Este documento presenta un proyecto de aula realizado por dos estudiantes de ingeniería química sobre la aplicación del cálculo diferencial. El proyecto incluye la introducción, planteamiento del problema, justificación, objetivos y referente teórico. También presenta varios problemas de optimización resueltos que muestran cómo un ingeniero químico puede aplicar el cálculo diferencial en su trabajo para determinar dimensiones óptimas.
Este documento trata sobre estadística descriptiva y probabilidad. Se divide en cuatro capítulos que cubren estos temas: el capítulo 1 describe estadísticos descriptivos como la media, mediana y moda; el capítulo 2 cubre la relación entre dos variables numéricas mediante la covarianza y correlación; el capítulo 3 explica conceptos básicos de probabilidad como reglas, espacio muestral y sucesos; y el capítulo 4 trata sobre encuestas y proporciones usando el modelo binomial. Cada capítulo incluye definiciones, fó
Este documento trata sobre el cálculo de derivadas de funciones de una variable. Explica la definición formal de derivada, cómo calcular derivadas usando la definición y reglas de derivación, y las propiedades de derivabilidad y continuidad. También presenta ejemplos numéricos y gráficos para ilustrar conceptos clave como puntos en los que una función no es derivable.
Este documento describe métodos directos para resolver problemas numéricos. Estos métodos involucran una secuencia finita de operaciones aritméticas para obtener resultados exactos. Se provee un ejemplo de un algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones lineales triangulares inferiores. Adicionalmente, se discute la eficiencia de los métodos directos y cómo medirla usando la notación O(n) que indica el orden de complejidad de un algoritmo.
1. El documento habla sobre la selección de variables y la construcción de modelos de regresión. Explica que al eliminar variables del modelo se puede mejorar la precisión de los estimados, aunque introduce sesgo potencial.
2. Describe las consecuencias de una mala especificación del modelo, como que los estimadores pueden ser sesgados y que al eliminar variables importantes aumentan las varianzas.
3. Presenta criterios para evaluar modelos como el coeficiente de determinación, el error cuadrático medio y la estadística Cp de Mallows
10 regresion y correlacion lineal multipleAnniFenty
Este documento presenta un resumen de los conceptos de regresión y correlación lineal múltiple. Explica cómo calcular el plano de regresión para una variable dependiente en función de dos o más variables independientes, así como los coeficientes de regresión, error estándar y correlación múltiple. También cubre cómo realizar pruebas de hipótesis e intervalos de confianza para los parámetros de regresión y estimaciones individuales. Finalmente, incluye un ejemplo ilustrativo con datos sobre dureza de acero en función del contenido de cobre
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la teoría de probabilidades, incluyendo el espacio de muestras, el álgebra de eventos y la medida de probabilidad. Introduce la noción de espacio de muestras como el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Explica las operaciones básicas con conjuntos como la unión, intersección y complemento que se aplican a los subconjuntos del espacio de muestras llamados eventos. Finalmente, define el concepto de álgebra como una colección de eventos que satis
El documento presenta varios ejercicios relacionados con el cálculo del coeficiente de correlación de Pearson (r) para analizar la relación lineal entre dos variables. Se explican conceptos como gráficas de dispersión, cálculo de r, y su interpretación. Luego, se proponen cinco ejercicios con datos numéricos sobre los que se pide calcular r, interpretar la relación, y responder otras preguntas relacionadas.
Este documento presenta un cuaderno de ejercicios de ecuaciones diferenciales elaborado por Margarita Ramírez Galindo y Enrique Arenas Sánchez para apoyar la enseñanza de esta asignatura. Consta de 180 ejercicios organizados en 6 temas siguiendo el programa de la materia. El objetivo es que los estudiantes practiquen y reafirmen los conceptos teóricos mediante la resolución de problemas.
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Este documento trata sobre el cálculo de derivadas de funciones de una variable. Explica la definición formal de derivada, cómo calcular derivadas usando la definición y reglas de derivación, y las propiedades de derivabilidad y continuidad. También presenta ejemplos numéricos y gráficos para ilustrar conceptos clave como puntos en los que una función no es derivable.
