ELECTRICIDAD

1. Modelamiento de Sistemas
Eléctricos usando Laplace

2. Introducción
1er Método 2do Método

3. 1er Método
• Análisis del Circuito Lineal.
• Ecuación diferencial .
• Aplicar la transformada de Laplace.
• Encontrar la Función de transferencia.

4. 1er Método – Ejemplo
• La siguiente figura representa un sistema eléctrico conformado por
una fuente de tensión, una resistencia R y un capacitor C conectados
en serie.
• La entrada u(t) es la tensión generada por la fuente de tensión,
mientras que la salida y(t) es la caída de tensión en el condensador de
salida.

5. 1er Método – Ejemplo
• Realizando el análisis del circuito, encontramos la siguiente ecuación
dinámica:
𝒅𝒚
𝒅𝒕
+
𝟏
𝑹𝑪
𝒚 𝒕 =
𝟏
𝑹𝑪
𝒖 𝒕

6. 1er Método – Ejemplo
• Ecuación dinámica del sistema
𝒅𝒚(𝒕)
𝒅𝒕
+
𝟏
𝑹𝑪
𝒚 𝒕 =
𝟏
𝑹𝑪
𝒖 𝒕
• Considerando que:
• Recordamos que :
𝓛 𝒚(𝒕) = 𝒚(𝒔)
𝓛 𝒖(𝒕) = 𝒖(𝒔)
𝓛
𝒅𝒚(𝒕)
𝒅𝒕
= 𝒔𝒚(𝒔)

7. 1er Método – Ejemplo
• Ecuación dinámica del sistema
𝒅𝒚(𝒕)
𝒅𝒕
+
𝟏
𝑹𝑪
𝒚 𝒕 =
𝟏
𝑹𝑪
𝒖 𝒕
• Aplicando Transformada de Laplace
𝓛
𝒅𝒚(𝒕)
𝒅𝒕
+
𝟏
𝑹𝑪
𝒚 𝒕 = 𝓛
𝟏
𝑹𝑪
𝒖 𝒕
𝓛
𝒅𝒚(𝒕)
𝒅𝒕
+ 𝓛
𝟏
𝑹𝑪
𝒚 𝒕 = 𝓛
𝟏
𝑹𝑪
𝒖 𝒕
𝓛
𝒅𝒚(𝒕)
𝒅𝒕
+
𝟏
𝑹𝑪
𝓛 𝒚 𝒕 =
𝟏
𝑹𝑪
𝓛 𝒖 𝒕
𝒔𝒚(𝒔) +
𝟏
𝑹𝑪
𝒚(𝒔) =
𝟏
𝑹𝑪
𝒖(𝒔)
𝓛 න 𝒚 𝒕 𝒅𝒕 =
𝟏
𝒔
𝒚(𝒔)

8. 1er Método – Ejemplo
• Agrupando términos:
𝒔𝒚(𝒔) +
𝟏
𝑹𝑪
𝒚(𝒔) =
𝟏
𝑹𝑪
𝒖(𝒔)
(𝒔 +
𝟏
𝑹𝑪
)𝒚(𝒔) =
𝟏
𝑹𝑪
𝒖(𝒔)
• Hallando Función de transferencia (Relación entre la salida y la entrada de un
sistema expresada en términos de Laplace):
𝒚(𝒔)
𝒖(𝒔)
=
𝟏
𝑹𝑪
𝒔 +
𝟏
𝑹𝑪
𝒚(𝒔)
𝒖(𝒔)
=
𝟏
𝑹𝑪𝒔 + 𝟏
𝑯(𝒔) =
𝟏
𝑹𝑪𝒔 + 𝟏

9. 1er Método – Ejemplo
• Entonces:
𝑯(𝒔)
𝟏
𝑹𝑪𝒔 + 𝟏

10. 1er Método – Ejercicio
• La siguiente figura representa un sistema eléctrico conformado por
una fuente de tensión, una resistencia R, un inductor L y un capacitor
C conectados en serie.
• La entrada u(t) es la tensión generada por la fuente de tensión Vi,
mientras que la salida y(t) es la caída de tensión en el condensador de
salida, Vc.

11. 1er Método – Ejemplo
• Realizando el análisis del circuito, encontramos la siguiente ecuación
dinámica:
𝑳𝑪
𝒅𝟐
𝒅𝒕𝟐
𝒚 𝒕 + 𝑹𝑪
𝒅
𝒅𝒕
𝒚 𝒕 + 𝒚 𝒕 = 𝒖 𝒕

12. 1er Método – Ejemplo
• Realizando el análisis del circuito, encontramos la siguiente ecuación
dinámica:
𝑳𝑪
𝒅𝟐
𝒅𝒕𝟐
𝒚 𝒕 + 𝑹𝑪
𝒅
𝒅𝒕
𝒚 𝒕 + 𝒚 𝒕 = 𝒖 𝒕

13. 2do Método
• Aplicar Transformada de Laplace.
• Transformación del Circuito Lineal.
• Ecuación Algebraica.
• Encontrar la Función de transferencia.

