (O, b), el número que asignamos como área de R(f, a, b)
recibirá el nombre de integral de f sobre [a, b].
Partición
Sea a < b. Recibe el nombre de partición del intervalo [a, b] toda colección finita
de puntos de [a, b], de los cuales uno es a y otro es b.
Ejemplo
Partición en cuatro subintervalos
a = t0 < t1 < t2 < t3 < t4 = b
mi = mínimo de f en el intervalo i
Mi = máximo de f en el intervalo i
s = m1 · (t1 - t0) + m2 · (t2 - t1) + m3 · (t3 - t2) + m4 · (t4 - t3)
6. S = M1 · (t1 - t0) + M2 · (t2 - t1) + M3 · (t3 - t2) + M4 · (t4 - t3)
Generalizando: supongamos una función f acotada sobre [a, b] y P una partición
de [a, b]:
mi = inf { f(x) : ti-1 <= x <= ti }
Mi = sup { f(x) : ti-1 <= x <= ti }
Valor de una integral
La suma superior de f para P es U( f, P ) = Sumatorio desde i = 1 hasta
n de Mi · ( ti - ti-1 )
La suma inferior de f para P es L( f, P ) = Sumatorio desde i = 1 hasta n
de mi · ( ti - ti-1 )
Se cumple que:
L( f, P ) <= U( f, P )
Si aumentamos los puntos de la partición, es decir:
P = partición de n puntos || Q = partición de k puntos || k > n
L( f, P ) <= L( f, Q ) || U( f, P ) >= U( f, Q )
Al incrementar sucesivamente los puntos de la partición:
L1 <= L2 <= L3 <= L4 <= ... <= Ln <= A <= Un <= ... <= U4 <= U3 <= U2 <= U1
FUNCIONES INTEGRABLES
7. Definición
Una función f acotada sobre [a, b] es integrable sobre [a, b] si:
sup { L( f, P ) : P es una partición de [a, b] } = inf { U( f, P ) : P es una partición de
[a, b] }
En este caso este número común recibe el nombre de integral de f sobre [a, b] y
se denota por:
U( f, P ) para todas las particiones de [a, b]
Teorema
Sea f una función acotada sobre [a, b], entonces f es integrable sobre [a, b] si y
sólo si para todo e > 0, existe una partición de P en [a, b] tal que:
U( f, P ) - L( f, P ) < e
Si una función es continua en [a, b], entonces f es integrable en [a, b]. Si f es
continua en [a, b] salvo en un conjunto finito de puntos, y es además acotada en
[a, b], entonces es integrable.
Propiedades
Si g(x) <= f(x) para todo el intervalo [a, b] entonces
8. INTEGRAL INDEFINIDA
Si f es una función integrable en [a, b], llamamos integral indefinida de f, a la
función:
F(x)= para todo x que pertenece a [a, b]
Si f es una función acotada e integrable en [a, b], F(x) es continua en [a, b].
Primer Teorema Fundamental del Cálculo Integral
Si f es una función integrable en [a, b] y continua en un x0 perteneciente a [a, b],
entonces la integral indefinida F es derivable en x0 y además F ' (x0) = f (x0). Este
teorema nos permite calcular integrales indefinidas buscando la primitiva de la
función bajo el signo integral (integrando), es decir, una función cuya derivada nos
dé como resultado el integrando de la integral:
9. Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integral
Regla de Barrow
f(x) es una función integrable en el intervalo y que admite primitiva.
Ejemplo
Calcular la integral de
]
F(x) = x^9 / 9 - 4x^6 / 6 + 4x^3 / 3 + K
INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNC.
10. Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las
primitivas de la función f(x), y se simboliza
Esta expresión se lee «integral de efe de equis diferencial de equis».
Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es una primitiva de f(x),
donde C representa una constante llamada constante de integración.
Ejercicio: cálculo de primitivas
Resolución:
Puesto que una primitiva de cos x es sen x,
Resolución:
Por consiguiente,
11. Resolución:
INTEGRALES INMEDIATAS
De la derivación de funciones elementales se deducen sus
correspondientes integrales llamadas inmediatas. Es necesario aprender
estos resultados si se pretende ser ágil en el cálculo de otras integrales
menos sencillas.
12.
13. Ejercicio: cálculo de integrales inmediatas
Resolución:
Es una integral inmediata perteneciente al segundo caso, en el que m =
4.
Resolución:
Es una integral inmediata perteneciente al cuarto caso en el que a = 3.
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN ( I )
Integración por descomposición
Este método se basa en la aplicación de dos propiedades elementales de
las integrales:
Primera propiedad de las integrales
La integral de una suma (respectivamente diferencia) de funciones, es igual
a la suma (respectivamente diferencia) de las integrales de las funciones.
14. Esto es,
Demostración:
Entonces, F(x) + G(x) es una primitiva de f(x) + g(x) y F(x) - G(x) es una
primitiva de
f(x) - g(x), ya que:
(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)
(F(x) - G(x))' = F'(x) - G'(x) = f(x) - g(x)
Por tanto,
Análogamente,
Segunda propiedad de las integrales
15. La integral del producto de una constante por una función, es igual al
producto de la constante por la integral de la función.
