Calculo ii (1)

C´lculo para la ingenier´
a
ıa
Tomo II
Salvador Vera
9 de enero de 2005

ii
Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 1998-2004.

´
Indice general
7. Series Num´ricas
e
1
7.1. El signo del sumatorio: Sigma Σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
7.1.1. Propiedades del sumatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
7.2. Series num´ricas. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
3
7.2.1. Convergencia y suma de la serie aplicando la definiciń . . .
o
6
7.2.2. Dos series notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
7.2.3. Teoremas de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
7.2.4. La serie geom´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
e
7.2.5. Convergencia y suma de la serie geom´trica . . . . . . . . . . 13
e
7.2.6. Agrupaciń y descomposiciń de t´rminos . . . . . . . . . . . 15
o
o
e
7.3. Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7.3.1. Series de t´rminos positivos (no negativos) . . . . . . . . . . 17
e
7.3.2. Series alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7.3.3. Series de t´rminos de signo cualesquiera . . . . . . . . . . . . 37
e
7.3.4. Aplicaciń del criterio de D’ Alembert al c´lculo de l´
o
a
ımite de sucesiones 40
7.4. Suma de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.4.1. Aplicando la definiciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
o
7.4.2. Series geom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
e
7.4.3. Series aritm´tico-geom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
e
e
7.4.4. Series hipergeom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
e
7.4.5. Series telesc´picas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
o
7.4.6. Descomposiciń en fracciones simples . . . . . . . . . . . . . 51
o
7.4.7. Series que se obtienen a partir del n´mero e . . . . . . . . . . 53
u
Ejercicios y problemas del Cap´
ıtulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8. Series funcionales. Series de Fourier
87
8.1. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.1.1. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.1.2. Convergencia puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.1.3. Convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.1.4. Propiedades de las series uniformemente convergentes . . . . 89
8.2. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.2.1. Desarrollo de funciones en series de potencias . . . . . . . . . 96
8.2.2. Desarrollo de funciones en series de potencias a partir de otros desarrollos conocidos100
8.2.3. Derivaciń e integraciń de las series de potencias . . . . . . 103
o
o
8.2.4. Aplicaciones de las series de potencias para el c´lculo de integrales definidas110
a
8.3. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.3.1. Funciones peri´dicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
o

iii

´
INDICE GENERAL

iv
8.3.2.
8.3.3.
8.3.4.
Ejercicios y

Serie de Fourier de periodo 2π . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Condiciones suﬁcientes de la desarrollabilidad de una funci´n en serie de Fourier117
o
Desarrollo de las funciones pares e impares en series de Fourier122
problemas del Cap´
ıtulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Soluciones a los ejercicios y problemas propuestos

161

Bibliograf´
ıa

163

´
Indice alfab´tico
e

164

Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 1998-2004.

Cap´
ıtulo 7

Series Num´ricas
e
7.1.

El signo del sumatorio: Sigma Σ

La suma de n t´rminos consecutivos se representa de la siguiente forma:
e
a1 + a2 + · · · + an =

n

L´
ımite superior

ai

L´
ımite inferior
´
Indice

i=1

El ´
ındice del sumatorio puede ser cualquier letra, normalmente se utilizan
las letras i, j, k, n; pero no puede coincidir con los l´
ımites de la suma. As´
ı,
a3 + a4 + · · · + an =

n

n

ak =
k=3

n=3

an

Nota: El l´
ımite inferior del sumatorio no tiene por qu´ ser 1, sino que puede ser cualquier
e
n´mero entero inferior al l´
u
ımite superior

Ejemplo 7.1. Expresar en notaci´n sumatorio las siguientes sumas:
o
6

6

i=

1+2+3+4+5+6=

n
n=1

i=1
7

32 + 42 + 52 + 62 + 72 =

n2 =

n=3

7

6

i2 =

i=3

(i + 1)2

i=2
n

1 2
1
1
(1 + 1) + (22 + 1) + · · · + (n2 + 1) =
n
n
n

i=1

1 2
(i + 1)
n

Ejemplo 7.2. Sacar los dos primeros t´rminos de los siguiente sumatorios
e
100
n=1

100

1
(n + 5)!
n=1

an ,

1

´
CAP´
ITULO 7. SERIES NUMERICAS

2

Soluci´n. Si sacamos los dos primeros t´rminos del sumatorio, el nuevo sumao
e
torio deber´ comenzar a partir del tercero. As´
a
ı,
100
n=1
100

100

an = a1 + a2 +

n=3

an

100
1
1
1
1
= + +
(n + 5)!
6! 7! n=3 (n + 5)!
n=1

7.1.1.
1.

Propiedades del sumatorio

Una constante puede sacarse factor com´n.
u
n

n

k · ai = k

i=1

ai
i=1

Es constante cualquier n´mero o cualquier letra que no coincida con
u
el ´
ındice. As´
ı,
n

n

n · ai = n

i=1

ai
i=1

ya que, na1 + na2 + · · · + nan = n(a1 + a2 + · · · + an )
2.

El sumatorio de una suma se puede descomponer en dos sumatorios
n

(ai ± bi ) =

i=1

3.

n

n

ai ±

i=1

bi
i=1

La suma de una constante equivale a sumar n veces la constante.
n

ßÞ

c = c + c + · · · + c = nc

i=1

n veces

As´ por ejemplo, tenemos:
ı,
5

2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 · 5 = 10
i=1
5

5

1 = 2 · 5 = 10

2=2
i=1
5

i=1

ä

ç

ai = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = ai = 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 =
i=1

= 2 · 5 = 10

´
7.2. SERIES NUMERICAS. DEFINICIONES
4.

3

En un sumatorio, la expresiń del t´rmino general no es unica, sino
o
e
´
que se puede modificar, en funciń de los l´
o
ımites del ´
ındice. As´
ı,
a0 + a1 + · · · + an =

n

n+1

ai =
i=0

En general

n1

ai−1 =
i=1

ai−k
i=k

n1 +k

ai =

ai−k

i=n0

5.

n+k

i=n0 +k

Se suele utilizar la siguiente suma:
n

i = 1 + 2 + ··· + n =

i=1

(1 + n)n
2

Ejercicios propuestos de la secciń 7.1. Sumatorio
o
Soluciones en la p´gina 161
a
7.1.1. Calcular las siguientes sumas:
100

(2n + 3)

a)
n=1

7.2.

Series num´ricas. Definiciones
e

Definiciń 7.1 (Serie). Dada la sucesiń num´rica infinita:
o
o
e
an = {a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . .}

donde

an = f (n)

se llama serie num´rica a la suma indicada de los infinitos t´rminos de dicha
e
e
sucesiń.
o
∞
n=1

an = a1 + a2 + a3 + · · · + an + · · ·

e
los n´meros a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . . se llaman t´rminos de la serie y an se
u
denomina t´rmino general.
e
Son ejemplos de series las siguientes sumas:
∞

n = 1 + 2 + 3 + 4 + ···

Serie de los n´ meros naturales
u

n=1
∞

1 1 1
1
= 1 + + + + ···
n
2 3 4
n=1

Serie armńica
o

∞

1
1
1
1
= 1 + 2 + 2 + 2 + ···
n2
2
3
4
n=1

Serie armńica, generalizada
o

∞

1
1
1
1
= + 2 + 3 + ···
n
2
2 2
2
n=1

Serie geom´trica
e

´
CAP´

4

Definiciń 7.2 (Suma parcial). Se llama suma parcial n-sima a la suma
o
de los n primeros t´rminos de la serie
e
Sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an =

n

ak
k=1

As´ tenemos:
ı,
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
.
.
.
Sn = a1 + a2 + · · · + an
.
.
.
Y, en general, Sn = Sn−1 + an
∞

Ejemplo 7.3. Sumar gr´ficamente la serie
a

1
.
2n
n=1

Soluciń. Se trata de hacer la siguiente suma:
o
∞

1
1 1 1
1
+ ···
= + + +
n
2
2 4 8 16
n=1
Consideremos, para ello, un cuadrado de lado unidad. Tendremos que sumar:
la mitad del cuadrado, la cuarta parte, la octava parte, etc. Si seguimos el
proceso, al final , tendremos el cuadrado completo.
1
16

1
8

1
2

En consecuencia, para sumar una serie:
1. Se realizan las sumas parciales de
manera progresiva,
2.

