El documento explica los conceptos fundamentales de la integral definida y la suma de Riemann. Introduce la noción de aproximar el área bajo una curva dividiendo el intervalo en subintervalos y sumando las áreas de los rectángulos correspondientes. Define la integral definida como el límite de esta suma cuando el número de subintervalos tiende a infinito y su longitud tiende a cero. También presenta la definición formal de la integral definida según Riemann y el teorema de evaluación de integrales.
Este documento describe el concepto matemático de la integral definida y el método de Riemann para aproximar el área bajo una curva. Explica cómo dividir el intervalo en subintervalos y calcular el área de rectángulos inscritos y circunscritos para obtener límites superior e inferior del área real. Al aumentar el número de subintervalos, las aproximaciones convergen al valor exacto del área dado por la integral definida. También presenta la notación de Leibniz para las integrales definidas y el teorema de evaluación de integr
Este documento introduce el concepto de integral definida como una herramienta para calcular el área debajo de una curva entre dos valores. Explica que la integral definida surge del método de exhausción griego y representa el límite de la suma de áreas de rectángulos cuando su número tiende a infinito. Además, presenta definiciones clave como función integral y teoremas como el fundamental del cálculo y la regla de Barrow, y muestra ejemplos de cálculo de áreas usando la integral definida.
El documento describe diferentes conceptos de métricas en espacios vectoriales. Introduce la noción de distancia euclidiana como una métrica fundamental en Rn que cumple con ciertas propiedades. Luego presenta ejemplos de métricas discretas y continuas en otros espacios como sucesiones y funciones continuas.
1) El documento presenta el método de la bisección para calcular las raíces de una ecuación. 2) El método iterativo divide sucesivamente el intervalo de búsqueda hasta que la función se aproxime a cero dentro de un error especificado. 3) El documento también introduce el método de punto fijo para resolver ecuaciones, el cual reescribe la ecuación en forma de una función fija cuya raíz es un punto fijo de dicha función.
La regla de Simpson proporciona una estimación más precisa de la integral de una función. La regla de Simpson 1/3 simple aproxima el área bajo una curva mediante el área bajo una parábola que une tres puntos. La regla de Simpson 1/3 compuesta divide el intervalo en subintervalos iguales y aplica la regla simple en cada uno para mejorar la precisión cuando el intervalo original es grande. Dividiendo en más subintervalos reduce aún más el error de la aproximación.
Este documento presenta los conceptos de campo vectorial, rotacional y criterios para que un campo sea conservativo. Explica cómo calcular el rotacional de un campo vectorial y determinar si es conservativo mediante la igualdad de sus derivadas parciales. También muestra cómo hallar la función potencial para un campo conservativo mediante integración. Por último, proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento presenta los métodos de integración numérica de Newton-Cotes, en particular la regla del trapecio y las reglas de Simpson. Explica que la regla del trapecio aproxima el área bajo una curva mediante el área de un trapecio, mientras que las reglas de Simpson usan polinomios de grado superior. Luego detalla la regla del trapecio simple y compuesta, así como la regla de Simpson 1/3 simple, indicando cómo aproximan la integral reemplazando la función con una función polinómica más fácil
Este documento describe el concepto matemático de la integral definida y el método de Riemann para aproximar el área bajo una curva. Explica cómo dividir el intervalo en subintervalos y calcular el área de rectángulos inscritos y circunscritos para obtener límites superior e inferior del área real. Al aumentar el número de subintervalos, las aproximaciones convergen al valor exacto del área dado por la integral definida. También presenta la notación de Leibniz para las integrales definidas y el teorema de evaluación de integr
Este documento introduce el concepto de integral definida como una herramienta para calcular el área debajo de una curva entre dos valores. Explica que la integral definida surge del método de exhausción griego y representa el límite de la suma de áreas de rectángulos cuando su número tiende a infinito. Además, presenta definiciones clave como función integral y teoremas como el fundamental del cálculo y la regla de Barrow, y muestra ejemplos de cálculo de áreas usando la integral definida.
El documento describe diferentes conceptos de métricas en espacios vectoriales. Introduce la noción de distancia euclidiana como una métrica fundamental en Rn que cumple con ciertas propiedades. Luego presenta ejemplos de métricas discretas y continuas en otros espacios como sucesiones y funciones continuas.
1) El documento presenta el método de la bisección para calcular las raíces de una ecuación. 2) El método iterativo divide sucesivamente el intervalo de búsqueda hasta que la función se aproxime a cero dentro de un error especificado. 3) El documento también introduce el método de punto fijo para resolver ecuaciones, el cual reescribe la ecuación en forma de una función fija cuya raíz es un punto fijo de dicha función.
La regla de Simpson proporciona una estimación más precisa de la integral de una función. La regla de Simpson 1/3 simple aproxima el área bajo una curva mediante el área bajo una parábola que une tres puntos. La regla de Simpson 1/3 compuesta divide el intervalo en subintervalos iguales y aplica la regla simple en cada uno para mejorar la precisión cuando el intervalo original es grande. Dividiendo en más subintervalos reduce aún más el error de la aproximación.
Este documento presenta los conceptos de campo vectorial, rotacional y criterios para que un campo sea conservativo. Explica cómo calcular el rotacional de un campo vectorial y determinar si es conservativo mediante la igualdad de sus derivadas parciales. También muestra cómo hallar la función potencial para un campo conservativo mediante integración. Por último, proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento presenta los métodos de integración numérica de Newton-Cotes, en particular la regla del trapecio y las reglas de Simpson. Explica que la regla del trapecio aproxima el área bajo una curva mediante el área de un trapecio, mientras que las reglas de Simpson usan polinomios de grado superior. Luego detalla la regla del trapecio simple y compuesta, así como la regla de Simpson 1/3 simple, indicando cómo aproximan la integral reemplazando la función con una función polinómica más fácil
Este documento describe métodos de integración numérica como la regla del trapecio simple y compuesta. La regla del trapecio simple aproxima el área bajo una curva mediante un trapecio. La regla del trapecio compuesta divide el área en subintervalos y aplica la regla del trapecio en cada uno para obtener una mejor aproximación. El documento provee ejemplos para ilustrar cómo aplicar estos métodos y cómo el error se reduce al aumentar el número de subintervalos.
