Este documento presenta información sobre el cálculo de integrales definidas y el teorema fundamental del cálculo. Los objetivos son conocer el símbolo de la sumatoria y sus propiedades, calcular áreas mediante la suma inferior y superior, y establecer la integral definida usando la suma de Riemann. También se demuestran propiedades como la conservación de desigualdades y la simetría, y se aplica el teorema fundamental del cálculo usando métodos de sustitución y cambio de variables.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
FACULTAD DE INGENIERIA
SLIDESHARE
INTEGRANTES:
ESCALONA LEONARDO

2. Precisar el concepto de la integral definida mediante el desarrollo del Teorema
Fundamental del Cálculo en la aplicación de ejercicios inherentes al área de ingeniería.
Objetivos Específicos
Conocer el símbolo de la sumatoria, sus elementos y propiedades.
a)
b)
Por el Teorema

3. Encontrar el área de una región plana, mediante el desarrollo de la suma inferior y
superior.
a. Calcule el área de la región indicada en el intervalo dado, empleando rectángulos
inscritos. Dibuje el área pedida.
Suma inferior:
a.

4. Como es decreciente en se tiene que
Entonces
Luego

5. Por simetría:
Suma superior:
2.

6. Decreciente en

7. Por simetría
Establecer la integral definida de una función estableciendo como límite de la
suma de Riemann.
Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área bajo las
curvas. Los métodos derecha e izquierda hacen la aproximación usando,
respectivamente, los puntos finales derechos e izquierdos de cada subintervalo. Los
métodos máximo y mínimo hacen la aproximación usando, respectivamente, los
valores más grandes y más pequeños del punto final de cada subintervalo. Los valores
de las sumas convergen a medida que los subintervalos parten desde arriba a la
izquierda hasta abajo a la derecha.
En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica
que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una
curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental
del cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.
La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de
rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los
rectángulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al
sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.
De esta manera se define la integral definida:
, de la partición:
P = {[a, x1), [x1, x2), ... [xn-1, b]}
Tales que: a = x0 < x1 < x2 ... < xn = b
donde xi-1 ≤ ci ≤ xi. La elección de ci en este intervalo es arbitraria.
Ejemplo:

8. 1. Resuelva mediante suma de Riemann:
Sea , luego:
Donde:
Luego:
Luego:
Por tanto:

9. Demostrar las propiedades de la integral definida e interpretarlas geométricamente.
PROPIEDADES Y TEOREMAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA.
Propiedades de la integral definida.
Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las integrales definidas que
ayudaran a evaluarlas con más facilidad.
1. donde c es una constante.
2. Si y son integrables en y es una constante, entonces las siguientes
propiedades son verdaderas:
(Se puede generalizar para más de dos funciones).
3. Si está definida para entonces
4. Si es integrable en entonces
5. Propiedad de Aditividad del intervalo:
Si es integrable en los dos intervalos cerrados definidos por y entonces

10. Demostración de las propiedades, anteriores:
Conservación de desigualdades:
Si es integrable y no negativa en el intervalo cerrado entonces
Demostración: Si entonces representa el área bajo la curva de de
modo que la interpretación geométrica de esta propiedad es sencillamente el área.
(También se deduce directamente de la definición porque todas las cantidades son
positivas).
Si y son integrables en el intervalo cerrado con f para
todo en entonces
Demostración: Si podemos asegurar que y le podemos
aplicar la propiedad anterior y por lo tanto . De aquí
y de esta manera .
Supongamos que y son constantes tales que para . Se
dice que está acotada arriba por y acotada abajo por , la gráfica que entre la
recta y la recta . Podemos enunciar el siguiente teorema:
Si es integrable y para entonces:

11. .
(La gráfica ilustra la propiedad cuando )
Si es continua y y son los valores mínimos y máximos de la misma en el
intervalo gráficamente esta propiedad indica que el área debajo de la gráfica de
es mayor que el área del rectángulo con altura y menor que la del rectángulo con
altura .
En general dado que podemos asegurar, por la propiedad anterior que:
Si se evalúan las integrales de los extremos de la desigualdad resulta
.
Simetría.
El siguiente teorema permite simplificar el cálculo de las integrales de funciones que
poseen propiedades de simetría.
Sea una función continua sobre el intervalo –
a) Si es par
b) Si es impar
Demostración: tenemos en cuenta que a la podemos descomponer de dos
nuevas integrales

12. En la primera integral sustituimos , además si
.
Con esto la ecuación original resulta:
En el caso a) si la función es par entonces
Mientras que en el caso b) si la función es impar
Ejemplo:
Sabiendo que , calcule las siguientes integrales.
a)
b)
c)
d)
Utilizando propiedades de las integrales resulta:
a) Como es una función par:

13. b) Como es una función par:
c)
d)
6. Si es una función integrable en los intervalos cerrados con
entonces:
Ejemplo:
Sea
Ahora:
Luego:
Geométricamente podemos interpretar esta propiedad como sigue:
Si para entonces la propiedad anterior establece que, el área de la
región limitada por la curva con ecuación el eje y las rectas con ecuaciones
y las rectas con ecuación es igual a la suma de las áreas de las regiones
desde hasta y desde hasta .

14. El resultado anterior es válido para cualquier orden de
Teorema del valor medio para integrales.
Si es una función continua en el intervalo , entonces existe en éste un punto
tal que se verifique la siguiente igualdad:
Podemos dar una interpretación geométrica como sigue: consideremos una tal que
, para todos los valores de en el intervalo .
Entonces es el área de la región limitada por la curva con ecuación
, el eje y las rectas con ecuación .
Esté teorema establece que existe un numero en tal que el área del rectángulo
cuya altura es y que tiene ancho de unidades, es igual al área de
la región área de la región .

15. El valor de no es necesariamente único.
Aunque el teorema no establece un método para determinar , sí garantiza que existe
un valor de , lo cual se utiliza para demostrar otros teoremas.
Ejemplos:
Determinar, en cada caso, el valor tal que:
I.
II.
Solución:
I. Calculamos primero
Como
Luego: de donde:
Gráficamente se tiene:

16. II. Calculamos
Como entonces:
Luego:
De donde como entonces:
y los valores de que satisfacen la ecuación son
este último valor se descarta pues no pertenece al intervalo
Luego el valor de que satisface el teorema del valor medio para integrales es
.

17. Gráficamente se tiene:
Aplicar el teorema fundamental del cálculo, mediante la aplicación de los métodos de
sustitución y cambios de variables.
Teorema fundamental del cálculo
Si f es una función continua e integrable en [a, b],
Parte I. Si se define G como
x
G (x) f(t) dt
0
Para todo x en [a, b], entonces G es una antiderivada de f en [a, b].
Parte II. Si F es una antiderivada de f, entonces
b
f(x) dx F(b) - F(a)
a
Ejemplos:
Cambio de variable

18. Cambio de variable