complemento 1 y 2

1. Circuitos digitales
ARITMÉTICA BINARIA

2. Aritmética binaria
 En matemáticas, los números positivos (incluido
el cero) se representan como números sin
signo. Es decir, no ponemos el signo + delante
de ellos para mostrar que son números
positivos.
 Sin embargo, cuando se trata de números
negativos, usamos un signo – delante del
numero para mostrar que el numero tiene un
valor negativo y es diferente de un valor
positivo sin signo, y lo mismo ocurre con los
números binarios con signo.

3. Aritmética binaria
 Sin embargo, en los circuitos digitales no existe ninguna disposición para poner un signo
mas o incluso un signo menos a un numero, ya que los sistemas digitales operan con
números binarios que se representan en términos de “0” y “1”. Cuando se usan juntos en
microelectrónica, estos “1” y “0”, llamados un bit ( que es una contracción de BInary
digiT), caen en varios tamaños de rango de números a los que se hace referencia por
nombres comunes, como un byte o una palabra.
 También hemos visto anteriormente que un numero binario de 8 bits (un byte) puede
tener un valor que va de 0 = (000000002) a 255 (11111112) es decir, 28 = 256
combinaciones diferentes de bits que forman un solo 8 bits byte. Entonces, por ejemplo,
un numero binario sin signo como: 010011012 = 64 + 8 + 4 + 1 = 7710 en decimal. Pero los
sistemas digitales y las computadoras también deben poder usar y manipular números
negativos y números positivos.

4. Aritmética binaria
 Los números matemáticos generalmente se componen de un signo y un valor (magnitud)
en el que el signo indica si el numero es positivo ( + ) o negativo ( -) con el valor que indica
el tamaño del numero, por ejemplo 23, + 156 o – 274. La presentación de números de esta
manera se denomina representación de <<signo – magnitud>>, ya que el digito mas a la
izquierda se puede usar para indicar el signo y los dígitos restantes la magnitud o el valor
del numero.
 La notación de magnitud de signo es el método mas simple y uno de los mas comunes
para representar números positivos y negativos a ambos lados del cero, (0). Por lo tanto
los números negativos se obtienen simplemente cambiando el signo del numero positivo
correspondiente, ya que cada numero positivo correspondiente, ya que cada numero
positivo o sin firma tendrá un opuesto firmado, por ejemplo 2 y -2, 10 y -10, etc.

5. Aritmética binaria
 Pero ¿Cómo lo representamos firmaron números binarios si todo lo que tenemos es un
montón de unos y ceros?. Sabemos que los dígitos binarios, o bits, solo tienen dos valores,
ya sea un “1” o un “0” y, convenientemente para nosotros, un signo también tiene solo
dos valores, siendo un “+” y “-”.
 Luego, podemos usar un solo bit para identificar el signo de un numero binario con signo
como de valor positivo o negativo. Entonces, para representar un numero binario positivo
( + nbinario) y un numero negativo ( - nbinario), podemos usarlos con la adición de un
signo.
 Para números binarios con signo, el bit mas significativo (MSB) se utiliza como bit de signo.
Si el bit de signo es << 0 >>, esto significa que el numero tiene un valor positivo. Si el bit de
signo es << 1 >>, entonces el numero tiene un valor negativo. Los bits restantes del
numero se utilizan para representar la magnitud del numero binario en la forma habitual
de formato de numero binario sin signo.

6. Aritmética binaria
 Luego podemos ver que la notación de signo y
magnitud (SM) almacena valores positivos y
negativo al dividir los “n” bits totales en dos
partes: 1 bit para el signo y n -1 bits para el valor
que es un numero binario puro. Por ejemplo, el
numero decimal 53 se puede expresar como un
numero binario con signo de 8 bits de la siguiente
manera.
 La desventaja aquí es que mientras que antes
teníamos un rango completo de n bits binarios con
número binario sin signo, ahora tenemos un
numero binario con signo de n – 1 bit que da un
rango reducido de dígitos de:

7. Aritmética binaria
 Entonces, por ejemplo: si tenemos 4 bits para representar un numero
binario con signo, (1 bit para el bit de signo y 3 bits para los bits de
magnitud), entonces el rango real de los números que podemos
representar en notación de magnitud de signo serian:
 Mientras antes, el rango de un numero binario de 4 bits sin signo
habría sido de 0 a 15 o de 0 a F en hexadecimal, ahora tenemos un
rango reducido de -7 a +7. Por lo tanto, un numero binario sin signo no
tiene un solo bit de signo y, por lo tanto, puede tener un rango binario
mas grande, ya que el bit mas significativo (MSB) es solo un bit o digito
adicional en lugar de un bit de signo usado.
 Otra desventaja aquí de la forma signo – magnitud es que podemos
tener un resultado positivo para cero, +0 o 00002 y un resultado
negativo para cero, -0 10002. Ambos son validos pero cual es el
correcto.

