1. Automatización del proceso de corte
de planchas de vidrio con un robot
cartesiano de 3 grados de libertad
Sandoval Monzón, Héctor D. Cueva Olivos, John Paul Calle Anchayhua, Edison
hdsm22@hotmail.com paul_unimec@hotmail.com racingg7@hotmail.com
RESUMEN
En este trabajo presentamos el modelado de la cinemática y la dinámica de un robot
cartesiano (xyz), así como también los diferentes tipos de control de seguimiento de
trayectoria por torque computado de este con el fin de llevarlos a la realidad en una aplicación
física de “Automatización de proceso de corte de planchas de vidrio”.
En el desarrollo del presente documento podemos observar cómo responde el sistema a los
diferentes tipos de control utilizando como herramienta de simulación inicialmente el software
simmechanics de Matlab. Posteriormente haremos la simulación utilizando las ecuaciones
dinámicas del robot, esto por motivo de que serán estas últimas las que podrán ser
implementadas en el microcontrolador, microprocesador o DSP que controlará al robot real.
Palabras clave: Robot cartesiano, control PID, Torque computado, Control Optimo LQR
INTRODUCCION Inicialmente haremos la simulación de los
diferentes tipos de control en un modelo
El avance de la tecnología y los de robot que previamente hemos diseñado
requerimientos en la actual industria de en “solidworks” y mediante la herramienta
maquinarias más precisas y eficientes (en “simmechanics” hemos importado al
cuanto a alta velocidad y por ende matlab para hacer que este responda de
producción se refiere), nos conlleva a modo muy aproximado al robot real. Esto
realizar el estudio del robot cartesiano de 3 solo con fines de ayudarnos en una
grados de libertad que se encargue en este primera etapa a tener una simulación con
caso particular del proceso automático de una visualización agradable del robot y la
corte de planchas de vidrio. manera en que responde al seguimiento de
trayectoria.
La aplicación de este mismo robot luego
podrá ser extendida al corte de piezas Posteriormente este modelo será
metálicas, entre otras miles de aplicaciones reemplazado las ecuaciones dinámicas del
en las que se requiera del posicionamiento robot, ya que serán estas las que
exacto de de una herramienta de corte, finalmente serán implementadas en el
tallado o perforado. microcontrolador, microprocesador o DSP
que realizara el control del robot real.
En este artículo empezaremos hallando la
cinemática del robot cartesiano utilizando También se muestran en cada caso los
el algoritmo de Denavit- Hartemberg y diagramas de bloques de control, las
luego conseguiremos las ecuaciones graficas correspondientes a las posiciones
dinámicas del mismo aplicando la de entrada deseadas, a las posiciones
formulación de LaGrange. obtenidas a la salida y a las coordenadas
articulares.

2. ROBOT CARTESIANO
El siguiente es el modelo de robot
cartesiano que utilizaremos y del cual
plantearemos las ecuaciones cinemáticas y
dinámicas.
Con la última podremos plantear las
ecuaciones cinemáticas:
MODELO CINEMÁTICO
De las cuales derivando obtenemos:
Basándonos en el modelo presentado
arriba, podemos colocar en cada eslabón
los sistemas cartesianos utilizando el
algoritmo de Denavit-Hartemberg.
Y podemos deducir que el Jacobiano y su
inversa son:
;
MODELO DINÁMICO
A continuación se procede a hallar la
dinámica utilizando la formulación de
LaGrange que requiere del cálculo de la
Energía cinética y Potencial del robot. Para
ello previamente debemos hacer otros
Obteniendo los siguientes parámetros DH: cálculos que son:
Elemento Calculo de los tensores inerciales :
1 Hallando el tensor inercial del k-ésimo
2 elemento con respecto a un sistema
3 ubicado en su centro de masa.
Con estos parámetros, podremos hallar las
matrices de transformación para cada
eslabón.

3. Cálculo de los Jacobianos Lineales
Calculo de los tensores inerciales :
Hallando los tensores inerciales con
respecto al sistema referencial .
Cálculo de los Jacobianos angulares
Centros de masa
Hallando las posiciones de los centros de
masa del k-ésimo elemento respecto
al k-ésimo sistema de referencia . Cálculo de las matrices
Centros de masa
Hallando las posiciones de los centros
de masa del k-ésimo elemento respecto al
referencial .
Calculo de

4. Cálculo de la Energía Cinética SIMULACION EN SIMULINK
A continuación se usara como herramienta
el matlab para diseñar el control del robot
cartesiano.
Calculo de la Energía Potencial
Fig. Robot de solidworks y simmechanics en simulink
incluyendo Sensores, Actuadores y Condición inicial
Calculo de la dinámica
Sabiendo que el Lagrangiano es: El grafico del robot con matrices las matrices
C, H, G en el matlab será el siguiente:
Finalmente podremos usar la formulación
de LaGrange:
Con lo que obtendremos la dinámica:
Encerrando todo en un subsistema nuestro
robot quedara con la siguiente forma
Datos:
Donde será la fuerza controlada por
tratarse de un robot cartesiano

