derivadas aplicacion

1. Aplicacionesdelas
derivadas
NOMBRE ALUMNO: JACKELIN MONTERO.
.

2. 1.- Introducción
• ElCálculonoessolouninstrumentodesarrolladoenlas
Matemáticas sino que contiene la colección de ideas
fascinadoras yatrayentes quehan ocupado elpensamiento
humano durante centurias.
Estas ideas están relacionadas con velocidad, área, volumen,
razón de crecimiento, tangente a una línea y otros conceptos
referentes .
El objetivo de este trabajo es hablar sobre las derivadas, sobre
el concepto de las mismas y sus aplicaciones en lavida diaria y
en lateoría.
La derivada es uno de los conceptos más importantes enlas
Matemáticas.

3. • DERIVADA →→ Incremento deuna
magnitudconrespectoaotra.
DERIVADA: VARIACIÓN
CONCEPTO EN MATEMÁTICAS
F`(punto)= tanα
FUNCIÓN
RECTA TANGENTE
C.O.
Tangente
C.A.

4. • LaDerivada es elresultado de unlímite. La
definición dederivada es la siguiente:
Portanto,analíticamente unaderivada esunlímite
y existirá siempre que exista el límite. La variable del
límite es h.
Por Ejemplo:
- En Física, cuando analizamos la variación de
una magnitud en el tiempo.
Por ejemplo, si analizamos como varía el

5. • el desplazamiento de unafunción con el tiempo enun
instante determinado estamos obteniendo entonces la
velocidad. Si analizamos el cambio de la velocidad estamos
obteniendo la aceleración.
Cuando vas en unauto y esteacelera
esavariación delavelocidad enun
tiempo determinado se puede
representar por una derivada.
Ocuando seprendeelcalefactor y
tuhabitación comienza acalentarse,
esa “variación de la temperatura con
respecto al tiempo” o “a la distancia”,
la puedes representar por una derivada.
De este modo las derivadas pueden ser
aplicadas enla vidacotidiana

6. 2.- Metodología dela
investigación
• SE USARÁ:
- EL METODO DEDUCTIVO, es aquel que parte de datos
generales aceptados como válidos, para llegar a una
conclusión de tipoparticular.
-EL MÉTODO INDUCTIVO, como el razonamiento que analiza
una porción de un todo; parte de loparticular a logeneral.
-EL MÉTODO DE ANÁLISIS, el método de análisis consiste en la
descomposición de un todo en sus elementos.
Yseusará latécnicadelainvestigaciónparaobtener
información y aunar con los conocimientos ya adquiridos lo
recolectado

7. a) Objetivo general.-
• El objetivo generalseráencontrarlasformassimples ycomplejas enquese
puedeusar lasderivadas en base a las materiasquecomprendennuestras
carreras.
b) Objetivos específicos.-
• - Entenderquecon lasderivadaspodemosencontrarlasmejorasde las
formasen que se hacen lascosas en cualquieráreadelconocimiento.
- Entenderqueconlosmáximosymínimospodemosencontrarpuntoso
valoresen quenuestra muestramostrará crecimiento y decrecimientoestás
conclusionesayudanalatomadedecisionesen laadministración yla
gestióndelasempresasuorganizacionesosimplesequiposdetrabajo.
- Lasderivadashallandirectamentenuevasmagnitudesqueexpresan la
relación de un concepto con otro, esto ayuda a calcular la razón con la que
está creciendounamagnitud con respectoal tiempoporejemplo:la
variación delárea deuncírculocon respectoal tiempo en unaimagen
dinámica/vida real.
- Las derivadas son herramienta para calcularlímites del cálculo.

8. • -Estudiar alas funciones en su expresión gráfica y los
cambios que expresan la derivada como nuevas
expresiones que tienen suexplicación en lagráfica de
ellas.
- Para hallar enplano cartesiano rectas agráficas delas
funcionescomola que es tangente y la normal.
-Paraanalizar unafunción,suspuntosmásaltos,sus
puntosmásbajos yver esteproceso decrecimientoo
decrecimiento o viceversa y hallar los puntos de cambio
o inflexión.
-Para entender la concavidad y lainflexión en las
funciones.
-Para ampliar nuestros conocimientos sobre el
tecnicismo del uso de las derivadas enáreas no
conocidas.

