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SISTEMAS NUMERICOS
Un Sistema Númerico es un conjunto de dígitos utilizados
para representar cantidades.
Un Dígito es un símbolo o carácter que es utilizado por un
Sistema Númerico.
Ejemplo de Dígitos:
157 en el sistema decimal (de base 10) se
compone de los dígitos 1, 5 y 7
Los sistemas de numeración que poseen una base deben
cumplir con la notación posicional, es decir, la posición de
cada número le da un valor o peso
005 50 500 5000 etc.
Sistemas de Numeración
Un sistema de numeración consiste de un conjunto
ordenado de símbolos, denominados dígitos, donde el
número total de dígitos del conjunto representa la base
( r ) de dicho sistema.
Los sistemas de uso común en el diseño de sistemas
digitales son: el decimal, el binario, el octal y el
hexadecimal.
Sistemas de Numeración Binario
Un sistema de numeración binario está compuesto por los
siguientes dígitos:
Sist. de
numeración
Conjunto de dígitos Base ( r
)
Binario {0,1} 2
Sistemas de Numeración Decimal
Un sistema de numeración decimal está compuesto por los
siguientes dígitos:
Sist. de
numeración
Conjunto de dígitos Base ( r
)
Decimal {0,1,2,3,4,5,6,7,8
,9}
10
Sistemas de Numeración Octal
Un sistema de numeración Octal está compuesto por los
siguientes dígitos:
Sist. de
numeración
Conjunto de dígitos Base ( r
)
Octal {0,1,2,3,4,5,6,7} 8
Sistemas de Numeración Hexadecimal
Un sistema de numeración hexadecimal está compuesto por
los siguientes dígitos:
Sist. de
numeración
Conjunto de dígitos Base (
r )
Hexadecimal {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,
D,E,F}
16
Los sistemas de numeración binario, octal y hexadecimal
están relacionados entre si, puesto que sus bases se relacionan
por medio de potencias de 2, así: 2=21
, 8=23
, 16=24
. Esto
facilita la conversión entre sistemas de numeración.
Conversión entre Sistemas Numéricos , binario,
Octal y hexadecimal.
La conversión entre sistemas de numeración se realiza por
separado para la parte entera y para la parte fraccionaria del
número N. Asi:
Método de división entre la base
Método de multiplicación por la base
Parte entera
Parte fraccionaria
Conversión entre los sistemas decimal, binario, octal
y hexadecimal.
Método de división entre la base
Este método se utiliza para convertir la parte entera de un
número en base A al entero equivalente en base B.
i
i
n
pi
AaΣN ×=
−
−=
1
La parte entera del número N con base A se puede escribir
como: 0
0
1
1
2
2
1
1 ... AaAaAaAaN n
n
n
nE ++++= −
−
−
−
El valor de cualquier número N con n dígitos enteros y p dígitos
fraccionarios en base A se puede determinar a partir de:
Método de división entre la base
La división de NE entre la base deseada queda como:
BAaAaAaAaBN n
n
n
nAE /)...(/)( 0
0
1
1
2
2
1
1 ++++= −
−
−
−
)()( 0bResiduoQCociente +=
El residuo b0 corresponde al dígito menos significativo del
número NE en base B.
Los dígitos (bi)B restantes se obtienen con divisiones sucesivas
del cociente (Q) resultante entre la base deseada, hasta que el
cociente (Q) resultante llegue a ser igual a cero.
Ejemplo de Conversión Decimal a Binario
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Convertir (249)10 a bases 2
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Convertir (249)10 a bases 2,8,16
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SISTEMAS NUMERICOS
Binario -> Decimal
Conversión BINARIO -> DECIMAL
Sumar los valores representativos de cada columna, de
derecha a izquierda. Un 1 en la primer columna vale
1. Un 1 en cada una de las siguientes columnas representa
el doble que la anterior.
