El documento trata sobre las integrales definidas. Explica que una integral definida representa el área delimitada entre la gráfica de una función, el eje x y las líneas verticales x=a y x=b. Define los elementos de una integral definida como la función a integrar f(x), los límites a y b, y la variable de integración dx. Además, menciona que una integral definida representa el límite de la suma de Riemann de una función.

1. Integrales definidas (sildeshare)
Jean Michael
Fonseca torres
22,198,704
matemática

2. Integral Definida
 Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada
entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.
 La integral definida se representa por .
 ∫ es el signo de integración.
 a límite inferior de la integración.
 b límite superior de la integración.
 f(x) es el integrando o función a integrar.
 dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

3. Conocer el símbolo de la sumatoria, sus
elementos y propiedades
La Sumatoria es un operador matemático que permite representar sumas de muchos
sumandos, n o incluso infinitos sumandos, se expresa con la letra griega sigma ( Σ ), y
se define como :
S =
Donde se puede apreciar:
1. S es la magnitud resultante de la suma
2. m es el límite inferior (es el número inicial de donde comienza la sumatoria)
3. n es el límite superior (es el numero hasta donde llegara la sumatoria)
4. La variable i es el índice de la suma, que varía entre m y n
5. x es el valor de la magnitud objeto de suma en el punto i
6. Esto se lee: "Sumatorio sobre i, desde m hasta n, de x sub-i"
7. Necesariamente debe cumplirse que: m, n sean números enteros y m ≤ n
8. Propiedades de la sumatoria:

4. Propiedades de la sumatoria:
Esto se lee: "Sumatorio sobre i, desde m hasta n, de x sub-i"
Necesariamente debe cumplirse que: m, n sean números enteros y m ≤ n

5. Encontrar el área de una región plana, mediante el
desarrollo de la suma inferior y superior
Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del área de un
rectángulo (producto de la base por la altura), de aquí se deduce que el área de
un triángulo rectángulo es igual a "un medio del producto de los catetos". La
trigonometría facilita una fórmula para hallar la medida de cualquier clase de
triángulo: "el área de un triángulo cualquiera es igual a un medio del producto
de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman dichos lados". Debido a
que un polígono se puede descomponer en triángulos, la obtención de su área
se consigue mediante la suma de las áreas de los triángulos en que se ha
dividido. Este procedimiento de medir áreas sólo es aplicable a figuras planas
limitadas por segmentos de rectas. Para medir el área de una figura limitada
por curvas se debe recurrir a otro método, que es el que vamos a estudiar a
continuación.

6. Ejemplo:
Sea f: [a, b] → IR una función continua y no negativa. Considérese una región en el plano
cartesiano como muestra acotada por el eje x, las restas x=a y x=b y la curva de la función y =
F(x).
Deseamos hallar la medida del área de la región R. para tal efecto, podemos proceder de dos
maneras:
1). Suma Inferior. De tal manera dividimos el intervalo cerrado [a, b] en n-subintervalos iguales
de longitud Δx. Donde Δx=(b-a)/n. denotaremos los puntos extremos de estos subintervalos por
x0,x1,x2,x3,….,xn-1,xn; Donde x0=a, x1=a+Δx,…., xi=a+iΔx,…., xn-1=a+(n-1)Δx, xn=b
Así mismo denótese el i-ésimo intervalo por [xi-1, xi]. Como f es continua en [a ,b], f es
continua en cada subíntervalo cerrado. Por el teorema del valor extremo sabemos que existe un
numero en cada subíntervalo para el cual f tiene un valor mínimo absoluto. Sea mi este numero
en el i-esimo subintervalo, de tal modo que f(mi) es el valor mínimo absoluto de f en [xi-1, xi].
construíos el rectángulo ir de base el subintervalo [xi-1, xi] y de altura f(mi).

7. Establecer la integral definida de una función
estableciendo como límite de la suma de Riemann
Hasta ahora hemos dividido el intervalo [a,b] en subintervalos de la
misma longitud, pero en realidad esto no es necesario. Riemann
generalizó todo el estudioque hemos hecho hasta ahora para
subintervalos de distinto tamaño. Además, nosotros nos hemos referido
hasta ahora a funciones continuas y no negativas (puesto que estábamos
hablando de área bajo una curva) En este aspecto también Riemann
generalizó sus conclusiones y la única condición que puso es que la
función f(x) estuviese definida en [a,b]. Como veremos después, el
hecho de que una función sea continua en un intervalo, es condición
suficiente para que sea integrable en dicho intervalo. Antes de Riemann
ya se utilizaban las integrales definidas, pero este gran matemático
generalizó su definición y lo amplió a un mayor nº de funciones.

8. Ejemplo:
Definición de Suma de Riemann
Sea f(x) una función definida en un intervalo cerrado [a,b].
Sea ∆ una partición de dicho intervalo definida de la forma:
a=x0<x1<x2<x3<.....<xn-1<xn=b
Sea ∆xi la anchura del i-ésimo intervalo.
Si ci es un punto cualquiera de este i-ésimo intervalo, la suma:
Es una suma de Riemann
Donde:
xi-1 < ci < xi

9. Demostrar las propiedades de la integral
definida e interpretarlas geométricamente
1. Si a = b y f está definida en a, entonces
Demostraciones:
Si Si
Demostración: Sea P cualquier partición de [a,b] con una selección {ci}
Como es la integral definida de la función constante
La suma de Riemann de esta función constante es:
Luego,

10. Aplicar e interpretar geométricamente el T.V.M.
para integrales
Teorema de Valor Medio para Integrales
Si f es una función continua en el intervalo [a, b], entonces existe en este un
punto α tal que se verifique la siguiente igualdad:
Podemos dar una interpretación geométrica como sigue: consideremos una
fusión f tal que f(x) ≥ 0, para todos los valores de x en el intervalo [a, b].
Entonces es el área de la región limitada por la curva con ecuación, el
eje x y las rectas con ecuaciones x = a, x = b

11. Debido a la propiedad que establece que existe numero α en [ a,b] tal que el
área del rectángulo a Q S b, cuya altura es f(α) y que tiene ancho de (b − a)
unidades, es igual al área de la región a P R b. El valor de α no es
necesariamente único.
Determinar el valor de α:
Calculemos primero así:
gráficamente se tiene
Luego:
Desde

12. Aplicar el teorema fundamental del cálculo, mediante la
aplicación de los métodos de sustitución y cambios de
variables
Se entiende por métodos de integración cualquiera de las
diferentes técnicas elementales usadas para calcular una
antiderivada o integral indefinida de una función.
Así, dada una función f(x), los métodos de integración son
técnicas cuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar una
función F(x) tal que
lo cual, por el teorema fundamental del cálculo equivale a hallar
una función F(x) tal que f(x) es su derivada: