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Calculo Diferencial
- 1. 1 UNIDAD ACADEMICA DE CIENCIAS QUIMICA Y DE LA SALUD CARRERA DE BIOQUIMICA Y FARMACIA APLICACIÓN DE PROBLEMAS DE MAXIMOS Y MINIMOS PARA LA ELABORACION DE ENVASE DE AGUA MARIA ISABEL TANDAYAMO SISALIMA SELENA STEFANIA TORRES HERRERA MARVIN MIGUEL VALAREZO ATIENCIE MACHALA 2016
- 2. 2 UNIVERSIDAD TECNICA DE MACHALA UNIDAD ACADÉMICA DE CIENCIAS QUÍMICAS Y DE LA SALUD CARRERA DE BIOQUÍMICA Y FARMACIA PROYECTO DE AULA DE CALCULO DIFERNCIAL TEMA: APLICACIÓN DE PROBLEMAS DE MAXIMOS Y MINIMOS PARA LA ELABORACION DE ENVASE DE AGUA INTEGRANTES: MARIA ISABEL TANDAYAMO SISALIMA SELENA STEFANIA TORRES HERRERA MARVIN MIGUEL VALAREZO ATIENCE DOCENTE: ING. DELLY SAN MARTIN CATEDRA: CALCULO DIFERNCIAL PARALELO: PRIMER SEMESTRE DE BIOQUIMICA Y FARMACIA “B” EL ORO - MACHALA 2016
- 3. 3 AGRADECIMIENTO Nos gustaría que estas líneas sirvieran para expresar nuestro más profundo y sincero agradecimiento a todas aquellas personas que con su ayuda han colaborado en la realización del presente trabajo, en especial a la Ing. Delly San Martin por la orientación, el seguimiento y la supervisión continua de la misma, pero sobre todo por la motivación y el apoyo que hemos recibido a lo largo de este tiempo. También nos gustaría agradecer la ayuda recibida de nuestros familiares que con su constante apoyo nos han incentivado a seguir adelante con nuestro proyecto. A todos ellos, muchas gracias.
- 4. 4 DEDICATORIA Este proyecto se lo dedicamos primeramente a Dios quien nos da la fuerza para seguir adelante y a la Ing. Delly San Martin quien ha sabido guiarme correctamente impartiendo sus conocimientos de la mejor manera y por la paciencia que ha tenido en cada clase y además tutoría y también quiero dedicárselo con mucho cariño y esfuerzo para mis padres quienes son la base primordial para que yo me encuentre día a día de pie para continuar logrando mis objetivo.
- 5. 5 RESUMEN Este proyecto es con el fin de verificar el uso de cálculo en la vida diaria y además relacionarlo con el perfil académico de un profesional de bioquímica y farmacia.Pues al parecer el cálculo deferencial se encuentra implícito en varias cuestiones de nuestra vida diaria que se mencionan con las palabras “ máxima” y “ mínima”, como por ejemplo: el costo mínimo de un producto considerando cierto tiempo, algunos problemas de tiempo mínimo en los que se menciona el tiempo que tarda cada persona y el tiempo que tardarían en conjunto esas personas en realizar la misma actividad, voltaje máximo que puede soportar algún aparato eléctrico utilidad máxima de un objeto.