Libro de calculo de varias variables con aplicaciones de integrales dobles y triples para la ingenierias industrial civil mecanicos, con aplicaciones sencillas que permitan se de facil comprecion para el estudiante, aqui les dejo una parte de los ejercicios donde consta las integrales triples y dobles y sus aplicaciones, espero que sea de su agrado
Este documento presenta tres métodos numéricos para aproximar el valor de integrales definidas: el método de los rectángulos, el método de los trapecios y el método de Simpson. Explica las fórmulas para cada método y cómo dividir el intervalo de integración en subintervalos para mejorar la aproximación. También incluye problemas de ejemplo para aplicar los métodos y comparar sus resultados.
Este documento presenta métodos numéricos para aproximar integrales. Explica que cuando una función es difícil de integrar directamente o está tabulada, se deben usar métodos aproximados como las fórmulas de Newton-Cotes. Estas se basan en reemplazar la función con polinomios que son más fáciles de integrar. Luego describe las reglas del trapecio simple y compuesta, las cuales dividen el área bajo la curva en trapecios para aproximar la integral. Finalmente introduce las reglas de Simpson, que usan polinomios de grado
El documento describe diferentes métodos de diferenciación numérica por 3 y 5 puntos para aproximar la derivada de una función. Presenta las fórmulas para aproximar la derivada usando puntos hacia la derecha, izquierda y en el medio para 3 puntos, y una fórmula para 5 puntos. Luego aplica los métodos a una función exponencial para comparar los errores obtenidos.
Este documento trata sobre el cálculo integral definido y el área bajo la curva. Explica la notación de suma, cómo aproximar el área bajo la curva mediante sumas de Riemann, la definición formal de la integral definida y algunas de sus propiedades como la linealidad. Finalmente, presenta ejemplos resueltos de cálculo de áreas y demostraciones de propiedades de la integral definida.
El documento describe diferentes métodos para calcular la integral definida numéricamente, como la fórmula de los trapecios, la regla de Simpson, el método de Romberg, y la cuadratura de Gauss. Explica los algoritmos para aplicar estos métodos y calcular la integral aproximada de una función en un intervalo dado.
Este documento presenta la solución a 5 problemas de cálculo propuestos como práctica calificada. En la primera pregunta se demuestra una desigualdad triangular para valores absolutos. En la segunda pregunta se utiliza inducción matemática. La tercera pregunta trata sobre conjuntos acotados y operaciones entre ellos. La cuarta pregunta involucra funciones acotadas y sus supremos. La quinta y última pregunta compara ínfimos de conjuntos incluidos.
Este documento trata sobre campos vectoriales y sus propiedades. Introduce conceptos como campos vectoriales, gradiente, divergencia, rotacional, integrales de línea y superficie. Explica cómo calcular integrales de línea y superficie para campos escalares y vectoriales. Además, define campos conservativos y presenta teoremas como el de Green y Stokes. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular diferentes tipos de integrales y aplicar los teoremas mencionados.
Este documento presenta problemas de cálculo de integrales triples. Resuelve integrales en regiones limitadas por paraboloides, hiperboloides, cilindros y tetraedros. También cubre cambios de coordenadas y descomposición de integrales para resolverlas.
El documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con el cálculo de derivadas. Se incluyen preguntas tipo test sobre tasas de variación media, rectas tangentes, derivadas de funciones compuestas y derivabilidad. También contiene ejercicios para calcular derivadas, analizar derivabilidad y hallar valores que hagan derivable una función.
Este documento describe el método de las sumas de Riemann para calcular el área bajo una curva. Dividimos el área en rectángulos de anchura uniforme y calculamos el área de cada rectángulo usando la altura de la función en los puntos medios de cada intervalo. La suma de estas áreas de los rectángulos aproxima el área total bajo la curva a medida que aumentamos el número de subdivisiones. El Teorema Fundamental del Cálculo establece que esta aproximación converge al valor de la integral definida cuando el ancho máximo
El documento trata sobre el Teorema Fundamental del Cálculo. 1) Proporciona un método para calcular integrales definidas sin necesidad de calcular límites de sumas de Riemann. 2) Muestra que la derivación e integración son procesos inversos. 3) Explica que si F es una primitiva continua de f, entonces F'(c)=f(c) para todo c en el intervalo.
Este documento presenta varios ejemplos de cálculo de integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas. Incluye la evaluación de integrales dentro de regiones delimitadas por cilindros, conos, esferas y planos; y muestra las transformaciones de las integrales a las coordenadas apropiadas. También asigna como tarea al estudiante calcular seis integrales triples usando estas técnicas.
Este documento presenta diferentes métodos para la derivación e integración numérica. Explica cómo calcular la primera y segunda derivada de una función utilizando aproximaciones de diferencias finitas con 2 y 3 puntos. También describe cómo aplicar la extrapolación de Richardson para mejorar la precisión de los cálculos de derivadas numéricas. Finalmente, introduce un método para calcular derivadas en puntos no equiespaciados usando interpolación polinómica.
Este documento contiene información sobre funciones, operadores, polinomios, el teorema del resto y el método de Horner. Presenta 29 problemas con sus respectivas soluciones en video sobre el análisis y propiedades de funciones.
Propuestos de calculo de integrales dobles y tripleswalterabel03
Este documento presenta una serie de ejercicios propuestos relacionados con el cálculo de integrales múltiples y sus aplicaciones. Se dividen los ejercicios en cuatro secciones correspondientes a los capítulos previos: 1) estimación de volúmenes y resolución de integrales dobles; 2) cálculo de integrales triples; 3) cálculo de áreas, volúmenes, centros de masa y momentos de inercia; 4) uso de cambios de variables en el cálculo de integrales múltiples. Los ejercicios involuc
Este documento describe los conceptos fundamentales de la integración o antiderivación. Explica que una función F es una primitiva de f si su derivada es f, y que cualquier función de la forma F(x)+C también es una primitiva de f. Además, introduce las nociones de integral indefinida, integral definida, y el Teorema Fundamental del Cálculo.