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1. El documento habla sobre la selección de variables y la construcción de modelos de regresión. Explica que al eliminar variables del modelo se puede mejorar la precisión de los estimados, aunque introduce sesgo potencial.
2. Describe las consecuencias de una mala especificación del modelo, como que los estimadores pueden ser sesgados y que al eliminar variables importantes aumentan las varianzas.
3. Presenta criterios para evaluar modelos como el coeficiente de determinación, el error cuadrático medio y la estadística Cp de Mallows
10 regresion y correlacion lineal multipleAnniFenty
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Atef Hussian E-Elmgiarbe is a civil engineer seeking work. He has a Bachelor's degree in civil engineering from IUKL University Malaysia. During his studies, he designed a 20-floor hotel building project and researched using mangrove roots in concrete. He has internship experience in deep foundation and piling construction. He is proficient in English, Arabic, Microsoft Office, AutoCAD, Staad Pro, Primavera, and Esteem. He was a member of the Institute of Engineers Malaysia from 2011 to 2015.
4 Aktor yang Pernah Memerankan Karakter JokerTamara Aulia
Dokumen ini membahas 4 aktor yang pernah memerankan karakter Joker dalam berbagai adaptasi media, yaitu Caesar Romero dalam serial TV Batman tahun 1966, Jack Nicholson dalam film Batman 1989, Heath Ledger dalam The Dark Knight 2008 yang membuatnya memenangkan Oscar, dan Jared Leto dalam Suicide Squad 2016.
La contabilidad evolucionó desde la Edad Media, cuando se usaban prácticas contables básicas en el comercio y los monasterios. En la Edad Moderna, la partida doble se estableció como el método estándar, y la revolución industrial hizo que la contabilidad fuera más necesaria para las empresas. La contabilidad se define como la ciencia que estudia y analiza el patrimonio de las organizaciones y empresas para tomar decisiones y controlar los recursos.
The document discusses integrating environmental and social sustainability impacts of biojet fuel production into a life cycle assessment (LCA) framework. It identifies two main problems: 1) environmental LCA (ELCA) and social LCA (SLCA) use different product system boundaries as ELCA uses unit processes while SLCA uses organizations, and 2) ELCA and SLCA use different indicator types as ELCA uses quantitative pressure-level data while SLCA uses qualitative, semi-quantitative and state-level data. The thesis will address these problems by developing a framework called social and environmental LCA (SELCA) that makes the product systems and indicators compatible between the two LCA approaches.
Este documento presenta una ponencia sobre el impacto de las tecnologías de la información y la comunicación (TIC) en la planificación didáctica y el diseño de actividades de aprendizaje. Explora cómo las TIC afectan objetivos, contenidos, currículo, materiales, evaluación, espacios físicos y virtuales. También analiza diferentes tipos de actividades de aprendizaje apoyadas por TIC como casos de estudio, investigación, producciones multimedia y proyectos colaborativos.
The document provides tips for becoming a better blogger, including finding a niche and following the five C's of blogging: contribution, consistency, consuming content from other blogs, creativity, and currency. It recommends having a passion for a topic and using blogging as a way to tell stories and provide valuable information to others, especially in the current era dominated by smartphones.
Este documento discute los desafíos que enfrentan los estudiantes y educadores para evaluar la confiabilidad de la información en Internet. Explica que los estudiantes carecen de habilidades para determinar la calidad de los recursos en línea y que la alfabetización informacional debe enseñarse de manera integrada en el currículo, no como una orientación aislada. También propone algunas estrategias para enseñar estas habilidades a través de un proyecto de historia sobre las causas de la Primera Guerra Mundial.
Small-scale Indonesian tuna fisheries face opportunities and challenges in obtaining third-party certification under schemes like the Marine Stewardship Council (MSC) and Fair Trade. While certification could provide market benefits, Indonesian fisheries must overcome challenges like limited data collection and meeting reporting requirements for regional fisheries management organizations. With support from national and international partners to improve traceability, management, and harmonization of data standards, small-scale Indonesian tuna fisheries may be able to capitalize on certification opportunities in the future.