14. 2do Método – Ejemplo
• La siguiente figura representa un sistema eléctrico conformado por
una fuente de tensión, una resistencia R y un capacitor C conectados
en serie.
• La entrada u(t) es la tensión generada por la fuente de tensión,
mientras que la salida y(t) es la caída de tensión en el condensador de
salida.

15. 2do Método
• Transformación de los circuitos eléctricos usando Laplace:
Dominio
Temporal
Dominio
Laplace
(frecuencial)
Dominio
Temporal
Dominio
Laplace
(frecuencial)
Dominio
Temporal
Dominio
Laplace
(frecuencial)

16. 2do Método – Ejemplo
• Transformamos el circuito
Dominio Temporal Dominio Frecuencial

17. 2do Método - Circuito R-C
• Aplicando la ley de voltajes :
−𝑉𝑖 𝑠 + 𝑉𝑅 𝑠 + 𝑉
𝑐 𝑠 = 0
𝑉𝑖 𝑠 − 𝑉𝑅 𝑠 − 𝑉
𝑐 𝑠 = 0 … (1)
• Donde la señal de entrada 𝑢 𝑠 = 𝑉𝑖(𝑠)
• Donde la señal de salida es y s = 𝑉
𝑐 𝑠
• Entonces :
𝑢 𝑠 − 𝑉𝑅 𝑠 − 𝑦 𝑠 = 0 … (2)
Malla

18. 2do Método - Circuito R-C
• Aplicando la ley de Ohm:
• 𝑉𝑅 𝑠 = 𝐼 𝑠 ∗ 𝑅 … (3)
• Aplicando ley del condensador:
• 𝑉𝐶 𝑠 = 𝐼 𝑠 ∗
1
𝑠𝐶
𝐼 𝑠 = 𝑠𝐶𝑉𝐶 𝑠 𝐼 𝑠 = 𝑠𝐶𝑦 𝑠 …(4)

19. 2do Método - Circuito R-C
• Reemplazando la ecuación 4 en la ecuación 2:
𝑢 𝑠 − 𝑉𝑅 𝑠 − 𝑦 𝑠 = 0
𝑢 𝑠 − 𝑠𝐶𝑦 𝑠 ∗ 𝑅 − 𝑦 𝑠 = 0
𝑢 𝑠 − 𝑠𝑅𝐶𝑦 𝑠 − 𝑦 𝑠 = 0
𝑢 𝑠 = (𝑠𝑅𝐶 + 1)𝑦 𝑠
• Hallando la función de transferencia
𝒀(𝒔)
𝑼(𝒔)
=
𝟏
𝑹𝑪𝒔 + 𝟏

20. 2do Método – Ejemplo
• La siguiente figura representa un sistema eléctrico conformado por
una fuente de tensión, una resistencia R y un capacitor C conectados
en serie.
• La entrada u(t) es la tensión generada por la fuente de tensión,
mientras que la salida y(t) es la caída de tensión en la resistencia.
VR -
+

21. 2do Método
• Transformación de los circuitos eléctricos usando Laplace:
Dominio
Temporal
Dominio
Laplace
(frecuencial)
Dominio
Temporal
Dominio
Laplace
(frecuencial)
Dominio
Temporal
Dominio
Laplace
(frecuencial)

22. 2do Método – Ejemplo
• Transformamos el circuito
Dominio Temporal Dominio Frecuencial

23. 2do Método - Circuito R-C
• Aplicando la ley de voltajes :
−𝑉𝑖 𝑠 + 𝑉𝑅 𝑠 + 𝑉
𝑐 𝑠 = 0
𝑉𝑖 𝑠 − 𝑉𝑅 𝑠 − 𝑉
𝑐 𝑠 = 0 … (1)
• Donde la señal de entrada 𝑢 𝑠 = 𝑉𝑖(𝑠)
• Donde la señal de salida es y s = 𝑉𝑅 𝑠
• Entonces :
𝑢 𝑠 − 𝑦 𝑠 − 𝑉𝐶 𝑠 = 0 … (2)
Malla
-
+ VR

