Este documento presenta una introducción al análisis no lineal de estructuras. Explica que el comportamiento de una estructura es no lineal cuando el material no es lineal o los desplazamientos no son pequeños. Luego analiza el caso de una barra sometida a fuerzas axiales y transversales constantes usando una ecuación diferencial no lineal, encontrando que la respuesta es lineal con respecto a las fuerzas transversales pero no lineal con respecto a las axiales. Finalmente, presenta el método de las deformaciones para resolver estructuras no lineales

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ANALISIS NO LINEAL DE ESTRUCTURAS
INTRODUCCION:
Hasta ahora hemos analizado estructuras con un comportamiento lineal, es decir donde se
cumple que entre causas y efectos existe una relación lineal. Para el cumplimiento de estas
premisas debían verificarse que el material es elástico lineal (material hookeano) y los
desplazamientos de la estructura son pequeños. Cuando no se cumple algunas de estas
premisas el comportamiento de la estructura es NO LINEAL.
La no-linealidad se puede deber solamente a que el material no es lineal y estamos en el
caso de NO-LINEALIDAD FISICA.
Si en cambio la no-linealidad se debe a que los desplazamientos en la estructura no son
pequeños estamos en el caso de NO-LINEALIDAD GEOMETRICA.
Para analizar todos estos tema estableceremos dos hipótesis dentro de las cuales
desarrollaremos una teoría que nos permitirá abordar problema sumamente complejos.
Hipótesis:
1. Material elástico
2. Los desplazamientos no son pequeños y no deben despreciarse en el análisis del
equilibrio.
Con respecto a esta última hipótesis cabe realizar algunas consideraciones respecto a la
magnitud de los desplazamientos. Estos pueden tomar distintos valores para los cuales se
puede hacer distintas aproximaciones que permiten arribar a soluciones matemáticas
sencillas sin perder por ello la precisión en los resultados.
Si se analiza el conjunto de deformaciones y desplazamientos se puede hacer las
siguientes consideraciones:
Caso 1. Las deformaciones específicas y los desplazamientos son pequeños.
Este es el caso del análisis de estructuras lineales donde los
desplazamientos son pequeños y el equilibrio se analiza sin tenerlos en
cuenta.
Caso 2. Las deformaciones específicas no son pequeñas y los desplazamientos
son pequeños.
En este es el caso del análisis de estructuras en régimen anelástico (cálculo
plástico), donde en ciertas zonas de la estructura se alcanza deformaciones
muy importantes que se traducen en la formación de articulaciones
plásticas, a pesar de las cuales los desplazamientos de la estructura se
mantienen pequeños y el equilibrio puede seguir siendo analizando sin
tenerlos en cuenta. Esta es una no-linealidad física.
Caso 3. Las deformaciones específicas son pequeñas y los desplazamientos no
son pequeños.
En este caso de un comportamiento no lineal de estructura debido a la no-
linealidad geométrica.

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Caso 4. Las deformaciones específicas y los desplazamientos no son pequeños.
En este caso corresponde a un comportamiento no-lineal geométrico y
físico.
En lo sigue nos limitaremos al análisis de los puntos 3 y 4, ya que el 1 y 2, ya fueron
tratados en el análisis de las estructuras en régimen lineal y en cálculo plástico.
El análisis de la no-linealidad geométrica se la suele subdividir de acuerdo a la forma de
cuantificar el valor del radio de curvatura χχχχ.
1) χχχχ = 1/r = y''/ (1+y'2
)3/2
2) χχχχ = 1/r = y'' = dθθθθ / dx = d2
y /dx2
El primer caso utiliza la expresión exacta de la curvatura y se denominada teoría de barras
de grandes deformaciones.
Nosotros utilizaremos la segunda expresión de la curvatura, que a pesar de ser
aproximada, la teoría desarrollada con ella arriba a resultados muy aceptables a través de
formulaciones matemáticas muy sencillas. Al final analizaremos un caso muy sencillo con
la primera expresión de la curvatura y podremos comparar los resultados con la teoría
desarrollada con la expresión aproximada de la curvatura.
Para empezar analizaremos un simple caso, a modo de ejemplo, de una barra sometida a
una carga transversal q constante y una fuerza axil P en sus extremos.
Si en el estudio del equilibrio tenemos en cuenta los desplazamientos de la barra, el valor
del momento flector a una distancia x vale:
M(x) = P y + R x + q x2
/2 = P y + Mt
Siendo Mt el momento flector de las cargas transversales, o sean aquellas generadas por R
y q.
La ecuación diferencial de la elástica cuya expresión es:
E.J y" = - M (x)
L
q
q
P
Q
y
x
P
P
E, J
P
M(x)
R