1
4

por paso al l´
ımite se calcula la suma
total

Definiciń 7.3 (Convergencia y Suma de la serie). Una serie se dice
o
convergente si la sucesiń formada con sus sumas parciales {Sn } es convero
gente. Se llama suma de la serie al l´mite de la sucesiń formada con sus
ı
o
sumas parciales.
l´ Sn = S
ım

n→∞

⇔

∞

n=1

an = S

Por el contrario, si la sucesiń de las sumas parciales {Sn } no tiene un l´
o
ımite
finito, entonces se dice que la serie es divergente. (Se distinguen las series
divergentes infinitas, cuando el l´
ımite es infinito; de las oscilante, cuando el
l´
ımite no existe).

´

5

Nota: Si la serie es convergente tenemos:
{S1 , S2 , S3 , . . . , Sn , . . . } → S
Es decir,
∞

n

an = S = l´ Sn = l´ (a1 + a2 + · · · + an ) = l´
ım
ım
ım
n→∞

n=1

n→∞

n→∞

ak
k=1

Definiciń 7.4 (Resto de la serie). Se llama resto de la serie a la suma
o
indicada de los t´rminos de la serie desde un lugar en adelante.
e
Rn = an+1 + an+2 + · · · =

∞

∞

ak =
k=n+1

an+k
k=1

Se tiene:
∞
n=1

an = a1 + a2 + a3 + · · · + an + an+1 + · · · =

ßÞ

ßÞ

= [a1 + a2 + a3 + · · · + an ] + [an+1 + an+2 + · · ·] = Sn + Rn
Sn

Rn

Es decir,
∞
n=1

an = Sn + Rn

Si la serie converge, la diferencia entre la suma total S y la suma parcial Sn
da el resto n-simo de la serie
∞
n=1

an convergente ⇒ Rn = S − Sn = an+1 + an+2 + · · ·

En este caso, el resto n-simo representa el error que se comete al aproximar
la suma total de la serie por la suma parcial de los n primeros t´rminos.
e
Proposiciń 7.1. Si la serie es convergente, entonces el resto n-simo tiende
o
a cero.

Demostraciń.
o

È

an Conv. ⇒ l´ Rn = 0
ım
n→∞

an Conv. ⇒

Rn = S − Sn
, de donde,
Sn → S

l´ Rn = l´ (S − Sn ) = S − l´ Sn = S − S = 0
ım
ım
ım

n→∞

n→∞

n→∞

´
CAP´

6

7.2.1.

Convergencia y suma de la serie aplicando la definiciń
o

El problema fundamental de la teor´ de las series consiste en estudiar la
ıa
convergencia. Si la serie es convergente, entonces es sumable, en consecuencia se intenta sumarla con exactitud y, si esto no es posible, se calcula el
valor aproximado de la suma, sumando los primeros t´rminos. En este caso
e
habr´ que indicar el error cometido en la aproximaciń; o bien, sumaremos
a
o
m´s o menos t´rminos en funciń del error permitido.
a
e
o
Ejemplo 7.4. Estudiar la convergencia de las siguientes series y sumarlas
cuando sean convergentes.
∞

a)

∞

(−1)n+1 ,

b)

n=1

2k ,

k=1

∞

c)
n=1

1
2

n

Soluciń. Aplicando, en cada caso, la definiciń, resulta:
o
o
∞

a)

(−1)n+1 = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·

n=1

{Sn } = {1, 0, 1, 0, 1, 0, . . . } → No tiene l´
ımite

S1 = 1
S2 = 1 − 1 = 0
S3 = 1 − 1 + 1 = 1
.
.
.
∞

b)

Luego, la serie no es convergente, y,
en consecuencia, no se puede sumar.
(Diverge por Oscilaciń).
o

2k = 1 + 4 + 8 + 16 + · · ·

k=1

S1 = 1
S2 = 1 + 4 = 5
S3 = 1 + 4 + 8 = 11
.
.
.

La serie es divergente

Sn = 1 + 4 + 8 + 16 + · · · + 2n → +∞
∞

c)
n=1

1
2

n

=

1 1 1
1
1
+ + +
+ ··· + n + ···
2 4 8 16
2
1
2
2+1
3
1 1
=
S2 = + =
2 4
4
4
6+1
7
3 1
=
S3 = + =
4 8
8
8
1
14 + 1
15
7
S4 = +
=
=
8 16
16
16
.
.
.

S1 =

Sn =

2n − 1
2n

´
Parece que Sn =
En efecto,

7

2n − 1
2n+1 − 1
, entonces, tendr´ que ser Sn+1 =
ıa
2n
2n+1

Sn+1 = Sn + an+1 =

2n − 1
1
2n+1 − 2
1
2n+1 − 1
+ n+1 =
+ n+1 =
2n
2
2n+1
2
2n+1

luego la expresiń supuesta para Sn es correcta. En consecuencia,
o
1
2n − 1
= l´
ım 1 − n
n
n→∞
n→∞
2
2

S = l´ Sn = l´
ım
ım
n→∞

=1−0=1

Nota: Para demostrar que la expresiń dada a Sn es correcta hemos utilizado el
o
m´todo de inducciń; basado en el axioma de inducciń de los n´meros naturales.
e
o
o
u
Axioma de inducciń. Supongamos que el conjunto M ⊆ N posee las siguientes
o
propiedades:
1◦ ) 1 ∈ M ,
2◦ ) si m ∈ M , entonces m + 1 ∈ M ;
entonces el conjunto M contiene todos los n´meros naturales: M = N.
u
Principio de inducciń. Sea Pn una proposiciń acerca del entero n. Si:
o
o
1◦ ) P1 es verdadera,
2◦ ) Pk+1 es verdadera siempre que Pk es verdadera;
entonces Pn es verdadera para todos los enteros positivos n.
La justificaciń es la siguiente: por la condiciń 1, se tiene que P1 es verdadera;
o
o
entonces, aplicando la condiciń 2 (con k = 1) se tiene que P2 es verdadera. Del
o
mismo modo, si se aplica nuevamente la condiciń 2 con k = 2, se tiene que P3
o
es verdadera; y as´ sucesivamente. El procedimiento se puede aplicar de manera
ı
indefinida.
Al aplicar el principio de inducciń matem´tica se siguen los tres pasos siguientes:
o
a
1◦ ) Se prueba que Pn es verdadera cuando n = 1.
2◦ ) Se supone que Pn es verdadera cuando n = k y se deduce que Pn es verdadera
cuando n = k + 1.
o
a
3◦ ) Se concluye, por el principio de inducciń matem´tica, que Pn es verdadera
para toda n.
∞

Ejemplo 7.5. De la serie
n=1

an se sabe que la sucesiń de las sumas paro

ciales {Sn } viene definida por:

Sn =

2n + 3
n+4

∀n ∈ N

Hallar:
(a) El t´rmino general an de la serie.
e
(b) El carćter y la suma de la serie.
a
Soluciń. (a) El primer t´rmino de la serie a1 coincide con S1 , luego:
o
e
a1 = S1 = 1

´
CAP´

8

El resto de los t´rminos, para n ≥ 2, se obtienen de la diferencia:
e
an = Sn − Sn−1 =

5
2n + 3 2n + 1
−
=
n+4
n+3
(n + 3)(n + 4)