24. 2do Método - Circuito R-C
• Aplicando la ley de Ohm:
• 𝑉𝑅 𝑠 = 𝐼 𝑠 ∗ 𝑅 … (3)
• Aplicando ley del condensador:
• 𝑉𝐶 𝑠 = 𝐼 𝑠 ∗
1
𝑠𝐶
𝑉𝐶 𝑠 = 𝑦 𝑠 ∗
1
𝑠𝑅𝐶
…(4)
-
+ VR
𝐼 𝑠 = 𝑉𝑅 𝑠 /𝑅 𝐼 𝑠 = 𝑦(𝑠)/𝑅

25. 2do Método - Circuito R-C
• Reemplazando la ecuación 4 en la ecuación 2:
𝑢 𝑠 − 𝑦 𝑠 − 𝑉𝐶 𝑠 = 0
𝑢 𝑠 − 𝑦 𝑠 − 𝑦 𝑠 ∗
1
𝑠𝑅𝐶
= 0
𝑢 𝑠 = (
1
𝑠𝑅𝐶
+ 1)𝑦 𝑠
𝑢 𝑠 = (
1 + 𝑠𝑅𝐶
𝑠𝑅𝐶
)𝑦 𝑠
• Hallando la función de transferencia
𝒀(𝒔)
𝑼(𝒔)
=
𝒔𝑹𝑪
𝒔𝑹𝑪 + 𝟏

26. 2do Método - Circuito R-C
• Entonces:
𝑯(𝒔)
𝟏
𝑹𝑪𝒔 + 𝟏

27. Circuito R-L-C
• La entrada u(t) es la tensión generada por la fuente de tensión Vi,
mientras que la salida y(t) es la caída de tensión en el condensador de
salida, Vc.

28. Circuito R-L-C
• Transformar el Circuito
Dominio Temporal Dominio Frecuencial

29. Circuito R-L-C
• Aplicando la ley de voltajes :
−𝑢 𝑠 + 𝑉𝑅 𝑠 + 𝑉𝐿 𝑠 + 𝑉
𝑐 𝑠 = 0
𝑢 𝑠 − 𝑉𝑅 𝑠 − 𝑉𝐿 𝑠 − 𝑉
𝑐 𝑠 = 0 … (1)
• donde 𝑉𝑅 𝑡 es el voltaje en la resistencia R, 𝑉𝐿 𝑡 es el voltaje en el
inductor y 𝑉
𝑐 𝑡 es el voltaje en el capacitor C
Malla

30. Circuito R-C
• Aplicando la ley de Ohm:
• 𝑉𝑅 𝑠 = 𝐼 𝑠 ∗ 𝑅 … (2)
• Del circuito se observa que:
• 𝑉𝐶 𝑡 = 𝑦 𝑡 … (3)
• En el inductor se observa que:
• 𝑉𝐿 𝑠 = 𝐼 𝑠 ∗ 𝐿𝑠 … (4)
• En el capacitor se observa que :
• 𝑉𝐶 𝑠 = 𝐼 𝑠 ∗
1
𝑠𝐶
𝐼 𝑠 = 𝑠𝐶𝑉𝐶 𝑠 𝐼 𝑠 = 𝑠𝐶𝑦 𝑠 …(5)
𝑢 𝑠 − 𝑉𝑅 𝑠 − 𝑉𝐿 𝑠 − 𝑉
𝑐 𝑠 = 0 … (1)

31. Circuito R-C
• Reemplazando 2, 3 y 4 en 1:
𝑢 𝑠 − 𝐼 𝑠 ∗ 𝑅 − 𝐼 𝑠 ∗ 𝐿𝑠 − 𝑦(𝑠) = 0 … (6)
• En la ecuación 6 aún se observa
variables intermedias (i(s)) que no son ni
entrada ni salida. Debemos expresarla
en función a alguna de ellas.
• Reemplazando 5 en 6:
𝑢 𝑠 − 𝐼 𝑠 ∗ 𝑅 − 𝐼 𝑠 ∗ 𝐿𝑠 − 𝑦(𝑠) = 0
𝑢 𝑠 − 𝑠𝐶𝑦 𝑠 ∗ 𝑅 − 𝑠𝐶𝑦 𝑠 ∗ 𝐿𝑠 − 𝑦(𝑠) = 0
𝑢 𝑠 − 𝑠𝑅𝐶𝑦 𝑠 − 𝑠2𝐿𝐶𝑦 𝑠 − 𝑦(𝑠) = 0
𝑢 𝑠 = (𝑠2𝐿𝐶 + 𝑠𝑅𝐶 + 1)𝑦(𝑠)

32. Circuito R-C
• Hallando la función de
transferencia :
𝐻 𝑠 =
𝑦(𝑠)
𝑢(𝑠)
=
1
𝑠2𝐿𝐶 + 𝑠𝑅𝐶 + 1
𝐻(𝑠)
1
𝑠2𝐿𝐶 + 𝑠𝑅𝐶 + 1