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Reemplazamos el valor M(x)
E J y" = - P.y - Mt y" + P/EJ y = - Mt /EJ
y" + k
2
. y = - Mt/EJ k = √√√√ P/EJ
Esta es una ecuación diferencial lineal de segundo orden no homogénea con coeficientes
constantes, cuya solución es:
y = y1 + y2
siendo:
y1: Solución de la ecuación homogénea, es decir de la ecuación diferencial igualada a cero
y1" + k
2
. y1 = 0
La solución de esta ecuación diferencial es del tipo
y1 = C1.sen(kx) + C2.cos(kx)
Esta solución tiene la particularidad de ser independiente de las cargas transversales y
depende únicamente de las propiedades de la barra y del esfuerzo axil P. Este aspecto es
sumamente importante para temas que trataremos mas adelante. A través de las
condiciones de borde podemos obtener el valor de las constantes C1 y C2.
y2: Solución particular de la ecuación diferencial que depende del término independiente,
es decir en este caso de la función Mt/EJ.
y2= f(Mt/EJ)
Esta expresión muestra que la solución es independiente de la carga axil P y dependen
solo de las cargas transversales. La solución y2 es una función lineal de las cargas, no así
y1 que es del tipo no lineal. O sea la respuesta y es del tipo lineal con respecto a las cargas
transversales y no lineal con respecto a P.
Como conclusión que podemos decir que si tenemos varias cargas transversales, las
solución de y1 es única e independiente de las mismas, a esta habrá que sumarle las
soluciones particulares que dependen de cada carga transversal.
y = y1 + y2a + y2b + y2c + .......
Continuemos analizando el caso de una viga simplemente apoyada y verificaremos lo
anteriormente enunciado.
La ecuación diferencial que gobierna el equilibrio, como vimos anteriormente
y" + k . y = - Mt/EJ
la solución de esta ecuación diferencial es:
y = y1 + y2
y1 = C1.sen(kx) + C2.cos(kx)
y2 = q/(2EJ) (2/k2
+ Lx – x2
)

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Las condiciones de borde son las siguientes:
x = 0 y = 0 M = 0
x = L y = 0 M = 0
reemplazando estas condiciones en la anterior ecuación obtenemos la solución final
y = q/(EJ k4
) . [ -(1-cos(kL) . sen(kx)/(sen)kL) + 1-cos(kx) + k2
/2 . (Lx - x2
)]
y a su vez si aplicamos la ecuación M = y" EJ podemos obtener la función momento
flector.
M = q/k2
[(1-cos(kL) . sen(kx)/sen(kL) + cos(kx) – 1]
en la parte central de la viga, cuando x = L/2 el descenso vertical y el momento flector
máximo valen:
y máx. = q/(EJ k4
) . [-(1-cos(kL) . sen(kL/2)/(sen)kL) + 1-cos(kL/2) + k2
L2
/8]
M máx. = q/k2
. (1 - cos(kL/2)) / (cos(kL/2)
Con estos valores podemos realizar gráficos entre las causas q y P, y obtener la respuesta
de la estructura analizada. Primero dejaremos fijo P y haremos variar q y obtenemos los
siguientes gráficos:
En estos gráficos podemos observar que existe una relación lineal entre causa (q) y efecto
(u y M) para distintos valores fijos de P. Esta es una conclusión sumamente importante
porque significa que si el esfuerzo axil se mantiene constate podremos utilizar el Principio
de Superposición y todos el andamiaje matemático desarrollado para las estructuras
lineales, como ser los métodos de resolución de estructuras indeterminadas (método de las
fuerzas y método de las deformaciones). Esta conclusión permite desarrollar métodos para
la resolución de estructuras donde sea necesario este tipo de análisis, aun en los casos en
que no se cumple que el esfuerzo axil se mantenga constante.
Si ahora mantenemos constante q y variamos P, tenemos los siguientes gráficos.
0
100
200
300
400
500
600
0.0E+00 1.0E+00 2.0E+00 3.0E+00 4.0E+00 5.0E+00 6.0E+00 7.0E+00
v (cm)
P(t)
q (t/m) = 1 q (t/m) = 5 q (t/m) = 10
0
100
200
300
400
500
600
0 1000 2000 3000 4000
M (tm)
P(t)
q (t/m) = 1 q (t/m) = 5 q (t/m) = 10
0
2
4
6
8
10
12
0.0E+00 2.0E-01 4.0E-01 6.0E-01 8.0E-01 1.0E+00
v (m)
q(t/m)
P (t)=0 P (t)=285 P (t)=400
0
2
4
6
8
10
12
0.00 100.00 200.00 300.00 400.00 500.00
M (tm)
P(t)
P (t) = 0 P (t) = 285 P (t) = 400

