Este documento presenta una monografía sobre las aplicaciones de las derivadas. En 3 oraciones: Introduce el tema de las derivadas y sus usos en matemáticas y otras áreas. Explica que las derivadas miden el cambio instantáneo de una cantidad con respecto a otra y tienen aplicaciones en optimización, cálculo de velocidad y aceleración, y análisis de funciones. Concluye resumiendo varias aplicaciones clave de las derivadas como encontrar máximos y mínimos, calcular límites, y analizar puntos de inflexión.

1. Aplicaciones de las
derivadas
PRESENTACIÓN DE LA MONOGRAFÍA
NOMBRE ALUMNO: ALEXIS BRUCE BARRIOS ECHALAR.
UNIVERSIDAD: LA SALLE.
CARRERA/SEMESTRE: INGENIERÍA DE SISTEMAS/1ERO.

2. 1.- Introducción
• El Cálculo no es solo un instrumento desarrollado en las
Matemáticas sino que contiene la colección de ideas
fascinadoras y atrayentes que han ocupado el pensamiento
humano durante centurias.
Estas ideas están relacionadas con velocidad, área, volumen,
razón de crecimiento, tangente a una línea y otros conceptos
referentes .
El objetivo de este trabajo es hablar sobre las derivadas, sobre
el concepto de las mismas y sus aplicaciones en la vida diaria y
en la teoría.
La derivada es uno de los conceptos más importantes en las
Matemáticas.

3. • DERIVADA→→ Incremento de una
magnitud con respecto a otra.
DERIVADA: VARIACIÓN
CONCEPTO EN MATEMÁTICAS
FUNCIÓN
RECTA TANGENTE
C.O.
C.A.
Tangente
F`(punto)= tan α

4. • La Derivada es el resultado de un límite. La
definición de derivada es la siguiente:
Por tanto, analíticamente una derivada es un límite
y existirá siempre que exista el límite. La variable del
límite es h.
Por Ejemplo:
- En Física, cuando analizamos la variación de
una magnitud en el tiempo.
Por ejemplo, si analizamos como varía el

5. • el desplazamiento de una función con el tiempo en un
instante determinado estamos obteniendo entonces la
velocidad. Si analizamos el cambio de la velocidad estamos
obteniendo la aceleración.
Cuando vas en un auto y este acelera
esa variación de la velocidad en un
tiempo determinado se puede
representar por una derivada.
O cuando se prende el calefactor y
tu habitación comienza a calentarse,
esa “variación de la temperatura con
respecto al tiempo” o “a la distancia”,
la puedes representar por una derivada.
De este modo las derivadas pueden ser
aplicadas en la vida cotidiana

6. 2.- Metodología de la
investigación
• SE USARÁ:
- EL METODO DEDUCTIVO, es aquel que parte de datos
generales aceptados como válidos, para llegar a una
conclusión de tipo particular.
-EL MÉTODO INDUCTIVO, como el razonamiento que analiza
una porción de un todo; parte de lo particular a lo general.
-EL MÉTODO DE ANÁLISIS, el método de análisis consiste en la
descomposición de un todo en sus elementos.
Y se usará la técnica de la investigación para obtener
información y aunar con los conocimientos ya adquiridos lo
recolectado

7. a) Objetivo general.-
• El objetivo general será encontrar las formas simples y complejas en que se
puede usar las derivadas en base a las materias que comprenden nuestras
carreras.
b) Objetivos específicos.-
• - Entender que con las derivadas podemos encontrar las mejoras de las
formas en que se hacen las cosas en cualquier área del conocimiento.
- Entender que con los máximos y mínimos podemos encontrar puntos o
valores en que nuestra muestra mostrará crecimiento y decrecimiento estás
conclusiones ayudan a la toma de decisiones en la administración y la
gestión de las empresas u organizaciones o simples equipos de trabajo.
- Las derivadas hallan directamente nuevas magnitudes que expresan la
relación de un concepto con otro, esto ayuda a calcular la razón con la que
está creciendo una magnitud con respecto al tiempo por ejemplo : la
variación del área de un círculo con respecto al tiempo en una imagen
dinámica/vida real.
- Las derivadas son herramienta para calcular límites del cálculo .

