Este documento describe los conceptos fundamentales de las sumas de Riemann y la integración. Introduce la definición del área de una región plana limitada por una función continua mediante el límite de sumas. Luego define las sumas de Riemann como una generalización de este concepto que permite calcular magnitudes como longitudes, valores medios y volúmenes. Finalmente, presenta las propiedades básicas de las funciones integrables y los teoremas fundamentales del cálculo integral.

1. SUMAS DE RIEMANN
Área
En la geometría euclídea, la región más simple es el
rectángulo. Aunque suele decirse que la fórmula para el área
del rectángulo es A = bh (Fígura). es más apropiado decir que
eso es la definición del área del rectángulo.
De esa definición se pueden deducir fórmulas para las áreas
de otras regiones planas. Así, para determinar la de un
triángulo, formamos un rectángulo de área doble (Figura). Y
una vez que sabemos hallar la del triangulo, el área de los
polígonos se calcula dividiéndolos en triángulos (Figura).
Paralelogramo Hexágono Polígono
Calcular las áreas de regiones no poligonales es mucho más difícil. Los
antiguos griegos fueron capaces de encontrar fórmulas para algunas regiones
generales, acotadas por cónicas, mediante el método de exhaución. La
descripción más precisa de este método se debe a Arquímedes. Esencialmente es
un proceso de límites en el que el área se encierra entre polígonos, unos inscritos
y otros circunscritos a la región en cuestión.
Por ejemplo, en la Figura el círculo se aproxima por polígonos inscrito y
circunscrito de n lados. Para cada valor de n, el área del polígono inscrito es
menor que la del círculo y la del circunscrito es mayor que la del círculo. Más aún,
al crecer n las áreas de los polígonos se acercan más y más a la de la región
circular.
h
b
Rectángulo: A = bh
h
b
Triángulo: A = 1 bh
2

2. n = 6
EL MÉTODO DE EXHAUCIÓN PARA HALLAR EL ÁREA DEL CÍRCULO
DEFINICIÓN DEL ÁREA DE UNA REGION PLANA
Sea f continua y no negativa en el intervalo [a, b]. El área de la región
limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b es
xcfÁrea
n
i
i
n
Lím ∆= ∑=∞→ 1
)( iii xcx ≤≤−1
donde ∆x = (b – a) / n (veáse Figura).
Sumas de Riemann
y
a xi-1 ci xi b x

3. En la definición de área, las particiones se hacían en subintervalos de igual
longitud. Pero era sólo por facilitar los cálculos. El ejemplo que abre esta sección
muestra que no es necesario tomar subintervalos de la misma longitud.
En la sección precedente se usó el límite de una suma para definir el área
de una región plana. Ésta es sólo una de las múltiples aplicaciones de los límites
de sumas. Un procedimiento similar se puede utilizar para calcular magnitudes tan
distintas como longitudes de arco, valores medios, centroides, volúmenes, trabajos
y áreas superficiales. El desarrollo que vamos a presentar lleva el nombre de
Georg Friedrich Bernhard Riemann. Si bien la integración definida se usó mucho
antes de Riemann, éste generalizó el concepto y lo hizo aplicable a clases muy
amplias de funciones.
En la definición que sigue debe hacerse notar que la única restricción sobre
f es que esté definida en el intervalo [a, b]. (En la sección anterior se suponía que f
era continua y no negativa, por que tratábamos el área bajo una curva.)
DEFINICIÓN DE LAS SUMAS DE RIEMANN
Sea f definida en el intervalo cerrado [a, b] y sea ∆
una partición de [a, b] dada por
bxxxxxa nn =<<<<<= −1210 ...
donde ∆xi es la longitud del i-ésimo subintervalo. Si
ci es cualquier punto del i-ésimo subintervalo, la
suma.
,)(
1
ii
n
i
xcf ∆∑
=
iii xcx ≤≤−1
en la suma de Riemann de f asociada a la partición ∆.
La longitud del subintervalo más grande de una partición ∆ se llama norma
de la partición y se denota por ∆ . Si todos los subintervalos son de la misma
longitud, se dice que la partición es regular y la norma se denota por
∆ = ∆x =
n
ab −
Partición regular.