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En estos en cambio no existe linealidad entre causa P y los efectos u y M para distintos
valores de q constantes. La relación es no-lineal, muy acentuada e incluso indeterminada
para valores de q = 0 cuyos valores tienen una gran significación como veremos mas
adelante.
A continuación estudiaremos una forma de aplicar el método de las deformaciones que
nos permitirá resolver estructuras que por sus características es necesario este tipo de
análisis.
Para este fin primero analizaremos la barra aislada, o sea estudiaremos la matriz rigidez,
de la misma manera que lo hicimos en la teoría lineal.
Matriz rigidez de barra de segundo orden
Para simplificar sobre la barra no actúa otras cargas que los esfuerzos en sus extremos y
para este análisis seguiremos el mismo camino utilizado anteriormente, es decir
analizaremos el equilibrio de la barra en su estado deformado.
Mt = M1 - Qx
y" + k2
y = - (M1 - Q x) / E J
k2
= P / E J
Por razones de equilibrio se cumple
Q = (M1 + M2 + P vr ) / l
y" + k2
y = - (M1 (l - x) / l - M2 x / l – P vr x / l)
La solución es:
y = y1 + y2
y = C1 sen(kx) + C2 cos(kx) - (M1 (l-x) -M2 x)/(k EJ l) + vr x/l
A través de las condiciones de borde se pueden determinar el valor de todas las constantes
C1, C2, M1 y M2
E, J
L
P
u1
v1
v2
u2
v r
P
Q
P
x u
v
Q
M1P
M2

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Condiciones de borde:
x = 0 y = v1 y'= θθθθ1
x = l y = v2 y'= θθθθ2
Los valores de las constantes dan :
M1 = ( A θθθθ1 + B θθθθ2 - ( A + B ) (v2-v1) /L ) E J / L
M2 = ( B θθθθ1 + A θθθθ2 - ( A + B ) (v2-v1) /L ) E J / L
Para el esfuerzo de corte podemos tener las siguientes expresiones:
Q = ( M1 + M2 + P vr ) / l
Q = (( A + B ).( θθθθ1 + θθθθ2 ) - ( 2 ( A + B ) - D ) vr/l) E J / l
Los coeficientes A B D se denominan coeficientes de Pandeo o de Estabilidad y las
expresiones que las definen sus valores son:
A = (εεεεsen(e) - εεεε cos(εεεε)) / ( 2 (1-cos(εεεε) - εεεε sen(εεεε)))
B = (εεεε (εεεε - sen(εεεε)) / (2 (εεεε - cos(εεεε) – εεεε)
C = (εεεε sen(εεεε)) / ( sen(εεεε) - εεεε cos(εεεε))
εεεε = L √√√√ (P/E J)
Todas estas fórmulas corresponden para un esfuerzo de compresión, en el caso de que
este sea de tracción
εεεε = L √√√√(P/EJ) i siendo i = √√√√(-1) (εεεε i)2
= - εεεε2
cos(iεεεε) = Ch (εεεε)
sen (iεεεε) = i Sh(εεεε)
tg(iεεεε) = i Th(εεεε)
Para este caso los coeficientes de estabilidad valen:
A = (εεεε (Sh(εεεε) - εεεε Ch(εεεε)) /(2(Ch(εεεε) - 1) - εεεε sh(εεεε)))
B = (εεεε (εεεε - Sh(εεεε))) / (2(Ch(εεεε) - 1) - εεεε sh(εεεε)))
C = (εεεε Sh(εεεε)) / (εεεε Ch(e) - Sh(εεεε))
εεεε = √√√√ (P/EJ)
El valor de estos coeficientes se pueden observar en el gráfico adjunto. En el podemos
realizar las siguientes observaciones :
a) Para volares de εεεε = 0, los coeficientes de estabilidad coinciden los valores utilizados
en la teoría lineal
A = 4 B = 2 C = 3 D = 12