Las antocianinas son pigmentos vegetales hidrosolubles responsables del color rojo, púrpura y azul en plantas. Son glicósidos de antocianidinas unidas a azúcares. Proporcionan color dependiendo del pH y se degradan con luz, oxígeno y temperatura. Juegan un papel en la atracción de polinizadores y en la resistencia de plantas. Tienen potencial como colorantes alimentarios y antioxidantes con aplicaciones farmacológicas.
El documento describe un truco de magia en el que la persona elige una carta mentalmente sin tocarla, Ron trata de leer su mente y adivinar cuál eligió, y se supone que de alguna manera Ron puede eliminar o descubrir cuál carta eligió la persona, lo que se describe como alucinante. Se invita a la persona a repetir el truco y compartirlo con amigos.
Lauren Sword is seeking a position as a nursing home administrator and provides an overview of her relevant experience and credentials. She has 11 years of experience in gerontology and social work and is a licensed nursing home administrator. Most recently, she served as the executive director of Ridgeway Nursing and Rehabilitation Facility, where she oversaw daily operations and led a staff of 138. She has a passion for serving the aging community and is driven to take on new challenges.
El documento resume las derivadas de funciones, incluyendo su definición, aplicaciones y ejemplos. Explica que la derivada representa la pendiente de la recta tangente y mide cómo varía una función. Luego detalla algunas aplicaciones comunes como determinar la velocidad, puntos críticos, valores máximos y mínimos, y el método de Newton. Finalmente, ofrece ejemplos del uso de derivadas en la vida cotidiana como medir la velocidad de un auto o un corredor.
Este documento presenta una introducción a la metodología de superficies de respuesta. Explica que esta metodología involucra técnicas estadísticas y de optimización para modelar cómo una variable de respuesta se ve afectada por factores y encontrar las condiciones óptimas. Incluye definiciones clave, objetivos del estudio, marco teórico y una aplicación del tema a la ingeniería comercial usando el software Statgraphics.
Este documento trata sobre la importancia del cálculo matemático en diferentes ramas como la contabilidad, economía y estadística. Explica cómo el cálculo diferencial, integral, series numéricas y otras ramas matemáticas se aplican a problemas financieros, de optimización y modelado contable. Finalmente concluye que las habilidades matemáticas son esenciales para la contabilidad y economía modernas dado que permiten el desarrollo de modelos que sustentan los registros y análisis financieros.
Este documento presenta una monografía sobre las aplicaciones de las derivadas. En 3 oraciones: Introduce el tema de las derivadas y sus usos en matemáticas y otras áreas. Explica que las derivadas miden el cambio instantáneo de una cantidad con respecto a otra y tienen aplicaciones en optimización, cálculo de velocidad y aceleración, y análisis de funciones. Concluye resumiendo varias aplicaciones clave de las derivadas como encontrar máximos y mínimos, calcular límites, y analizar puntos de inflexión.
Este documento presenta conceptos clave del álgebra como la suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas, los productos notables y su aplicación para simplificar expresiones, y la factorización mediante productos notables. Explora estas ideas a través de definiciones, ejemplos y aplicaciones prácticas, concluyendo que el dominio de estas técnicas proporciona herramientas útiles para resolver problemas matemáticos y científicos de manera más eficiente.
Atef Hussian E-Elmgiarbe is a civil engineer seeking work. He has a Bachelor's degree in civil engineering from IUKL University Malaysia. During his studies, he designed a 20-floor hotel building project and researched using mangrove roots in concrete. He has internship experience in deep foundation and piling construction. He is proficient in English, Arabic, Microsoft Office, AutoCAD, Staad Pro, Primavera, and Esteem. He was a member of the Institute of Engineers Malaysia from 2011 to 2015.