4. Donde: ci = a + i ∆x
Donde haciendo de esta como un promedio entre la suma superior e inferior
de Darboux.
Para esta suma es importante saber las siguientes identidades:
Sabiendo que:
Podemos obtener las siguientes igualdades:
(Donde C es constante)
EJEMPLOS
Ejemplo # 1
Evaluando la suma de Riemann en cuatro subintervalos tomando los puntos de la
derecha para determinar una aproximación del área de la siguiente función:
f(x) = 2 - x² , límites [0, 2]

5. La suma de Riemann representa la suma de las áreas sobre el eje , menos la
suma de las áreas debajo del eje ; esa es el área neta de los rectángulo
respecto al eje .
CONCEPTO DE INTEGRAL
La geometría nos facilita ciertas fórmulas para calcular el área de determinadas
figuras (círculo, triángulo, etc.). El problema se nos plantea cuando deseamos
conocer el área definida por una función y = f(x), por ejemplo cuando alcanza
zonas positivas y zonas negativas. Es decir, partiendo de un punto O y teniendo
dos intervalo (a, O) y (O, b), el número que asignamos como área de R(f, a, b)
recibirá el nombre de integral de f sobre [a, b].
Partición
Sea a < b. Recibe el nombre de partición del intervalo [a, b] toda colección finita
de puntos de [a, b], de los cuales uno es a y otro es b.
Ejemplo
Partición en cuatro subintervalos
a = t0 < t1 < t2 < t3 < t4 = b
mi = mínimo de f en el intervalo i
Mi = máximo de f en el intervalo i
s = m1 · (t1 - t0) + m2 · (t2 - t1) + m3 · (t3 - t2) + m4 · (t4 - t3)

6. S = M1 · (t1 - t0) + M2 · (t2 - t1) + M3 · (t3 - t2) + M4 · (t4 - t3)
Generalizando: supongamos una función f acotada sobre [a, b] y P una partición
de [a, b]:
•  mi = inf { f(x) : ti-1 <= x <= ti }
•  Mi = sup { f(x) : ti-1 <= x <= ti }
Valor de una integral
•  La suma superior de f para P es U( f, P ) = Sumatorio desde i = 1 hasta
n de Mi · ( ti - ti-1 )
•  La suma inferior de f para P es L( f, P ) = Sumatorio desde i = 1 hasta n
de mi · ( ti - ti-1 )
Se cumple que:
L( f, P ) <= U( f, P )
Si aumentamos los puntos de la partición, es decir:
P = partición de n puntos || Q = partición de k puntos || k > n
L( f, P ) <= L( f, Q ) || U( f, P ) >= U( f, Q )
Al incrementar sucesivamente los puntos de la partición:
L1 <= L2 <= L3 <= L4 <= ... <= Ln <= A <= Un <= ... <= U4 <= U3 <= U2 <= U1
FUNCIONES INTEGRABLES

7. Definición
Una función f acotada sobre [a, b] es integrable sobre [a, b] si:
sup { L( f, P ) : P es una partición de [a, b] } = inf { U( f, P ) : P es una partición de
[a, b] }
En este caso este número común recibe el nombre de integral de f sobre [a, b] y
se denota por:
U( f, P ) para todas las particiones de [a, b]
Teorema
Sea f una función acotada sobre [a, b], entonces f es integrable sobre [a, b] si y
sólo si para todo e > 0, existe una partición de P en [a, b] tal que:
U( f, P ) - L( f, P ) < e
Si una función es continua en [a, b], entonces f es integrable en [a, b]. Si f es
continua en [a, b] salvo en un conjunto finito de puntos, y es además acotada en
[a, b], entonces es integrable.
Propiedades

