Este documento describe el movimiento armónico simple. Explica que es un movimiento periódico y oscilatorio alrededor de una posición de equilibrio. Proporciona las ecuaciones cinemáticas y dinámicas que describen la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo para un oscilador armónico simple. También analiza casos especiales como sistemas masa-resorte y péndulos y conceptos como energía y oscilaciones amortiguadas.
Instrucciones del procedimiento para la oferta y la gestión conjunta del proceso de admisión a los centros públicos de primer ciclo de educación infantil de Pamplona para el curso 2024-2025.
Las capacidades sociomotrices son las que hacen posible que el individuo se pueda desenvolver socialmente de acuerdo a la actuación motriz propias de cada edad evolutiva del individuo; Martha Castañer las clasifica en: Interacción y comunicación, introyección, emoción y expresión, creatividad e imaginación.
Asistencia Tecnica Cultura Escolar Inclusiva Ccesa007.pdf
Cap 7 mas 180-204
1. Cuaderno de Actividades: Física I
7) Movimiento Armónico
Simple
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 180
2. Cuaderno de Actividades: Física I
7) Movimiento Armónico
Aquel movimiento que es posible describir con función armónica.
Movimiento ← Armónico: sen, cos
Movimiento periódico complejo → admite soluciones armónicas.
Teorema de Founier: Usando serie de senos o cosenos para
descripción de movimiento periódicos complejos.
7.1) Descripción del movimiento armónico simple, MAS.
i) Descripción Cinemática del MAS
τ:,, avr
Fenomenología del MAS
Movimiento oscilatorio y periódico en torno a la PE (x ≡0), la oscilación esta
confinada para –A ≤ x ≤ A,
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
µ=0
PE
x≡-A 0 x≡+A x
181
3. Cuaderno de Actividades: Física I
¿Cómo debería ser x (t) ≡?
→ ( ) { }x t A sen wt δ≡ +
Donde,
w: Frecuencia de oscilación natural del sistema.
w = w{k,m}
A, δ: Dependen de las condiciones iniciales del sistema.
c.i.:{x (0) ∧ v (0)}
Para la velocidad, { }cos
dx
v A t
dt
ω ω δ≡ ≡ +
→ ( ) { }cosv t Aw wt δ≡ +
Para la aceleración, { }2dv
a Aw sen wt
dt
δ= ≡ − +
→ ( ) { }2
a t Aw sen wt δ≡− +
Estas ecuaciones también se pueden obtener mediante uso del movimiento
circular uniforme (MCU).
La proyección del MCU en el eje de las ys o en el de las xs, estaría reportando
un comportamiento cinemático idéntico al MAS.
ii) Descripción Dinámica del MAS
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 182
4. Cuaderno de Actividades: Física I
La fuerza que caracteriza al MAS es una RESTAURADORA que depende de
la posición, esto es,
( )F x cx=− , c: depende del sistema
Si se analiza cualquier sistema y la fuerza que lo gobierna es de esta forma →
MAS.
F = FR = Fs → FRes = FR → 2da
ley, FR ≡ ma
a ≡ √ → v ≡ √ → x ≡ √
FR ≡ F = -k x ≡ m x
m x +kx ≡ 0
x +
k
x
m
≡ 0
x + w2
x ≡ 0,
2
w
m
k
=
→ ( ) { }x t A sen wt δ≡ +
k
w
m
¬ =
W: frecuencia angular →
2 1
( ) ( ) 2T periodo frecuencialineal
w T
π
ν ω πν→ →= = =
A,δ: c.i.
X: Posición
→ Elongación
A: Amplitud
δ: Desfasaje
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
F(x)
• x
-A 0 x A
183
5. Cuaderno de Actividades: Física I
7.2) Casos especiales de MAS
i) Sistema m-k
1)
1)
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PE
m
k µ =0
184
6. Cuaderno de Actividades: Física I
3)
Siempre el MAS se observará de la PE (caso 1) y de las PE’ (2,3) con
w2
= k/m. Se puede vincular información entre sistemas coordenados de Os en
PE ∧ PE’, donde la conexión será d, la cual se obtiene del equilibrio de m.