9. 3.- Hipótesis.-
• De acuerdo a lo investigado vamos a generar una hipótesis, está se conformará de las
aplicaciones detalladas de las derivadas que serán comprobadas, de esta manera
mostraremos su utilidad.
Por lo estudiado, las derivadas sirven para :
1.- La optimización, que permite resolver problemas de la vida real, cuando debemos
utilizar los recursos disponibles para cumplir una determinada tarea. En ella se expresarán
funciones quepertenecen adiversasáreasdelconocimiento ylaactividadhumana yse
encontrará mediante métodos y las derivadas valores máximos y mínimos que sigan las
condiciones del problema
2.- Encontrar los máximos y mínimos relativos y absolutos de una función,
los máximos y mínimos de una función, conocidos como extremos de una función son los
valores más grandes (máximos) ymás pequeños (mínimos) que tomauna función.
3.- Calcular las razones de cambio instantáneo y también mediante esto se
puede analizar el movimiento de una partícula dada su posición contra el
tiempo.Lasrelaciones decambioentreuna magnitud entreelcambiodelaotra,eso
comprende la razón de cambio.
4.- Aplicar laregla de L´Hopital. Los límites han hecho su parte ayudándonos a
encontrar derivadas. Ahora, bajo la guía de la regla de L'Hôpital, las derivadas buscan
mostrar su agradecimiento al ayudarnos a encontrar límites.

10. 3.- Hipótesis.-
• 5.- El análisis de las variaciones con el tiempo.
6.- Para hallar la diferencial de una función.
7.- Para aplicar la diferenciación en diferentes campos.
8.- Para el teorema del valor medio.
9.- Para hallar la ecuación de la recta tangente y recta
normal a una función dada.
10.- Para hallar los puntos de inflexión y concavidad.

11. 4.-Marco Teórico
• 1.ConcertodelaDerivada.-Laderivadadeunafunciénmide
la rapidez con la que cambia el valor de dicha funcién
matemâtica.
. Cambia el valor de x- variable independiente.
f (x) = lim
h-+0
RAPIDEZ DE CAMBIO MEDIA DE LA FUNCI@N
2. APLICACIONES de la Derivada.- Veamos las
aplicaciones de las derivadas:

12. 2. Optimización.
• Amenudolavida nos enfrenta alproblemadeencontrar un
mejor modo de hacer una determinada labor. Por ejemplo, un
agricultor quiere escoger la mezcla de cultivos que sea la más
apropiada para obtener el mayor aprovechamiento.
En la optimización se analizan:
. las cualidades y cantidades de una función.
Que sepresenten enun problema. Yseusan los máximos y
mínimos relativos
2.1.Máximo Relativo.- Lafunción f(x)tieneun máximo
relativo en xo
, si la función f(xo)≥f(x)
En un INTERVALO ABIERTO QUE TENGA xo
Con lagráfica , vemos que posee un valor máximo relativo en
x=2, El valor del punto máximo :

13. • f(2)= 1+4*2-22
=5
intervalo abierto: 1< x <3.
Se cumple que: f(2) ≥ f(x).
GRÁFICA
f(x)=1+4x-x2

14. Valor
• 2.2.Mínimo Relativo.- Lafunción f(x)posee unmínimo
relativo en xo.Si f(xo)≤ f(x) , en un intervalo abierto que
contiene a xo.
mínimo: x=2. El valor del mínimo: f(2)= 22
-4*2+5= 1
GRÁFICA
x2
-4x+5
INTERVALO
1<x<3

15. • Ejemplo1.-Tratemosdehallardosnúmeros,dondesuProductosea
MÁXIMO,sisusumaes8.
Que losnúmeros sean xy u.
1) Bosquejar una gráfica del problema.(si es necesario).
x u x+u x*u
0 8 8 0
1 7 8 7
2 6 8 12
3 5 8 15
4 4 8 16
Meta: Hallar dos números que determinen el mayor producto
posible, siempreque sumen 8.
2) Identificarelconceptoquesequieremaximizarominimizar
P: P=x*u Se busca maximiza el producto P
x+u=8. Nuestra ecuación.Despejamos la u, variable auxiliar
u=8-x. Reemplazando u en la función producto.
P(x)=x(8-x)=8x-x2
(Función expresada enx)
Derivando e igualando acero:
P`(x)=8-2x=0 .Queremos encontrar elpunto máximo por eso la
derivada seráigual a cero.