4 Aktor yang Pernah Memerankan Karakter JokerTamara Aulia
Dokumen ini membahas 4 aktor yang pernah memerankan karakter Joker dalam berbagai adaptasi media, yaitu Caesar Romero dalam serial TV Batman tahun 1966, Jack Nicholson dalam film Batman 1989, Heath Ledger dalam The Dark Knight 2008 yang membuatnya memenangkan Oscar, dan Jared Leto dalam Suicide Squad 2016.
La contabilidad evolucionó desde la Edad Media, cuando se usaban prácticas contables básicas en el comercio y los monasterios. En la Edad Moderna, la partida doble se estableció como el método estándar, y la revolución industrial hizo que la contabilidad fuera más necesaria para las empresas. La contabilidad se define como la ciencia que estudia y analiza el patrimonio de las organizaciones y empresas para tomar decisiones y controlar los recursos.
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Este documento presenta una ponencia sobre el impacto de las tecnologías de la información y la comunicación (TIC) en la planificación didáctica y el diseño de actividades de aprendizaje. Explora cómo las TIC afectan objetivos, contenidos, currículo, materiales, evaluación, espacios físicos y virtuales. También analiza diferentes tipos de actividades de aprendizaje apoyadas por TIC como casos de estudio, investigación, producciones multimedia y proyectos colaborativos.
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Small-scale Indonesian tuna fisheries face opportunities and challenges in obtaining third-party certification under schemes like the Marine Stewardship Council (MSC) and Fair Trade. While certification could provide market benefits, Indonesian fisheries must overcome challenges like limited data collection and meeting reporting requirements for regional fisheries management organizations. With support from national and international partners to improve traceability, management, and harmonization of data standards, small-scale Indonesian tuna fisheries may be able to capitalize on certification opportunities in the future.
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El documento resume las derivadas de funciones, incluyendo su definición, aplicaciones y ejemplos. Explica que la derivada representa la pendiente de la recta tangente y mide cómo varía una función. Luego detalla algunas aplicaciones comunes como determinar la velocidad, puntos críticos, valores máximos y mínimos, y el método de Newton. Finalmente, ofrece ejemplos del uso de derivadas en la vida cotidiana como medir la velocidad de un auto o un corredor.
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Este documento trata sobre la importancia del cálculo matemático en diferentes ramas como la contabilidad, economía y estadística. Explica cómo el cálculo diferencial, integral, series numéricas y otras ramas matemáticas se aplican a problemas financieros, de optimización y modelado contable. Finalmente concluye que las habilidades matemáticas son esenciales para la contabilidad y economía modernas dado que permiten el desarrollo de modelos que sustentan los registros y análisis financieros.
Este documento presenta una monografía sobre las aplicaciones de las derivadas. En 3 oraciones: Introduce el tema de las derivadas y sus usos en matemáticas y otras áreas. Explica que las derivadas miden el cambio instantáneo de una cantidad con respecto a otra y tienen aplicaciones en optimización, cálculo de velocidad y aceleración, y análisis de funciones. Concluye resumiendo varias aplicaciones clave de las derivadas como encontrar máximos y mínimos, calcular límites, y analizar puntos de inflexión.
Este documento presenta conceptos clave del álgebra como la suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas, los productos notables y su aplicación para simplificar expresiones, y la factorización mediante productos notables. Explora estas ideas a través de definiciones, ejemplos y aplicaciones prácticas, concluyendo que el dominio de estas técnicas proporciona herramientas útiles para resolver problemas matemáticos y científicos de manera más eficiente.
Este documento presenta conceptos clave del álgebra como la suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas, los productos notables y su aplicación para simplificar expresiones, y la factorización mediante productos notables. Explora estas ideas a través de definiciones, ejemplos y aplicaciones prácticas, concluyendo que el dominio de estas técnicas proporciona herramientas útiles para resolver problemas matemáticos y científicos de manera más eficiente.
Planeación 8. unidades de medida y aplicaciones de las ecuaciones.Donaldo Castellanos
Este documento presenta el diseño metodológico de una unidad de aprendizaje sobre ecuaciones y unidades de longitud para sexto grado. La unidad busca que los estudiantes desarrollen conversiones entre unidades de medida y resuelvan ecuaciones usando métodos algebraicos. Incluye temas, competencias, actividades y una evaluación para recopilar los conceptos enseñados.