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
PE
2) k
d
m PE’
PE
PE’
k
o
m
d o’
α
185
7. Cuaderno de Actividades: Física I
Las Ec
del MAS, tal como se han escrito, deben tener su cero en PE’ (2,3).
ii) Sistema l–g
wt ≡ w senθ
→ FRes ≡ wt ≡ -mg senθ
θ: pequeño→ senθ ∼θ
→ F ≡ -mgθ, FRes ≡ - cx
FR,t ≡ mat
mg− mθ = lθ
2
0
g
l
g
w
l
θ θ+ ≡ ¬ =
→ θ(t) ≡ θm sen{wt + δ} ; θm ≡ Aθ,
g
w
l
≡
k
m
. δ : desfasaje
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O O
g
t
g θ
l
wt θ
PE w
n
PE
θ: describe la posición
186
8. Cuaderno de Actividades: Física I
Ahora, si la descripción ha de darse en los s, usando s ≡ lθ,
→ ( ) { }ms t s sen wt δ≡ + ; m s ms A lθ≡ = ,
g
w
l
≡
iii) Péndulo Físico
Es un CR pendular,
w
r
produce un τ restaurador que debe llevar al CR a la PE,
τ ≡ - r w senθ, w ≡ mg
θ: pequeño → τ = - r w θ ← Senθ ∼ θ
rw Iθ θ⇒ − ≡ &&← O: punto fijo, r=d (distancia CM-O),
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
CR
0
PE
0 r
r
C
θ
PE w
r
187
9. Cuaderno de Actividades: Física I
⇒ 0
dmg
I
θ θ
+ =
&& , 2 dmg
w
I
=
→θ (t) ≡ θm sen {wt + δ}
2
2
dmg I
w T T
I w dmg
π
π≡ → = → =
iv) Péndulo de Torsión
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A
0 0
P θ
P
PE PE
188
10. Cuaderno de Actividades: Física I
Debido a la torsión en la varilla vertical (según el eje del disco) se producirá un
torque restaurador proporcional a θ (para pequeños θs) de tal forma que:
τrestaurador ≡ τ ≡ - kθ
↑
k: constante de torsión (de la varilla)
Analogía: k ≡ k (resorte) {FRes = - kx}
Res kτ τ θ≡ ≡ −
,Reext s Iτ τ α= ≡ ← O: punto fijo.
Res k Iτ τ θ θ≡ ≡ − ≡ &&
→ 0
k
I
θ θ+ ≡&& ; var , 0:disco
illaI I punto fijoξ =≡
→θ(t) ≡ θm sen{wt + δ} ←
k
w
I
= , 2
I
T
k
π=
7.3) Energía en el MAS
i) Energía Cinética, Ek
21
:
2
km E mv=
Si x(t) ≡ A sen {wt + δ}
v(t) ≡ x& (t) ≡ Aw cos{wt + δ}
{ }2 2 21
cos
2
kE mA w wt δ= +
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 189
11. Cuaderno de Actividades: Física I
ii) Energía Potencial (Elástica), Ep,el
2
,
1
2
p elE kx≡ ; x : posición ≡ deformación , 0 ≡ PE
{ }2 2
,
1
2
p elE kA sen wt δ≡ +
iii) Energía Mecánica, EM
EM ≡ Ek + Ep ≡ cte ∀ sistemas MAS,
{ } { }2 2 2 2 21 1
cos
2 2
ME mA w wt kA sen wtδ δ≡ + + + ←mw2
= k
21
2
mE kA≡ ← En particular sistema m–k
Gráficos:
i) Ek
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Ek
21
2
kA
0 T t
190
12. Cuaderno de Actividades: Física I
ii) Ep
¿?
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
21
2
kA Ek
-A 0 +A x
Ep
0 T t
Ep
x
0
191
13. Cuaderno de Actividades: Física I
¿?
Observaciones:
En los casos de sistemas m – k donde se tenga una contribución gravitacional,
la EM deberá considerarse,
EM ≡ Ek + Ep,el +Ep,g ← PE
EM ≡ Ek + Ep,el ← PE’
7.4) Oscilaciones amortiguadas
Se considerara medios de amortiguación modelables mediante la velocidad,
esto es la, fuerza opositora al movimiento, (f), proporcional a la velocidad. Esto
se corresponde con muchos sistemas físicos conocidos que involucran fluidos
como aire, agua, aceites, etc.