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b) Los coeficientes de estabilidad se anulan para determinados valores de εεεε, los cuales
tienen una significación muy importante como veremos más adelante.
Si el valor de estos coeficientes solo dependen del valor de P y por lo tanto son
independientes de los desplazamientos que los generan. O sea que los esfuerzos que se
originan en los extremos de las baras son funciones lineales de los desplazamientos si
mantiene constante el esfuerzo axil P. La linealidad cambia para cada valor distinto de P.
Si incorporamos el valor de P a las constantes geométricas y elásticas de la barras
podríamos decir que la relación entre causa y efecto es lineal. Este proceder nos una
poderosa arma para resolver problemas no lineales mediante los métodos lineales que han
sido sumamente desarrollados.
Finalmente la matriz rigidez de barra de segundo orden es la siguiente
px1
EF/L 0 0 -EF/L 0 0 u1
py1
0 (2(A+B)-D)EJ/L3
(A+B)EJ/L2
0 -(2(A+B)-D)EJ/L3
(A+B)EJ/L2
v1
m1 = 0 (A+B)EJ/L2
A EJ/L3
0 -(A+B)EJ/L2
B EJ/L3
x θ1
px2
-EF/L 0 0 EF/L 0 0 u2
py2
0 -(2(A+B)-D)EJ/L3
-(A+B)EJ/L2
0 (2(A+B)-D)EJ/L3
-(A+B)EJ/L2
v2
m2
0 (A+B)EJ/L2
B EJ/L3
0 -(A+B)EJ/L2
A EJ/L3
θ2
RESOLUCION DE ESTRUCTURAL NO LINEALES
Resolver una estructura es encontrar la relación causas - efectos, ya sea esta lineal o no-
lineal. Mientras que en primer caso la relación es lineal y por lo tanto conocida, en el
segundo no lo es. Los procedimientos desarrollados hasta el presente se basan en las
conclusiones anteriormente enunciadas, según las cuales son aplicables todos los
procedimientos lineales siempre y cuando el esfuerzo axil se mantenga constante. Esto
implica conocer el valor de dicho esfuerzo.
Para poder resolver esta incongruencia se aplica los métodos iterativos, que implica
adoptar un valor de la variable que se desconoce y se modifica a medida que se plantea la
exigencia que dicha variable debe cumplir, por ejemplo en las ecuaciones de equilibrio. A
(6.0)
(5.5)
(5.0)
(4.5)
(4.0)
(3.5)
(3.0)
(2.5)
(2.0)
(1.5)
(1.0)
(0.5)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
-20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
L*RAIZ(P/EJ)
A B C 2(A+B)-D

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su vez se establece cual es el error máximo que se admite en el valor de determinadas
variables, por ejemplo los desplazamientos.
El método de la tangente y el método de Newton - Raphson que describiremos
continuación, presuponen conocido el valor del esfuerzo axil, a partir del cual podemos
conocer la rigidez de segundo orden de cada barra (k") y de la estructura (K"). Esta
última es válida para el valor del esfuerzo axil que hemos adoptado, simbólica podemos
escribir:
P = K”(P) U
Esto indica que la matriz K”, es una función de las cargas.
Los métodos siguen procedimientos similares, se supone que el esfuerzo axil es conocido,
por ejemplo nulo, a partir del cual la matriz K” es constante e independiente de las cargas.
Con estas premisas podemos aplicar los métodos lineales y obtener los desplazamientos
nodales U y todos los esfuerzos internos. En este paso descubriremos que el esfuerzo axil
adoptado no coincide con el adoptado.
1. Se adopta un valor del esfuerzo axil nulo.
2. Se determinan los coeficientes de estabilidad para cada barra Ai, Bi, ..
3. Se plantea las ecuaciones de equilibrio P = K" U
4. Se resuelve el sistema de ecuaciones, determinando el valor de U = K”-1
P
5. Se calcula todos los esfuerzos, incluyendo el valor de los esfuerzos axiles N.
6. Si la diferencia entre los desplazamientos U de dos iteraciones sucesivas es menor que
un determinado valor, el proceso se detiene, en caso contrario se continua en el paso
siguiente.
7. Se adopta el valor del esfuerzo axil el determinado en el paso 5.
8. Se vuelve al paso 2, donde tenemos un valor de Pi mejorado.
El diagrama de flujo correspondiente sería:
Pi = 0
Ai, Bi,...
P = K” U
U = K”-1
P
Un - U(n-1) > error STOP
Nn
Pi (n+1) = N n