Este documento presenta el trabajo realizado por el Grupo N° 4 sobre derivadas en Matemática II. Incluye la introducción al tema, marco teórico con definiciones y reglas de derivación, marco práctico con ejercicios resueltos, y bibliografía. El grupo desarrolló ejercicios sobre cálculo de derivadas, gráficas de funciones, y optimización aplicando conceptos de derivadas.
Este documento presenta el problema de la diligencia como un ejemplo de programación dinámica. El objetivo es encontrar la ruta óptima para que una diligencia viaje entre las ciudades A y J minimizando el costo total de los seguros. La solución se encuentra resolviendo el problema en etapas, almacenando los costos mínimos de cada etapa para evitar cálculos redundantes. Esto conduce a la generación de tablas que muestran el costo óptimo para llegar a cada ciudad en cada etapa.
Este informe presenta soluciones a dos problemas de mecánica y transferencia de calor usando el software Mathcad. En el primer problema, se calcula el ángulo máximo que puede alcanzar un plano inclinado antes de que se deslice un bloque, considerando dos configuraciones. En el segundo problema, se resuelve numéricamente la ecuación del calor en una placa usando diferencias finitas. El informe también incluye marco teórico sobre fuerzas de roce y el método de diferencias finitas.
El documento presenta dos propuestas para un software educativo de álgebra. La primera es un juego de aventura donde los retos se resuelven mediante ecuaciones lineales representadas por máquinas. La segunda es una herramienta para que el usuario plantee y resuelva problemas visualizando el proceso mediante rectas y gráficas. Ambas buscan que el usuario aprenda resolviendo problemas en contextos realistas más que practicando ejercicios repetitivos.
Este documento presenta un cuaderno de ejercicios de ecuaciones diferenciales elaborado por Margarita Ramírez Galindo y Enrique Arenas Sánchez para apoyar la enseñanza de esta asignatura. El cuaderno contiene 180 ejercicios clasificados en 6 temas y resuelve 100 ejercicios de manera detallada mientras que los otros 80 incluyen sólo la solución. El objetivo es reforzar los conceptos teóricos vistos en clase a través de la resolución de ejercicios.
1. El documento habla sobre las derivadas, su concepto y aplicaciones. Explica que la derivada mide la variación de una magnitud con respecto a otra y que se utiliza para calcular velocidad, aceleración, tasas de cambio y más.
2. Describe algunas aplicaciones de las derivadas como optimización para encontrar máximos y mínimos, cálculo de tangentes, rectas normales, puntos de inflexión y análisis de funciones.
3. Finalmente, presenta ejemplos para encontrar el máximo producto de números cuya suma es
Este documento trata sobre el cálculo diferencial. Explica que estudia los incrementos en variables y la derivada de funciones. Luego detalla algunas aplicaciones importantes del cálculo diferencial en áreas como probabilidad, estadística, ciencias, ingeniería y computación. Finalmente, incluye algunos ejemplos para ilustrar conceptos como la derivación de funciones simples y el teorema de derivadas compuestas.
El documento presenta el trabajo colaborativo de un grupo de estudiantes sobre el análisis de límites y continuidad. Los estudiantes explican conceptos como límites por sustitución, formas indeterminadas, límites al infinito y límites de funciones trigonométricas a través de ejemplos. También describen cómo aplicarán estos conceptos en sus desarrollos profesionales, por ejemplo, para realizar proyecciones financieras y de producción.
Este informe trata sobre la optimización (máximos y mínimos) utilizando los criterios de la primera y segunda derivada. El documento define conceptos como derivada, máximos y mínimos, e incluye ejemplos de problemas de optimización resueltos aplicando los criterios de la primera y segunda derivada.