N´tese que, en este caso, el primer t´rmino no sigue la regla general, es decir,
o
e
la serie propuesta vendr´ dada por la expresiń:
a
o
∞
n=1

∞

an = 1 +

5
(n + 3)(n + 4)
n=2

(b) La serie converge, ya que se puede calcular su suma.
ım
S = l´ Sn = l´
ım
n→∞

7.2.2.

n→∞

2n + 3
=2
n+4

Dos series notables

Definiciń 7.5 (Serie geom´trica). Se llaman series geom´tricas aquellas
o
e
e
series en las que cada t´rmino (salvo el primero) se obtiene multiplicando
e
el anterior por una cantidad constante llamada razń:
o
an+1 = r · an
Es decir,
∞
n=0

an = a0 + a1 + a2 + · · · + an + · · · =
= a0 + r · a0 + r2 · a0 + · · · + rn · a0 + · · · =

∞

a0 rn

n=0

Teorema 7.1. La serie geom´trica es convergente para |r| < 1 y su suma
e
es
∞
∞
a0
a0 rn = a0
rn =
S=
1−r
n=0
n00
Para |r| ≥ 1 la serie geom´trica es divergente.
e
Definiciń 7.6 (Serie armńica). Se llama serie armńica a la serie:
o
o
o
∞

1 1
1
1
= 1 + + + ··· + + ···
n
2 3
n
n=1
Y, en general, se llaman series armńicas (generalizadas) a las que son del
o
siguiente tipo:
∞

1
1
1
1
= 1 + p + p + ··· + p + ···
p
n
2
3
n
n=1
(a estas series tambiń se les llama p-series).
e

para

p>0

´

9

Teorema 7.2. La serie armńica es convergente para p > 1 y divergente
o
para p ≥ 1.
Ejemplo 7.6. Demostrar que la serie armńica
o

È
∞

1
es divergente.
n=1 n

Soluciń. Agrupando los t´rminos (hasta las potencias de 2), se tiene:
o
e
∞

1 1 1 1 1 1 1
1
= 1 + + + + + + + + ··· =
n
2 3 4 5 6 7 8
n=1
1
1 1
1 1 1
+
+ + +
+
+
2
3 4
5 6 7
1
1 1
1 1 1
+
+ + +
+
+
≥1+
2
4 4
8 8 8
1
1
1
+
+
+ · · · = +∞
=1+
2
2
2
=1+

1
+ ··· ≥
8
1
+ ··· =
8

Nota 1: Otra manera de demostrarlo es la siguiente. En la serie armńica tenemos que
o
1
1
1
+
+ ··· +
≥
n+1
n+2
n+n
1
1
n
1
1
+
+ ··· +
=
=
≥
n+n
n+n
n+n
2n
2

S2n − Sn = an+1 + an+2 + · · · + a2n =

Con lo cual resulta que, en la serie armńica, se tiene
o
S2n − Sn ≥

1
2

Ahora bien, si una serie es convergente, ha de ser l´ (S2n − Sn ) = 0. En efecto,
ım
n→∞

an Conv. ⇒

an = S = l´ Sn = l´ S2n ⇒ l´ (S2n − Sn ) = S − S = 0
ım
ım
ım
n→∞

n→∞

n→∞

En consecuencia, si la serie armńica fuera convergente se tendr´ la siguiente contradico
ıa
ciń:
o
Por ser convergente: l´ n→∞ (S2n − Sn ) = 0
ım
Por la propiedad anterior l´ n→∞ (S2n − Sn ) ≥
ım

1
2

de donde resultar´ o ≥ 1/2, que es absurdo.
ıa
Nota 2: La serie armńica diverge al infinito con mucha lentitud. Para obtener una suma
o
parcial que pase de 20 hay que sumar m´s de 250 mil millones de t´rminos.
a
e

7.2.3.

Teoremas de convergencia

Teorema 7.3 (Convergencia del resto). Si una serie converge, entonces
cualquiera de sus restos tambiń converge. Y si uno de los restos converge
e
entonces toda la serie converge.
a1 + a2 + a3 + · · · convergente ⇔ an+1 + an+2 + an+3 + · · · convergente
∞
n=1

an

convergente

⇔

Rn

convergente

´
CAP´

10

Es decir, la convergencia de una serie no se altera si se le suprimen los
n primeros t´rminos.
e
Nota: (Observaciones sobre el resto de la serie).
Si dos series tienen los mismos t´rminos, desde un lugar en adelante, entonces, o las
e
dos convergen o las dos divergen. Es decir, las dos series tienen el mismo carćter.
a
∃k / ∀n > k, an = bn ⇒

an ∼

bn

En efecto, al ser
an = a1 + a2 + · · · + ak + (ak+1 + ak+2 + · · · + an + · · · )
bn = b1 + b2 + · · · + bl + (ak+1 + ak+2 + · · · + an + · · · )
se tiene,
ım
ım
Sn − Sn = a1 + a2 + · · · + ak − b1 − b2 + · · · − bl = N ⇒ l´ Sn = l´ Sn + N
n→∞

n→∞

Se pueden cambiar, suprimir o a˜ adir un n´mero finito de t´rminos sin alterar la
n
u
e
convergencia o divergencia de una serie (aunque el valor concreto de la suma de la
serie s´ cambia).
ı
∞

Ejemplo 7.7. Sea
n=1

an una serie de t´rminos positivos convergente.
e
∞

Hallar el carćter de la serie:
a

an
R
n=1 n−1

∗
Soluciń. Sea Rn el resto de orden n de la nueva serie. Se tiene:
o
∗
Rn =

an+1
an+2
an+3
an+1 + an+2 + an+3 + · · ·
Rn
+
+
+ ··· >
=
=1
Rn
Rn+1 Rn+2
Rn
Rn

∗
Como el resto Rn no converge a cero, la serie

y al ser de t´rminos positivos, es divergente.
e

∞

an
no es convergente,
R
n=1 n−1

Teorema 7.4 (Producto por un n´ mero). La convergencia de una serie
u
no se altera si todos sus t´rminos se multiplican por un mismo n´mero
e
u
distinto de cero, adem´s dicho n´mero se puede sacar factor comń.
a
u
u
a1 + a2 + a3 + · · · convergente ⇔ r · a1 + r · a2 + r · a3 + · · · convergente
∞
n=1

(r · an ) = r

∞
n=1

an

Demostraciń. Si la serie es convergente, se tiene
o
∞
n=1

kan = l´ (ka1 + · · · + kan ) = l´ k(a1 + · · · + an ) =
ım
ım
n→∞

n→∞

= k l´ (a1 + · · · + an ) = k
ım
n→∞

∞
n=1

an

´

11

Teorema 7.5 (Suma de series). La suma t´rmino a t´rmino de dos series
e
e
convergentes es otra serie convergente, y su suma coincide con la suma de
las sumas de las dos series sumandos.
∞
n=1
∞
n=1

∞

an convergente
⇒
bn convergente

n=1
∞
n=1

(an + bn ) convergente
∞

(an + bn ) =

n=1

∞

an +

n=1

bn

Si alguna de las dos series anteriores no es convergente entonces el teorema no es aplicable. En tal caso s´lo podemos afirmar que la suma t´rmino
o
e
a t´rmino de una serie convergente con otra divergente es divergente, miene
tras que la suma t´rmino a t´rmino de dos series divergentes puede dar
e
e
convergente o divergente, segń los casos.
u
Nota 1: Esquem´ticamente, lo anterior se puede expresar de la siguiente forma:
a
Con±Con=Con
Con±Div=Div
Div±Div=?
Nota 2: La igualdad

∞

∞

(r · an ) = r
n=1

an
n=1

se cumple siempre, sean an y bn , convergentes o divergentes. Sin embargo, la igualdad
∞

∞

∞

(an + bn ) =
n=1

an +
n=1

bn
n=1

en estricto sentido, solamente se cumple cuando an y bn , son ambas convergentes.