Ejemplo:
1 0 0 1 1b Si cada columna representa el doble que
la anterior, entonces:
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0
SISTEMAS NUMERICOS
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7053
3526
1763
1
0
881
1
440
1
220
0
110
0
55
0
27
1
13
1
6
3
1
0
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0
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7053 = 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1b
SISTEMAS NUMERICOS
Binario -> Hexadecimal
BINARIO HEXADECIMAL DECIMAL
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
SISTEMAS NUMERICOS
Binario -> Hexadecimal
Se hacen grupos de 4 bits, empezando de derecha a izquierda.
Si en el último grupo faltan dígitos, se rellena con ceros. Finalmente,
cada grupo se convierte a su equivalente en Hexadecimal.
Convertir 1 1 0 1 0 1 1b a Hexadecimal
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Cada dígito Hexadecimal se convierte en su equivalente a Binario,
haciendo grupos de 4 dígitos binarios. Si faltan dígitos, se completa
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• De Decimal a OctalDe Decimal a Octal
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• De Octal a BinarioDe Octal a Binario
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1) Se convierte a binario
1) Se convierte a binario
2) Se agrupan los dígitos de 4 en 4
2) Se agrupan los dígitos de 3 en 3
¿Que es el código BCD?¿Que es el código BCD?
• Ahora ya sabemos que los números del Sistema decimal
tienen equivalentes en el Sistema Binario, La agrupación
ordenada de los 0 y 1 de un número Binario representa
algún número Decimal.
Los sistemas digitales utilizan por fuerza los números en
Sistema Binario, pero para nosotros en el mundo real
siempre tienen que ser convertidos al Sistema Decimal,
como hemos visto, las conversiones entre uno y otro
Sistema de Números pueden llevarnos demasiado tiempo y
ser muy complicadas, por ejemplo, si usamos números
muy grandes. Para este tipo de conversiones y usos, se
utiliza un método sencillo que combina las características
de los Sistemas Decimal y Binario, este método lleva el
nombre de Codificación Binaria Directa.
• Cuando tomamos cada uno de los dígitos del
Sistema Decimal, y lo representamos con su
equivalente del Sistema Binario, estamos
generando un “nuevo” código, el cuál lleva el
nombre de Código Decimal Codificado en
Binario (BCD).
Partiendo de este nuevo código, el mayor número
que podemos representar es el 9 (1001), por lo
tanto forzosamente necesitamos de un número
Binario de 4 Bits para hacerlo. Pero veamos
gráficamente que es y como funciona el BCD.
En esta ocasión usaremos los números Decimales
586 y 397, el proceso de convertir cada dígito por
un equivalente Binario sería el siguiente:
• Cada uno de los dígitos del Número Decimal es
convertido en su equivalente Binario, Siempre
utilizando 4 Bits para este proceso. En resumen,
el Código BCD representa por separado cada uno
de los numerales Decimales, empleando para ello
números Binarios de 4 Bits.
Como es lógico, si sólo se puede representar un
solo número decimal por cada código BCD, los
números del 10 al 15 (que es el número decimal
más alto para un código Binario de 4 Bits, 1111),
están fuera del código, de hecho, si tenemos
algún circuito digital que trabaja sobre Código
BCD y nos diera una salida como las siguientes,
algo no está funcionando bien:
• Decimal 10 = Binario 1010
• Decimal 11 = Binario 1011
• Decimal 12 = Binario 1100
• Decimal 13 = Binario 1101
• Decimal 14 = Binario 1110
• Decimal 15 = Binario 1111
• Como el nombre lo indica, el Código BCD no
puede ser catalogado como un Sistema (como el
Binario, Octal y Hex). Sólo es una forma de
Codificar el Sistema Binario.
Teniendo muy presente este hecho, Un número
en código BCD, NO es lo mismo que un número
Binario Directo. El código BCD toma cada uno de
los dígitos de un número Decimal y los
representa, Un número del Sistema Binario
representa el número Decimal Completo. Para
comprender mejor el concepto, usaremos el
número Decimal 387.