Este documento presenta una guía de estudio para el examen extraordinario de Cálculo Diferencial. Incluye cuatro bloques principales: 1) El surgimiento del cálculo, 2) Límites y continuidad, 3) Razón de cambio y la derivada, y 4) Máximos y mínimos. Cada bloque contiene actividades y ejercicios para practicar conceptos como el cálculo de límites, derivadas, velocidad, máximos y mínimos. El propósito final es que los estudiantes puedan aplicar el cálculo
POLINOMIOS Y ECUACIONES ALGEBRAICAS EN NUMEROS COMPLEJOS.pdfCamilaLpez87
1. Se trata de una clase de Cálculo III sobre funciones racionales enteras en teoría de números complejos. El objetivo es resolver problemas matemáticos contextualizados usando el marco teórico de funciones racionales.
2. La actividad consiste en plantear un problema matemático o contextualizado y construir un marco teórico para resolverlo. El docente orienta y guía el aprendizaje de los estudiantes mientras resuelven ejercicios de manera individual.
3. Los resultados de aprendizaje esperados son que los estud
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
Mapa Mental documentos que rigen el sistema de evaluación
Calculo 1 (1) ultima version
1. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA
UNIDAD ACADEMICA DE CIENCIAS QUÍMICAS Y DE LA SALUD
INGENIERÍA QUÍMICA
Proyecto de aula
Integrantes:
Cajamarca Lituma Nardy Michelle
Dota Espinoza Silvana Daniela
Área:
Ingeniería química
Asignatura:
CÁLCULO DIFERENCIAL
Docente:
Dr. Richar Calderón Zambrano
Curso:
Primer semestre
Machala – El Oro – Ecuador
2016
2. Dedicatoria
El siguiente trabajo es dedicado a nuestros padres y abuelos por el apoyo incondicional
que nos brindaron durante el desarrollo del este proyecto.
A nuestro profesor, que aporto de manera significativa compartiéndonos sus
conocimientos e impartiéndonos valores de leales en nuestro trabajo.
También, a nuestros compañeros que de una u otra manera siempre estuvieron dispuestos
a ayudarnos en los casos complejos que se daban durante el desarrollo de dicho trabajo.
3. Agradecimiento
En la realización de este proyecto participaron personas que aportaron directamente en
nuestro proyecto, pero en primer lugar agradecemos a Dios, tales fueron nuestros
compañeros, también, nuestros docentes que en su momento nos ayudaron brindando
tiempo a sus alumnos, por su paciencia y dedicación.
4. 1. Introducción
En este proyecto se presentara la importancia del cálculo diferencia en la vida de un
ingeniero con el fin de conocer la utilidad del mismo también incluirá objetivos generales
y específicos que serán planteados en base a la investigación obtenida en diferentes
fuentes pero como fuente de apoyo principal el libro de Calculo Diferencial e Integral de
Willian Anthony Granville y su debido planteamiento del problema.
El cálculo diferencial en si es un método que se aplica en la vida de la ingeniería química,
civil, ambiental, biología, contabilidad, etc. De acuerdo a su contexto. En cualquier
proceso se puede formar una ecuación para la solución de un problema. Existen muchos
problemas en la cual pueden ir creciendo o decreciendo, lo que implica que tie un valor
máximo y un valor mínimo, posteriormente se precederá aplicar el cálculo para
determinar máximos y mínimos de una función es decir para determinar un punto más
alto o más bajo de una curva en donde su pendiente es cero y de problemas de
optimización aplicando los dos métodos de resolución de ejercicios con máximos y
mínimos aplicando la primera y segunda derivada. También se plantearán problemas y se
darán solución a cada uno de ellos con una explicación muy clara con su respectiva
solución.
Estos se encontraran en lenguaje matemático y la parte primordial para la resolución de
este tipo de problemas es saber plantear o proponer una función cuya función deberá
describir el comportamiento que se presenta en el enunciado. Una vez identificada la
función de procederá a aplicar el procedimiento para determinar máximos y mínimos.
5. 2. Planteamiento del problema
¿De qué manera puede un ingeniero químico aplicar el cálculo diferencial dentro de su
capo laboral?