16. • 2x=8
x=4 Se tiene que x=4 (Este será llamado punto crítico)
Calculando luego el valor de u
u=8-x=8-4=4 .
El valor deu=4
Calculando el producto máximo en P=x*u
Pmáx=4*4=16
Ejemplo 2.-Una barra de acero tiene una longitud de 20 m.; determinar
las dimensiones en que debe doblarse de manera que forme un
rectángulo de áreamáxima.
Longitud de la barra de
acero=L
Dimensiones del rectángulo
que forma la barra de
acero será perímetro del
rectángulo.
A=x*u (fórmula del Área, la
función a maximizar, las di-
mensiones del rectángulo
son:x,u.ueslavariableauxili
ar.
L= 2x+2u=20, simplificando:
x+u=10
u=10-x. Reemplazando en lafunción Área: A=x(10-x)=10x-x2

17. Derivando la funcién
A'=10-2x=0
--> 2x=10
--> x=5.
Entonces:
u=10-x= 10-5=5.
ElArea maxima, tendrâ lados de 5m. y 5m .Entonces elRectângulo de area
maxima, serâ en realidad un cuadrado.
3.- Encontrar los mâximos minimosrelativos absolutos de
una funcién.-
*crecimiento y decrecimiento,
*los mâximos y minimos de una funcién polinémica.
Eiem to1:Dada la funcién f =x3-6x2+9x+4 estudia su crecimiento
decrecimiento. ?Tiene f mâximos ominimos?. Silos tiene halla sus
coordenadas.
1. La Derivada primera de la funcién
Hacemos la derivada primera de la funcién. La igualamos a 0 y
resolvemos laecuacién resultante. Sila ecuacién tiene solucion, enesos
puntos de x puede haber mâximos o minimos locales.
Extremos reIativos=Puntos singuIares=Puntos criticos
f (x ) —— x3
— 6x2 + 9x + 4
Derivada primera: f (x) = 3x2 — 12x +9

18. IGUALAMOS LA DERIVADA A CERO:
3x2
— 12x + 9 = 0 // +3
x2
— 4x + 3 = 0
Hallando x:
4+ (—4) 2
- 4• 1 •3
2
resulta: x 3
En esos puntos pueden haber mâximos y minimos relativos
2. Crecimiento y decrecimiento.
Trazamos una recta y marcamos los valores de x que me anulan la
derivada. La recta queda dividida en intervalos.
Tomamos valores de x comprendidos en cada intervalo, los
sustituimos en la derivada y vemos su signo:
Si: f*(x)>04 tenemos una funcién creciente en ese intervalo
f*(x)<04 tenemos una funcién decreciente en ese intervalo.
f”(x) = 3x2
— 12x + 9
Sabemos que: j°*(3) = 0; f”(1) 0
Trazamos una recta, marcamos los valores 1 y 3 que me anulan la
derivada primera.
La recta nos queda dividida en 3 intervalos.

19. cre@eztte f "tfi) 0 dew ectext e f “(1) - a melente
f ’(x) • 0 1 3 f ’(x) 0
f”(x) 3x2 — 12x -I- 9
Intervalo (--,1),Si x=04 f”(0)=9 FUNCION CRECIENTE
intervalo (1,3) Si x=2 4f”(2)= -3 FUNCION DECRECIENTE
intervalo (3, +-) Si x=44 f”(4)=9 FUNCION CRECIENTE
Los mâximos y minimos son puntos de la funcién. Necesito las
coordenadas (x ,y)
x=1 4creciente-decreciente4 mâximo local o relativo
f(1)= 1-6+9+4=14-6= 84 Coordenadas (1,8)
x=3 4decreciente-creciente4 minimo local o relativo
f(3)= 33- 6(3) 2+9(3)+4=27- 54+27+4=44 Coordenadas (3,4)