- 6. 6 INDICE PROYECTO DE AULA DE CALCULO DIFERNCIAL.............................................................2 AGRADECIMIENTO..................................................................................................................3 DEDICATORIA ..........................................................................................................................4 RESUMEN...................................................................................................................................5 SIMBOLOGÍA ............................................................................................................................7 INTRODUCCION .......................................................................................................................8 OBJETIVOS................................................................................................................................9 Objetivo general.......................................................................................................................9 MARCO TEÓRICO ..................................................................................................................10 El Cálculo Diferencial................................................................................................................10 Que es el cálculo diferencial....................................................................................................10 El cálculo diferencial en la vida cotidiana...............................................................................10 Las principales aplicaciones del cálculo diferencial son:.........................................................11 Máximos y Mínimos...................................................................................................................12 Definición:..............................................................................................................................12 1. Derivada primera de la función ............................................................................................12 PROBLEMAS SOBRE MAXIMOS YMINIMOS.....................................................................13 Instrucciones generales: .........................................................................................................14 1. Ejercicio..........................................................................................................................15 CONCLUSIONES......................................................................................................................16 RECOMENDACIÓN.................................................................................................................16 ANEXOS....................................................................................................................................17 Bibliografía ................................................................................................................................18
- 7. 7 SIMBOLOGÍA
- 8. 8 INTRODUCCION El cálculo diferencial es una poderosa herramienta de la matemática para analizar el cambio en las cosas, se utiliza especialmente en lo que son derivadas. Galileo Galilei, consideró que las matemáticas griegas eran muy sencillas para poder expresar sus niveles y creó la cinemática que trata de movimiento en abstracto, los eruditos necesitaban un lenguaje más dosificado de la que se hablaba en los tiempos de Arquímedes y Euclides en otras palabras después de Galileo, la física necesitaba un lenguaje más avanzado aproximadamente después de 25 años de su muerte se descubriría por fin ese famoso lenguaje y a utilizarse desde entonces este se llamaría Calculo Diferencial. En si cada vez nuevos autores entran a aportar y dar nuevos avances del cálculo entre los más famosos fueron Isaac Newton, Leibniz, Barrow. Pierri fue un matemático francés, quien diseño métodos como los máximos y mínimos, acercando casi al descubrimiento de cálculo diferencial mucho antes que Newton y Leibniz. El cálculo diferencial tiene también un uso cotidiano, y la salud también ya que permite resolver problemas básicos en nuestro alrededor. Concretamente, podemos optimizar una función: calcular máximos y mínimos de una curva, estudiar la razón de cambio de una variable respecto a otra. Las aplicaciones del cálculo diferencial en las ciencias naturales incluyen modelos de crecimiento simple, interacciones entre organismos, trabajo de neuronas, reacciones enzimáticas, modelamiento epidemiológico y muchas otras. (Oviedo, s.f.).
- 9. 9 OBJETIVOS Objetivo general Aplicar los métodos de cálculo diferencial a través de la elaboración de un proyecto de investigación, para elaborar envases o tetrapck para aplicarlos a futuro en nuestra carrera. Objetivos específicos Resolver un problema de máximos y mínimos para la elaboración de un envase tetrapck. Verificar el máximo o mínimo de dicho problema a resolverse.