Diferencias entre el Sistema Binario y el Código BCD
Tabla de conversión al SistemaTabla de conversión al Sistema
BinarioBinario
Tabla de conversión al CódigoTabla de conversión al Código
BCDBCD
Aritmética BinariaAritmética Binaria
• SumaSuma
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1 y llevamos 1
• RestaResta
0 - 0 = 0
1 - 0 = 1
1 - 1 = 0
0 - 1 = 1 y debemos 1
Aritmética BinariaAritmética Binaria
•
MultiplicacióMultiplicació
nn0 x 0 = 0
0 x 1 = 0
1 x 0 = 0
1 x 1 = 1
• DivisiónDivisión
1 0 1 1 0 0 1 1 0
1 0 1
0
1
01 1
1 0 1
1
01 00
1 0 1
11
1
TAREA
Convertir:
378H -> Decimal
3020H -> Binario
11010 -> Binario
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1100000000b -> Decimal
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  • 1. SISTEMAS NUMERICOS Un Sistema Númerico es un conjunto de dígitos utilizados para representar cantidades. Un Dígito es un símbolo o carácter que es utilizado por un Sistema Númerico. Ejemplo de Dígitos: 157 en el sistema decimal (de base 10) se compone de los dígitos 1, 5 y 7 Los sistemas de numeración que poseen una base deben cumplir con la notación posicional, es decir, la posición de cada número le da un valor o peso 005 50 500 5000 etc.
  • 2. Sistemas de Numeración Un sistema de numeración consiste de un conjunto ordenado de símbolos, denominados dígitos, donde el número total de dígitos del conjunto representa la base ( r ) de dicho sistema. Los sistemas de uso común en el diseño de sistemas digitales son: el decimal, el binario, el octal y el hexadecimal.
  • 3. Sistemas de Numeración Binario Un sistema de numeración binario está compuesto por los siguientes dígitos: Sist. de numeración Conjunto de dígitos Base ( r ) Binario {0,1} 2
  • 4. Sistemas de Numeración Decimal Un sistema de numeración decimal está compuesto por los siguientes dígitos: Sist. de numeración Conjunto de dígitos Base ( r ) Decimal {0,1,2,3,4,5,6,7,8 ,9} 10
  • 5. Sistemas de Numeración Octal Un sistema de numeración Octal está compuesto por los siguientes dígitos: Sist. de numeración Conjunto de dígitos Base ( r ) Octal {0,1,2,3,4,5,6,7} 8
  • 6. Sistemas de Numeración Hexadecimal Un sistema de numeración hexadecimal está compuesto por los siguientes dígitos: Sist. de numeración Conjunto de dígitos Base ( r ) Hexadecimal {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C, D,E,F} 16
  • 7. Los sistemas de numeración binario, octal y hexadecimal están relacionados entre si, puesto que sus bases se relacionan por medio de potencias de 2, así: 2=21 , 8=23 , 16=24 . Esto facilita la conversión entre sistemas de numeración. Conversión entre Sistemas Numéricos , binario, Octal y hexadecimal. La conversión entre sistemas de numeración se realiza por separado para la parte entera y para la parte fraccionaria del número N. Asi: Método de división entre la base Método de multiplicación por la base Parte entera Parte fraccionaria
  • 8. Conversión entre los sistemas decimal, binario, octal y hexadecimal. Método de división entre la base Este método se utiliza para convertir la parte entera de un número en base A al entero equivalente en base B. i i n pi AaΣN ×= − −= 1 La parte entera del número N con base A se puede escribir como: 0 0 1 1 2 2 1 1 ... AaAaAaAaN n n n nE ++++= − − − − El valor de cualquier número N con n dígitos enteros y p dígitos fraccionarios en base A se puede determinar a partir de:
  • 9. Método de división entre la base La división de NE entre la base deseada queda como: BAaAaAaAaBN n n n nAE /)...(/)( 0 0 1 1 2 2 1 1 ++++= − − − − )()( 0bResiduoQCociente += El residuo b0 corresponde al dígito menos significativo del número NE en base B. Los dígitos (bi)B restantes se obtienen con divisiones sucesivas del cociente (Q) resultante entre la base deseada, hasta que el cociente (Q) resultante llegue a ser igual a cero.