20. 2Ejemelo 2: Dada la funcién racional f(x) =
singulares.
Hallando la derivada:
1
*"’ . 2 +i
+ ,haIIa suspuntos
1

21. (1)’ (x2 +1) — (1) (x2 +i)’
(x2
—F1)
2 '
—1 s 2x
—2x
(+2)
4 — 2x = 0 —+ x = 0
(+2)
2
2—
En x=0 puede haber un mâximo o minimorelativo
Trazamos una recta y marcamos el cero.
- « f(—1) > 0 creciente 0 f (1) <0 decreciente + «
dX 1 0
Sustituimos x=-1en la derivada para ver su signo en el intervalo
f”(-1)=
2 (—1) 2 1 —+ f”(—1) > 0, FUNCION CRECIENTE
((—1)2+1)
2 4 2
Sustituimos x=1 en al derivada para ver su signo en el intervalo

22. (0, -)4

23. 1—=
2
f”(1) > 0 , FUNCION DECRECIENTE.
f”(1)=
—2•(1) —
((1)2—F1)
2
2
Mâximo local en x=0
f(0)=1 4 Coordenadas del mâximo (0,1)

24. 4.-CaIcuIar las razones de cambio instantâneo.- ¿Te has
preguntado qué tan râpido crece el area de una onda en un
estanque enrelacionconquétanrâpidaeslaonda?0,¿quétan
râpido aumenta el volumen de un volcân? Esta leccién sobre razones
de cambio relacionadas satisfarâ tu curiosidad
em to1.-Su amos ueuna iedra caea unrio de ronto
eneraunaondaenela ue comienza siendo un circulo de
radio 3cm.. Sieste radio crece arazén de 1cm/segundo ¿A qué
razénestâelAreadelcirculocreciendoconrazén altiempo?
Primero establezcamos la razén
de crecimiento del radio con el
tiempo:
dr mm
dt seq
Ahora cuânto serâ la razén de
cambio de Area de circulo
creciendo?
(Derivada del Area con
la derivada del tiempo)
dA
dt
respecto a

25. Sabemos que laférmula del Area delCirculo es: A= n* r* ,ahora
tenemos que hallarla derivada de cada elementocon respecto al
tiempo.
Entonces
d
lA ]
d
dt dt
Calculando vamos adecirqueelradioestâ enfuncién deltie
mpo.n sale dqla derivacion porque es una constante
dA d
— =r —
dt dt
2
fi [r (t)]
dt
[r(t),]
, la derivada de r(t) con respecto al tiempo es igual a
dr
dt
dA r + 2r(t)
dr
dt dt
Hemos derivado por la regla de la cadena:
d((r(t)2
)) d(r(t))
d1(
r(t ))
dr
d(t )
dt--
2n
° dv
pero sabemos que: r = 3cm

26. dr
1cm/sEntonces finalmente tenemos :
dt
dA
= 6n
dt
c„, 2
.Que esla razén del cambio de
seg
Area con respecto
al tiempo.
Ejemplo 2.-Supongamos que te encuentras a 500 m. alejado
de un globo aerostâtico en un show de globos, en el
momentoqueseobsewa algloboesteestâaunaalturaque
forma unângulo de4 radiân con respecto al suelo yya se
calculé que el ângulo crece a razén de 0,2 rad/min. Calcula el
cambiodemovimiento delaaltura del globo conrespecto al
tiempo.
Sabemos que:
A=4 radiân (el ângulo)
dA
=0,2 rad/min (la variacién del ângulocon respecto al
dt

27. tiempo)

28. Queremos hallar la
variacién de la altura
con respecto altiempo:
dñ
dt
Encontrando una
férmula que relacione la
altura (h) y el ângulo (A):
tan A
— 500
Ahora derivando cada
expresién entre la
derivada del
tiempo:
d
[tanA] ——
d ñ
dt dt '500’
Ej,9 gulo cam ia
W ,2 rad./min
adiân
50Om

