sistemas de control

1. Informe N.-1. Sistemas de Control
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UnidadAcadémica de las Ciencias de la Ingeniería y Aplicadas. UniversidadTécnica de Cotopaxi.Latacunga. Ecuador
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PROYECTO N.-3
Luz Vanessa Córdova Guaraca
e-mail: vane.cordova_97@hotmail.com
RESUMEN: En el siguiente documento se va a realizar
la práctica de un enunciado de motor de corriente directa en
el cual se va a calcular las funciones y ecuaciones
correspondientes para llevarlo al programa simulink de
Matlab y de esta manera conocer su señal de salida y de
entrada mediante la utilización de la función de transferencia.
PALABRAS CLAVE: Matlab, Simulink, función de
transferencia, motor.
ABSTRACT: In the following document the practice of a
direct current motor statement will be carried out in which the
corresponding functions and equations will be calculated to
take it to the simulink program of Matlab and thus know its
output and input signal through The use of the transfer
function.
Keywords: Matlab, Simulink, transfer function, motor.
I. INTRODUCCIÓN
a función de transferencia es muy importante para
caracterizar las relaciones de entrada y salida de
componentes o de sistemas que se describen mediante
ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo;
donde se aplica diferentes ecuaciones como la transformada de
Laplace, integrales, entre otros ya que tiene numerosas
aplicaciones en la ingeniería que resulta útil en problemas en
que la fuerza impulsora presenta discontinuidades, es
impulsiva o periódica.
I. OBJETIVO GENERAL
Determinar las ecuaciones y funciones correspondientes
mediante el uso del programa Matlab (simulink) para conocer
las señales de salida.
II. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
A. Indagar acerca de la función de transferencia, para realizar
el ejercicio propuesto.
B. Resolver las ecuaciones correspondientes del enunciado
propuesto, para llevarlo al simulador de Matlab.
C. Conectar el osciloscopio para conocer las señales de salida
del ejercicio.
III. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA
A. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
Según Amos Gilat (2006) en su obra Matlab: una introducción
con ejemplos prácticos expresa lo siguiente.
“Una aplicación importante del análisis de circuitos es el
proceso de un señal en su paso de la entrada a la salida. Es el
conjunto de definición de s, dicho proceso de señal esta
descrito por una función racional de la variable frecuencia
compleja llamada función de transferencia.” Pág. 58
La función de transferencia de un sistema descrito mediante
una ecuación diferencial lineal e invariante con el tiempo se
define como el cociente entre la transformada de Laplace de la
salida (función de respuesta) y la transformada de Laplace de
la entrada (función de excitación) bajo la suposición de que
todas las condiciones iniciales son cero.
B. DIAGRAMA DE BLOQUES
Según Ogata K. en su obra Ingeniería de Control Moderno
expresa lo siguiente:
“Un diagrama de bloques de un sistema es una representación
gráfica de las funciones que lleva a cabo cada componente y el
flujo de señales. Tal diagrama muestra las relaciones existentes
entre los diversos componentes. A diferencia de una
representación matemática puramente abstracta, un diagrama
de bloques tiene la ventaja de indicar en forma más realista el
flujo de las señales del sistema real. En un diagrama de
bloques se enlazan una con otra todas las variables del sistema,
mediante bloques funcionales. El bloque funcional o
simplemente bloque es un símbolo para representar la
operación matemática que sobre la señal de entrada hace el
bloque para producir la salida.” Pág. 63.
C. MOTOR DE CORRIENTE CONTINUA
Un motor CC está compuesto de un estator y un rotor. En
muchos motores c.c., generalmente los más pequeños, el
estator está compuesto de imanes para crear un campo
magnético. En motores corriente continua más grandes este
campo magnético se logra con devanados de excitación de
campo. El rotor es el dispositivo que gira en el centro del
motor cc y está compuesto de arrollados de cable conductores
de corriente continua. Esta corriente continua es suministrada
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al rotor por medio de las “escobillas” generalmente fabricadas
de carbón.
IV. MARCO EXPERIMENTAL
Para el sistema mostrado de la figura N.- 1 compuesto por un
motor DC de excitación independiente alimentado por un
rectificador y con una carga mecánica considerar:
 Que el rectificador controlado alimenta el motor CC
con una tensión continua Ui(t) que es proporcional a
la tensión Uc(t) con constante proporcional k.
 El motor CC tiene una corriente de excitación
constante: Ri, Li y constante electromotriz Kb y
constante del par del motor Kp.
 En el extremo del eje hay par resistente variable Pr,
debido a los elementos mecánicos que mueve el
motor.
 El conjunto motor eje tiene una inercia J y un
coeficiente de rozamiento viscoso B.
a) Determinar las ecuaciones y funciones de transferencia del
sistema.
b) Obtener la respuesta del sistema utilizando el Simulink del
MATLAB.
Fig.1.- Problema propuesto
Valores con el número de la cédula.
CI
1
𝐴
7
𝐵
2
𝐶
7
𝐷
5
𝐸
0
𝐹
2
𝐺
5
𝐻
Ecuación Resultado
K=5+A 6
Kb= 0.01+0.01xB 0.08 [V.s/rad]
Kp= 1+0.01xC 1.02 [N.m/A]
Ri= 1+D 8 [Ω]
Li=0.1+0.02x(E+F) 0.2 [H]
J=1+2xG 5 [Kg.𝑚2
]
B=1-(0.1xH) 0.5 [Kg.𝑚2
/s]
a) Determinar las ecuaciones y funciones de
transferencia del sistema.
RESOLUCION:
Función de Transferencia.
FDT =
SALIDA
ENTRADA
FDT =
W
Vc
Voltaje del motor.