8. • -Estudiar a las funciones en su expresión gráfica y los
cambios que expresan la derivada como nuevas
expresiones que tienen su explicación en la gráfica de
ellas.
- Para hallar en plano cartesiano rectas a gráficas de las
funciones como la que es tangente y la normal.
-Para analizar una función, sus puntos más altos, sus
puntos más bajos y ver este proceso de crecimiento o
decrecimiento o viceversa y hallar los puntos de cambio
o inflexión.
-Para entender la concavidad y la inflexión en las
funciones.
-Para ampliar nuestros conocimientos sobre el
tecnicismo del uso de las derivadas en áreas no
conocidas.

9. 3.- Hipótesis.-
• De acuerdo a lo investigado vamos a generar una hipótesis, está se conformará de las
aplicaciones detalladas de las derivadas que serán comprobadas, de esta manera
mostraremos su utilidad.
Por lo estudiado, las derivadas sirven para :
1.- La optimización, que permite resolver problemas de la vida real, cuando debemos
utilizar los recursos disponibles para cumplir una determinada tarea. En ella se expresarán
funciones que pertenecen a diversas áreas del conocimiento y la actividad humana y se
encontrará mediante métodos y las derivadas valores máximos y mínimos que sigan las
condiciones del problema
2.- Encontrar los máximos y mínimos relativos y absolutos de una función,
los máximos y mínimos de una función, conocidos como extremos de una función son los
valores más grandes (máximos) y más pequeños (mínimos) que toma una función.
3.- Calcular las razones de cambio instantáneo y también mediante esto se
puede analizar el movimiento de una partícula dada su posición contra el
tiempo. Las relaciones de cambio entre una magnitud entre el cambio de la otra , eso
comprende la razón de cambio.
4.- Aplicar la regla de L´ Hopital. Los límites han hecho su parte ayudándonos a
encontrar derivadas. Ahora, bajo la guía de la regla de L'Hôpital, las derivadas buscan
mostrar su agradecimiento al ayudarnos a encontrar límites.

10. 3.- Hipótesis.-
• 5.- El análisis de las variaciones con el tiempo.
6.- Para hallar la diferencial de una función.
7.- Para aplicar la diferenciación en diferentes campos.
8.- Para el teorema del valor medio.
9.- Para hallar la ecuación de la recta tangente y recta
normal a una función dada.
10.- Para hallar los puntos de inflexión y concavidad.

11. 4.-Marco Teórico

12. 2.Optimización.
• A menudo la vida nos enfrenta al problema de encontrar un
mejor modo de hacer una determinada labor. Por ejemplo, un
agricultor quiere escoger la mezcla de cultivos que sea la más
apropiada para obtener el mayor aprovechamiento.
En la optimización se analizan:
. las cualidades y cantidades de una función.
Que se presenten en un problema. Y se usan los máximos y
mínimos relativos
2.1.Máximo Relativo.- La función f(x) tiene un máximo
relativo en xo
, si la función f(xo)≥f(x)
En un INTERVALO ABIERTO QUE TENGA xo
Con la gráfica , vemos que posee un valor máximo relativo en
x=2, El valor del punto máximo :

13. • f(2)= 1+4*2-22
=5
intervalo abierto: 1< x <3.
Se cumple que: f(2) ≥ f(x).
GRÁFICA
f(x)=1+4x-x2

14. • 2.2.Mínimo Relativo.- La función f(x) posee un mínimo
relativo en xo.Si f(xo)≤ f(x) , en un intervalo abierto que
contiene a xo.
Valor mínimo: x=2. El valor del mínimo: f(2)= 22
-4*2+5= 1
GRÁFICA
x2
-4x+5
INTERVALO
1<x<3