8. Si g(x) <= f(x) para todo el intervalo [a, b] entonces
INTEGRAL INDEFINIDA
Si f es una función integrable en [a, b], llamamos integral indefinida de f, a la
función:
F(x)= para todo x que pertenece a [a, b]
Si f es una función acotada e integrable en [a, b], F(x) es continua en [a, b].
Primer Teorema Fundamental del Cálculo Integral
Si f es una función integrable en [a, b] y continua en un x0 perteneciente a [a, b],
entonces la integral indefinida F es derivable en x0 y además F ' (x0) = f (x0). Este
teorema nos permite calcular integrales indefinidas buscando la primitiva de la
función bajo el signo integral (integrando), es decir, una función cuya derivada nos
dé como resultado el integrando de la integral:

9. Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integral
Regla de Barrow
f(x) es una función integrable en el intervalo y que admite primitiva.
Ejemplo
Calcular la integral de
]
F(x) = x^9 / 9 - 4x^6 / 6 + 4x^3 / 3 + K

10. INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNC.
Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las
primitivas de la función f(x), y se simboliza
Esta expresión se lee «integral de efe de equis diferencial de equis».
Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es una primitiva de f(x),
donde C representa una constante llamada constante de integración.
Ejercicio: cálculo de primitivas
Resolución:
 Puesto que una primitiva de cos x es sen x,

11. Resolución:
Por consiguiente,
Resolución:
INTEGRALES INMEDIATAS
De la derivación de funciones elementales se deducen sus
correspondientes integrales llamadas inmediatas. Es necesario aprender
estos resultados si se pretende ser ágil en el cálculo de otras integrales
menos sencillas.

13. Ejercicio: cálculo de integrales inmediatas
Resolución:
 Es una integral inmediata perteneciente al segundo caso, en el que m =
4.
Resolución:
 Es una integral inmediata perteneciente al cuarto caso en el que a = 3.
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN ( I )
Integración por descomposición
Este método se basa en la aplicación de dos propiedades elementales de
las integrales:

14.  Primera propiedad de las integrales
La integral de una suma (respectivamente diferencia) de funciones, es igual
a la suma (respectivamente diferencia) de las integrales de las funciones.
Esto es,
Demostración:
Entonces, F(x) + G(x) es una primitiva de f(x) + g(x) y F(x) - G(x) es una
primitiva de
f(x) - g(x), ya que:
(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)
(F(x) - G(x))' = F'(x) - G'(x) = f(x) - g(x)
Por tanto,
Análogamente,

15.  Segunda propiedad de las integrales
La integral del producto de una constante por una función, es igual al
producto de la constante por la integral de la función.
Es decir,
Demostración:
Pero (k · F(x))' = k · F'(x) = k · f(x), lo que indica que k · F(x) es una primitiva
de
k · f(x). Por tanto,
Ejercicio: cálculo de integrales aplicando el método por
descomposición
Resolución:

16. son integrales inmediatas pertenecientes al segundo caso.
En la primera, m = 2, y en la segunda, m = 1.
Así,
Por consiguiente,
TEOREMA DE ROLLE.-
Sea f continua sobre [a, b] , a < b , y diferenciable sobre < a, b > tal que f (a)= 0,
f(b)= 0, entonces existe al menos un punto c en < a, b > que satisface f ’(c)= 0
Antes de proceder con la demostración interpretaremos geométricamente este
teorema. Según las condiciones dadas, la grafica de f no debe tener esquinas (o
vértices) dentro de < a , b > y que para x = a y para x = b la grafica de f toca
al Eje x. Así, es factible tener la figura siguiente.