f: fuerza de fricción
f ≡ a + bv + cv2
+ …
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
0
x
192
14. Cuaderno de Actividades: Física I
≡ f (v)
Ahora, para describir el sistema planteamos la 2° ley,
{ {R
resorte medio
F kx bv mx≡ − − ≡ &&
0
k b
x x x
m m
+ + ≡→ && & ← MAA
Comparaciones: { }2
0x w x+ ≡&& ← MAS
m – k :
k
w
m
=
l – g : w
l
δ
=
PF :
mgd
w
I
=
PT :
k
w
I
=
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 193
15. Cuaderno de Actividades: Física I
1) Caso de interés: wb < wr
( ) { }2
cos
b
t
m
x t Ae wt φ
−
≡ + Movimiento amortiguado oscilatorio (MAA)
A ≡ A(0) ≡ amplitud inicial
2
2
k b
w
m m
≡ −
: Frecuencia de oscilación
La ecuación se interpreta como una parte oscilatoria y una modulación de la
oscilación dada por el factor exponencial.
r
k
w
m
≡ → w del resorte,
2
b
b
w
m
≡ → “w” del medio
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
X
A 2
b
t
m
e
−
0 t
194
16. Cuaderno de Actividades: Física I
2) Caso cuando wb ≡ wr, Movimiento críticamente amortiguado,
3) Cuando wb > wr, se produce un Movimiento sobreamortiguado,
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
x
t
x
t
195
17. Cuaderno de Actividades: Física I
S6P5) Un oscilador armónico simple amortiguado tiene λ = 0,11 kg/s, k = 180
N/m y m = 0,310 kg,
a) ¿Es un movimiento sobreamortiguado o de amortiguamiento débil?
b) Determinar el valor λ para el movimiento amortiguado débil.
c) Escriba la ecuación de movimiento. Si para t = 0, tiene una amplitud
de 0,5 m.
SOLUCION:
λ = 0, 11 kg/s (=b) MAA
k = 180 N/m
m= 0, 31 kg
Oscilador armónico amortiguado
Wb < w0 ≡ wk
Oscilador críticamente amortiguado
Wb ≡ w0
Oscilador sobreamortiguado
Wb > w0
( ) ( )2
cos
b
t
m
x t Ae tω φ
−
→ = + en donde
2
2
k b
m m
ω
= − ÷
a)
2
b
b
w
m
→ =
0,11
2 2 0,31
b
b
w w
m
λ
λ≡
→ = ≡ =
×
0,11
2 2 0,31
b
b
w w
m
λ
λ≡
→ = ≡ =
×
∼0,18; 0
180
0
24
1
,
,3
1k
k
w w
m
→ = = = =
→ wb < w0 ≡ wk :MAA
b) 0 ; ?
2
b
b k
w w b
m m
→ = → ≡ ≡
2 2 180 0,31b kmλ→ ≡ ≡ ≡ × ∼2 55,8 ∼15
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 196
18. Cuaderno de Actividades: Física I
c) ( ) { }2
cos
b
t
m
x t Ae wt φ
−
≡ +
x(0) = 0,5
( ) { }
0,11
2 0,31
0,5 cos 581 0,03
t
x t e t
−
×
≡ −
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
X
A 2
b
t
m
e
−
0 t
197
19. Cuaderno de Actividades: Física I
S6P35) Un bloque de 2 kg se sujeta a un resorte de constante k = 200 N/m. En
t = 0 el resorte se extiende 0,05 m y se suelta. Halle:
a) El desplazamiento en función del tiempo.
b) La velocidad cuando x = +A/2.
c) La aceleración cuando x = + A/2.
d) ¿Cuál es la fuerza sobre el bloque cuando t = π/15 s?
SOLUCIÓN:
200 200
10
2 2
k
w
k
m m
=
= =
=
=
( )
( )
0 0,05
. .
0 0
x m
c i
v
= +
=
a) x(t) = A sen (wt + φ)→ x(0) = A sen (w(0) + φ)=Asen(φ)=+0,05
v(t) = Aw cos (wt + φ)→ v(0) = Aw cos (w(0) + φ)= Aw cos (φ)= 0
De la última Ec
φ = π/2 {la v (-) para t ∼ 0} → A=0,05
→ x(t) = 0,05 sen (10t + π/2)
→ v(t) = 0,5 cos (10t + π/2)
Observen la consistencia de tomar φ(=δ)= π/2: satisface las ci y lo
que ocurre en el problema “cerca” de 0, tanto para x como para v.