Este documento resume el tema de la integral definida y sus aplicaciones para calcular áreas y volúmenes. La integral definida se utiliza para calcular el área bajo una curva entre dos puntos, y tiene propiedades como la linealidad y que depende del intervalo pero no de la variable de integración. El documento explica cómo calcular áreas entre curvas, así como volúmenes de cuerpos de revolución utilizando la integral definida.
1. La integral definida calcula el área comprendida entre una curva y el eje X en un intervalo, aplicando la regla de Barrow. 2. Se estudian aplicaciones del cálculo de áreas como entre el eje X y una función, entre dos funciones, y volúmenes por secciones y de revolución. 3. El documento explica cómo calcular estas áreas mediante la integral definida y da ejemplos para ilustrar los conceptos.
Problemas resueltos integrales dobles y triplesortari2014
Este documento presenta 30 problemas resueltos y 30 problemas propuestos sobre integración múltiple. La primera parte explica métodos y soluciones de problemas tipo sobre este tema, mientras que la segunda parte incluye problemas para que el lector pruebe sus conocimientos y algunas soluciones. El documento está dirigido a estudiantes de cálculo en varias variables pero puede ser útil para cualquier persona interesada en el tema.
Este documento describe métodos de integración numérica como la regla del trapecio simple y compuesta. La regla del trapecio simple aproxima el área bajo una curva mediante un trapecio. La regla del trapecio compuesta divide el área en subintervalos y aplica la regla del trapecio en cada uno para obtener una mejor aproximación. El documento provee ejemplos para ilustrar cómo aplicar estos métodos y cómo el error se reduce al aumentar el número de subintervalos.
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Este documento presenta tres métodos numéricos para aproximar el valor de integrales definidas: el método de los rectángulos, el método de los trapecios y el método de Simpson. Explica las fórmulas para cada método y cómo dividir el intervalo de integración en subintervalos para mejorar la aproximación. También incluye problemas de ejemplo para aplicar los métodos y comparar sus resultados.
Este documento presenta métodos numéricos para aproximar integrales. Explica que cuando una función es difícil de integrar directamente o está tabulada, se deben usar métodos aproximados como las fórmulas de Newton-Cotes. Estas se basan en reemplazar la función con polinomios que son más fáciles de integrar. Luego describe las reglas del trapecio simple y compuesta, las cuales dividen el área bajo la curva en trapecios para aproximar la integral. Finalmente introduce las reglas de Simpson, que usan polinomios de grado
El documento describe diferentes métodos de diferenciación numérica por 3 y 5 puntos para aproximar la derivada de una función. Presenta las fórmulas para aproximar la derivada usando puntos hacia la derecha, izquierda y en el medio para 3 puntos, y una fórmula para 5 puntos. Luego aplica los métodos a una función exponencial para comparar los errores obtenidos.
Este documento trata sobre el cálculo integral definido y el área bajo la curva. Explica la notación de suma, cómo aproximar el área bajo la curva mediante sumas de Riemann, la definición formal de la integral definida y algunas de sus propiedades como la linealidad. Finalmente, presenta ejemplos resueltos de cálculo de áreas y demostraciones de propiedades de la integral definida.
El documento describe diferentes métodos para calcular la integral definida numéricamente, como la fórmula de los trapecios, la regla de Simpson, el método de Romberg, y la cuadratura de Gauss. Explica los algoritmos para aplicar estos métodos y calcular la integral aproximada de una función en un intervalo dado.
Este documento presenta la solución a 5 problemas de cálculo propuestos como práctica calificada. En la primera pregunta se demuestra una desigualdad triangular para valores absolutos. En la segunda pregunta se utiliza inducción matemática. La tercera pregunta trata sobre conjuntos acotados y operaciones entre ellos. La cuarta pregunta involucra funciones acotadas y sus supremos. La quinta y última pregunta compara ínfimos de conjuntos incluidos.
Este documento trata sobre campos vectoriales y sus propiedades. Introduce conceptos como campos vectoriales, gradiente, divergencia, rotacional, integrales de línea y superficie. Explica cómo calcular integrales de línea y superficie para campos escalares y vectoriales. Además, define campos conservativos y presenta teoremas como el de Green y Stokes. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular diferentes tipos de integrales y aplicar los teoremas mencionados.
Este documento presenta problemas de cálculo de integrales triples. Resuelve integrales en regiones limitadas por paraboloides, hiperboloides, cilindros y tetraedros. También cubre cambios de coordenadas y descomposición de integrales para resolverlas.
El documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con el cálculo de derivadas. Se incluyen preguntas tipo test sobre tasas de variación media, rectas tangentes, derivadas de funciones compuestas y derivabilidad. También contiene ejercicios para calcular derivadas, analizar derivabilidad y hallar valores que hagan derivable una función.
Este documento describe el método de las sumas de Riemann para calcular el área bajo una curva. Dividimos el área en rectángulos de anchura uniforme y calculamos el área de cada rectángulo usando la altura de la función en los puntos medios de cada intervalo. La suma de estas áreas de los rectángulos aproxima el área total bajo la curva a medida que aumentamos el número de subdivisiones. El Teorema Fundamental del Cálculo establece que esta aproximación converge al valor de la integral definida cuando el ancho máximo
El documento trata sobre el Teorema Fundamental del Cálculo. 1) Proporciona un método para calcular integrales definidas sin necesidad de calcular límites de sumas de Riemann. 2) Muestra que la derivación e integración son procesos inversos. 3) Explica que si F es una primitiva continua de f, entonces F'(c)=f(c) para todo c en el intervalo.
Este documento presenta varios ejemplos de cálculo de integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas. Incluye la evaluación de integrales dentro de regiones delimitadas por cilindros, conos, esferas y planos; y muestra las transformaciones de las integrales a las coordenadas apropiadas. También asigna como tarea al estudiante calcular seis integrales triples usando estas técnicas.