3. Justificación
Con el presente trabajo se busca reforzar las clases que se llevaron a cabo durante el
módulo de cálculo diferencial, cuyo fin es poner en práctica lo aprendido a través de
ejercicios de optimización aplicándolos en la vida de un ingeniero químico. El siguie nte
trabajo se lo realizo mediante investigaciones y tutorías con el docente ya que respondía
a nuestras dudas y de esta manera dar mayor profundización a los temas a desarrollarse,
ya que hubieron clases que no fueron comprendidas totalmente.
6. 4. Objetivos
4.1 Objetivo general
Aplicar los conocimientos adquiridos durante el periodo formativo de la
materia de cálculo diferencial en la resolución de ejercicios de manera que
intervenga en la vida de un ingeniero químico
4.2 Objetivo especifico
Establecer conceptos básicos para el desarrollo del proyecto.
Investigar en diferentes fuentes acerca del contenido para su debido
desarrollo.
Demostrar la aplicación de los conceptos en casos reales a través de
problemas de optimización.
7. 5. Referente Teórico
5.1 Calculo diferencial
5.1.1 ¿Qué es el cálculo diferencial?
“El Cálculo Diferencial e Integral es una herramienta matemática que surgió en el siglo
XVII para resolver algunos problemas de geometría y de física. El problema de hallar una
recta tangente a la gráfica de una función en un punto dado y la necesidad de explicar
racionalmente los fenómenos de la astronomía o la relación entre distancia, tiempo,
velocidad y aceleración, estimularon la invención y el desarrollo de los métodos del
Cálculo.” (Conevyt, 2016)
5.1.2 ¿Qué son los problemas de optimización?
Son los enunciados que se presentan en lenguaje matemático en la cual nos permitirá
construir una función, consiste en minimizar el valor de una variable, es decir, calcular o
determinar el valor mínimo o el valor máximo de una función de una variable.
5.1.3 Derivada
El concepto de derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con
que se produce y la razón de cambio de una situación; por ello la derivación constituye
una de las operaciones de mayor importancia dentro del cálculo cuando trabajamos con
funciones reales puesto que nos indica la tasa de variación de la función en un instante
determinado.
5.1.4 Constantes
“…un número cuyo valor no varía se llama constante“ (Palmer, 2003). Es una cantidad
que durante el proceso analítico en la resolución de un ejercicio tienen un valor fijo
5.1.4.1 Constante numérico
Son aquellas que conservan su valor durante todo el proceso analítico.
5.1.4.2 Constantes arbitrarias
Son aquellas que se les asignan valores numéricos y los conservan solo durante un
proceso analítico específico, se representan con los primeras letras del alfabeto desde la
A hasta la K.
8. 5.1.4.3 Constantes trascendentales
Son aquellas que están establecidas con un valor numérico se representan como símbolos
en las operaciones como α, ∑, etc.
5.1.5 Función ( 𝒇):
En matemáticas, es una expresión algebraica cuya estructura está formada por constantes
y al menos dos variables. Es una relación entre un conjunto dado 𝑥 (llamado dominio o
término independiente) y otro conjunto de elementos 𝑦 (llamado rango o término
dependiente), donde el número y es único para cada valor especifico de x, donde y se
considera función de x.
5.1.6 ¿Qué son los máximos y mínimos?
“...el método de máximos y mínimos aplicado a las líneas curva es un método para hallar
líneas curvas que gocen de una propiedad de máximo o de mínimo dada de antemano”
(Euler, 1993)
En matemáticas, son conocidos como extremos de una función, en una función cuando la
parábola es cóncava hacia arriba se dice que tiene un punto máximo y cuando la parábola
es convexa esta tiene un punto mínimo, esto se identifica por medio de los puntos críticos.
5.1.7 Punto crítico
“…un punto interior al dominio de una función 𝑓( 𝑥, 𝑦) donde 𝑓𝑥 𝑦 𝑓𝑦 se anulan, o bien
donde alguna de estas derivadas no existe, es un punto crítico de 𝑓.” (George B. Thomas)
5.1.8 Volumen
“…es el espacio que ocupa la materia” (Margarita Canales, 1999)
5.1.9 Área
El área es un concepto métrico que permite asignar una medida a la extensión de
una superficie.