- 10. 10 MARCO TEÓRICO El Cálculo Diferencial El Cálculo es una rama de la Matemática cuyas ideas datan de la época de Arquímedes (287-212 a.C.), cuyo origen puede establecerse en culturas tan diversas como la de Grecia, Egipto, Babilonia, India, China y Japón y cuya consolidación como disciplina se produce a partir de los estudios realizados en el siglo XVII por Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716) Muchos de los descubrimientos científicos que han permitido el avance de nuestra civilización durante los tres últimos siglos hubieran sido imposible si no se hubiera conocido el Cálculo. Gran parte del Cálculo implica el empleo de números reales o de variables para describir cantidades cambiantes; pero, fundamentalmente, implica el uso de funciones a los efectos de describir la relación entre tales variables, proceder al análisis de problemas que las involucran. El estudio y resolución de estos problemas resulta fundamental en un mundo de cambios constantes, pleno de cuerpos en movimiento y con fenómenos de flujo y reflujo; de allí que el Cálculo, como cuerpo de técnicas de cómputos y conceptos esenciales, siga teniendo vigencia, siga sirviendo como el principal lenguaje cuantitativo de la ciencia y la tecnología. (Bortolato, 2014) Que es el cálculo diferencial El cálculo diferencial es un análisis matemático y dentro del cálculo mismo donde consiste en el cambio de variables dependientes que cambian a independientes que son como el objeto de estudio del análisis. Como principal objeto del cálculo es la derivada, la derivada en el cambio de una función de variables independientes es de interés para el cálculo infinitesimal, esto es cuando el cambia se da hasta cero si relaciona con el límite de modo que el límite es la principal herramienta del cálculo y se lo diferencia del algebra. Los máximos y mínimos son unas funciones donde se busca los puntos de inflexión de cualquier tipo de curva geométrica, o puntos máximos y mininos de productos. El cálculo diferencial en la vida cotidiana Pues al parecer el cálculo deferencial se encuentra implícito en varias cuestiones de nuestra vida diaria que se mencionan con las palabras “ máxima” y “ mínima”, como
- 11. 11 por ejemplo: el costo mínimo de un producto considerando cierto tiempo, algunos problemas de tiempo mínimo en los que se menciona el tiempo que tarda cada persona y el tiempo que tardarían en conjunto esas personas en realizar la misma actividad, voltaje máximo que puede soportar algún aparato eléctrico utilidad máxima de un objeto; como por ejemplo el tiempo de vida de las pilas, etc. El cálculo diferencial es muy útil en la vida cotidiana ya que por medio de el podemos obtener soluciones de problemas que se nos puedan presentar. El cálculo diferencial nos sirve para resolver problemas de la vida diaria y así poderlos asimilarlos de manera más analítica y fácil. (Camarena, 2012) Las principales aplicaciones del cálculo diferencial son: • El estudio de movimientos, aspectos de velocidad, y aceleración • El cálculo de máximos y mínimos, por ejemplo: - En una agencia de viajes, o en una empresa, saber cuál es la mayor ganancia que se puede obtener en cierto periodo, o con cierto producto, pero a la vez, igualmente calcular, si existen perdidas en estos productos, o en un lapso de tiempo. Si se aplica de manera correcta el cálculo diferencial, se podrán obtener estos resultados, sin ningún problema. En economía los costos marginales, los ingresos marginales y las utilidades marginales también son derivadas. Una aplicación interesante de la derivada se encuentra en los problemas de optimización. Por ejemplo, cuando una compañía que elabora bebidas desea reducir costos produciendo una lata que contenga el máximo volumen y requiera el mínimo de material, la solución puede encontrarse mediante el empleo del cálculo diferencial. El cálculo tiene amplias aplicaciones en la ciencia y la ingeniería y se usa para resolver problemas para los cuales el álgebra por sí sola es insuficiente. .La importancia del Cálculo en el mundo actual es enorme, ya que la ciencia y la tecnología modernas sencillamente serían imposibles sin él. Las leyes de la naturaleza se expresan mediante ecuaciones que involucran funciones y sus derivadas, y el análisis de estas ecuaciones se realiza mediante las herramientas del cálculo. Por esa razón los cursos de esta disciplina aparecen en los planes de estudio de todas las carreras científicas y técnicas. (Carranza A. G., 2015)
- 12. 12 Máximos y Mínimos Valores máximo y mínimo de una función; valores de una. Función puede haber uno que sea más grande (máximo) o más pequeño (mínimo) que los demás. En muchísimos problemas prácticos importa saber a qué valor de la variable corresponde tal valor de la función. (Granville, 2009) Definición: Una función f tiene un máximo absoluto (o máximo global) en c si f(c) ≥ f(x) para toda x en D donde D es el dominio de f. El número f(c) se llama valor máximo de f en D. De manera análoga, f tiene un mínimo absoluto en c si f(c) ≤ f(x) para toda x en D; el número f(c) se denomina valor mínimo de f en D. Los valores máximo y mínimo de f se conocen como valores extremos de f. Dada la función f(x)=x3-6x+9x+4, estudia su crecimiento y decrecimiento. ¿Tiene f(x) máximos o mínimos?. Si los tiene halla sus coordenadas. 1. Derivada primera de la función Hacemos la derivada primera de la función. La igualamos a 0 y resolvemos la ecuación resultante. Si la ecuación tiene solución, en esos puntos de x puede haber máximos o mínimos locales. También se llaman extremos relativos, puntos singulares o puntos críticos.