Teorema 7.6 (Criterio del t´rmino general para la divergencia). Si
e
una serie converge, entonces su t´rmino general tiende a cero.
e
∞
n=1

an

⇒

convergente

l´ an = 0
ım

n→∞

A este teorema tambiń se le conoce como criterio necesario de cone
vergencia o condiciń necesaria. El rec´
o
ıproco no es cierto, ya que existen
series cuyo t´rmino general tiende a cero y, sin embargo, son divergentes,
e
como, por ejemplo, la serie armńica. Por lo tanto, ´ste es un criterio para
o
e
la divergencia y no para la convergencia, ya que:
l´ an = 0 ⇒
ım

n→∞

∞
n=1

an divergente

M´s exactamente podemos decir,
a
l´ an = 0
ım

n→∞

o
´
l´ an No definido
ım

n→∞

⇒

∞
n=1

an divergente

´
CAP´

12

Pero l´ an = 0 no nos da ninguna informaciń sobre la convergencia de
ım
o
n→∞
la serie.
o
a
Ejemplo 7.8 (Aplicando la condiciń necesaria). Estudiar el carćter de las
siguientes series num´ricas:
e
∞

(i )

∞

n
3n + 1
n=1

(ii )

∞

n2 + 3
4n − 5n2
n=1

(−1)n−1 n2

(iii )
n=1

Soluciń. Aplicando el criterio del t´rmino general, resulta:
o
e
1
n
= = 0 ⇒ Divergente
3n + 1
3
3+3
−1
n
= 0 ⇒ Divergente
ım
=
(ii ) l´ an = l´
ım
n→∞
n→∞ 4n − 5n2
5
ım
(iii ) l´ an = l´ (−1)n−1 n2 = No definido ⇒ Divergente
ım
(i ) l´ an = l´
ım
ım
n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

Ejemplo 7.9. Estudiar el carćter de las siguientes series num´ricas:
a
e
∞

(i )

2n2 + n
3n2 + 5n − 1
n=1

∞

(ii )
n=1

n+1
n

∞

n

(iii )

n2 + 7n − 3
n+1
n=1

Soluciń. Las tres son divergentes. En efecto:
o
2
2n2 + n
= =0
n→∞
+ 5n − 1
3
1
n+1 n
ım
= l´
ım 1 +
(ii ) l´ an = l´
ım
n→∞
n→∞
n→∞
n
n
n2 + 7n − 3
(iii ) l´ an = l´
ım
=∞=0
ım
n→∞
n→∞
n+1
ım
(i ) l´ an = l´
ım

n→∞ 3n2

7.2.4.

n

=e=0

La serie geom´trica
e

Una serie se llama geom´trica si cada t´rmino, menos el primero, se obtiene
e
e
multiplicando el anterior por una cantidad constante, llamada razń.
o
an+1 = r · an
Por costumbre, el sumatorio de la serie geom´trica se suele comenzar por
e
cero (para tener n en el exponente, en vez de n − 1). As´
ı,
∞
n=0

an = a0 +a1 +a2 +· · ·+an +· · · = a0 +a0 r+a0 r2 +· · ·+a0 rn +· · · =

∞
n=0

a0 rn

´

7.2.5.

13

Convergencia y suma de la serie geom´trica
e

Si una serie geom´trica es convergente, entonces, se tiene:
e
l´ an = 0 ⇒ l´ a0 rn = 0
ım
ım

n→∞

n→∞

Ahora bien,
±∞ si |r| > 1
si r = 1
a0
No def. si r = −1

l´ a0 rn =
ım

n→∞

|r| ≥ 1 Divergente

si |r| < 1 Puede ser convergente

0
Suma de la serie geom´trica
e

Sn = a0 + a0 r + a0 r2 + · · · + a0 rn
−rSn = −a0 r − a0 r2 − a0 r3 − · · · − a0 rn+1
Sn − rSn = a0 − a0 rn+1
de donde,

a0 − a0 rn+1
1−r
En consecuencia, para |r| < 1, se tiene
Sn =

∞
n=0

a0
a0 − a0 rn+1 |r|<1 a0 − 0
=
=
n→∞
1−r
1−r
1−r

a0 rn = l´ Sn = l´
ım
ım
n→∞

De donde se concluye que
∞

a0
si |r| < 1
1−r
Divergente si |r| ≥ 1 y a0 = 0

n

a0 r =
n=0

Nota 1: Si a0 = 0, es evidente que la serie es convergente, puesto que en este caso todos
sus t´rmino son nulos, y su suma ser´ cero.
e
a
Nota 2: Lo que caracteriza a la serie geom´trica es que su t´rmino general, mediante
e
e
alguna transformaciń, se pueda expresar de la siguiente forma:
o
∞

∞

a0 rn = a0
n=0

∞

rn = a0
n=0

r

n en el exponente
La razń
o
Una constante que puede ser 1 (no aparecer´
ıa)

n

n=0

Ejemplo 7.10. Estudiar el carćter de las siguientes series, y, en su caso,
a
obtener su suma.
∞

a)
n=0

−1
2

∞

n

b)

(−1)n
3n
n=2

∞

c)

1
2k
k=0

∞

d)

1
2k
k=1

´
CAP´

14
Soluciń.
o
∞

n

−1
2

a)
n=0

a0 = 1
−1
r=
2

=

∞

b)

∞
(−1)n
−1
=
3n
3
n=2
n=2
∞

c)

∞
1
1
=
2k
2
k=0
k=0

n

=

a0 = 1
1
r=
2

=

∞
1
1
=
k
2
2
k=1
k=1

a0 = 1/2
r = 1/2

k

=

1
2

2
1
=
3/2
3

a0 = 1/9
−1
r=
3

=

k

∞

d)

1
1+

=

=

1
1−

=

3
1
1/9
1/9
=
=
=
4/3
36
12
1+ 1
3

=

1
2

=

1
=2
1/2

1/2
1/2
1 = 1/2 = 1
1− 2

a
obtener su suma.
∞

a)

∞

23n
7n
n=0

3
e

(−1)n

b)
n=0

∞

n

c)

√

2

∞

1−n

d)

n=1

n=1

e
π

n

Soluciń.
o
∞

a)

∞
23n
=
7n
n=0
n=0
∞

(−1)n

b)
n=0
∞

√

c)

2

3
e

1−n

n=1

n

23
7

∞

8
7

=
n=0
∞

n

−3
e

=
n=0
∞

=
n=1

√
√

2

2

=

n

=
n=1

a0 = 1
8
r= >1
7

⇒ Divergente

a0 = 1
−3
< −1
r=
e

=
∞

n

n

√

1
2 √
2

⇒ Divergente
a0 = 1
1
r=√
2

n

=

1
=
1 =
1 − √2
∞

d)
k=1

e
π

n

=

a0 = e/π
r = e/π

=

=
1

√
2−1
√
2

√

=√

2
2−1

e/π
e/π
e
e = π−e =
1− π
π−e
π

a
obtener su suma.
∞

a)
n=1

Soluciń.
o

5−n − 7−n

∞

b)

1 + 2n + 3n
5n
n=0

∞

c)

7 · 5n + 3 · 11n
13n
n=0

´
∞

a)
n=1

5−n − 7−n =

∞

1
1
− n
n
5
7

n=1

15

∞

∞
1/5
1/7
1
1
−
=
=
1−
n
n
5 n=1 7
1− 5 1− 1
7
n=1
1 1
3−2
1
1/5 1/7
−
= − =
=
=
4/5 6/7
4 6
12
12

=

∞

b)