29. C S
sec2 A
dA 1 dh
dt 500 dt
Entonces reemplazando en lo derivado sabiendo que
dA
0,2 rad/mindt
sec2 (4) 0,2 rad/min =
1 dh
5 dt
2 1
sec 2
(4) °° ° (4)i
2
,-+ COSZ
4 2
Entonces sec2 (4)
dh
" COS 2 (4) "
1
«
= 2
2
Despejando
dh dt “
= 500 2 0,2 rad/min
dh metros
dt
= 500 0 4
dt
= 200 minuto
Que es la razdn de cambio de la altura en que se mueve el globo aerostâtico entre el tiempo.
5.- Aplicar la regla de L“HopitaI.- La Regla de L*Hopital, es un nuevo recurso, para calcular lfmites
que presenten indeterminaciones, esta regla hace uso de las derivadas.
La regla de L*Hopital (Llamada también la Regla de L*Hopital-Bernouilli), expresa que si se
presentan indeterminaciones de las formas:
lim f(•) 0 oo

30. USd tdFItO
Entonces se cumpleque:
lim f(") lim’ lim’ lim’
Por tanto, para ca1cu1ara
u
9”
n
(
li
)
mi
.
t
x
e,
a
s
9
e
”’ ( )
la derivada del
denominador como la del denominador (No se usa la regla del
cociente). Si persiste la indeterminacion,se vuelve
Hasta el momento hemos usado los limites para indicar la definicién de
una derivada. Perogracias alaregla deL”HopitaI podremos encontrar a
través de lasderivadas loslimitesdelasfunciones a derivar hasta
obtener el resultado del limite.
em Io 1.- Calcular el sieuiente limite:
lim
x—•0 X
El limite: lim
sen x 0
0
da una indeterminacién.*
Entonces por la regla de L”HopitaI:
f(x)= senx4 senx=0
g(x)= x4 x=0, entonces se cumple la primera condicién: que las
funciones del numerador y del denominador dan una indeterminacién.
Ahora vamos a tomarellimitedelcocientede lasderivadas de las
funciones

31. lim. ”) y F(x) = cosx y g*(x) = 1

32. lim
cosx
= cos 0 = 1
— = 1.
1 1 1
em to 2.- Calcular el si uiente limite:
sen sen
lim
El limite: lim
=?, da u
x—
na
0
x — sen 2x 2 sen 0 — sen(2 v 0) 0 — sen 0 0
x — senx . . 0 — sen0 0 0
indeter.minacran.
Entonces por la regla de L'HopitaI
f(x)= 2 sen x — sen 2x + 2 sen 0 — sen(2 a 0)=0
g(x)= x — senx -I 0 — sen0 =0
entonces se cumple laprimera condicién: que las funciones del numerador ydel
denominador dan una indeterminacién.
Ahora vamos a tomar el limite del cociente de las derivadas de las funciones:
lim ,( ), y I (x) = 2 cosx — 2 cos 2xy
g'/x§ = 1 — cosx,
Calculando el limite con el cociente de las derivadas:
Um
2cosx-2cos 2i
=
2-2 0
I-+ i-COSX 1—1 0’

33. ynos vuelve a dar otra indeterminacién, esto no quiere decir que no
existe ellimite.Tenemos que aplicar denuevo laregla deL”HopitaI.
Derivando las funciones en elnumerador yeldenominador:
2
lim
x—+0
cosx— 2cos2x
1— cosx
, derivando:
f'(x) —2 senx — 2(—sen2x)(2) —2senx + 4 sen2x y
g”(x) —(—senx) senx,
= —2senx + 4sen2x 0
lim
senx 0
Vuelve a aparecer otra indeterminacién, hay que, derivar otra vez
por la regla. Derivando el numerador y el denominador:
= —2cosx + 4 cos 2x(2) —2cosx + 8 cos 2x —2 + 8 6
lim
COSX 1 1 1
6
Todos los limites que resultaban indeterminados también tienen de