17. En el caso de la primera figura existen hasta tres valores para tal c . Note que en
esta figura f no es diferenciable en a , pero este hecho no afecta al teorema pues
a ∉ < a , b > .
• PRUEBA DEL TEOREMA DE ROLLE :
a) Si f(x) = 0 ∀ x ∈ < a , b> [constante], entonces cualquier c ∈ < a ,
b > es válido pues f ‘(c) = 0 para todo c ∈ < a , b >.
b) Si f(xo) > 0 para algún xo ∈< a , b >, alcanza su MÁXIMO en algún
punto c ∈ [a , b]:
f(c) = máx. ( f(x) / x ∈ [a , b] , pero como f(c) ≥ f(xo) > 0 y
f(a) = f(b) = 0 entonces c ≠ a y c ≠ b; así, c ∈ < a , b >. Y como f
satisface en < a , b > entonces f ‘ (c) = 0.
c) Si f (xo) < 0 para algún xo ∈ < a , b >, f alcanza su MINIMO en
algún punto ⊆ ∈ [a , b]:
Cuando esto ocurre, el teorema asegura que existe
por lo menos un punto c en el intervalo abierto < a ,
b> tal que en dicho punto la recta tangente a la
gráfica es horizontal.
PENDIENTE m = f ‘ (c) = 0

18. f(c) ≤ f(xo) < 0 ⇒ c ≠ b ⇒ c ∈ < a , b >; y como f satisface en <a , b >
entonces: f ‘(c) = 0 (RECTA TANGENTE HORIZONTAL)
entonces
Esto Se presenta debido a que f no
cumple con la condición de ser
diferenciable en todo <-1,1> , pues falla
en serlo en el punto x = 0

19. • NOTA.- En el teorema de Rolle, la condición de continuidad de f en [a ,
b] es obviamente muy importante, pues asegura que la grafica de f no tenga saltos
bruscos dentro de [a , b].
Extenderemos el Teorema de Rolle a funciones que no necesariamente
tocan al EJE X en ambos extremos de [a , b] y veremos las condiciones
para que existan puntos ⊆ ∈ < a , b > donde las rectas tangentes sean
paralelas al segmento RS que tiene como pendiente:
ab
afbf
m
−
−
=
)()(
TEOREMA DEL VALOR MEDIO T.V.M (TEOREMA DE LAGRANGE).-
Sea f una función y a < b. Sí se cumplen ambas:
f es continua sobre [a , b] , y f es diferenciable sobre < a , b > , entonces
existe ⊂ ∈ < a , b > tal que f ‘ (c)
ab
afbf
−
−
=
)()(
[ó tal que: f(b) – f(a) = f ‘ (c) – ( b – a ) , c ∈ < a , b >].

20. • PRUEBA.-
Aplicamos el Teorema de Rolle a la función g definida por
[ ] ).(
)()(
)()()( ax
ab
afbf
afxfxg −
−
−
−−=
Pues vemos que g es continua sobre [a , b] y diferenciable sobre el
intervalo abierto < a , b > , y además que g(a) = 0 = g(b). Entonces
dicho teorema nos asegura que existe ⊆ ∈ < a , b > tal que g ‘(c) = 0 , es
decir
ab
afbf
cfcg
−
−
−==
)()(
)(')('0
lo que implica que: f(b) – f(a) = f ‘(c).(b – a)
• PROBLEMA.- Aplicar, si es posible, el Teorema del Valor Medio a:
a) a = -2 , b = 2
f(a) = f(-2) = 0
f(b) = f(2) = 0
f continua en [-2, 2]
f diferenciable en <-2 , 2>
Entonces el Teorema de Rolle
implica que existe C ∈ <-2,2>
tal que: f ’(c) = 0
Y como f ‘ (x) = 2x = 0 para x = 0 solamente , entonces c = 0.
Además c = 0 se encuentra en el intervalo <-2,2>

21. b) f(x) 0 x2
+ 2x , x ∈ [0,3], a = 0 , b = 3 , f(a) = a , f(b) = f(3) =
15 , f es continua en [0,3] y diferenciable en < 0,3 > , entonces el
T.V.M.
asegura que existe c ∈ < 0,3 > tal que
5
03
)0()3(
)(' =
−
−
=
ff
cf
Como f ‘ (x) = 2x + 2 = 5
entonces x = 3/2 = c ∈ <0,3>.