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El hecho de comparar los desplazamientos y no los esfuerzos axiles se debe a que las
incógnitas del problema son los desplazamientos, a través de los cuales se determinan los
demás esfuerzos.
En forma gráfica podemos interpretar este proceso de la siguiente manera:
1. En el gráfico tenemos una función desconocida y deseamos encontrar el punto de
correspondencia entre la carga P y U.
2. A través de un procedimiento lineal donde asumimos para Pi valores nulo, resolver un
primer valor ds U1.
3. Con estos desplazamientos podemos determinar los correspondientes esfuerzos axiles
N y a partir de los mismos los coeficientes de estabilidad y la matriz K”.
4. Realizados el producto matricial P = K”U determinamos un punto de la función
desconocida.
5. Con este punto determinado podemos seguir según el procedimiento elegido.
El método de la secante modifica las rigideces originales y determina un nuevo valor
mejorado y así sucesivamente hasta que la diferencia entre dos procesos iterativos sea
menor que un determinado error.
El método de Newton - Raphson, a partir del desplazamiento hallado utiliza la tangente
para encontrar un incremento de desplazamiento.
METODO DE LA SECANTE
P
UU1 2
U 3
U n
U

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METODO DE NEWTON - RAPHSON
METODO TANGENTE INICIAL
ESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO - PANDEO
Estudiaremos un conjunto de estructuras que tienen la particularidad de tener un sistema
de ecuaciones de equilibrio del tipo:
K”U=0
Estas ecuaciones lineales se denominan homogéneas y la estructura que poseen este
sistema son aquellas que cumplen con los siguientes requisitos:
1. Las barras son indeformables axílmente
2. Si la estructura es del tipo de nudos no desplazables, las cargas deben ser fuerzas
actuando en los nudos no desplazables.
3. Si la estructura es del tipo de nudos desplazables, las cargas deben ser fuerzas
actuando en los nudos de manera de equilibrarse barra a barra.
Desde el punto de vista matemático este sistema de ecuaciones tiene dos tipos de
soluciones:
1. Si el determinante de la matriz de rigidez K” (DK”) es distinto de cero la única
solución posible es la trivial o sea
P
U1U U32 U n
U
U1U2 nU
P
U

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U = 0
Por ejemplo un sistema de dos incógnitas
K11 U1 + K12 U2 = 0
K21 U1 + K22 U2 = 0
En forma gráfica cada ecuación representa una recta que pasan por el origen y la
solución del sistema de ecuaciones es U1 y U2.
U1
U2
En esta particular estructura donde los desplazamientos nodales U son nulos, los esfuerzos
de flexión y corte necesariamente son nulos quedando, por razones de equilibrio, solo el
esfuerzo axil distinto de cero.
N ≠≠≠≠0 Q = 0 M = 0
La estructura solo está sometida a un conjunto de esfuerzos axiles, que podrán ser de
compresión o tracción. Si además las cargas exteriores crecen en forma proporcional, al
ser la solución siempre aquella que anula los desplazamientos, los esfuerzos axiles
también crecen en forma proporcional.
Esta estructura y su estado de carga se denominan “Sistemas perfectos”, por requerir en
la ubicación de las cargas una precisión que incluso supera las posibilidades reales.
2. Si el determinante de la matriz de rigidez de segundo orden K” es igual a cero
existen infinitas soluciones distintas de cero.
DK”=0
En este caso en el ejemplo anterior de las dos incógnitas, las dos recta coinciden, dado que
la nulidad del determinante indica que existe una combinación lineal entre las ecuaciones.
U1
U2
Si en este sistema damos un valor arbitrario a U1 podemos obtenemos U2, y en general en
cualquier sistema como este si damos un valor a una incógnita obtenemos las restantes
resolviendo un sistema de ecuaciones de un grado menor.