- 13. 13 Primer método para calcular los máximo s y mínimo s de una función. Regla guía en las aplicaciones. PRIMER PASO. Se halla la primera derivada de la función. SECUNDO PASO. Se iguala la primera derivada a cero, y se hallan las raíces reales de la ecuación resultante. Estas raíces son los valores críticos de la variable. TERCER PASO. Se consideran los valores críticos uno por uno, y se calculan los signos de la primera derivada, en primer lugar para un valor un poco menor * que el valor crítico y después para un valor un poco mayor que él. Si el signo de la derivada es primeramente + y después -, la función tiene un maximo para este valor crítico de la variable; en el caso contrario, tiene un mínimo. Si el signo no cambia, la función no tiene ni máximo ni mínimo para el valor crítico considerado. PROBLEMAS SOBRE MAXIMOS Y MINIMOS En muchos problemas debemos primeramente hallar, a partir de los datos, la expresión matemática de la función cuyos valores máximos y mínimos se desean, esto es a veces
- 14. 14 bastante difícil. Ninguna regla es aplicable en todo los caso, pero en muchos problemas podemos guiarnos por las siguientes. Instrucciones generales: a) Determinar la función cuyo máximo o mínimo se desea obtener. b) Si la expresión resultante contiene más de una variable, las condiciones del problema proporciona las suficientes relaciones entre las variables para que la función pueda expresarse en términos de una sola variable. c) A la función resultante se le aplica la regla para el cálculo de máximos y mínimos. d) En los problemas prácticos, muchas veces se ve con facilidad cuál de los valores críticos dará un máximo y un mínimo; en consecuencia no siempre es necesario aplicar el tercer paso. e) Conviene construir la gráfica de la función para comprobar el resultado contenido. El cálculo de máximo s y mínimos puede a menudo simplificarse con la ayuda de los siguientes principios, que se deducen inmediatamente de lo anterior expuesto. a) Los máximos y mínimos de una función continua se representan alternativamente. b) Cuando c es un constante positiva, c f (x) es un máximo o un mínimo para los valores de x que hace a f(x) máxima o mínima, y no para otros. Por tanto, al determinar los valores críticos de x y al aplicar la regla para ver si se trata de máximos o mínimos, puede omitirse los factores constantes, cuando c es negativa, c f (x) es un máximo cuando f(x) es mínima, y recíprocamente. (Granville, 2009) Ahora resolveremos un ejercicio aplicando problemas de máximos y mínimos para la elaboración de envase de agua o tetrapck
- 15. 15 1. Ejercicio Una compañía de agua purificada suele comercializar en garrafón de 20 litros pero están desarrollando un proyecto donde puedan ofrecer al público un envase más pequeño donde el costo de producción sea el menor posible entonces el tetrapck que va a realizarse tiene un volumen de 800ml. V= 800ml= 800cm3 b=2a a x b x c 2ac + 2bc + 2ab V= (a)(2a)(c) V= a2 c V=800cm3 A= 2ac+2(2a)c+2a(2a) A= 2ac+4ac+4a2 A= 6ac+4a2 800=2 a2c 800 =c 2a2 A= 6ac (800) = 4 a2 2a2 A=4800 = 4 a2 2a2 C a b 2ac 2bc 2ab
- 16. 16 A= 2400 = 4 a2 a A=2400a-1 = 4 a2 A=-2400a-2 = 8a 0=-2400= 8ª a2 2400=a3 8 a = = 6.6943 Se reemplaza los valores b = 13.3986 c = 8.9258 a x b x c = 799.99cm3 CONCLUSIONES La optimización de cálculo es para la verificación de máximos o mínimos de una función, o problema que se presente con la aplicación de máximos o mínimos este proyecto fue realizo con la finalidad de ver el uso de cálculo diferencial en la carrera de Bioquímica y Farmacia y que también es importante en la vida cotidiana. RECOMENDACIÓN Se recomienda aprender a derivar correctamente para poder realizar ejercicios con facilidad. Al igual que también se recomienda aprenderse las debidas reglas.
- 17. 17 ANEXOS
- 18. 18 Bibliografía Bortolato, M. S. (2014). Calculo diferencial e integral . Libro de textos abiertos. Camarena,F. (17 de 11 de 2012). Blog. Obtenido de calculo diferencial a la vida cotidiana: http://camarena5201.blogspot.com/ Carranza,A. G. (21 de 10 de 2015). Calculo Diferencial "Vida Cotidiana". Obtenido de http://vidacotidianaalma.blogspot.com/ Carranza,l. G. (21 de 10 de 2015). Calculo Diferencial "Vida Cotidiana". Obtenido de http://vidacotidianaalma.blogspot.com/ Granville. (2009). Calculo Diferencial. Mexico:Limusa. Oviedo, V. P. (s.f.). Matemática en la Salud.Obtenido de http://netlizama.usach.cl/Apuntes%20Medicina%20(Veronica).pdf
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