Originalmente, los cuaterniones fueron introducidos por William Hamilton en 1843, como un método para efectuar rotaciones en tres dimensiones de cuerpos sólidos. Dicho cuaternión contiene una parte escalar, es decir, un número asignado a un eje real, y una parte hipercompleja de tres números, que corresponde a tres ejes imaginarios (i, j, k).

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Mayo – Agosto 2023, Vol. 1, No. 2
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Robótica aplicada
Rodolfo Ponce-Reynoso, 1
Celeste Salgado-Pineda 2
Introducción
Originalmente, los cuaterniones fueron
introducidos por William Hamilton en 1843, como
un método para efectuar rotaciones en tres
dimensiones de cuerpos sólidos. Dicho
cuaternión contiene una parte escalar, es decir,
un número asignado a un eje real, y una parte
hipercompleja de tres números, que
corresponde a tres ejes imaginarios (i, j, k).
Cuando los cuaterniones se combinan con la
teoría de los números duales, se obtienen los
cuaterniones duales que fueron presentados
por William Clifford en 1882. Un cuaternión dual
consiste en ocho elementos o dos cuaterniones
(parte real y parte dual), como se ilustra en la
siguiente figura. Los cuaterniones duales han
encontrado prometedoras aplicaciones en
áreas de investigación tales como la robótica,
biomecánica, industria aeroespacial, gráficos
de computadora, animación digital, visión por
computadora, inteligencia artificial, entre otras.
Representación visual de los componentes de un
cuaternión y de un cuaternión dual.
Por otro lado, la cinemática es una rama de la
física que se encarga del estudio del movimiento,
sin atender las causas que lo originan.
Particularmente, en la robótica, un análisis
cinemático consiste en averiguar los
desplazamientos en el espacio tridimensional, de
rotación (se refiere a los giros en un determinado
número de grados alrededor de algún eje) y
traslación (se refiere al cambio en la posición
lineal a lo largo de un eje), de cuerpos rígidos
llamados eslabones que son unidos por medio
de articulaciones para formar lo que se conoce
como manipulador robótico. Para su estudio, la
cinemática se subdivide en análisis cinemático
directo y análisis cinemático inverso. El
problema cinemático directo de manipuladores
robóticos trata acerca del estudio de la
obtención de la postura (posición y orientación
en el espacio tridimensional) del efector final o
herramienta de ese robot, en función de los
ángulos o desplazamientos de las
articulaciones, también llamadas variables
articulares. Por otro lado, el problema
cinemático inverso, trata acerca del cálculo de
las variables articulares en las que se debe
configurar el robot manipulador para alcanzar
una postura deseada de su efector final.
Es conveniente utilizar las propiedades
algebraicas de los cuaterniones duales para
representar o modelar matemáticamente la
cinemática directa e inversa de manipuladores
robóticos. Al emplear cuaterniones duales se
puede agrupar en un solo número de ocho
elementos, tanto la posición como la orientación
de un eslabón de un manipulador robótico, esto
se traduce en una representación más
compacta, exacta y sencilla en términos de
cálculos computacionales, en comparación con
métodos convencionales de análisis. Además, se
disminuyen drásticamente las posibilidades de
obtener soluciones a la cinemática inversa, que
se encuentren fuera del espacio de trabajo del
robot o que colisione sobre sí mismo.
Solución a la cinemática directa con
cuaterniones duales
4 elementos
Re
al
Hipercompleja
Cuaternión
𝑖𝑥 + 𝑗𝑦
+ 𝑘𝑧
𝑤
=
𝑞
ො +
Cuaternión
Dual Parte Real Parte dual
𝜀𝑞𝑑
𝑞𝑟
8 elementos
+
𝑄
෠ =
Operador
dual

