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Subido porCarlos Muñiz Cueto
Aquiles y la tortuga
1) La paradoja de Aquiles y la tortuga plantea que Aquiles, a pesar de ser más rápido, nunca podrá alcanzar a la tortuga en una carrera, ya que cada vez que llega al punto donde estaba la tortuga, ella habrá avanzado una pequeña distancia. 2) El documento analiza esta paradoja a través de un modelo discreto de bucles sucesivos y luego como un proceso continuo, llegando a la conclusión de que en la práctica la velocidad mucho mayor de Aquiles sí le permitiría alcanzar a la tort
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Aquiles y la tortuga
- 1. AQUILES Y LATORTUGA AQUILES Y LA TORTUGA (LA PARADOJA DE ZENÓN DE ELEA)
- 2. AQUILES Y LATORTUGA La paradoja de Aquiles y la tortuga (Zenón de Elea) Aquiles, llamado "el de los pies ligeros", decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella le da una ventaja inicial. Al salir, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, más lentamente, un pequeño trecho. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, esta ha avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya que la tortuga estará siempre por delante de él. Aunque parezca lógico, es una paradoja porque la situación planteada contradice cualquier experiencia cotidiana: todo el mundo sabe que un corredor veloz alcanzará a uno lento aunque le dé ventaja. ANÁLISIS DEL PROCESO EN (i) BUCLES Velocidad vA de Aquiles Velocidad vT de la tortuga x1 Ventaja bucle inicial de la tortuga x0 Instante t=t0 x1- x0
- 3. AQUILES Y LATORTUGA ANÁLISIS DEL PROCESO EN (i) BUCLES – BUCLE ( i = 0 ) Velocidad vA de Aquiles Velocidad vT de la tortuga x1 Ventaja bucle inicial de la tortuga x0 jT0=x1- x0 Ventaja de la tortuga o separación de Aquiles Distancia de la tortuga al punto origen de salida de Aquiles 0v 0jxxs xxjxx T T00TT 01T00T = =−−= −==− Recorrido de Aquiles Instante t(i)=t0 Duración total t(i)- t0=0 0v 0jxxjxxs xxj A T00TT(i)0TA 01T0 = =−−=−−= −= Duración del bucle t(i)- t(i-1>=0)= 0 Recorrido de la tortuga xT
- 4. AQUILES Y LATORTUGA ANÁLISIS DEL PROCESO EN (i) BUCLES – BUCLE ( i = 1 ) Ventaja de la tortuga o separación de Aquiles 01 12 1)(i(i) 12 T 01 12 0(i) T T 12T1T00TT 02T1T00T tt xx tt xx v tt xx tt s v xxjjxxs xxjjxx − − = − − = − − = − = −==−−= −=+=− − Recorrido de Aquiles vT vA x1x0 x2 jT0=x1- x0 jT1=x2- x1 Instante t(i)=t1 Duración total t(i)- t0= t1- t0 Duración del bucle t(i)- t(i-1>=0)= t1- t0 Recorrido de la tortuga xT Distancia de la tortuga al punto origen de salida de Aquiles 01 01 1)(i(i) 01 A 01 01 0(i) A A 01T0T(i)0TA 12T1 tt xx tt xx v tt xx tt s v xxjjxxs xxj − − = − − = − − = − = −==−−= −= −
- 5. AQUILES Y LATORTUGA ANÁLISIS DEL PROCESO EN (i) BUCLES – BUCLE ( i = 2 ) Ventaja de la tortuga o separación de Aquiles 12 23 1)(i(i) 23 T 02 13 0(i) T T 13T2T1T00TT 03T2T1T00T tt xx tt xx v tt xx tt s v xxjjjxxs xxjjjxx − − = − − = − − = − = −=+=−−= −=++=− − Recorrido de Aquiles 12 12 1)(i(i) 12 A 02 02 0(i) A A 02T1T0T(i)0TA 23T2 tt xx tt xx v tt xx tt s v xxjjjxxs xxj − − = − − = − − = − = −=+=−−= −= − vT vA x1x0 x2 x3 jT0=x1- x0 jT1=x2- x1 jT2=x3- x2 Duración del bucle T(i)- t(i-1>=0)= t2- t1 Instante t(i)=t2 Duración total t(i)- t0= t2- t0 Recorrido de la tortuga xT Distancia de la tortuga al punto origen de salida de Aquiles