  • 10. Ejemplo de Conversión Decimal a Binario Método de división entre la base Convertir (249)10 a bases 2 (249)10 = (11111001)2 249 2 124 2 62 2 31 2 15 2 27 3 2 1 2 0 1 0 0 1 1 1 1 1 a0 a1 a7
  • 11. Ejemplo de Conversión Decimal a Octal Método de división entre la base Convertir (249)10 a bases 2,8,16 (249)10 = (371)8 249 8 31 8 3 8 0 1 7 3 a0 a1 a2
  • 12. SISTEMAS NUMERICOS Binario -> Decimal Conversión BINARIO -> DECIMAL Sumar los valores representativos de cada columna, de derecha a izquierda. Un 1 en la primer columna vale 1. Un 1 en cada una de las siguientes columnas representa el doble que la anterior. Ejemplo: 1 0 0 1 1b Si cada columna representa el doble que la anterior, entonces: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
  • 13. 16 0 0 2 1 1 0 0 1 1b 16 + 2 + 1 = 19 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 8 + 16 + 256 + 2048 + 4096 = 6424 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 = 7577 SISTEMAS NUMERICOS Binario -> Decimal + Ejemplos
  • 14. SISTEMAS NUMERICOS Decimal -> Binario Dividir por 2 sucesivamente el valor a convertir hasta llegar a cero. Cuando exista residuo, poner un 1, cuando la división sea exacta,poner un 0. Finalmente, tomar los residuos de Abajo hacia arriba. Este será nuestro número binario. Ejemplo: Convertir 25 a su equivalente en binario 25 / 2 = 12.5 - residuo = 1 12 / 2 = 6 - residuo = 0 6 / 2 = 3 - residuo = 0 3 / 2 = 1.5 - residuo = 1 1 / 2 = 0.5 - residuo = 1 25 = 11001b 0
  • 15. SISTEMAS NUMERICOS Decimal -> Binario Convertir 7053 a binario: 7053 3526 1763 1 0 881 1 440 1 220 0 110 0 55 0 27 1 13 1 6 3 1 0 1 1 0 1 7053 = 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1b
  • 16. SISTEMAS NUMERICOS Binario -> Hexadecimal BINARIO HEXADECIMAL DECIMAL 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
  • 17. SISTEMAS NUMERICOS Binario -> Hexadecimal Se hacen grupos de 4 bits, empezando de derecha a izquierda. Si en el último grupo faltan dígitos, se rellena con ceros. Finalmente, cada grupo se convierte a su equivalente en Hexadecimal. Convertir 1 1 0 1 0 1 1b a Hexadecimal 1 0 1 10 1 1 01. 2. B6 1 1 0 1 0 1 1b = 6Bh (Se completa con un cero)
  • 18. Convertir 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1b A hexadecimal 1. 0001 1101 1001 1001 2. 1 D 9 9 1110110011001b = 1D99H SISTEMAS NUMERICOS Binario -> Hexadecimal
  • 19. SISTEMAS NUMERICOS Hexadecimal -> Binario Cada dígito Hexadecimal se convierte en su equivalente a Binario, haciendo grupos de 4 dígitos binarios. Si faltan dígitos, se completa con ceros. Convertir 99D1H a binario 1001 1001 1101 0001 (Se completa con cero) 99D1h = 1001100111010001b
  • 20. ConversionesConversiones • De Decimal a BinarioDe Decimal a Binario • De Decimal a OctalDe Decimal a Octal • De Decimal aDe Decimal a HexadecimalHexadecimal 2) El cociente se vuelve a dividir entre la base. 1) Se divide el número entre la base. 3) Se repite el paso 2 hasta que el cociente sea menor a la base.