Este documento presenta diferentes métodos para la derivación e integración numérica. Explica cómo calcular la primera y segunda derivada de una función utilizando aproximaciones de diferencias finitas con 2 y 3 puntos. También describe cómo aplicar la extrapolación de Richardson para mejorar la precisión de los cálculos de derivadas numéricas. Finalmente, introduce un método para calcular derivadas en puntos no equiespaciados usando interpolación polinómica.
Este documento contiene información sobre funciones, operadores, polinomios, el teorema del resto y el método de Horner. Presenta 29 problemas con sus respectivas soluciones en video sobre el análisis y propiedades de funciones.
Propuestos de calculo de integrales dobles y tripleswalterabel03
Este documento presenta una serie de ejercicios propuestos relacionados con el cálculo de integrales múltiples y sus aplicaciones. Se dividen los ejercicios en cuatro secciones correspondientes a los capítulos previos: 1) estimación de volúmenes y resolución de integrales dobles; 2) cálculo de integrales triples; 3) cálculo de áreas, volúmenes, centros de masa y momentos de inercia; 4) uso de cambios de variables en el cálculo de integrales múltiples. Los ejercicios involuc
Este documento describe los conceptos fundamentales de la integración o antiderivación. Explica que una función F es una primitiva de f si su derivada es f, y que cualquier función de la forma F(x)+C también es una primitiva de f. Además, introduce las nociones de integral indefinida, integral definida, y el Teorema Fundamental del Cálculo.
Este documento resume el tema de la integral definida y sus aplicaciones para calcular áreas y volúmenes. La integral definida se utiliza para calcular el área bajo una curva entre dos puntos, y tiene propiedades como la linealidad y que depende del intervalo pero no de la variable de integración. El documento explica cómo calcular áreas entre curvas, así como volúmenes de cuerpos de revolución utilizando la integral definida.
1. La integral definida calcula el área comprendida entre una curva y el eje X en un intervalo, aplicando la regla de Barrow. 2. Se estudian aplicaciones del cálculo de áreas como entre el eje X y una función, entre dos funciones, y volúmenes por secciones y de revolución. 3. El documento explica cómo calcular estas áreas mediante la integral definida y da ejemplos para ilustrar los conceptos.
Problemas resueltos integrales dobles y triplesortari2014
Este documento presenta 30 problemas resueltos y 30 problemas propuestos sobre integración múltiple. La primera parte explica métodos y soluciones de problemas tipo sobre este tema, mientras que la segunda parte incluye problemas para que el lector pruebe sus conocimientos y algunas soluciones. El documento está dirigido a estudiantes de cálculo en varias variables pero puede ser útil para cualquier persona interesada en el tema.
I. El documento presenta los conceptos básicos de la integral indefinida y algunas de sus propiedades y métodos de cálculo como las integrales inmediatas, la integración por partes y la integración por sustitución.
II. Se explica que una primitiva de una función f(x) es aquella función G(x) cuya derivada es f(x) y que la integral indefinida representa el conjunto de todas las primitivas de f(x) de la forma G(x)+C.
III. Se describen métodos como la descomposición en fracciones
Este documento describe los conceptos básicos del cálculo integral, incluyendo las primitivas, la integral indefinida, las propiedades de la integral indefinida, las integrales inmediatas, la integración por partes, la integración por sustitución y la integración de funciones racionales. Explica cómo calcular primitivas, integrales indefinidas y cómo aplicar diferentes métodos para resolver integrales definidas.
Este documento describe los conceptos básicos de las integrales indefinidas y sus propiedades. Explica que una integral indefinida representa el conjunto de todas las primitivas de una función, y que las primitivas se diferencian solo en una constante. También presenta varios métodos para calcular integrales indefinidas, como integrales inmediatas, integración por partes e integración por sustitución.
El documento trata sobre cálculo vectorial. Explica conceptos como campos vectoriales, gradiente, divergencia, rotacional, integrales de línea y superficie. Los objetivos son que los estudiantes aprendan a calcular diferentes tipos de integrales vectoriales y aplicar teoremas como el de Green, Stokes y Gauss.
Este documento trata sobre el concepto de primitiva e integral indefinida. Explica que una función G(x) es primitiva de f(x) si G'(x)=f(x), y que la integral indefinida de f(x) es el conjunto de todas sus primitivas. Además, presenta propiedades de la integral indefinida y diferentes métodos para calcularla, como integrales inmediatas, integración por partes e integración por sustitución.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de las integrales indefinidas, incluyendo las primitivas de una función, la notación de la integral indefinida, las propiedades de la integral indefinida y las integrales inmediatas. También explica métodos como la integración por partes, la sustitución y la descomposición en fracciones simples para calcular integrales indefinidas.
Este documento describe conceptos básicos sobre primitivas e integrales indefinidas. Explica que una función G(x) es una primitiva de f(x) si G'(x)=f(x). También cubre propiedades de las primitivas como que se diferencian en una constante, y propiedades de la integral indefinida como que puede separarse funciones y constantes. Finalmente, presenta métodos para calcular integrales como integrales inmediatas, integración por partes e integración por sustitución.
Este documento presenta tres métodos numéricos para aproximar el valor de integrales definidas: el método de los rectángulos, el método de los trapecios y el método de Simpson. Explica las fórmulas para cada método y cómo dividir el intervalo de integración en subintervalos para mejorar la aproximación. También incluye problemas de ejemplo para aplicar los métodos y comparar sus resultados.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de las integrales indefinidas y sus propiedades. Explica cómo calcular integrales inmediatas mediante tablas de derivadas y cómo aplicar técnicas como la integración por partes y el cambio de variable para calcular otras integrales. También introduce la descomposición de funciones racionales en fracciones simples para integrarlas.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de las integrales indefinidas y sus propiedades. Explica cómo calcular integrales inmediatas mediante tablas de derivadas y el uso de la integración por partes, sustitución y descomposición en fracciones simples para integrales más complejas. Proporciona ejemplos detallados de cada método.
