Este documento presenta una introducción a la optimización mediante el cálculo diferencial. Explica que la optimización implica maximizar o minimizar una función sujeto a ciertas restricciones. Proporciona algunas guías para resolver problemas de optimización, como comprender el problema, dibujar diagramas, introducir notación y calcular extremos usando derivadas. Luego, presenta un ejemplo de optimización y tres problemas para que el estudiante intente resolver.

1. Aplicación del Cálculo Diferencial
OPTIMIZACIÓN
Materia:
Cálculo, Primavera 2011
Presenta: Sarahy Joffre Barcenas

2. Preguntas Básicas
 ¿Para que me sirve el Cálculo?
 ¿Qué es optimizar?
 ¿Para que aplicar optimización en la vida diaria?
 Plantea un problema que requiera optimizar algún
recurso o esfuerzo.
 ¿Como resolverías el problemas que requiere
optimizar ese recurso o esfuerzo?

3. Los métodos para hallar
valores extremos que hemos
aprendido tienen
aplicaciones prácticas en
muchas áreas de la vida.
 Una persona de negocios
quiere minimizar los costos y
maximizar las utilidades.
 Un conductor quiere
minimizar distancias y
maximizar el rendimiento del
combustible.

4.  Un empresario tiene un mes
para entregar un embarque,
debe minimizar tiempos y
maximizar producción.
 Un arquitecto quiere
maximizar volúmenes, áreas,
perímetros pero minimizar
costos.

5. Recordando
 Una de la aplicaciones del calculo Diferencias es
resolver problemas de optimización utilizando el
criterio de la primera Derivada, para hallar los
valores críticos, estos son los extremos de una
función, mejor conocidos con Máximos y Mínimos

6. Problemas de optimización.
 Esta sección contiene un ejemplo de cómo aplicar
los métodos del cálculo a problemas en los que se
requiere encontrar un máximo o un mínimo.
 Antes de iniciar, recuerda como calcular la derivada
de una función y encontrar sus puntos críticos.

7.  Comenzamos dando algunas
guías generales. (Observa que
hemos dicho guías y no reglas).
No las memorices pero tenlas
en cuenta mientras trabajas en
esta sección.

8. Guías generales para resolver
problemas de optimización
 1. Comprende el problema. El primer
paso es leer el problema con cuidado,
hasta que se entienda con claridad. Y
pregúntate: ¿Cuál es la incógnita?
¿Cuáles son las cantidades dadas?
¿Cuáles son las condiciones dadas?
 2. Dibuja un diagrama. En la mayor parte
de los problemas, resulta útil dibujar un
diagrama e identificar en él las
cantidades y requeridas.

9.  3. Introduce notación. Asigna un símbolo a la
cantidad que se va a maximizar o minimizar.
Asimismo, selecciona símbolos (a,b,c,…) para
las otras cantidades desconocidas y marca el
diagrama con estos símbolos. Puede ayudar el
uso de iniciales como símbolos sugerentes: por
ejemplo, A para el área, V para el volumen, t
para el tiempo, etc.
 4. Expresa la función en términos de algunos de
los símbolos del paso 3.

10.  5. Si en esta última se ha expresado como una
función de más de una variable, utiliza la
información dada para hallar relaciones (en la
forma de ecuaciones) entre estas variables.
Enseguida, usa estas ecuaciones para eliminar
todas las variables, excepto una, en la expresión
para la función. Escribe el dominio de esta
función.
 6. Calcula el máximo o mínimo buscado
mediante las técnicas del cálculo.

11. Ejemplo
 (Costos de cercas) Un granjero desea delimitar una
parcela rectangular de área 900 metros cuadrados. La
cerca tiene un costo de $15 por metro. ¿Cuáles deberían
ser las dimensiones de la parcela de modo que se
minimice el costo del cercado? ¿Cómo cambia su
respuesta si el costo de cercado sube a $20 por metro?

13. Resolviendo Problemas
Inténtalo

14. Actividad: Resuelve los sig. problemas
 1. Un granjero tiene 600 metros de cerca, con lo que
quiere construir un corral rectangular. Parte de la
cerca se usará para construir dos cercas internas de
división, paralelas a los mismos dos lados del corral.
¿Cuál es el área total máxima posible de dicho
corral?

15.  2. Un granjero tiene 80 pies de malla de alambre
con la cual planea encerrar un corral rectangular a
un lado de su establo de 100 pies de largo, el
granjero decide hacer tres corrales idénticos con sus
80 pies de malla de alambre, como se muestra en la
figura. ¿Qué dimensiones del área total encerrada
hacen el área de los corrales tan grande como sea
posible?

16.  3. (Diseño de una cisterna) Se construirá una
cisterna con capacidad de 324 pies cúbicos de agua.
Deberá tener una base cuadrada con cuatro lados
verticales, todos fabricados con concreto, y una tapa
superior de acero. Si la unidad de área de acero
cuesta el doble que la correspondiente al concreto,
determine las dimensiones de la cisterna que
minimizan el costo total de construcción. Como la
base es cuadrada, tenemos el largo (l) y el ancho (a)
de la cisterna igual, solo varia la profundidad (p) de la
cisterna.

17. Bibliografía:
 Stewart,J. (2007), Calculo Diferencial e Integran, 2a.
Edición, México, Thomson Editores.
 Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007).
Cálculo. México: Pearson Educación.