8. Aritmética binaria
 Convertir los siguientes valores decimales en números
binarios con signo usando el formato de señal de
magnitud:
 Nota que para un 4 bits, 6 bits, 8 bit, numero binario de
16 bits o 32 bits con signo, todos los bits DEBEN tener un
valor, por lo tanto, se utilizan <<ceros>> para llenar los
espacios entre el bit signo mas a la izquierda y el primer
valor o el valor mas alto <<1>>.

9. Aritmética binaria
 La representación en signo de magnitud de un numero binario es un método simple de
usar y comprender para representar números binarios con signo, ya que usamos este
sistema todo el tiempo con números decimales normales (base 10) en matemáticas.
Agregar <<1>> al frente si el numero binario es negativo y un <<0>> si es positivo.
 Sin embargo, el uso de este método de magnitud de signo puede dar como resultado la
posibilidad de que dos patrones de bits diferentes tengan el mismo valor binario. Por
ejemplo, + 0 y – 0 serian 00002 y 10002 respectivamente como un numero binario de 4 bits
signo. Entonces podemos ver que usando este método puede haber dos representaciones
para cero, un cero positivo (00002) y también un cero negativo (10002) lo que puede
causar grandes complicaciones para computadoras y sistemas digitales.

10. Aritmética binaria
 El complemento de uno, es otro método que podemos usar para representar números
binarios negativos en un sistema numérico binario con signo. En el complemento de uno,
los números positivos (también conocidos como complementos) permanecen sin cambios
como antes con los números magnitud de signo.
 Sin embargo, los números negativos se representan tomando el complemento a uno
(inversión, negación) del numero positivo sin signo. Dado que los números positivos
siempre comienzan con un <<0>>, el complemento siempre comenzara con un <<1>> para
indicar un numero negativo.
 El complemento a uno de un numero binario negativo es el complemento de su
contraparte positivo, por lo que para tomar el complemento a uno de un numero binario,
todo lo que tenemos que hacer es cambiar cada bit por turno. Por lo tanto, el
complemento a uno de <<1>> es <<0>> y viceversa, entonces el complemento a uno de
100101002 es simplemente 011010112 ya que todos los 1 se cambian a 0 y los 0 a 1.

11. Aritmética binaria
 La forma mas fácil de encontrar el complemento a uno de un numero binario con signo cuando se
construyen circuitos decodificadores lógicos o aritméticos digitales es utilizar inversores. El inversor
es naturalmente un generador de complemento y se puede usar en paralelo para encontrar el
complemento a 1 de cualquier numero binario como se muestra:

12. Aritmética binaria
 Entonces podemos ver que es muy fácil encontrar el complemento a uno de un numero
binario N, ya que todo lo que necesitamos hacer es simplemente cambiar los 1 por 0 y los
0 por 1 para darnos un – N equivalente. Además, al igual que la representación anterior de
magnitud de signo, el complemento de uno también puede tener notación de n bits para
representar números en el rango de: -2(n-1) y + 2(n-1) . Por ejemplo, una representación de 4
bits en formato de complemento a uno se puede utilizar para representar números
decimales en el rango de – 7 a + 7 con dos representaciones de cero: 0000 (+0) y 1111 (-0)
igual que antes.

13. Aritmética binaria
 La unidad aritmético lógica, en el procesador del CPU, es capaz de realizar operaciones
aritméticas, con datos numéricos expresados en el sistema binario. Naturalmente, esas
operaciones incluyen la adición, la sustracción, el producto y la división. Las operaciones
se hacen del mismo modo que en el sistema decimal, pero debido a la sencillez del
sistema de numeración, pueden hacerse algunas simplificaciones que facilitan mucho la
realización de las operaciones.