5. SIMULACION DEL CONTROL Control Proporcional con Realimentación
CONTROL EN LAZO ABIERTO
de Velocidad
Grafico del robot en lazo abierto:
Salida del robot en simmechanics:
Para una fuerza arbitraria tipo escalón la
respuesta esta represente por la siguiente
grafica:
Fig. En la grafica que observa que es necesario Salida del robot HCG
un control por realimentación para poder
controlar el robot cartesiano.
CONTROL DE POSICION
1. Control Proporcional con
realimentación de velocidad
2. Control PD
3. Control PD con compensación de
gravedad
4. Control PID
Control PD
En todos los casos controlaremos una
misma posición deseada con los mismos
controladores para comparar las
respuestas obtenidas.
Condiciones Iniciales: qo = [-0.4 0.3 0.3] m
Posición Deseada: qd = [-0.1 0 0.1]
Controlador
Kp = 75 Kv =100

6. Salida del robot en simmechanics: Control PID
Para los controladores PID
Kp = 100 Kv =200 Ki=2
Salida del robot HCG
Salida del robot en simmechanics:
Control PD con compensación de
gravedad
Salida del robot HCG
Salida del robot HCG

7. Control PID en el espacio xyz TORQUE COMOPUTADO
Entrada de referencia:
Encerrando todo en un subsistema
tendremos:
Salida del Robot En simmechanics
SEGUIMIENTO DE UNA TRAYECTORIA
CON TORQUE COMPUTADO
Salida del Robot HCG Para ello utilizaremos el bloque de simulink
Function Block Parameter que nos
permitirán ingresar funciones como
entradas.
Es necesario diseñar el controlador para el
optimizar la respuesta.
Fig. Control de trayectoria con torque computado

8. Funciones de Trayectorias deseadas: CONTROL LQR
Para este caso será necesario encontrar un
controlador LQR que optimice la salida de
la planta y el la ley de control.
y el índice de desempeño asociado a ser
minimizado es:
Entrada de Trayectoria deseada Grafica de la planta:
Ecuaciones de estado:
Salida para el Robot HCG
Las ecuaciones que definen nuestro
sistemas son la siguientes:
Para este caso nuestro sistema es un
Salida para el robot en simmechanics sistema lineal y sus estados están
desacoplados.
Nuestro sistema lineal estará representado
por la siguiente ecuación:

9. METODOS PARA CALCULAR EL LQR: Representación del modelo en Simulink
 ECUACIONES DE RICATTI
 METODO DEL AUTOVECTOR (MATRIZ
HAMILTONIANA)
 USANDO LOS TOOLS DE MATLAB:
Función: k=lqr(A,B,Q,R);
Para nuestro sistema:
A=[0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 Fig. Representación del Robot lineal en simulink
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0]; Seguimiento de trayectoria (MODELO LINEAL)
B=[0 0 0;0 0 0;0 0 0;
1/(m1+m2+m3) 0 0;
0 1/(m2+m3) 0;
0 0 1/m3];
C=eye(6);
D=zeros(6,3);
Se observa que la matriz C es la identidad
porque la salida de nuestra planta son los
estados y la matriz D es nula.
Por la regla de Bryson podemos generar las Aplicando el mismo controlador para nuestro
matrices P y Q que minimicen el error y la modelo importado de siemmechanics:
ley de control:
Q=1000000*eye(6);
% Matriz de ganancia Q=I
R=1*eye(3);
% Matriz de ganancia R=I
Donde se obtiene el siguiente controlador:
k=lqr(A,B,Q,R);

10. Seguimiento de trayectoria (Siemmechanics) CONCLUSIONES
 El robot cartesiano es muy apropiado
para el uso de corte de planchas de
vidrio por la facilidad de poderse
desplazar en cualquier trayectoria
sobre un plano. Estas trayectorias
pueden apreciarse con ayuda del
matlab.
 Las respuestas obtenidas para el robot
obtenido por simmechanics y el robot
obtenido por la dinámica son muy
aproximados. Esto nos demuestra que
la dinámica es la correcta.
 El control LQR es muy útil debido a su
Grafica del error con el controlador PID robustez. En nuestro caso calculamos
el LQR para una planta lineal, sin
embargo este funciona muy bien aun
cuando se cambia la planta por una
ligeramente diferente (Modelo no
lineal - SIMMECHANICS)
 Se logro el control de trayectoria
usando el control lineal cuadrático (
LQR) lográndose un error menor que
el logrado con el PID.
Grafica del error con el LQR BIBLIOGRAFIA
 [1] Separatas de clase: Dinámica de
sistemas multicuerpo.
Ing. José Machuca Mines.
Facultad de Ingeniería Mecánica.
Universidad Nacional de Ingeniería
Escuela profesional de Ingeniería
mecatronica.
 [2] Apuntes de clase: Análisis y control
de Robots.
Grafica de la fuerza en el control LQR Ing. Cesar Anchayhua Arestegui.
Facultad de Ingeniería Mecánica.
Universidad Nacional de Ingeniería
Escuela profesional de Ingeniería
mecatronica.
 [3] Fundamentos de Robótica
A. Barrientos, L. F. Peñin, C. Balaguer,
R. Aracil
Mc Graw Hill, 1997
 [4]Dynamics of multibody systems
Ahmed A. Shabana
Cambridge University Press