  • 21. ConversionesConversiones • De Binario a OctalDe Binario a Octal • De Binario aDe Binario a HexadecimalHexadecimal • De Octal a BinarioDe Octal a Binario •De Hexadecimal aDe Hexadecimal a BinarioBinario Se agrupan los dígitos de tres en tres Se agrupan los dígitos de 4 en 4 Se convierte cada dígito octal a tres binarios Se convierte cada dígito hexadecimal a cuatro binarios
  • 22. ConversionesConversiones • De Octal aDe Octal a HexadecimalHexadecimal • De Hexadecimal a OctalDe Hexadecimal a Octal 1) Se convierte a binario 1) Se convierte a binario 2) Se agrupan los dígitos de 4 en 4 2) Se agrupan los dígitos de 3 en 3
  • 23. ¿Que es el código BCD?¿Que es el código BCD? • Ahora ya sabemos que los números del Sistema decimal tienen equivalentes en el Sistema Binario, La agrupación ordenada de los 0 y 1 de un número Binario representa algún número Decimal. Los sistemas digitales utilizan por fuerza los números en Sistema Binario, pero para nosotros en el mundo real siempre tienen que ser convertidos al Sistema Decimal, como hemos visto, las conversiones entre uno y otro Sistema de Números pueden llevarnos demasiado tiempo y ser muy complicadas, por ejemplo, si usamos números muy grandes. Para este tipo de conversiones y usos, se utiliza un método sencillo que combina las características de los Sistemas Decimal y Binario, este método lleva el nombre de Codificación Binaria Directa.
  • 24. • Cuando tomamos cada uno de los dígitos del Sistema Decimal, y lo representamos con su equivalente del Sistema Binario, estamos generando un “nuevo” código, el cuál lleva el nombre de Código Decimal Codificado en Binario (BCD). Partiendo de este nuevo código, el mayor número que podemos representar es el 9 (1001), por lo tanto forzosamente necesitamos de un número Binario de 4 Bits para hacerlo. Pero veamos gráficamente que es y como funciona el BCD. En esta ocasión usaremos los números Decimales 586 y 397, el proceso de convertir cada dígito por un equivalente Binario sería el siguiente:
  • 25.
  • 26. • Cada uno de los dígitos del Número Decimal es convertido en su equivalente Binario, Siempre utilizando 4 Bits para este proceso. En resumen, el Código BCD representa por separado cada uno de los numerales Decimales, empleando para ello números Binarios de 4 Bits. Como es lógico, si sólo se puede representar un solo número decimal por cada código BCD, los números del 10 al 15 (que es el número decimal más alto para un código Binario de 4 Bits, 1111), están fuera del código, de hecho, si tenemos algún circuito digital que trabaja sobre Código BCD y nos diera una salida como las siguientes, algo no está funcionando bien:
  • 27. • Decimal 10 = Binario 1010 • Decimal 11 = Binario 1011 • Decimal 12 = Binario 1100 • Decimal 13 = Binario 1101 • Decimal 14 = Binario 1110 • Decimal 15 = Binario 1111
  • 28. • Como el nombre lo indica, el Código BCD no puede ser catalogado como un Sistema (como el Binario, Octal y Hex). Sólo es una forma de Codificar el Sistema Binario. Teniendo muy presente este hecho, Un número en código BCD, NO es lo mismo que un número Binario Directo. El código BCD toma cada uno de los dígitos de un número Decimal y los representa, Un número del Sistema Binario representa el número Decimal Completo. Para comprender mejor el concepto, usaremos el número Decimal 387. Diferencias entre el Sistema Binario y el Código BCD
  • 29. Tabla de conversión al SistemaTabla de conversión al Sistema BinarioBinario
  • 30. Tabla de conversión al CódigoTabla de conversión al Código BCDBCD
  • 31. Aritmética BinariaAritmética Binaria • SumaSuma 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 1 y llevamos 1 • RestaResta 0 - 0 = 0 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 0 - 1 = 1 y debemos 1
  • 32. Aritmética BinariaAritmética Binaria • MultiplicacióMultiplicació nn0 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 0 = 0 1 x 1 = 1 • DivisiónDivisión 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 01 1 1 0 1 1 01 00 1 0 1 11 1
  • 33. TAREA Convertir: 378H -> Decimal 3020H -> Binario 11010 -> Binario 8193 -> Hexadecimal 1100000000b -> Decimal 4074 -> Hexadecimal