Este documento introduce el concepto de integral definida como el límite de una suma de áreas. Explica cómo dividir un intervalo en subintervalos para aproximar el área bajo una curva mediante rectángulos, y cómo hacer que la suma se aproxime al área total al reducir el tamaño de los subintervalos. También establece las definiciones matemáticas precisas de suma inferior, suma superior e integral de Riemann, y analiza las condiciones para que una función sea integrable.
1) Se introduce el concepto de primitiva o antiderivada de una función y la integral indefinida.
2) Se explican propiedades de la integral indefinida y se presentan ejemplos de integrales inmediatas.
3) Se describen métodos para calcular integrales más complejas, como la integración por partes, sustitución o cambio de variable, e integración de funciones racionales.
Este documento presenta una introducción al concepto de derivada de funciones. Explica cómo calcular la pendiente de una recta tangente a una función en un punto, lo que conduce al concepto de derivada como un límite. Luego define formalmente la derivada de una función y presenta ejemplos de cómo calcular derivadas de funciones comunes usando esta definición. Finalmente, discute brevemente cuándo una función puede no ser diferenciable.
El documento describe diferentes tipos de funciones matemáticas incluyendo funciones constantes, identidad, afines, cuadráticas, raíz cuadrada, valor absoluto y máximo entero. Proporciona las ecuaciones y gráficas que representan cada tipo de función. También incluye ejemplos de problemas resueltos sobre cómo graficar funciones y calcular áreas bajo curvas.
El documento trata sobre el concepto de derivada en matemáticas. Explica que la derivada mide la rapidez del cambio de una función según cambia su variable independiente y que se calcula como el límite de la rapidez de cambio promedio en un intervalo. También describe la derivada como la pendiente de una curva tangente y presenta las reglas para calcular derivadas de funciones simples y compuestas.
1) El documento introduce el concepto de integral indefinida y primitiva de una función, así como propiedades importantes como que si F(x) es una primitiva de f(x), entonces F(x)+C también lo es para cualquier constante C.
2) Se definen algunas integrales básicas o inmediatas cuyo integrando es la derivada de una función conocida, como las integrales del seno, coseno, exponencial, logaritmo y otras funciones.
3) Se describen tres técnicas para calcular integrales: cambio de variable,
1) El documento presenta los conceptos fundamentales de la integral definida, incluyendo la suma inferior y superior asociadas a una partición, y cómo el límite común de estas sucesiones define el área bajo una curva.
2) Se explica que la integral definida generaliza el cálculo del área para funciones que pueden tomar valores positivos o negativos, y se define la integrabilidad.
3) Finalmente, se establece la relación entre la integral y la derivada a través del teorema fundamental del cálculo, el cual establece que la derivada
El documento presenta varios ejercicios relacionados con la interpolación de datos mediante polinomios. Se construyen polinomios de interpolación para diferentes tablas de datos utilizando métodos como diferencias divididas y Newton. Los polinomios se usan para calcular áreas bajo la curva y se compara el error entre diferentes polinomios.
Este documento discute los paradigmas tecnoeconómicos y las oleadas de desarrollo tecnológico y económico a lo largo de la historia. Explica que la historia económica mundial ha experimentado ciclos de crecimiento y decrecimiento de 50-60 años, impulsados por revoluciones tecnológicas sucesivas. También analiza la actual revolución informática y cómo ha transformado la sociedad e impulsado un nuevo paradigma tecnoeconómico global.
Este resumen describe 3 casos relacionados con problemas gerenciales en empresas. El primer caso involucra a un jefe de sección que no cumple con las metas ni sigue las instrucciones de sus superiores. El segundo caso trata sobre un empleado nuevo cuya actitud genera quejas entre sus compañeras. El tercer caso se refiere a un proyecto asignado a un grupo de jóvenes ejecutivos que enfrentan desafíos de comunicación y trabajo en equipo.
Este documento presenta tres casos relacionados con la gestión empresarial. El primer caso describe problemas de motivación, comunicación y liderazgo en un departamento. El segundo caso involucra quejas de empleadas sobre la actitud de un nuevo empleado. El tercer caso trata sobre desafíos de comunicación y división en un equipo de jóvenes ejecutivos asignados a un nuevo proyecto.
El documento fue elaborado por Henry Miguel Mendoza. Trata sobre un tema no especificado. No proporciona ninguna información adicional sobre el contenido o propósito del documento.
Cmpetencias para emprendedores henry mendozaNelson Piñero
Este documento presenta una introducción al concepto de emprendimiento y los diferentes tipos de emprendimientos y emprendedores. Define emprendimiento como el arte de emprender y generar riqueza más allá de la certidumbre y los recursos iniciales. Explora los emprendimientos por necesidad, estilo de vida u oportunidad, así como los emprendedores informales, corporativos, seriales, sociales y profesionales. También discute factores internos y externos que influyen en la actividad emprendedora y competencias genéricas y específicas neces
Roldelaciencia y la tecnologiaandresescalonaNelson Piñero
La ciencia y tecnología son factores cruciales para el desarrollo de las sociedades posindustriales. Estas sociedades se caracterizan por una economía basada en los servicios y el conocimiento, donde la investigación y la innovación tecnológica impulsan la productividad. Los trabajadores se especializan en tareas no manuales que requieren habilidades científicas y de comunicación. La información se ha convertido en un recurso valioso, y las sociedades de conocimiento dependen de la generación, control y transferencia de información a trav
Programa para suma y multiplicacion nelsonNelson Piñero
Este documento presenta un programa en C para sumar y multiplicar dos números decimales utilizando funciones. El programa solicita al usuario que ingrese dos números, los suma y multiplica, y luego imprime los resultados con dos decimales.