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K11 K12....... K1n U1
K21 K22....... K2n U2
.
. x = 0
.
.
Kn1 Kn2....... Knn Un
K11 U1 + K*12 U*2 = 0
K21 U1 + K*22 U*2 = 0
U1 = 1 U*2 = K*-1
22 K21 U1
El vector U*2 representa el conjunto de desplazamientos U2, ........ Un, que dependen del
valor adoptados para U1. Esta dependencia establecida entre una incógnita y el resto, se
denomina “modo” y cuando el valor de U1 se adopta unitario “modo normalizado”.
Desde el punto de vista físico tenemos una estructura que esta gobernada por un sistema
que tiene más de una solución equilibrada, una la trivial y las infinitas que se pueden
obtener dando valores a uno de sus desplazamientos y el resto de los mismos se obtienen
a través de la dependencia que establece el sistema, que no es otra cosa que la
configuración del modo normalizado afectado por distintos coeficientes. Esta nueva
situación establece que la estructura en su configuración primitiva sin desplazamientos
(solución trivial) puede ser desplazada a configuraciones próximas (modo) sin que se
altere el equilibrio y permanecer en la misma indefinidamente, esta situación de equilibrio
la hemos definido como “Estado de equilibrio indiferente”, y la carga que lo produce
“Carga Critica de Pandeo”. El modo normalizado se denomina modo de pandeo.
Este forma de definir la Carga Critica de Pandeo (Pcr), nos permite establecer un método
para su determinación y que consiste precisamente en determinar el valor de la carga que
anula el determinante de la matriz rigidez de segundo orden de la estructura (DK”).
La forma operativa para la determinación de Pcr , sería la siguiente:
1. Adoptar un valor para las cargas.
Punto de bifurcación de equilibrio
U
P

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2. Determinar el valor de los esfuerzos axiles.
3. Determinar los coeficientes de estabilidad.
4. Plantear la matriz K”.
5. Evaluar el valor DK”.
6. Si el mismo es nulo la carga que lo produjo es Pcr.
7. Si no se cumple (6), incrementar las cargas en forma proporcional.
8. Volver a (2).
Esta forma de determinar Pcr, se denomina Pandeo linealizado, atendiendo a que los
esfuerzos, en este tipo estructuras y cargas, crecen linealmente.
DK”
P
Pcr

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Material No-lineal
Analizaremos el caso en que el material deja de ser lineal y tenemos uno de tipo no lineal,
cuya relación σσσσ - εεεε es del tipo:
En estas estructuras donde se cumple K”U=0, las barras solo están sometidas a esfuerzos
axiles de valor constante en toda su extensión. El valor de estos esfuerzos determinará si
las barras se encuentran en la zona elástica o anelástica del material. Por otra parte la
ecuación diferencial de la elástica y” = M/EJ, a partir de la cual se determinaron los
coeficientes de estabilidad, establece una relación entre los esfuerzos y los
desplazamientos a través de propiedades mecánicas EJ, y estas deben representar la
situación en que se encuentra la barra, o sea que se debe utilizar el valor del modulo de
elasticidad tangente ET que le corresponde a su nivel de tensión σσσσ a que esta sometida.
Para tener en cuenta esto último debemos utilizar el ET cuando determinamos los
coeficientes de estabilidad. En la determinación de Pcr, se deberá incluir un nuevo paso a
los ya enumerado anteriormente.
1. Adoptar un valor para las cargas.
2. Determinar el valor de los esfuerzos axiles.
3. Determinar el valor de σσσσ
4. Determinar el valor del ET en función de σσσσ.
5. Determinar los coeficientes de estabilidad.
6. Plantear la matriz K”.
7. Evaluar el valor DK”.
8. Si el mismo es nulo la carga que lo produjo es Pcr.
9. Si no se cumple (7), incrementar las cargas en forma proporcional.
10. Volver a (2).
De esta manera y para este caso particular de problemas (KU=0) podemos tener en cuenta
el comportamiento anelástico del material en el análisis de la estabilidad.
Este comportamiento provoca una disminución general de la capacidad de la estructura
para soportar cargas y por lo tanto una descenso de la carga crítica de Pandeo.
P
σσσσ
Material Lineal
Material No-Lineal
εεεε