¿Que ocurre si tomamos φ(=δ)= 3π/2?
b) Recordando la relación v-x
2 2
1
x v
A Aw
+ = ÷ ÷
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 198
20. Cuaderno de Actividades: Física I
{ }
2 2
2
0,5
1
3 3
0,5 4
3
44
A v
A Aw
v
v mv x−
+ = ÷ ÷
= −→ = → = ± → → ÷
c) Recordando la relación a-x
2
a w x= −
{ }2 0,05
10
2
2,5aa m x
= − → → −
= −÷
d) FR= FRES ≡ -kx= -k A sen (wt + φ)= -(200)(0,05) sen (10t + π/2)=?
15
t
π
= ←
2 2
5
T
w w
π π π
= = = → F (+)! veamos
FR (t=π/15) = -10 sen (10{π/15} + π/2) ∼ (-10) (-0, 5) = +5
S6P52) Una partícula que cuelga de un resorte oscila con una frecuencia
angular de 2,00 rad/s. El resorte esta suspendido del techo de la caja
de un elevador y cuelga sin moverse (respecto de la caja del elevador)
conforme la caja desciende a una velocidad constante de 1,50 m/s. La
caja se detiene repentinamente, a) ¿Con que amplitud oscila la
partícula?, b) ¿Cual es la ecuación de movimiento para la partícula?
(Elija la dirección hacia arriba como positiva).
SOLUCIÓN:
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 199
21. Cuaderno de Actividades: Física I
Nos proporcionan directamente la 2w ≡ , las condiciones iniciales son,
0: (0) 0 (0) 1,5t x v≡ ≡ ∧ ≡ −
Asumiendo las ecuaciones del MAS para x(t) y v(t),
( ) { }
( ) { }cos
x t A sen wt
v t Aw wt
δ
δ
≡ +
≡ +
a) De estas ecuaciones se puede obtener la ecuación para la A, en particular
para t=0,
( ){ }
( )
2
2 0
0
v
A x
w
≡ +
Reemplazando datos, { }
2
2 1,5
0 0,75
2
A
−
≡ + ≡
0,75A ≡
b) La ecuación para x. Analizando las ecuaciones para x(t) y v(t),
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
g
k
v(0)
m
t =0 X
x(0)=0 v(0)v(0)
200
22. Cuaderno de Actividades: Física I
( ) { }
( ) { }
0,75 2
1,5 cos 2
x t sen t
v t t
δ
δ
≡ +
≡ +
Para t=0 y vecindades,
( ) ( ){ } { }
( ) ( ){ } { }
0 0,75 2 0 0,75
0 1,5 cos 2 0 1,5 cos
x sen sen
v
δ δ
δ δ
≡ + ≡
≡ + ≡
Para satisfacer x(0)=0, 0δ ≡ ,π , el valor correcto es δ π≡ , con lo cual las
ecuaciones quedan,
( ) { } { }
( ) { } { }
0,75 2 0,75
1,5 cos 2 1,5 cos 2
2x t sen t sen t
v t t tπ
π
≡ −
≡ −
≡
≡ +
+
S6P4) En el sistema mostrado en la figura
Obtenga la expresión de la energía mecánica para todo instante de
tiempo t.
Si: X = A cos (w0 t + φ)
g: aceleración de la gravedad
SOLUCION:
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
g
k
+
X = 0 m
-
201
23. Cuaderno de Actividades: Física I
En :PE mg kd′ ≡
Desde 0: 'x d x≡ +
{ }'RF mg kx mg k d x≡ − ≡ − +
0 ' ' 'kx kx kx mx mxmg kd≡ − ≡ − ≡− − ≡ ≡&& &&
' ' 0
k
x x
m
+→ ≡&&
Esta ecuación nos dice que desde 0’ se observara MAS de frecuencia
k
w
m
≡ . Ahora, debido a que la fuerza resultante es 'RF kx≡ − , cuando se
escriba la EM desde 0’ solo se considerara Epe, ello se deduce debido a que,
como la 'RF kx≡ − , es una fuerza elástica conservativa, solo tendrá asociada
una energía potencial elástica, por lo tanto,
M K peE E E≡ +
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
PE
0
d
PE’
0’ x
x’
X, X’
202
24. Cuaderno de Actividades: Física I
S6P32)
Una placa P hace un movimiento armónico simple
horizontal sobre una superficie sin fricción con una
frecuencia ν = 1,5 Hz. Un bloque descansa sobre la
placa, como se muestra en la figura adjunta y el
coeficiente de fricción estático entre el bloque y la placa
es µs = 0,6 ¿Cuál es la máxima amplitud de oscilación
que puede tener el sistema sin que resbale el bloque
sobre la placa?