- 6. AQUILES Y LATORTUGA ANÁLISIS DEL PROCESO EN (i) BUCLES – BUCLE ( i = n ) vA x1x0 x2 x3 jT0=x1- x0 jT1=x2- x1 jT2=x3- x2 Xn+1Xn Ventaja de la tortuga o separación de Aquiles Recorrido de Aquiles t x tt xx v tt xx tt s v xx...jjjjxxs xxj 1)(n(n) 1)(nn A 0n 0n 0(i) A A 0nT2T1T0Tn0TA n1)(nTn ∆ ∆ = − − = − − = − = −=+++=−−= −= − − + Duración del bucle T(i)- t(i-1>=0)= tn- t(n-1) Instante t(i)=tn Duración total t(i)- t0= tn- t0 Recorrido de la tortuga t x tt xx v tt xx tt s v xxj...jjjxxs xxj...jjjxx 1)(nn n1)(n T 0n 11)(n 0(i) T T 11)(nTnT2T1T00TT 01)(nTnT2T1T00T ∆ ∆ = − − = − − = − = −=+++=−−= −=++++=− − + + + + vT xT Distancia de la tortuga al punto origen de salida de Aquiles
- 7. AQUILES Y LATORTUGA ANÁLISIS DEL PROCESO EN (i) BUCLES – BUCLE ( i = infinito ) vA x1x0 x2 x3 jT0=x1- x0 jT1=x2- x1 jT2=x3- x2 Xn+1Xn Ventaja de la tortuga o separación de Aquiles Recorrido de Aquiles t x v t j t s v js 0xxj A 0 Ti A A 0 TiA )()()T( ∆ ∆ = == = =−= ∑ ∑ ∞= = ∞= = ∞∞∞ i i i i Duración total t(i)- t0= t Recorrido de la tortuga t x v t jj t s v jjs jxx T T0 0 Ti T T T0 0 TiT 0 Ti0T ∆ ∆ = − == −= =− ∑ ∑ ∑ ∞= = ∞= = ∞= = i i i i i i Xinfinito vT xT Distancia de la tortuga al punto origen de salida de Aquiles
- 8. AQUILES Y LATORTUGA ANÁLISIS COMO PROCESO CONTINUO vA x1x0 jT0=x1- x0 Duración total t(i)- t0= t XT vT 0AT t 0 AAT A xtvx Cdtvx t x v +⋅= += ∆ ∆ = ∫ 1TT t 0 TTT T xtvx Cdtvx t x v +⋅= += ∆ ∆ = ∫ VA . t VT . t Como se ha visto, la suma de infinitos términos puede tener resultados finitos. Esto ha llevado al cálculo infinitesimal y de ahí al cálculo diferencial que ya nos lleva a ver el hecho de la carrera entre Aquiles y la tortuga como un proceso continuo entre t=0 y t=t xT
- 9. AQUILES Y LATORTUGA ANÁLISIS COMO PROCESO CONTINUO DEL RECORRIDO DE AQUILES vA x1x0 jT0=x1- x0 Duración total t(i)- t0= t XT vT VA . t VT . t )1(k jk tvxxs x v)1(k jk vx v)1(k jk v) k 1 (1 j t; v v ksi; )v(v j t t)v(vj;xxjsi;xxtvtv xtvxtvx T0 A0TA 0 A T0 AT A T0 A T0 T A TA T0 TAT001T001TA 1T0AT − ⋅ =⋅=−= + ⋅− ⋅ ⋅= ⋅− ⋅ = ⋅− == − = ⋅−=−=−=⋅−⋅ +⋅=+⋅= xT
- 10. AQUILES Y LATORTUGA ANÁLISIS COMO PROCESO CONTINUO DEL RECORRIDO DE LA TORTUGA vA x1x0 jT0=x1- x0 Duración total t(i)- t0= t XT vT VA . t VT . t 1)(k j tvs x 1)(k xx x v1)(k j vx v1)(k j t; v v ksi; )v(v j t t)v(vj;xxjsi;xxtvtv xtvxtvx T0 TT 1 01 1 T T0 TT T T0 T A TA T0 TAT001T001TA 1T0AT − =⋅= + − − =+ ⋅− ⋅= ⋅− == − = ⋅−=−=−=⋅−⋅ +⋅=+⋅= xT
- 11. AQUILES Y LATORTUGA SUPONGAMOS UN CASO
- 12. AQUILES Y LATORTUGA Aquiles, llamado "el de los pies ligeros", decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corre a 5 m/s, mucho más rápido que ella que sólo corre a 0,025 m/s (y ya es una tortuga rápida), Aquiles le da una ventaja inicial de 199 m. Al salir, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, más lentamente, un pequeño trecho. Sin desanimarse, sigue corriendo, y analizando en cada caso (o bucle) cuánta ventaja le sigue teniendo la tortuga SUPONGAMOS UN CASO Y APLIQUÉMOS PRIMERO EL METODO DISCRETO 1º bucle Ventaja de la tortuga en m. Duración del bucle en s. 199 39,8 2º bucle 000,995 0,199 3º bucle 000,004975 0,000995 4º bucle 000,0000248 0,0000049 No hace falta establecer muchos bucles para darse cuenta, en seguida, que se llega a una ventaja prácticamente nula a los pocos bucles, pues al ir reduciéndose en cada bucle 200 veces, que es precisamente la relación entre las dos velocidades, la de Aquiles y la de la tortuga, no se precisa tener que recurrir a los infinitos bucles, de ser velocidades similares entre los contrincantes. 200 025.0 5 v v k T A ===
- 13. AQUILES Y LATORTUGA APLIQUÉMOS AHORA EL METODO CONTINUO s.40 975,4 199 )025,0(5 199 )v(v j t 199j 200 025.0 5 v v k TA T0 T0 T A == − = − = = === m.200045tvs:bieno m.200 )1(200 991002 )1(k jk s AA T0 A =⋅=⋅= = − ⋅ = − ⋅ = m.1040,025tvs:bieno m.1 1)(200 199 1)(k j s TT T0 T =⋅=⋅= = − = − = © Carlos Muñiz Cueto 25-03-2018