15. • Ejemplo 1.- Tratemos de hallar dos números, donde su Producto sea
MÁXIMO , si su suma es 8.
Que los números sean x y u.
1) Bosquejar una gráfica del problema.(si es necesario).
Meta: Hallar dos números que determinen el mayor producto
posible, siempre que sumen 8.
2) Identificar el concepto que se quiere maximizar o minimizar
P: P=x*u Se busca maximiza el producto P
x+u=8. Nuestra ecuación.Despejamos la u, variable auxiliar
u=8-x. Reemplazando u en la función producto.
P(x)=x(8-x)=8x-x2
(Función expresada en x)
Derivando e igualando a cero:
P`(x)=8-2x=0 . Queremos encontrar el punto máximo por eso la
derivada será igual a cero.
x u x+u x*u
0 8 8 0
1 7 8 7
2 6 8 12
3 5 8 15
4 4 8 16

16. • 2x=8
x=4 Se tiene que x=4 (Este será llamado punto crítico)
Calculando luego el valor de u
u=8-x=8-4=4 .
El valor de u=4
Calculando el producto máximo en P=x*u
Pmáx=4*4=16
Ejemplo 2.-Una barra de acero tiene una longitud de 20 m.; determinar
las dimensiones en que debe doblarse de manera que forme un
rectángulo de área máxima.
Longitud de la barra de
acero=L
Dimensiones del rectángulo
que forma la barra de
acero será perímetro del
rectángulo.
A=x*u (fórmula del Área, la
función a maximizar, las di-
mensiones del rectángulo
son: x, u. u es la variable auxili
ar.
L= 2x+2u=20, simplificando:
x+u=10
u=10-x. Reemplazando en la función Área: A=x(10-x)=10x-x2

37. • Que la primera derivada sea f`(x)>0 quiere decir que la función
es creciente. Que la segunda derivada sea f``(x)<0 quiere decir
que la función es cóncava hacia abajo y su pendiente está
haciéndose cada vez más grande
Hay un punto donde cambiamos de concavidad ese punto es
llamado punto de inflexión, es decir el punto inflexión es el
punto donde se ve que una función cambia de creciente a
decreciente o de decreciente a creciente.

38. Por ejemplo en esta gráfica la primera sección o dónde la función parece
una u volteada la función es cóncava hacia abajo del que su pendiente es
decreciente su derivada sería decreciente y su segunda derivada sería
f``(x)<0.
Y la segunda sección, donde la segunda sección parece una u la función
es cóncava hacia arriba de la que su pendiente es creciente su derivada

39. • su derivada sería creciente y su segunda derivada es f``(x)>0, en el
punto en que la segunda derivada de la función decreciente y la función
creciente cambian de signo a ese punto se le llama punto de inflexión.
Los puntos críticos son los puntos donde la derivada es igual a 0 o donde
no está definido el valor de la derivada.
5.- CONCLUSIONES.- Las aplicaciones de una derivada serían:
1.- El concepto se derivada se aplica en los casos donde es necesario
medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por ello
es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física,
Química y Biología. También en las ciencias sociales como la Economía y
la Sociología se utiliza el análisis matemático para explicar la rapidez de
cambio en las magnitudes que les son propias.
2.- Si establecemos una función y queremos expresar que un problema
se relaciona con ella, entonces podemos derivar y encontrar el valor
donde esta función tomará su valor máximo y mínimo, esto nos ayudará
a cuándo debemos hallar la forma de economizar o usar creativamente
un material o para alcanzar fines deseados como que se alcance la
máxima capacidad de un líquido en un envase.
3.- Derivar significa hallar las variaciones de una magnitud con otra. por
ejemplo si tenemos una fórmula de desplazamiento expresada en el
tiempo, su derivada será la variación del desplazamiento en el tiempo
entonces obtendremos la velocidad.

40. • 4.- Se puede calcular ciertos límites gracias a la regla de L
´Hopital con las derivadas.
5.- Se puede hallar la diferencial de una función. EL concepto
de diferencial todavía no lo hemos avanzado pero estamos
estableciendo bases con esto.
6.- El teorema del valor medio dice: Si durante la última hora
en la carretera tu velocidad promedio fue de 60 millas por
hora, entonces debes haber ido exactamente a 60 millas por
hora en algún momento. Esto se afirma mediante derivadas.
7.-Para hallar la ecuación de una recta tangente y la recta
normal a una función, para esto sirven las derivadas.
8.- También podemos hallar los puntos de inflexión y
concavidad de una función gracias a las derivadas