Vm = Kp
dw
dt
Torque.
T = Kb ∗ I
Análisis por malla en el circuito que se encuentra el motor.
−𝑉𝑔 + 𝑅𝐼 + 𝑉𝑚 + 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
= 0
𝑉𝑔 = 𝑅𝐼 + 𝑉𝑚 + 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
Remplazando Voltaje del motor en Vm.
Primera ecuación.
𝑉𝑔 = 𝑅𝐼 + 𝐾𝑝
𝑑𝑤
𝑑𝑡
+ 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
Análisis en el Torque.
𝑇 = 𝐽
𝑑²𝑤
𝑑𝑡²
+ 𝐵
𝑑𝑤
𝑑𝑡
Remplazando el valor del Torque.
Segunda Ecuación.
𝑇 = 𝐽
𝑑²𝑤
𝑑𝑡²
+ 𝐵
𝑑𝑤
𝑑𝑡
𝐾𝑏𝐼 = 𝐽
𝑑²𝑤
𝑑𝑡²
+ 𝐵
𝑑𝑤
𝑑𝑡
Aplicando Transformada de Laplace.
Primera Ecuación.
𝑉𝑔 = 𝑅𝐼 + 𝐾𝑝
𝑑𝑤
𝑑𝑡
+ 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
Tercera Ecuación.
𝑉𝑔(𝑠) = 𝑅𝐼(𝑠) + 𝐾𝑝𝑊( 𝑠) + 𝐿𝐼(𝑠)

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Despejando I(s)
𝑉𝑔( 𝑠) = 𝐼( 𝑠)( 𝑅 + 𝐿) + 𝐾𝑝𝑊( 𝑠)
𝑉𝑔( 𝑠) − 𝐾𝑝𝑊(𝑠) = 𝐼( 𝑠)( 𝑅 + 𝐿)
Cuarta Ecuación.
𝐼( 𝑠) =
𝑉𝑔( 𝑠) − 𝐾𝑝𝑊(𝑠)
( 𝑅 + 𝐿)
Aplicando Transformada de Laplace.
Segunda Ecuación.
𝐾𝑏𝐼 = 𝐽
𝑑²𝑤
𝑑𝑡²
+ 𝐵
𝑑𝑤
𝑑𝑡
Quinta Ecuación.
𝐾𝑏𝐼( 𝑠) = 𝐽𝑊( 𝑠2) + 𝐵𝑊(𝑠)
Remplazando la Cuarta Ecuación en la Quinta Ecuación.
𝐾𝑏𝐼( 𝑠) = 𝐽𝑊( 𝑠2) + 𝐵𝑊(𝑠)
𝐾𝑏 (
𝑉𝑔( 𝑠) − 𝐾𝑝𝑊( 𝑠)
( 𝑅 + 𝐿)
) = 𝐽𝑊( 𝑠2) + 𝐵𝑊(𝑠)
𝐾𝑏( 𝑉𝑔( 𝑠) − 𝐾𝑝𝑊( 𝑠)) = ( 𝐽𝑊( 𝑠2) + 𝐵𝑊( 𝑠))( 𝑅 + 𝐿)
𝐾𝑏𝑉𝑔 ( 𝑠) − 𝐾𝑏𝐾𝑝𝑊( 𝑠) = 𝑊( 𝐽( 𝑠2) + 𝐵( 𝑠))( 𝑅 + 𝐿)
𝐾𝑏𝑉𝑔( 𝑠) = 𝑊( 𝐽( 𝑠2) + 𝐵( 𝑠))( 𝑅 + 𝐿) + 𝐾𝑏𝐾𝑝𝑊( 𝑠)
𝐾𝑏 ∗ 𝑉𝑔( 𝑠) = 𝑊[( 𝐽( 𝑠2) + 𝐵( 𝑠))( 𝑅 + 𝐿) + 𝐾𝑏𝐾𝑝( 𝑠)]
𝐾𝑏
( 𝐽( 𝑠2) + 𝐵( 𝑠))( 𝑅 + 𝐿)
+ 𝐾𝑝𝐾𝑏 (𝑠) =
𝑊
𝑉𝑔
Respuesta.
𝑾
𝑽𝒈
=
𝑲𝒃
( 𝑱( 𝒔 𝟐) + 𝑩( 𝒔))( 𝑹 + 𝑳)
+ 𝑲𝒑𝑲𝒃(𝒔)
b) Obtener la respuesta del sistema utilizando el
Simulink del MATLAB.
Fig. 2- Esquema en el sistema de bloque de Matlab
Fig.3- Señal de salida
V. CONCLUSIONES
A. La función de transferencia de un sistema se define como la
transformada de Laplace de la variable de salida y la
transformada de Laplace de la variable de entrada.
B. La función de transferencia es la ecuación fundamental para
realizar el diagrama del esquema.
C. Al conectar el osciloscopio en el diagrama de bloques se
puede ver como la señal de entrada es muy diferente a la señal
de salida.
VI. RECOMENDACIONES
A. Conocer cada uno de los elementos que tiene Matlab para
aprovecharlo.
B. Resolver correctamente las ecuaciones para que no exista
ningún inconveniente al momento de simular
C. Cambiar los valores para comprobar como varia el resultado
de la señal de salida y entrada.
VII. BIBLIOGRAFÍA
[1] Amos Gilat (2006). Matlab: una introducción con ejemplos
prácticos. Barcelona: Reverté, S.A
[2] Ogata K. (2001). Ingenieria de Control Moderno. México:
Pearson educación.
[3] Rectificador de Motores de Combustion Interna.
(2011). Consejo Federal de Educacion.