14. Aritmética binaria
 Suma en binario.
 La tabla de sumar, en binario, es mucho mas sencilla que en el decimal. Solo hay que recordar cuatro
combinaciones posibles:
 Pero la suma de 1 + 1, que sabemos que es 2 en el sistema decimal, debe escribirse en binario con dos cifras (10)
y, por tanto 1+1 es 0 y se arrastra una unidad, que se suma a la posición siguiente a la izquierda. Ejemplos.

15. Aritmética binaria

16. Aritmética binaria

17. Aritmética binaria
 Sustracción en binario
 La técnica de la resta en binario es, nuevamente, igual que la misma operación en el sistema decimal. Pero
conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es mas sencilla.
Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia.

18. Aritmética binaria
 La resta 0 – 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente:
10 -1, es decir, 210 – 110 = 110. Esa unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la posición siguiente veamos
algunos ejemplos:

19. Aritmética binaria
 A pesar de lo sencillo que es el procedimiento de
restar, es fácil confundirse. Tenemos interiorizado el
sistema decimal y hemos aprendido a restar
mecánicamente, sin detenerse a pensar en el
significado del arrastre. Para simplificar las restas y
reducir la posibilidad de cometer errores hay varias
soluciones:
 Dividir los números largos en grupos: en el siguiente
ejemplo, vemos como se divide una resta larga en
tres cortas:

20. Aritmética binaria
 Veamos un ejemplo: tomemos el N = 1011012 que tiene 6 bits, y calculemos su complemento a dos:
 Complemento a dos
 El complemento a dos de un numero N, compuesto n bits se define como:

21. Aritmética binaria
 Complemento a uno.
 El complemento a uno de un numero N, compuesto por n bits es, por definición, una unidad menor que el
complemento a dos, es decir:

22. Aritmética binaria
 Calculemos el complemento a uno del mismo número del ejemplo anterior:
 Da la sensación de que calcular el complemento a uno no es mas que una forma elegante de complicarse la vida, y
que no va ser mas sencillo restar utilizando el complemento a dos, porque el procedimiento para calcular el
complemento a dos es mas difícil y laborioso que la propia resta. Pero es mucho mas sencillo de lo que parece.

23. Aritmética binaria
En realidad, el complemento a uno de un numero binario es el numero resultante de invertir los UNOS y CEROS de dicho
numero. Por ejemplo:

24. Aritmética binaria

25. Aritmética binaria

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27. Aritmética binaria

28. Aritmética binaria
 Multiplicación binaria
 La multiplicación en binario es mas fácil que
en cualquier otro sistema de numeración.
Como los factores de la multiplicación solo
puede ser CEROS o UNOS, el producto solo
puede ser CERO o UNO. En otras palabras,
las tablas de multiplicar del cero y el uno
son muy fáciles de aprender:
 En un ordernador, sin embargo, la operación de multiplicar se realiza mediante repetidas. Eso crea algunos
problemas en la programación porque cada suma de dos UNOS origina un arrastre, que se resuelven
contado el numero de UNOS y de arrastres en cada columna. Si el numero de UNOS es par, la suma es un
CERO y si es impar, un UNO. Luego, para determinar los arrastres a la posición superior, se cuenta las parejas
de UNOS.

29. Aritmética binaria

30. Aritmética binaria
 Para comprobar que el resultado es correcto, convertimos los factores y el resultado al sistema decimal.

31. Aritmética binaria
 División binaria
 Igual que en el producto, la división es muy fácil de
realizar, porque no son posibles en el cociente otras
cifras que UNOS y CEROS
 Consideremos el siguiente ejemplo, 42/6 = 7 en binario.
 Se intenta dividir el dividiendo por el divisor, empezando
por tomar en ambos el mismo numero de cifras (100
entre 110, en el ejemplo). Si no puede dividirse, se
intenta la división tomando un digito mas (1001 entre
100).
 Si la división es posible, entonces, el divisor solo podrá
estar contenido una vez en el dividiendo, es decir, la
primera cifra del cociente es un UNO. En ese caso, el
resultado de multiplicar el divisor por 1 es el propio
divisor. Restamos las cifras del dividendo del divisor y
bajamos la cifra siguiente.

32. Aritmética binaria
 El procedimiento de división continua del mismo modo que en sistema decimal.