34. limite 6

35. 6.-Elanâlisisdelasvariaciones coneltiem o.- Si la variable
independienteeseltiempot,laderivadadeotravariabledependiente
respecto al tiempo t, se llama variacién con el tiempo.
Son ejemplos:
Eiem Io 1.- Si x= 5t+t3
La derivada delafuncién:
dx
dt
= 5 -F 3t 2 =v
d 2
Y hallando la segunda derivada: 2‘=6t=a
Si x, y son funciones de desplaza
d
m
t
iento, sus primeras derivadas, son la
velocidad. Lassegundas derivadas sonla aceleracion.
7.- Para el teorema del valor medio
Eiem Io 1.-Si tenemos la funcién olinémica : x*-6x+8 vamos a
analizarla en los valores ue van del 2 al 5 2.5 . Como es olinémica la
funcién es derivable continua como se uede ver en los valores de x.
Hallar c E 2.5 tal ue: = ”' ‘.”’ (tasa de cambio de la funcién
Para esto tenemos que saber cuânto esf(5):
f(5)= 25—30+8=3
,f(2)= 4—12+8=0
f“;c) ——
$=( q)p
2x = 7 entonces: x = —

36. j°(5) — j°(2) _ 3
5—2 3
= 1
2x — 6 = 1

37. Entonces en esta parâbola se da el valor de 0 en los valores de
2 y4porque factorizando la funcién (x-2)(x-4) =0 ;la funcién
vale 0 cuando x=2 y x=4. Entonces si hacemos la pendiente de
la recta tangente de los puntos 2 a 5 nos
saldrâunarecta quees paralela alarecta tangente delpunto
7
C=2
La grâfica de la funcién:

38. y3)
z+z3 SI
8.- Para hallar la ecuacién de la recta tangentey recta normal a
una funcién dada.-Podemos ver la derivada de una curva en un
punto como la pendiente de la recta tangente a la curva en ese
punto. Ante esto, es natural preguntarnos cuâl es la ecuacién de esa
recta tangente. Aqui , no solo encontraremos las ecuaciones de
rectas tangentes, sino también las de rectas normales.
EjempIo1.-Supongamosque tenemos la ecuacién y =
e^ .
Queremos hallarlarectatangenteenelpuntox=1,entoncesy==
Para encontrar la pendiente de la recta tangente hay que derivar.
/teescribiendo la funcién:
y = e * + (2 + x3
)*
1
Derivando:
y' = (e *)' + (2 + x3)*
1
+ (e^) + ((2
——11) ,
y' = e * + (2 + x3
)*
1
+ e * + —1(2 + y3) —2 3 2))
Vamos a evaluar la derivady para ( ):
y*(1) = e + e

39. e e

40. Todarectaenyestâadefinirconlaférmula:y mx + bdondees
lapendiente m=0 .Sireemplazamos x=1en la ecuacién y e
3’
Aquiestâ la grâfica de la funcién yla recta tangente se puede trazar
a partir de x=1 y en ese punto y = e
3’

41. 2 "
f (x )
e^
Encontrar la recta normal a la funcién cuando x=1,
sabiencI*o oue la recta normal esla linea DerDendicular ala recta
tan ente.Silarectatan entetiene endientemlarectanormalva
a atenerla endiente -1 mfelreci roco ne ativo
Vamos a reescribir la funcién:
f(x)= eX
* x-2
Hallando laderivada:
f"(x) = e^ • 2+ e^ •
¿Cuânto vale f(x) en x=1?
(—J ( —3)
f”(x) = e -i-e(—1)= e — Ie Esta eslapendiente dela
recta tangente.
Ahora para hallar la pendiente de la linea normal: m=
—1 1
Puedo escribir la ecuacion de la recta normal con la
y = mx + b
ec
—
u
e
ac
,
i
.
én
e
donde m=—
1
e
y b es la ordenada al origen.
y + b
em amos