1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
ESCUELA DE INGENIERIA
CABUDARE ESTADO LARA
UNIDAD I
MATEMATICA II
HERNAN ARCAYA
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
1
2. INTEGRAL DEFINIDA
El rectángulo inscrito sobre el i-esimo termino sub intervalo [xi-1, xi] tiene altura f (xi-1),
mientras que el i-esimo rectángulo circunscrito tiene una altura f(xi). Como la base de
cada rectángulo tiene una longitud ∆x las áreas de estos rectángulos son f (xi-1) ∆x y
f (xi) ∆x.
y
f(xi)
x
a=x0 xi-1 xi xn=b
Al sumar las áreas de los rectángulos inscritos para i = 1, 2, 3 ….. n obtenemos la
subestimación
( ) xxfAn
n
i
i ∆−= ∑=1
1
del área real A
De manera análoga la suma de las áreas de los rectángulos circunscritos es la
sobreestimación
( ) xxfAn
n
i
i ∆= ∑=1
La desigualdad implica que An ≤ A ≤ An , entonces
( ) ( )∑∑ ==
∆≤≤∆−
n
i
i
n
i
i xxfAxxf
11
1
Las desigualdades se invierten si f`(x) fuera decreciente. Si el número n de
subintervalos es muy grande, de modo que ∆x sea muy pequeño, entonces la
diferencia entre las áreas An y An de los polígonos inscritos y circunscritos será
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
2
f (xi
-1)
3. muy pequeña. Por tanto ambos valores serán muy cercanos al área real A de la
región R.
( ) ( ) ∆Χ−=− afbfAnAn
Pero ( ) 0→
−
=∆Χ
n
ab , cuando ∞→n
El área de la región R está dada por:
( ) ( )∑ ∆
=
−
∞→
∑
=∞→
=∆Χ=
n
i
i
n
n
i
i
n
xfA xxf
1
1
1
limlim
Al aplicar la fórmula o Ecuación recordemos que n
ab
x
−
=∆ y xiax ∆+=1 para i=0, 1, 2,
…..n pues xi está a i pasos de longitud x∆ a la derecha de a=Χ0
Ejemplos.
1) Determinar el área bajo la gráfica de f(x)=x2
en el intervalo [ ]3,0 .
Solución:
Si dividimos [ 0, 3] en n subintervalos, de la misma longitud.
nnn
ab
x
303
=
−
=
−
=∆ ⇒
n
x
3
=∆
xiaxi ∆+= ⇒
n
ixi
3
0 +=
Por tanto: ∑ ∑= =
∆=∆
n
i
n
i
ii xxxxf
1 1
2
)()( sustituimos
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
3
4. 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
∑∑ ==
=
n
i
n
i n
i
nn
i
1
2
2
1
2
2733
aplicando propiedad de sumatorias,
= ∑=
n
i
i
n 1
2
2
27
aplicamos la fórmula de sumatoria
++= nnn
n 6
1
2
1
3
127 23
2 aplicamos límite cuando ∞→n
9
3
1
27
6
1
2
1
3
1
27 2lim =
=
++=
∞→ nn
A
n
pues n2
1
y 2
6
1
n
tienden a cero cuando
∞→n ..
. A = 9u2
y = x2
A = 9u2
Ejemplo:
2) Determine el área bajo la gráfica de f(x):100-3x2
de x=1 a x=5
Solución: El intervalo es [ 1 , 5 ]
nnn
ab
x
415
=
−
=
−
=∆
xiaxi ∆+=
+=
n
ixi
4
1 ⇒
n
i
xi
4
1+= Ahora apliquemos la fórmula
( ) [ ] xxxxf
n
i
n
i
∆−=∆= ∑ ∑= =1 1
2
3100
+−= ∑= nn
in
i
44
13100
1
2
++−= ∑= nn
i
n
in
i
4168
13100
1
2
2
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
4
xi-1 xi
∆x
5.
−−−= ∑= nn
i
n
in
i
44824
3100
1
2
2
[ ]
−−= ∑= nn
i
n
in
i
44824
97
1
2
2
∑=
−−=
n
i n
i
n
i
n1
3
2
2
19296388
∑ ∑ ∑= = =
−−=
n
i
n
i
n
i
i
n
i
nn 1 1 1
2
32
19296
1
388
aplicamos fórmulas correspondientes a cada caso.
⇒ ( ) [ ] ( )
++−
+−=∆−=∆ ∑∑ ==
nnn
n
nn
n
n
n
xxxxf
n
i
n
i 6
1
2
1
3
1192
2
1
2
196388
3100 23
3
2
2
1
2
1
Simplificamos (n) 2
3296
64
48
48388
nnn
−−−−−=
2
32144
276
nn
−−= -
Aplicamos límite
276
32144
276 3lim =
−−=
∞→ nn
A
n
A=276 u2
SUMAS DE RIEMANN
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
5
6. Las sumas de aproximación en la ecuación ( )∑=
− ∆
n
i
i xxf
1
1 y ( )∑=
∆
n
i
i xxf
1
son ambas de la
forma ( )xxf
n
ni
i ∆∑=
* donde xi
*
es un punto seleccionado en el iésimo subintervalo [ ]ii xx ,1−
a = x0
*
1x x1
*
2x x2 …… xi-1
*
ix xi
*
nx xn = b
Una función f definida en [a , b ] que no necesariamente es continua o positiva. Una
partición P de [ a , b ] es una colección de subintervalos
[x0, x1], [x1, x2], [x2, x3],….[xn-1, xn] de [a , b] de modo que a = x0 < x1 < x2 < x3 < ….. < xn-1
< xn = b
La NORMA de la partición P es el máximo de las longitudes 1−−=∆ iii xxx de los
subintervalos en P y se denota P .
Para obtener una suma como ( )∑=
∆
n
i
i xxf
1
*
, necesitamos un punto *
ix en el iésimo
subintervalo para cada i, 1 ≤ i ≤ n. Una colección de puntos { }**
3
*
2 ,.....,*, ni xxxxS = donde
*,ix en [ ]ii xx ,1− (para cada i) es una selección para la partición P.
Esto define la suma de Riemann para una función f en un intervalo [a , b ], S una
selección para P, entonces la suma de Riemamn ( )∑=
∆=
n
i
ii xxfR
1
*
En la siguiente gráfica de la función ( ) 562 23
+−= xxxf en el intervalo [0, 3]
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6
8. LA INTEGRAL DEFINIDA SEGÚN RIEMANN
El matemático alemán G . F. B Riemann (1826 -1866) Proporcionó una definición
rigurosa de la integral.