SOLUCIÓN:
( )
( )
( ),2 2
, ,: RES MAX
MAX MAS RES MAX
F
M m a A F M m A
M m
ω ω+ ≡ ≡ → ≡ +
+1442443
: SR
M
fF
M a
M M
−
≡ ≡ RES,MAXF
→ ,
SR
M MAX
mgF
a
M M
µ−
≡ ≡ RES,MAXF
DCL (M):
De las ecuaciones anteriores,
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
µs
B
k
P
a
m
Fres
M
0
a
fS,M ≡ µs mg
FRES
FR ≡ FRES -µs mg
203
25. Cuaderno de Actividades: Física I
2 RES S SF mg k mg
M M
µ µ
ω
− −
→ ≡ ≡ MAX
MAX
A
A ←
2
k =ω( M+m )
( )2 2
sM M m mgω ω µ→ ≡ + −MAX MAXA A
s mµ→ 2
g mω≡
( )2 2
0,6 10
2 1,5
s
MAX
g x
x
A
ω π
µ
→ ≡≡MAXA → 2
6
9
MAXA
π
≡
Observación: La antepenúltima ecuación sugiere solo comparar la aceleración
máxima del MAS, del sistema (M+m), con la aceleración estática máxima de m.
Discutir esto partiendo del cumplimiento del movimiento inminente de M
respecto de m, siendo ésta un SRNI! (ℒ 3107090730)
S6P6)
En la figura mostrada halle la frecuencia angular w0 del MAS resultante, para
pequeños desplazamientos x del centro de masa, si el disco homogéneo rueda
sin deslizar, considere, M≡ masa del disco,
R ≡ radio del disco y k ≡ constante del resorte.
SOLUCIÓN:
x pequeño → MAS , w0 = ?
x = s = Rθ
P’
// CM : τ = I α
( ) [ ]
23
2
2 2 21 3
2 2
MR
kx R MR MR MR k R Rτ θ θ θ
= − = + = = −
6447448
&& &&
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
k
R
M
t
M
k
0 FR
P
0 o’
204
26. Cuaderno de Actividades: Física I
0
2
0
3
2
3
kk
M
w
M
θ θ→ + ≡ =⇒&&
S6P33) Un cilindro de peso W y radio r está suspendido por una cuerda que le
da vuelta en la forma que se indica en la figura adjunta. Un extremo
de la cuerda está unido directamente a un soporte rígido mientras que
el otro extremo está unido a un resorte de constante de elasticidad k.
Si el cilindro se gira un ángulo θ y se suelta, determine la frecuencia
natural del sistema.
SOLUCION:
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k
r
θ
205
27. Cuaderno de Actividades: Física I
α) De la dinamica rotacional,
:O Okxr Tr Iτ α− ≡ −
Por la “rodadura”: x rθ≡
2
2
2
...1
mr
kr Tr W mgθ θ− ≡ − ¬ ≡&&
De la dinámica traslacional,
( )RF T kx W m x≡ − − + ≡ &&
Usando nuevamente la rodadura, T kr W mrθ θ− − + ≡ &&
2 2
...: 2xr Tr kr Wr mrθ θ− − + ≡ &&
De 1 y 2,
3
2
2
...3kr W mrθ θ− + ≡ &&
, 2 2Haciendo kr W krµ θ µ θ≡ − + → ≡ − &&&&
3
2
m rµ→ ≡
2k r
µ
× −
&& 4 4
3
0
3
k
m
kg
w
W
µ µ
→ + ≡ →÷ ≡
&&
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
P
x
P
0 O
T kx
x O’
X θ w
P’
P
206
{ }0)0 0 //β ′ ′
28. Cuaderno de Actividades: Física I
( ) ( ) ( ) 2
0'
3
: 2
2
kx r W r mrτ θ
− ≡ −
&& 1)
De la rodadura: x rθ≡ 2)
2) → 1):
2
2kr W rθ − 23
2
mr≡ − θ&& 3)
Sea
3
2 2
2
kr W kr m rµ θ µ θ µ≡ − → ≡ → ≡ −&&&&
2k r
µ
×
&& 4
0
3
k
m
µ µ→ + ≡&&
4
3
kg
w
W
≡
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 207