42. b

43. e• 3
Sabemos que un punto de la recta es x 1, su ordenada seria: " i 2 —— e. Elpunto
es (1,e)
Entonces: e —— ( ) + b
b ——e
1
Usando la ecuacién y = mx -I- b
1 e
+ e 1
—Esta es la ecuacién de la linea normal.
9.- Para hallar los puntos de inflexién y concavidad.- Una de las cosas
fantâsticas del câlculo es que nos proporciona una manera matemâtica de
describir la forma de las curvas. Aqui, aprenderâs sobre concavidad ypuntos de
inflexion, con los que podemos describir cuantitativamente cémo se curva una
curva. Esto serâ titil para encontrar mâximos yminimos.
Cuando la derivada es positiva la funcion es creciente en los puntos dados, sila
derivada es negativa la funcién es decreciente en los puntos dados. Sila derivada
es 0 puede haber un mâximo local o un minimo local.
Cuando la funcién es decreciente 4 en esepunto—3' derivada menor a 0
Cuando la funcion es creciente—3' en ese punto—3' derivada mayor a 0.
Sila funcién tiene forma de uvolteada serâ en esos puntos concava hacia abajo
y si tiene la forma de u serâcéncava hacia arriba
Funcion
Céncava hacia abajo
Pendiente es decreciente—3' f'(x) es decreciente
4 f“(x)<0
Céncavo hacia arriba
Pendiente es creciente—3'f'(x) es creciente
-3'f“(x)>0

44. • Que la primera derivada sea f`(x)>0 quiere decir que la función
escreciente. Que lasegunda derivada seaf``(x)<0quiere decir
quelafunciónes cóncava haciaabajoysupendiente está
haciéndose cada vez más grande
Hay un punto donde cambiamos deconcavidad ese punto es
llamadopunto deinflexión, esdecirelpunto inflexión esel
punto dondeseve queunafuncióncambiadecrecientea
decreciente o de decreciente a creciente.

45. Por ejemplo en esta gráfica la primerasección o dóndela función parece
una u volteadala función escóncava hacia abajo delquesu pendientees
decrecientesu derivadaseríadecreciente y su segundaderivadasería
f``(x)<0.
Ylasegundasección,dondelasegundasección pareceunaulafunción
escóncava hacia arribadela que su pendienteescreciente su derivada

46. • suderivada seríacrecienteysusegundaderivada esf``(x)>0, enel
punto en que la segunda derivada de la función decreciente y la función
crecientecambiandesignoaesepuntoselellamapuntodeinflexión.
Los puntos críticos son los puntos donde la derivada es igual a 0 o donde
no está definido el valor de la derivada.
5.- CONCLUSIONES.- Las aplicaciones de una derivada serían:
1.-Elconceptosederivada seaplicaenloscasosdondeesnecesario
medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por ello
esunaherramientadecálculofundamentalenlosestudiosdeFísica,
Química yBiología. También enlasciencias sociales como laEconomía y
la Sociología se utiliza el análisis matemático para explicar la rapidez de
cambio en las magnitudes que les son propias.
2.- Si establecemos una función y queremos expresar que un problema
serelacionaconella,entonces podemosderivar yencontrar elvalor
donde esta función tomará su valor máximo y mínimo, esto nos ayudará
a cuándo debemos hallar la forma de economizar o usar creativamente
unmaterialoparaalcanzar finesdeseados comoquesealcancela
máxima capacidad de un líquido en un envase.
3.- Derivar significa hallar las variaciones de una magnitud con otra. por
ejemplositenemosunafórmuladedesplazamientoexpresadaenel
tiempo, su derivada será la variación del desplazamiento en el tiempo
entonces obtendremos lavelocidad.

47. • 4.- Se puede calcular ciertos límitesgracias a laregla de L
´Hopital con lasderivadas.
5.-Se puede hallar la diferencial de una función. EL concepto
de diferencial todavía no lo hemos avanzado pero estamos
estableciendo bases con esto.
6.- El teorema del valor medio dice: Si durante la última hora
enlacarreteratuvelocidad promediofue de60millaspor
hora, entonces debes haber ido exactamente a 60 millas por
hora en algún momento. Esto se afirma mediante derivadas.
7.-Parahallarlaecuacióndeunarectatangente ylarecta
normal auna función, para esto sirven las derivadas.
8.- También podemos hallar los puntos de inflexión y
concavidad de una función gracias alas derivadas