Definición: La integral definida de la función f de a a b es el número
( ) i
n
i
i
p
xxfI ∆= ∑=→ 1
*
0
lim
Siempre que el límite exista, en cuyo caso decimos que f es integrable en [a, b]. La
ecuación significa que, para cada número ε > 0, existe un número ε > 0 tal que
( ) i
n
i
i xxfI ∆−∑=1
*
< ε
Para cada suma de Riemann asociada con una partición arbitraria P de [a, b] para la que
P < ε
Nota: La palabra límite se usa para denotar el número mínimo y el número máximo del
intervalo [a, b] y no tiene nada que ver con las definiciones de límite dadas
anteriormente.
La notación usual para la integral de f de a a b, debida al filósofo y matemático alemán G.
W Leibniz, es:
Esta notación integral no solo es altamente sugerente, sino que también es útil, en
extremo para el manejo de las integrales. Los números a y b son el limite inferior y el
limite superior de la integral, respectivamente, son los extremos del intervalo de
integración.
La variable x se puede reemplazar por cualquier otra variable sin afectar el significado de
la Ecuación.
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8
9. Así si f es integrable en [a, b] , entonces
( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫==
b
a
b
a
b
a
duufdttfdxxf ; ( )xf es el integrando.
La integral dada, de la integral definida, se aplica solamente cuando a < b, pero es
conveniente incluir, cuando a > b y a = b.
* Si a = b ( )∫ =
b
a
dxxf 0
* Si a > b ( ) ( )∫ ∫−=
b
a
a
b
dxxfdxxf
Definición: Se llama integral definida entre a y b de f(x), y se denota ( )∫
b
a
dxxf al área de
la porción del plano limitado por la grafica de la función f(x), el eje x y las rectas x = a y
x = b.
TEOREMA DE EVALUACIÓN DE INTEGRALES
“ Si G es una primitiva de la función continua f en G(b) – G(a) se abrevia generalmente [
G(x) ]a
b
entonces ( ) ( ) ( )aGbGdxxf
b
a
−=∫
Ejemplo: Evaluar
1) [ ] ( ) ( )∫
Π
Π
−−Π−=−=
0
0 0coscoscos xsenxdx
= - (-1) – (-1)
= +1 + 1 = 2
2) ( ) ( )
3
32
0
6
64
0
6
1
2
6
1
6
1 66
2
0
2
0
65
=−=−=
=∫ XdxX
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9
10. 3) ( )∫
−−=−− −
9
1
9
1
2/12
2/1
3
2/12
232 x
xx
dxXX
[ ]
( ) ( ) ( )
52
24480
19319219
32
2/12/122
9
1
2/12
=
−−=
−−−−−=
−−= xxx
Propiedades de las Integrales Definidas
Sea f una función integrable en [ ]ba, :
Propiedad 1:
( )∫ =
b
a
dxxf 0 Es decir, si la base del área de la región bajo la curva es cero, el área es
cero.
Propiedad 2:
( )∫
b
a
dxxf > 0 , ∀x ∈ [ ]ba, y f(x) > 0, Es decir, el área de la región bajo la curva
siempre será positiva si f(x) es positiva.
Propiedad 3:
( )∫
b
a
dxxf < 0, ∀x ∈ [ ]ba, y f(x) < 0, Es decir, el área de la región bajo la curva siempre
será negativa si f(x) es negativa.
Propiedad 4:
( )∫
c
a
dxxf = ( )∫
b
a
dxxf + ( )∫
c
b
dxxf , Si f es una función integrable en un intervalo que
contiene los puntos a, b, c talque a < b < c.
Propiedad 5:
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10
11. ( ) ( )[ ]∫ =±
b
a
dxxgxf ( )∫
b
a
dxxf ( )∫±
b
a
dxxg Si f y g son funciones integrables en [a,b].
Propiedad 6:
( ) kdxxKf
b
a
=∫ ∫
b
a
dxxf )( para toda constante k
Propiedad 7:
∫
b
a
dxxf )( = - ∫
a
b
dxxf )( Al intercambiar los limites de integración cambia el signo de la
integral.
Propiedad 8:
∫
b
a
dxxf )( ≥ ( )∫
b
a
dxxg Si f y g son funciones integrables [a,b] y si f(x) ≥ g(x).
Propiedad 9:
( )∫ −=
b
a
abKKdx Es decir, si la función es constante su integral es el producto de la
constante por la diferencia de los límites de integración.
Ejemplos
Calcular la integral definida de las siguientes funciones:
1) ∫
5
2
7dx
Solución : como es una constante, entonces: ∫
5
2
7dx = 7(5-2) = 7(3) = 21 (Por prop. 9)
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11
14. f) ( )∫ −
4
0
2/32/5
57 dxxx
R/ = 192
g) ( )∫−
+
0
1
3
1 dxx
R/ = 1/4
h)
∫
∏
8
0
2
sec tdt
R/ = 1/2
i) ∫
∏ 4/
0
cos xdxsenx
R/ = 1/4
j) ∫
∏
2
0
4
cos dx
x R/ = 4/ ∏
k) ∫
3
1
2/
dxxex R/ = 23.37
l) ∫
+
2
0
12
3 dxxex
R/ = 3/2 e (e2
-1)
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] y F es una primitiva de f en [a, b],
entonces ( )dxxf
b
a∫ = F(b) – F(a); la diferencia F(b) – F(a) se denota por el símbolo
b
axf )]( o por [ ]b
axF )( .
Estrategia para usar el teorema fundamental del cálculo
1. Supuesta conocida una primitiva de f, disponemos de un nuevo recurso para calcular
integrales definidas que no requiere hallar el límite de una suma.
2. Use la siguiente notación para aplicar el teorema fundamental del cálculo
∫
b
a
dxxf )( = ]b
axF )( = F(b) – F(a).
Nota: No es necesario incluir una constante de integración C en la primitiva.