Es decir,
Demostración:
Pero (k · F(x))' = k · F'(x) = k · f(x), lo que indica que k · F(x) es una primitiva
de
k · f(x). Por tanto,
Ejercicio: cálculo de integrales aplicando el método por
descomposición
Resolución:
16. son integrales inmediatas pertenecientes al segundo caso.
En la primera, m = 2, y en la segunda, m = 1.
Así,
Por consiguiente,
TEOREMA DE ROLLE.-
Sea f continua sobre a, b , a < b , y diferenciable sobre < a, b > tal que f (a)= 0,
f(b)= 0, entonces existe al menos un punto c en < a, b > que satisface f ’(c)= 0
Antes de proceder con la demostración interpretaremos geométricamente este
teorema. Según las condiciones dadas, la grafica de f no debe tener esquinas (o
vértices) dentro de < a , b > y que para x = a y para x = b la grafica de f toca
al Eje x. Así, es factible tener la figura siguiente.
Cuando esto ocurre, el teorema asegura que
existe por lo menos un punto c en el intervalo
abierto < a , b> tal que en dicho punto la recta
tangente a la gráfica es horizontal.
PENDIENTE m = f ‘ (c) = 0
17. En el caso de la primera figura existen hasta tres valores para tal c . Note que en
esta figura f no es diferenciable en a , pero este hecho no afecta al teorema pues
a <a,b>.
PRUEBA DEL TEOREMA DE ROLLE :
a) Si f(x) = 0 x < a , b> constante , entonces cualquier c < a , b > es válido pues
f ‘(c) = 0 para todo c < a , b >.
b) Si f(xo) > 0 para algún xo < a , b >, alcanza su MÁXIMO en algún punto c a,b:
f(c) = máx. ( f(x) / x a , b , pero como f(c) f(xo) > 0 y
f(a) = f(b) = 0 entonces c a y c b; así, c < a , b >. Y como f
satisface en < a , b > entonces f ‘ (c) = 0.
c) Si f (xo) < 0 para algún xo < a , b >, f alcanza su MINIMO en algún punto a,
b:
f(c) f(xo) < 0 c b c < a , b >; y como f satisface en <a , b >
entonces: f ‘(c) = 0 (RECTA TANGENTE HORIZONTAL)
entonces
Esto Se presenta debido a que f no
cumple con la condición de ser
diferenciable en todo <-1,1> , pues
falla en serlo en el punto x=0
18. NOTA.- En el teorema de Rolle, la condición de continuidad de f en a ,
b es obviamente muy importante, pues asegura que la grafica de f no tenga saltos
bruscos dentro de a , b .
Extenderemos el Teorema de Rolle a funciones que no necesariamente
tocan al EJE X en ambos extremos de a , b y veremos las condiciones
para que existan puntos < a , b > donde las rectas tangentes sean
f (b) f (a)
paralelas al segmento RS que tiene como pendiente: m
b a
TEOREMA DEL VALOR MEDIO T.V.M (TEOREMA DE LAGRANGE).-
Sea f una función y a < b. Sí se cumplen ambas:
f es continua sobre a , b , y f es diferenciable sobre < a , b > , entonces
f (b) f (a)
existe < a , b > tal que f ‘ (c)
b a
ó tal que: f(b) – f(a) = f ‘ (c) – ( b – a ) , c < a , b > .
PRUEBA.-
19. Aplicamos el Teorema de Rolle a la función g definida por
f (b) f (a)
g ( x) f ( x) f (a) .(x a)
b a
Pues vemos que g es continua sobre a , b y diferenciable sobre el
intervalo abierto < a , b > , y además que g(a) = 0 = g(b). Entonces
dicho teorema nos asegura que existe < a , b > tal que g ‘(c) = 0 , es
decir
f (b) f (a)
0 g ' (c ) f ' (c )
b a
lo que implica que: f(b) – f(a) = f ‘(c).(b – a)
PROBLEMA.- Aplicar, si es posible, el Teorema del Valor Medio a:
a) a = -2 , b = 2
f(a) = f(-2) = 0
f(b) = f(2) = 0
f continua en -2, 2
f diferenciable en <-2 , 2>
Entonces el Teorema de Rolle
implica que existe C <-2,2>
tal que: f ’(c) = 0
Y como f ‘ (x) = 2x = 0 para x = 0 solamente , entonces c = 0.
Además c = 0 se encuentra en el intervalo <-2,2>
b) f(x) 0 x2 + 2x , x 0,3 , a = 0 , b = 3 , f(a) = a , f(b) = f(3) =
15 , f es continua en 0,3 y diferenciable en < 0,3 > , entonces el
T.V.M.
asegura que existe c < 0,3 > tal que
20. f (3) f (0)
f ' (c ) 5
3 0
Como f ‘ (x) = 2x + 2 = 5
entonces x = 3/2 = c <0,3>.