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El primer paso es enumerar y asignar cada uno
de los marcos de referencia (sistema de
coordenadas x, y, z) a cada articulación del
manipulador robótico. En este caso se toma
utiliza un manipulador robótico de cinco grados
de libertad modelo Mitsubishi RV-2AJ, para
validar los resultados experimentales. Los
grados de libertad son el total de movimientos o
giros que puede realizar el robot (en la figura
siguiente se identifican como 𝜃1, 𝜃2, . . , 𝜃5). Este
robot se encuentra en el laboratorio de
automatización de la Universidad Tecnológica
de la Región Norte de Guerrero, UTRNG, Iguala
de la Independencia, Guerrero.
Asignación de marcos de referencia y medidas
del manipulador robótico Mitsubishi RV-2AJ.
Un cuaternión dual puede modelar la rotación y
traslación de un sólido, en este caso los
eslabones del manipulador robótico en el
espacio tridimensional. La determinación de los
parámetros cinemáticos de cada eslabón y
articulación del robot, se realiza utilizando la
metodología Denavit-Hartenberg (un método
comúnmente empleado en la robótica).
Finalmente, se multiplican entre sí los
cuaterniones duales de cada eslabón del robot
para obtener la posición y orientación del
efector final, lo cual representa la solución a la
cinemática directa del manipulador robótico.
Solución a la cinemática inversa
empleando cuaterniones duales
En el problema cinemático inverso, se deben
calcular los ángulos de las articulaciones por
medio del conocimiento de la orientación y
posición del efector final (herramienta del
manipulador). La solución al problema
cinemático inverso representa un grado de
complejidad mayor al problema cinemático
directo, ya que surgen funciones
trigonométricas, casos indeterminados
(divisiones por cero), o soluciones que
físicamente el manipulador robótico no puede
alcanzar, o que originan una colisión sobre sí
mismo. En este trabajo, el problema cinemático
inverso se formuló utilizando cuaterniones
duales, proponiendo un algoritmo matemático
(metodología ordenada, secuencial y lógica de
resolución de un problema) que emplea una ley
de control basado en la retroalimentación del
error, esto es, la diferencia entre la posición
deseada y la actual. Esto se repite tantas veces
hasta encontrar una solución que satisfaga la
tolerancia deseada o se alcance un número de
iteraciones preestablecido.
Simulación y validación experimental
A continuación, se muestran imágenes del robot
en diferentes posiciones, que dan solución al
problema cinemático directo. Corresponden a
imágenes reales del manipulador y a sus
correspondientes en el programa de cómputo
RoboDK®, generadas al introducir los valores
angulares de las articulaciones desde el
programa de cómputo Matlab®, en donde se
lleva a cabo la programación de los algoritmos
con cuaterniones duales.
Manipulador robótico Mitsubishi RV-2AJ;
(arriba-izquierda), (abajo-izquierda) posiciones
experimentales; (arriba-derecha), (abajo-
derecha) en la simulación en RoboDK®.

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En el caso del problema cinemático inverso se
utilizaron posiciones cartesianas, para las
cuales se deben obtener los ángulos de las
articulaciones que producen dichas posiciones.
Se requieren al menos de quince iteraciones o
ciclos de ejecución del algoritmo para generar la
solución a la cinemática inversa de cada uno de
los puntos cartesianos.
Manipulador robótico Mitsubishi RV-2AJ;
(izquierda) posición inicial en el experimento y
(derecha) ruta cartesiana a seguir.
Comentario final
Empleando cuaterniones duales es posible
ahorrar tiempo de cálculo y preservar la
precisión numérica. El caso de estudio mostrado
en este trabajo, muestra que los cuaterniones
duales son una herramienta matemática muy
efectiva y eficiente para representar las
ecuaciones de la cinemática de manipuladores
robóticos. Dado que en un cuaternión dual se
puede encapsular información referente a la
posición y orientación de los eslabones de un
manipulador robótico, se reduce también la
memoria y el costo computacional, ya que se
reducen significativamente los cálculos
matemáticos a efectuar, y permite su
implementación para control en tiempo real.
Como trabajo a futuro, se investigará la
aplicación de los cuaterniones duales en lo
referente a la dinámica de manipuladores
robóticos, es decir, el estudio de las causas que
producen el movimiento de los cuerpos.
Palabras clave: robots manipuladores,
cuaterniones duales, control.
1 Rodolfo Ponce Reynoso es Ingeniero en
Robótica Industrial por la ESIME del IPN, Maestro
y Doctor en Ciencias en Ingeniería Mecánica, por
la ESIME, Sección de Estudios de Posgrado e
Investigación. IPN. Universidad Tecnológica de la
Región Norte de Guerrero.
Contacto: rodolfopr@utrng.edu.mx
2
Celeste Salgado Pineda es Ingeniera Mecánica
por la Universidad La Salle, Cuernavaca.
Maestría en Sustentabilidad Energética,
Universidad Autónoma del Estado de Morelos,
Cuernavaca. Doctorado en Ciencias y
Tecnologías del Agua, Instituto Mexicano de
Tecnologías del Agua, Morelos. Instituto
Mexicano de Tecnologías del Agua.
Contacto: manuela.salgado@posgrado.imta.mx
Lecturas recomendadas
Fu, K. S., Gonzalez, R. C., Lee, C. G., & Freeman, H.
(1987). Robotics: control, sensing, vision, and
intelligence (Vol. 1). New York: McGraw-Hill.
Rodd, M. G. (1987). Introduction to robotics:
Mechanics and control: John J. Craig.
Valverde, A., & Tsiotras, P. (2018). Dual quaternion
framework for modeling of spacecraft-
mounted multibody robotic systems. Frontiers
in Robotics and AI, 5, 128.