∞
1 + 2n + 3n
1
2 n
3 n
=
+
+
=
5n
5n
5
5
n=0
n=0
1
1
1
5 5 5
1
1
1
=
1 +
2 +
3 = 4/5 + 3/5 + 2/5 = 4 + 3 + 2 =
1− 5
1− 5
1− 5
65
15 + 20 + 30
=
=
12
12
∞

c)

∞
7
3
7 · 5n + 3 · 11n
5 n
11 n
=
7
+3
=
=
5 +
n
13
13
13
1 − 13
1 − 11
13
n=1
n=0
7
3
91 39
91 + 156
247
=
+
=
+
=
=
8/13 2/13
8
2
8
8

Ejemplo 7.13. Hallar el n´mero racional representado por el n´mero deu
u
cimal peri´dico: 0.5.
o
Soluciń. El n´mero 0.5 lo podemos expresar de la siguiente forma
o
u
5
5
5
+
+
+ ··· =
10 100 1000
5
5/10
5/10
a0 = 5/10
=
1 = 9/10 = 9
r = 1/10
1 − 10

0.5 = 0,555 . . . = 0,5 + 0,05 + 0,005 + · · · =
=

Ejemplo 7.14. Hallar la suma de la serie:
4−6+π+1+

1
1 1
+ + ··· + n + ···
2 4
2

Soluciń. Separando los tres primeros t´rminos, resulta
o
e
S = 4−6+π + 1+

7.2.6.

1
1 1
1
+ + · · · + n + · · · = −2 + π +
=
2 4
2
1− 1
2
1
= −2 + π + 2 = π
= −2 + π +
1/2

Agrupaciń y descomposiciń de t´rminos
o
o
e

Agrupaciń de t´rminos
o
e
Proposiciń 7.2. Si una serie es convergente o divergente al infinito, entonces su carćter
o
a
no var´ si se van sustituyendo varios t´rminos consecutivos por su suma.
ıa
e

´
CAP´

16

Demostraciń. Sea la serie S = a1 + a2 + a3 + · · · . Sus sumas parciales son
o
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
.
.
.
Sn = a1 + a2 + · · · + an
↓
S
Por otro lado, si agrupamos los t´rminos, resulta
e
S = (a1 + · · · + ai ) + (ai+1 + · · · + aj ) + (aj+1 + · · · + ak ) + · · ·
+
a2
+
a3
+···
=
a1
Sus sumas parciales son
S1 = a1 = Si
S2 = a1 + a2 = Sj
S3 = a1 + a2 + a3 = Sk
.
.
.
↓
↓
S
S
Luego las sumas parciales de ambas series tienen el mismo l´
ımite.
En las series oscilante no se pueden agrupar los t´rminos.
e
En efecto, consideremos la serie oscilante
S = 3 − 3 + 3 − 3 + 3 − 3 + 3 − 3 + ···
Segń agrupemos los t´rminos obtenemos una serie convergente con suma 0, o con suma
u
e
3. As´
ı,
S = (3 − 3) + (3 − 3) + (3 − 3) + · · · = 0 + 0 + 0 + · · · = 0
S = 3 + (−3 + 3) + (−3 + 3) + · · · = 3 + 0 + 0 + · · · = 3

Descomposiciń de t´rminos
o
e
Los t´rminos de una serie no se pueden descomponer en suma de varios t´rminos. Por
e
e
ejemplo, si descomponemos la serie convergente
S = 0 + 0 + 0 + ··· = 0
obtenemos una serie oscilante. As´
ı,
S = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + · · · = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = oscilante
De la misma forma, si descomponemos la serie convergente
S=

1
1
1
1
+ + +
+ ··· = 1
2
4
8
16

¡ ¡ ¡

obtenemos la siguiente serie oscilante
S = 1−

1
3
7
1
3
7
+ 1−
+ 1−
+ · · · = 1 − + 1 − + 1 − + · · · = oscilante
2
4
8
2
4
8

7.3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA

17

Reordenaciń de t´rminos
o
e
Los t´rminos de una serie no se pueden reordenar de manera arbitraria. Por ejemplo,
e
si consideramos la serie alternada
S = 3 − 3 + 3 − 3 + · · · = Oscilante
Al reordenar sus t´rminos podemos obtener una serie divergente al +∞:
e
S = 3 + 3 − 3 + 3 + 3 − 3 + · · · = +∞
y reordenńdolos de otra manera una serie divergente al −∞.
a
S = 3 − 3 − 3 + 3 − 3 − 3 + · · · = −∞

Series de t´rminos positivos
e
Si todos los t´rmino que intervienen, –los existentes y los que se obtienen–, son posie
tivos, entonces se pueden agrupar, descomponer o reordenar, sin que cambie el carćter de
a
la serie ni el valor de la suma (El problema en las transformaciones de las series est´ en
a
los t´rminos negativos).
e
Nota: No debe confundirse la agrupaciń y descomposiciń de t´rminos de una serie con
o
o
e
la suma de series o la descomposiciń de una serie en suma de varias.
o

Ejercicios propuestos de la secciń 7.2. Definiciones
o
a

∞

an se sabe que la sucesiń de las sumas parciales {Sn } viene definida
o

7.2.1. De la serie
n=1

por:

Sn =

3n + 2
n+4

∀n ∈ N

Hallar:
(a) El t´rmino general an de la serie.
e
(b) El carćter y la suma de la serie.
a

7.3.
7.3.1.

Criterios de convergencia
Series de t´rminos positivos (no negativos)
e

Lema 7.1 (Acotaciń de la sucesiń de sumas parciales). Si todos los t´rminos de
o
o
e
una serie son positivos (salvo quiz´s los primeros).
a
∞

a1 + a2 + a3 + · · · + an + · · ·

S=

∀n ∈ N, an ≥ 0

n=1

Entonces, si la sucesiń de las sumas parciales est´ acotada la serie ser´ convergente, y
o
a
a
si no est´ acotada, ser´ divergente.
a
a
Demostraciń. En efecto, al ser los t´rminos positivos, la sucesiń de las sumas parciales
o
e
o
ser´ mon´tona creciente.
a
o
S1
S2
S3
Sn

=
=
=
.
.
.
=
.
.
.

a1
S1 + a2
S2 + a3
S1 ≤ S2 ≤ S3 ≤ · · · ≤ Sn ≤ · · ·
Sn−1 + an

´
CAP´

18

Por lo tanto, si dicha sucesiń est´ acotada, tendr´ limite finito, y, en consecuencia, la
o
a
a
serie ser´ convergente, y si no est´ acotada, su l´
a
a
ımite ser´ infinito, y, en consecuencia, la
a
seria ser´ divergente.
a

Teorema 7.7 (Criterio de comparaciń). Si los t´rminos de una serie
o
e
de t´rminos no negativos son menores o iguales que los t´rminos correspone
e
dientes de otra serie, entonces, si converge la segunda serie tambiń converge
e
la primera y si diverge la primera tambiń diverge la segunda.
e
an ≤ bn ⇒

È
È

ÈÈ

bn convergente ⇒ an convergente
an divergente ⇒ bn divergente

Demostraciń. an ≤ bn ⇒ Sn ≤ Sn , de donde,
o
bn Conv ⇒ Sn Acot ⇒ Sn Acot ⇒
an Div ⇒

an Conv

bn Div (ya que si fuera Convergente ⇒

È

an Conv)

Nota: El criterio sigue siendo v´lido aunque los primeros t´rminos no cumplan la relaciń
a
e
o
an ≤ bn , siempre que se cumpla desde un lugar en adelante.