15. CATEDRA DE ESTRUCTURAS IV FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.
15 − www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras4.htm
Estructuras Reales
1. Material lineal
Las estructuras reales tienen un sistema de ecuaciones de equilibrio del tipo:
K” U = P
Estas estructuras se las denominan “Sistemas imperfectos”, a diferencia de las anteriores.
En estas estructuras a medida que crecen los esfuerzos axiles se modifica la rigidez
general de la misma, ablandándose las barras sometidas a compresión y endureciéndose
las a tracción. A los efectos de fijar ideas continuemos estudiando el sistema con dos
desplazamientos.
K11 U1 + K12 U2 = P1
K21 U1 + K22 U2 = P2
Este sistema de dos rectas que se cortan en un lugar y permiten determinar los valores
U1 U2 solución del sistema de ecuaciones.
En los sistemas lineales donde las cargas que crecen proporcionales, las soluciones se
alinean sobre una recta que pasa por el origen.
Aquí las rigideces kij son independientes de las cargas y por lo tanto las rectas que
representan el equilibrio nodal de una dirección, se trasladan en forma paralela de acuerdo
con los términos independientes provenientes de las cargas.
P1''
P1=0
P2=0
P1'
P2''
P2'
U2
U1
P2=0
P1=0
P1'
P2'
U1
U2
P1'''
P2''
P1'' P2'''

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En los sistemas no-lineales la recta donde se interceptan las soluciones se transforman en
curva y las rigideces kij que dependen de las cargas P cambian y se trasladan modificando
sus pendientes.
Si la estructura y las cargas tienen la posibilidad de alcanzar el estado equilibrio
indiferente, las dos rectas deben coincidir y el sistema se hace indeterminado, en el
siguiente gráfico podemos sintetizar los distintos comportamientos.
La indeterminación se manifiesta en la tendencia hacia la asíntota K”U=0. Esta asíntota
corresponde a la determinada con los esfuerzos axiles finales. Esto último se debe que en
estas estructuras los esfuerzos axiles no crecen en forma uniforme
En general los Software para resolver estos problemas, adoptan los esfuerzos axiles
iniciales que corresponden con la solución lineal, esta aproximación es perfectamente
aceptable.
P
U
K"U=0
K"U=P
KU=P
Punto bifurcación delequilibrio
Na,Nb,...
Comportamiento No-Lineal
Comportamiento Lineal
P

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2. Material No-lineal
En estructuras donde aparecen todas las solicitaciones internas el campo anelástico se
manifiesta originándose articulaciones plásticas, provocando una disminución de la
rigidez general de la estructura que disminuye la capacidad resistente de la estructura y
consecuentemente un descenso de la carga crítica de pandeo.
En el siguiente gráfico podemos mostrar todos los comportamientos
El análisis de estructura con este tipo de comportamiento es sumamente complejo y en
general existe en la actualidad software que tienen en cuenta todas las variables que
intervienen, no obstante existe también una formulación empírica “Formula Rankine
generalizada”, que permite valorar la carga de colapso teniendo en cuenta las variables
analizadas.
1/Pr =1/Pcr +1/Pp
Pr: Carga de colapso
Pcr: Carga Crítica de Pandeo de una estructura construida con material lineal
Pp: Carga Plástica sin tener en cuenta la no-linealidad geométrica.
Finalmente podemos definir la Carga Crítica de Pandeo de la siguiente manera:
El Pandeo es un fenómeno que causa la falla de una estructura y que va
acompañada por grandes desplazamientos y un comportamiento no lineal.
KU=P (Analisis lineal)
Pcr
K"U=0 (Material no-lineal)
K"U=0 (Material lineal)
Pcr
P
U
P3
P1
K"U=P (Material no-lineal)
K"U=P (Material lineal)