Ocurren los siguientes casos:
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14
15. 1)Si a > b se tiene ( ) ( )∫∫ −=
a
b
b
a
dxxfdxxf
=- [F(a) – F(b)]
= F(b) – F(a)
2) a = b se tiene
∫
a
a
( ) ( ) ( )aFaFdxxf −== 0
Ejemplos
Evaluar
a) ( ) ]∫−
−−=−
3
2
3
2
3
2
5
3
656 x
x
dxx
]3
2
3
52 −−= xx
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]
[ ] [ ]
( )
45
639
10161554
108215272
25223532
33
=
−−=
+−−−=
+−−−=
−−−−−=
b) ( ) ]∫ +−=+−
0
2
0
2
23
2
2
2
3
3
2
232 x
xx
dxxx
( ) ( ) ( ) ( )
+−−
+−−= 02
2
0
3
3
0
222
2
2
3
3
2
2
2323
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
15
16. ( ) ( )
3
10
3
10
1
2
3
16
046
3
8
2
−=
−=
−=
−
+−=
c) ( ) ( ) ( )
∫ ∫ =−=
==
4
4
4
4
2/32/34
4
2/3
2/1
0
2/3
4
3
2/3
4
3
2/3
333
x
dxxdxx
* Aplicación del teorema fundamental del cálculo para hallar un área.
d) Calcular el área de la región acotada por la gráfica f(x) = x2
en el intervalo [ ]3,0 nótese
que y > 2.
Área = ]∫ =
3
0
3
0
3
2
3
x
dxx .
2
33
9
3
0
3
3
u=
−=
Nota: Este ejercicio esta resuelto al inicio de la unidad usando sumatoria.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES DEFINIDAS
Si f es continua en el intervalo cerrado [ ]ba, , entonces existe un número “c” en [ ]ba, tal
que ∫ −=
b
a
abcfdxxf ))(()( , c puede ser cualquier punto de [ ]ba, .
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
16
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
17. Si despejamos f(c) tendríamos:
∫−
=
b
a
dxxf
ab
cf )(
1
)( obteniéndose así la definición del valor medio de una función en un
intervalo cuyo teorema es:
“Si f es integrable en el intervalo cerrado [ ]ba, , el valor medio de f en [a,b) es
f med ∫−
=
b
a
dxxf
ab
)(
1
”
Ejemplo
a) Halle el valor medio de xxxf 23)( 2
−= en el intervalo [1,4] en este caso a =1, b = 4
f med ( ) [ ]∫ ∫ −=
−=−
−
=
−
=
b
a
xx
xx
dxxxdxxf
ab
4
1
4
1
23
4
1
23
2
3
1
2
2
3
3
3
1
23
14
1
)(
1
( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]
( )( ) ( ) ( )
16
48
3
1
01664
3
1
1144
3
1 2323
=
=−−=
−−−=
GRAFICO
f(x) = 3x2
-2x
x Y
1 1
2 8
3 23
4 40
La figura muestra que el área de la región bajo la grafica de f es igual al área del
rectángulo cuya altura es el valor medio.
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
17
18. b) Encuentre un número c que satisfaga la conclusión del teorema del valor medio para la
siguiente integral definida ∫ −=
3
0
2
))(( abcfdxx
Recordemos que esta ya es un área conocida igual a 9 unidades cuadradas, por tanto
∫ −=
3
0
2
))(( abcfdxx
] ( )
3)(
)(
3
9
)3)((9
)3)((
3
3
03)(
3
3
3
0
3
==
==
==
==
−==
cf
cf
cf
cf
cf
x
Como f(x) = x2
entonces c2
= 3
c = 3 que es valor que satisface la conclusión del teorema.
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
En varias ciencias, como las ciencias sociales, frecuentemente aparecen funciones en las
que se conocen de ellas solo su gráfica o algunos puntos de la misma. En estos casos no
es posible calcular la antiderivada de la función para determinar el área de la región
limitada por dicha función. Existe un método que proporciona una aproximación al valor
del área y que se conoce con el nombre de “INTEGRACIÓN NUMÉRICA”. Este método
se utiliza en los casos en que es muy complicado o imposible obtener la antiderivada de
la función.
Para aproximar el área de una región usaremos los siguientes métodos:
1) Método del Trapecio
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
18
19. Una forma de aproximar el valor de una integral definida es usar “n” trapecios como lo
muestra la figura:
x = 0 x1 x2 x3 x4 = b
En este método se supone que f es continua y positiva en [ ]ba, de manera que la integral
∫
b
a
dxxf )(
representa el área de la región limitada por la grafica de f y el eje x, entre x=a y x=b.
En primer lugar partimos [ ]ba, en n subintervalos, cada uno de anchura n
ab
x
−
=∆ tales
que a= nxxxx <<< ...210 = b
A continuación formamos un trapecio sobre cada subintervalo como lo muestra la figura
f(x0)
f (x1)
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19
20. 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
x0 x1
n
ab −
donde el área del i-ésimo trapecio =
( )
−
+−
n
abxfxf ii
2
)(1
por tanto la suma de las áreas
de los n trapecios es:
Área = [ ])()(...)()(
22
)()(
...
2
)()(
110
110
nn
nn
xfxfxfxf
n
abxfxfxfxf
n
ab
+++
−
=
+
++
+−
−
−
[ ]∫ ++++
−
= −
b
a
nn xfxfxfxf
n
ab
dxxf )()(2...)(2)(
2
)( 110 que es la regla del trapecio para
aproximar ∫
b
a
dxxf )(
Ejemplo:
1) Use la regla de los trapecio para estimar ∫
3
0
2
dxx con n=5
Primero calcular 5
3
5
03
=
−
=
−
=∆
n
ab
x
3,4.2,8.1,2.1,6.0,0 543210 ====== xxxxxx
Segundo aplicar la ecuación
= [ ])()(2...)(2)(2)(
2
1210 nn xfxfxfxfxf
n
ab
+++++
−
−
= [ ])9(2)76.5(2)24.3(2)44.1(2)36.0(20
)5(2
03
+++++
−
= [ ] 18.91852.1148.688.272.0
10
3
=++++ 2
U
y = x2
A = 9.18 u2
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
20