Ejemplo 7.15. Estudiar la convergencia de las siguientes series
∞

a)

1
2n + 1
n=1

∞

b)
n=1

1
2n−1 − 1

∞

c)

1
√
n
n=1

∞

d)

1
n!
n=1

∞

e)

sen2 nα
2n
n=1

Soluciń. Se trata de comparar la serie dada con una serie conocida. Noro
malmente compararemos con la serie geom´trica o con la serie armńica.
e
o
a) 2n + 1 > 2n ⇒

2n

1
1
< n (serie geom´trica Con.)⇒ Convergente
e
+1
2

u
b) La comparaciń 2n−1 − 1 < 2n−1 , no conduce a ningń resultado, ya que
o
nos da una serie mayor que una convergente que puede ser convergente
o divergente. Comparamos, entonces, con otra serie. As´ para n grande
ı,
2n−1 − 1 > 2n−2 ⇒
c)

√

1
1
≤ n−2 (geom´trica Con.)⇒ Convergente
e
2n−1 − 1
2

1
1
o
n ≤ n ⇒ √ ≥ (armńica Div.)⇒ Divergente
n
n

d ) Tenemos que n! > 2n−1 . En efecto,
n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 3 · 2 · 1
2n−1 = 2 · 2 · 2 · · · 2 · 2 · 1
luego
1
1
< n−1 (geom´trica Conv.) ⇒ Convergente
e
n!
2


19

e) Teniendo en cuenta que senn α ≤ 1, resulta
1
senn α
≤ n (geom´trica Conv.) ⇒ Convergente
e
2n
2
Teorema 7.8 (Criterio de Condensaciń de Cauchy). Sea {an } una
o
sucesiń decreciente de t´rminos no negativos, entonces las siguientes series
o
e
tienen el mismo carćter.
a
∞
n=1

∞

an ∼

2k · a2k

k=0

Demostraciń. Agrupemos los t´rminos de la serie
o
e

È
∞

n=1

an de dos formas

diferente: En primer lugar, en bloques que terminen en los t´rminos de ´
e
ındice
potencia de dos; y, en segundo lugar, en bloque que comienzan en dichos
t´rminos. As´
e
ı,
(a1 ) + (a2 ) + (a3 + a4 ) + (a5 + a6 + a7 + a8 ) + · · · =

∞
n=1

an =

= (a1 ) + (a2 + a3 ) + (a4 + a5 + a6 + a7 ) + (a8 + · · ·
Como la sucesiń es decreciente, en cada parńtesis, el primer t´rmino es el
o
e
e
mayor y el ultimo el menor. Sustituyamos, en los parńtesis de la izquierda,
´
e
cada t´rmino por el menor (el ultimo); y, en la derecha, cada t´rmino por el
e
´
e
mayor (el primero). En consecuencia, resultar´,
a
(a1 ) + (a2 ) + (a4 + a4 ) + (a8 + a8 + a8 + a8 ) + · · · ≤

∞
n=1

an ≤

≤ (a1 ) + (a2 + a2 ) + (a4 + a4 + a4 + a4 ) + (a8 + · · ·
De donde,
a1 + a2 + 2a4 + 4a8 + · · · ≤

∞
n=1

an ≤ a1 + 2a2 + 4a4 + 8a8 + · · ·

y multiplicando y dividiendo por 2, en la parte de la izquierda, resulta
∞
1
(2a1 + 2a2 + 4a4 + 8a8 + · · · ) ≤
an ≤ a1 + 2a2 + 4a4 + 8a8 + · · ·
2
n=1

que se puede expresar de la siguiente forma,
∞
1
a1 +
2k a2k
2
k=0

≤

∞
n=1

an ≤

∞

2k a2k

k=0

En consecuencia, aplicando el criterio de comparaciń, las dos serie tienen
o
el mismo carćter.
a

´
CAP´

20

Ejemplo 7.16. Estudiar la convergencia de las series armńicas generalio
zadas o p-series,
∞
1
,
p>0
np
n=1
segń los distintos valores de p.
u
Soluciń. Aplicando el criterio de condensaciń de Cauchy, se tiene:
o
o
∞

∞
∞
∞
1
1
1
1
∼
2k k p =
=
k )p−1
p−1 )k
np k=0 (2 )
n=1
k=0 (2
k=0 (2

Luego la serie armńica (p-serie) es equivalente a una serie geom´trica de
o
e
1 p−1
a
razń r = ( 2 ) . En consecuencia ser´:
o
Convergente, si r < 1 ⇒

1

Divergente, si r ≥ 1 ⇒

2p−1

Es decir,
∞

1
2p−1

1
=
np
n=1

< 1 ⇒ 2p−1 > 1 ⇒ p − 1 > 0 ⇒ p > 1

≥ 1 ⇒ 2p−1 ≤ 1 ⇒ p − 1 ≤ 0 ⇒ p ≤ 1

´

Convergente, si p > 1
Divergente, si p ≤ 1

El resultado puede recordarse con el gr´fico 7.1
a

2
1

√
y = 1/ n
y = 1/n
y = 1/n2
1

2

Divergente
Convergentes

3

Figura 7.1: Convergencias de las p-series
Ejemplo 7.17. Estudiar la convergencia de las siguientes series:
∞

a)

1
n(n + 1)(n + 2)
n=1

∞

b)

1
√
1+ n
n=1

∞

c)

1
1 + 2 + 3 + ··· + n
n=1

Soluciń. Comparando las series dadas con las p-series, resulta,
o
a) n(n + 1)(n + 2) > n3 ⇒

1
1
< 3 (armńica Conv.)
o
n(n + 1)(n + 2)
n
⇒ Convergente.


21

√
√
b) La desigualdad 1+ n > n, no conduce a ningń resultado. Aplicamos,
u
entonces
√
√
1
1
√ ≥ √ (armńica Div.) ⇒ Divergente
o
1+ n≤2 n⇒
1+ n
2 n
c) Teniendo en cuenta que 1 + 2 + 3 + · · · + n =

n+1
2 n

=

n2 +n
2

>

n2
2 ,

resulta

2
1
< 2 (armńica Con.) ⇒ Convergente
o
1 + 2 + 3 + ··· + n
n
a
e
∞

(i )

1
ln n
n=2

∞

(ii )

sen2 n
2n
n=1

∞

(iii )

2 + sen3 (n + 1)
2n + n2
n=1

Soluciń. Las tres series son de t´rminos no negativos y, por tanto, les podeo
e
mos aplicar cualquiera de los criterios de convergencia.
(i ) Teniendo en cuenta que ln n < n resulta la desigualdad:
1
1
>
ln n
n

para n = 2, 3, . . .

∞

Y como la serie armńica
o
∞

1
diverge, entonces tambiń diverge la serie
e
n
n=1

1
, y, aplicando el criterio de comparaciń, la serie dada tambiń es
o
e
n
n=2
divergente.
(ii ) Teniendo en cuenta que 0 ≤ sen2 n ≤ 1 resulta la desigualdad:
1
sen2 n
≤ n
n
2
2
Luego la serie dada es una serie de t´rminos no negativos, y como la serie
e
∞
1
geom´trica
e
converge, aplicando el criterio de comparaciń, la serie
o
2n
n=1
dada tambiń es convergente.
e
(iii ) Teniendo en cuenta que −1 ≤ sen3 (n + 1) ≤ 1 resulta la desigualdad:
0≤

0≤

2 + sen3 (n + 1)
3
< n
2n + n2
2
∞

Y como la serie geom´trica
e

1
converge, tambiń converge la serie
e
2n
n=1
∞

∞
3
1
=3
n
2
2n
n=1
n=1

y por lo tanto, aplicando el criterio de comparaciń la serie dada tambiń
o
e
es convergente.