9. 6. Problemas de optimización
6.1 Desarrollo
Un ingeniero químico requiere cerrar dos lotes para la construcción de un edificio, cuenta
con 150m. Determinar las dimensiones de lote para que el área que se requiere cerrar sea
máxima. Suponiendo que uno de sus lados comparten un lado.
x
x
x x
yy
y
Perímetro
𝑃 = 4𝑥 + 3𝑦
Área
𝐴 = 2𝑥 ∗ 𝑦
Despejamos y
𝑃 = 4𝑥 + 3𝑦 = 150
𝑦 =
150 − 4𝑥
3
Reemplazamos en y
𝐴 = 2𝑥 ∗ 𝑦
𝐴 = 2𝑥 (
150 − 4𝑥
3
)
𝐴 = 100𝑥 −
8𝑥2
3
Derivamos y obteneos puntos
críticos
𝐴 = 100𝑥 −
8𝑥2
3
𝐴 = 100
𝑑𝑦
𝑑𝑥
( 𝑥) −
𝑑𝑦
𝑑𝑥
(
8𝑥2
3
)
𝐴 = 100 −
16
3
𝑥
10. Un ingeniero químico vende acido clorítico a $20 cada litro y los gastos de producción
están dados por 𝑝(𝑥)
𝑥2
1000
los gasto de envió es de 𝐸( 𝑥) = 1$
𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜⁄ entregado ¿cuantas
litros se deben de producir para que el beneficio sea máximo?
Tenemos el precio que es
𝑃( 𝑋) =
𝑋2
1000
Entonces los gastos son el precio de costo más el precio de distribución
𝐺( 𝑥) =
𝑥2
1000
+ 1𝑥
La función a maximizar es el beneficio
Igualamos a 0
𝐴 = 100 −
16
3
𝑥 = 0
16
3
𝑥 = 100
𝑥 =
100 × 3
16
=
300
16
Punto critico
Aplicamos la segunda derivada
𝐴" = 100 −
16
3
𝑥 =
𝐴" =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
(100) −
𝑑𝑦
𝑑𝑥
(
16
3
) 𝑥
𝐴" = −
16
3
< 0
Máximo
Reemplazamos el valor de x en y
𝑦 =
150 − 4𝑥
3
𝑦 =
150 − 4(18.75)
3
𝑦 = 25 𝑚
11. 𝐵( 𝑥) = 2𝑜𝑥 −
𝑥2
1000
− 𝑥 = 19𝑥 −
𝑥2
1000
𝐵′( 𝑋) = 19 −
2𝑥
1000
→ 𝐵′( 𝑥) = 0
19 −
2𝑥
1000
= 0 → 19 =
2𝑥
1000
→ 𝑥 =
19000
2
→ 𝑥 = 9500
Verifico con la segunda derivada que es menor a cero
𝐵′( 𝑥) =
2
1000
< 0
Un ingeniero quiere construir un envase cilíndrico de base circular para fermentar vinagre
de banano cuyo volumen del cilindro deberá ser 64𝑐𝑚 3
. Hallar las dimensiones de
lámina metálica se mínima.
𝑉 = 𝜋𝑅2
ℎ = 64 Primera ecuación
Nos pide minimizar el área del cilindro y nos pide encontrar las dimensiones
𝐴 = 2𝜋𝑅2
+ 2𝜋𝑅ℎ 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛
Luego despejo H de la primera ecuación y sustituimos 3 en 2
ℎ =
64
𝜋𝑅2 Tercera ecuación
Remplazo en la segunda ecuación
𝐴( 𝑅) = 2𝜋𝑅2
+ 2𝜋𝑅.
64
𝜋𝑅2
Seguidamente se deriva la función
𝐴( 𝑅) = 2𝜋𝑅2
+ 128𝑅1