´
CAP´

22

Teorema 7.9 (Criterio de comparaciń de infinit´simos). Si los t´ro
e
e
minos generales de dos series de t´rminos positivos son infinit´simos del
e
e
mismo orden, entonces las dos series tienen el mismo carćter (es decir
a
convergen simultńeamente o divergen simultńeamente).
a
a
l´
ım

n→∞

k=∞
k=0

an
=k
bn

⇒

an ∼

bn

Nota 1: Para que una serie converja su t´rmino general tiene que tender a cero, es decir,
e
ha de ser un infinit´simo. Dos infinit´simos son del mismo orden cuando el l´
e
e
ımite de su
cociente es un n´mero finito distinto de cero.
u

an
k=∞
=k
k=0
bn
encontrar dos n´meros fijos p y q tales que
u
Demostraciń. Sea l´
o
ım

Entonces ser´ siempre posible
a

n→∞

p<k<q⇒p<

an
< q, para n suficientemente grande
bn

de donde,
pbn < an < qbn
Y, en consecuencia,
bn Conv. ⇒
bn Div. ⇒

qbn Conv. ⇒
pbn Div. ⇒

an Conv.
an Div.

Nota 2: El problema, en la prćtica, estar´ en determinar un infinit´simo del mismo
a
a
e
orden que el que tenemos. Para ello habr´ que aprender a seleccionar la parte principal
a
del t´rmino general de la serie. Al final, siempre habr´ que comprobar que el l´
e
a
ımite del
cociente de ambos t´rminos generales es finito y distinto de cero.
e

a
e
∞

(i )

n+1
n2 + 1
n=2

∞

(ii )

1
2n − n
n=1

∞

(iii )

1
2n − 1 + sen2 n3
n=1

Soluciń. Las tres series son de t´rminos no negativos, luego les podemos
o
e
aplicar cualquiera de los criterios de convergencia.
(i ) Buscamos una serie conocida que nos sirva de comparaciń. Para valores
o
grandes de n podemos esperar que los siguientes infinit´simos sean del mismo
e
orden:
n+1
1
∼
2+1
n
n
∞

1
diverge, entonces, aplicando el criterio de
n
n=1
comparaciń de infinit´simos, tambiń diverge la serie dada.
o
e
e
o


23

No obstante, el proceso necesita de la siguiente comprobaciń:
o
an
n+1 1
n2 + n
: = l´
ım 2
=1
= l´
ım 2
n→∞ bn
n→∞ n + 1 n
n→∞ n + 1
l´
ım

=∞
=0

(ii ) Buscamos una serie conocida que nos sirva de comparaciń. Para valores
o
e
orden:
1
1
∼ n
n−n
2
2
∞

1
converge, entonces, aplicando el criterio
2n
n=1
de comparaciń de infinit´simos, tambiń converge la serie dada.
o
e
e
o
e

1
an
1
2n
: n = l´
=1
= l´
ım n
ım n
n→∞ bn
n→∞ 2 − n 2
n→∞ 2 − n
l´
ım

=∞
=0

(iii ) Buscamos una serie conocida que nos sirva de comparaciń. Para valores
o
e
orden:
1
1
∼ n
2n − 1 + sen2 n3
2
∞

1
2n
n=1
o
e
e
o
e

an
1
2n
1
= l´
ım n
: n = l´
ım n
=1
n→∞ bn
n→∞ 2 − 1 + sen2 n3
n→∞ 2 − 1 + sen2 n3
2
l´
ım

=∞
=0

a
e
∞

1
(i )
2n + ln n
n=2

∞

3n2 + n
√
(ii )
n4 + n
n=1

∞

(iii )

1
(7n3 + 5) sen n
n 2 · 3n
n=1

Soluciń. Las tres series son de t´rminos no negativos, luego les podemos
o
e
aplicar cualquiera de los criterios de convergencia.
(i ) Buscamos una serie conocida que nos sirva de comparaciń. Para valores
o
e
orden:
1
1
∼
2n + ln n
n
∞

1
diverge, entonces, aplicando el criterio de
n
n=1
comparaciń de infinit´simos, tambiń diverge la serie dada.
o
e
e
o

´
CAP´

24

o
l´
ım

n→∞

1
1
an
1
n
: = l´
ım
=
= l´
ım
n→∞ 2n + ln n n
n→∞ 2n + ln n
bn
2

=∞
=0

(ii ) Buscamos una serie conocida que nos sirva de comparaciń. Para valores
o
e
orden:
3n2 + n
1
√ ∼ 2
4+ n
n
n
∞

1
converge, entonces, aplicando el criterio de
n2
n=1
comparaciń de infinit´simos, tambiń converge la serie dada.
o
e
e
o
o

an
3n2 + n 1
3n4 + n3
= l´
ım 4 √ : 2 = l´
ım 4 √ = 3
n→∞ bn
n→∞ n + n n
n→∞ n + n
l´
ım

=∞
=0

(iii ) Buscamos una serie conocida que nos sirva de comparaciń. Para valores
o
e
orden:
1
1
(7n3 + 5) sen n
n3 n
1
∼ 2 n = n
n 2 · 3n
n ·3
3
∞
1
e
3n
n=1
o
e
e
o
1
1
(7n3 + 5) sen n 1
(7n3 + 5) n
an
= l´
ım
: n = l´
ım
=
n→∞ bn
n→∞
n→∞
n 2 · 3n
3
n2
7n3 + 5
=7
= l´
ım
n→∞
n3

l´
ım

=∞
=0

Para que una serie converja su t´rmino general tiene que tender a cero,
e
es decir, ha de ser un infinit´simo. Dos infinit´simos son del mismo orden
e
e
cuando el l´
ımite de su cociente es un n´mero finito distinto de cero. En
u
particular, dos infinit´simos equivalentes son del mismo orden, ya que el
e
limite de su cociente es la unidad, por lo tanto podemos enunciar el siguiente
criterio consecuencia del anterior.
Teorema 7.10 (Criterio de infinit´simos equivalentes). Si los t´rmie
e
nos generales de dos series de t´rminos positivos son infinit´simos equivae
e
lentes entonces las dos series tienen el mismo carćter (es decir convergen
a
simultńeamente o divergen simultńeamente).
a
a
an ∼ b n

⇒

an ∼

bn


25

a
e
∞

(i )

sen
n=1

1
(ii )
n2

∞

1
arc sen √ (iii )
n
n=1

∞

1 − cos

n=1

1
n

∞

(IV )

ln
n=1

n+1
n

Soluciń. Aplicando infinit´simos equivalentes, resulta:
o
e
∞
∞
1
1
(i )
sen 2 ∼
luego la serie es convergente.
n
n2
n=1
n=1
∞
∞
1
1
√ luego la serie es divergente.
arc sen √ ∼
(ii )
n n=1 n
n=1
1 2

∞

∞
∞
∞
1
1
1
n
(iii )
=
1 − cos
∼
=2
convergente.
2
n
2
2n
n2
n=1
n=1
n=1
n=1
∞
∞
∞
n+1
1
1
=
Divergente
ln
ln 1 +
∼
(IV )
n
n
n
n=1
n=1
n=1

Nota: Se han aplicado los siguientes infinit´simos para z → 0:
e
sen z ∼ z

arc sen z ∼ z

1 − cos z ∼ z 2 /2

ln(1 + z) ∼ z

Teorema 7.11 (Criterio del cociente. D’ Alembert). Dada una serie
de t´rminos positivos, si existe el l´mite l´ n→∞ (an+1 /an ) = , entonces
e
ı
ım
esta serie converge cuando < 1 y diverge cuando > 1. Si = 1 el criterio
no decide sobre la convergencia de la serie
an+1
=
l´
ım
n→∞ an

⇒

È
È

< 1 ⇒ an convergente
> 1 ⇒ an divergente
= 1 ⇒ duda

Podemos afinar un poco m´s en el criterio y resolver parte de la duda. Si
a
l´ n→∞ (an+1 /an ) = 1+ entonces la serie es divergente. Es decir la duda se
ım
resuelve s´lo por el lado de la divergencia. Aunque la indeterminaciń suele
o
o
resolverse por el criterio de Raabe.
an+1
= < 1. Entonces siempre es posible enconn→∞ an
trar un n´mero r tal que < r < 1, de manera que, para n suficientemente
u
grande, se tenga
an+1
<r
an
De donde,
an+1 < ran
an+2 < ran+1 < r2 an
an+3 < ran+2 < r3 an
.
.
.
Demostraciń. Sea l´
o
ım

de donde resulta,
Rn = an+1 + an+2 + · · · < an r + r2 + r3 + · · ·

´
CAP´

26

Luego el resto n-simo de la serie dada es convergente por estar mayorado
por una serie geom´trica convergente (de razń r < 1), y, en consecuencia,
e
o
la serie dada es convergente.
Por otro lado, si > 1, (o incluso = 1+ ). Entonces siempre ser´ posible
a
encontrar un n´mero r tal que ≥ r ≥ 1, de manera que, para n suficienteu
mente grande, se tenga
an+1
≥r
an
De donde,

an+1 ≥ ran
an+2 ≥ ran+1 ≥ r2 an
an+3 ≥ ran+2 ≥ r3 an
.
.
.

de donde resulta,
Rn = an+1 + an+2 + · · · ≥ an r + r2 + r3 + · · ·
Luego el resto n-simo, Rn , de la serie dada es divergente por estar minorado
por una serie geom´trica divergente (de razń r ≥ 1), y en consecuencia, la
e
o
serie dada es divergente.
a
e
∞

(i )

n2
2n
n=1

∞

(ii )

n2
n!
n=1

∞

(iii )

nn
n!
n=1

Soluciń. Aplicando el criterio del cociente, resulta:
o
an+1
(n + 1)2 n2
2n (n + 1)2
(n + 1)2
= l´
ım
: n = l´
ım
= l´
ım
=
(i ) l´
ım
n→∞ an
n→∞ 2n+1
n→∞ 2n+1 n2
n→∞
2
2n2
1
= < 1 luego la serie dada es convergente.
2
an+1
(n + 1)2 n2
(n + 1)2 n!
(n + 1)2
:
= l´
ım 2
= l´
ım 2
=
= l´
ım
(ii ) l´
ım
n→∞ an
n→∞ (n + 1)!
n→∞ n (n + 1)!
n→∞ n (n + 1)
n!
n2 + 2n + 1
= 0 < 1 luego la serie dada es convergente.
= l´
ım
n→∞
n3 + n2
n+1
nn
an+1
(n + 1)
(n + 1)n (n + 1)n!
(iii ) l´
ım
:
= l´
ım
=
= l´
ım
n→∞ an
n→∞ (n + 1)!
n→∞
n!
nn (n + 1)n!
1 n
n+1 n
= l´
ım
= l´
ım 1 +
= e > 1 luego la serie dada es
n→∞
n→∞
n
n
divergente.
Ejemplo 7.23. Estudia, segń los valores del par´metro p, el carćter de
u
a
a
la serie:
∞
pn n!
p>0
nn
n=1


27

Soluciń. Aplicando el criterio del cociente, resulta:
o
an+1
pn+1 (n + 1)! pn n!
pn p(n + 1)n!nn
=
= l´
ım
: n = l´
ım n
n→∞ an
n→∞ (n + 1)n+1
n→∞ p n!(n + 1)n (n + 1)
n
p
p · nn
p
p
= l´
ım
= l´
ım
=
= l´
ım
1 n
n→∞ (n + 1)n
n→∞ n + 1 n
n→∞
e
1+
n
n
l´
ım

Con lo cual resulta:
Si p/e < 1 ⇔ p < e la serie dada es convergente.
Si p/e > 1 ⇔ p > e la serie dada es divergente.
Si p/e = 1 ⇔ p = e el criterio no decide.
Si p = e resolvemos la duda teniendo en cuenta que
1+

1
n

n

< e ⇒ l´
ım

n→∞

e
1
1+
n

n

=

e
= 1+ ⇒ la serie es divergente
e−

Ejemplo 7.24. Estudiar la convergencia de la siguiente serie, para los distintos valores de r.
∞
1
(ln n)r
n=2
Soluciń. Consideremos las siguientes situaciones:
o
– Para r < 0, la serie es divergente. En efecto aplicando el criterio del
t´rmino general, se tiene que an → ∞ = 0.
e
– Para 0 < r ≤ 1, aplicando el criterio de comparaciń, se tiene que
o
la serie es divergente por ser mayorante de una serie armńica divergente
o
(p-serie con p ≤ 1). En efecto, para n grande tenemos,
ln n < n ⇒ (ln n)r < nr ⇒

1
1
> r
r
(ln n)
n

– Para r > 1, aplicamos: primero, el criterio de condensaciń de Cauchy,
o
y despu´s, el criterio del cociente; con lo que resulta:
e
∞

∞
1
1
∼
2n
r
(ln n)
ln 2n
n=2
n=1

∞

r

=

∞
2n
2n
=
(n ln 2)r
nr (ln 2)r
n=1
n=1

de donde,
2n
an+1
2n+1
2n+1 nr (ln 2)r
= l´
ım
: r
= l´
ım n
=
n→∞ an
n→∞ (n + 1)r (ln 2)r
n→∞ 2 (n + 1)r (ln 2)r
n (ln 2)r
r
n
= 2 · 1r = 2 > 1
= l´ 2
ım
n→∞
n+1
l´
ım

luego la serie es divergente.

´
CAP´

28

Teorema 7.12 (Criterio de la ra´ Cauchy). Dada una serie de t´rmiız.
e
√
nos no negativos, si existe el l´mite l´ n→∞ n an = , entonces esta serie
ı
ım
converge cuando < 1 y diverge cuando > 1. Si = 1 el criterio no decide
sobre la convergencia de la serie.
l´
ım

n→∞

√
n

È
È

< 1 ⇒ an convergente
> 1 ⇒ an divergente
= 1 ⇒ duda

an = ⇒

√
Demostraciń. Sea l´ n an = < 1. Entonces siempre es posible encono
ım
n→∞
trar un n´mero r tal que < r < 1, de manera que, para n suficientemente
u
grande, se tenga
√
n
an < r
De donde,

an < rn

de donde resulta que la serie dada es convergente por estar mayorado por
una serie geom´trica convergente (de razń r < 1).
e
o
a
Por otro lado, si > 1, (o incluso = 1+ ). Entonces siempre ser´ posible
encontrar un n´mero r tal que ≥ r ≥ 1, de manera que, para n suficienteu
mente grande, se tenga
√
n
an ≥ r
De donde,

an ≥ rn

de donde resulta que la serie dada es divergente por estar minorado por una
serie geom´trica divergente (de razń r ≥ 1), y en consecuencia, la serie
e
o
dada es divergente.
a
e
∞

(i )

1
(ln n)n
n=1

∞

(ii )

∞

2n
lnn (n + 1)
n=1

(iii )

1
1
1+
n
2
n
n=1

n2

Soluciń. Aplicando el criterio de la ra´ resulta:
o
ız,
√
1
ım
(i ) l´ n an = l´
ım
n→∞
n→∞ ln n
√
2
ım
(ii ) l´ n an = l´
ım
n→∞
n→∞ ln(n + 1)
√
1 n
e
1
(iii ) l´ n an = l´
ım
ım
1+
= > 1 luego la serie es divergente.
n→∞
n→∞ 2
n
2
a
e
∞

(i )
n=0

1
2n+(−1)n

∞

(ii )

(−1)n + 3
2n+1
n=1


29

Soluciń. Aplicando el criterio de la ra´ resulta:
o
ız,
√
1
1
1
1
ım
ım
= <1
(i ) l´ n an = l´
ım
n = l´
n =
n→∞
n→∞ n+(−1)
n→∞ 1+ (−1)
21+0
2
n
2 n
2
luego la serie dada es convergente.
(−1)n + 3
= l´
ım
n→∞
n→∞
n→∞
2n+1

(ii ) l´
ım

√
n

an = l´
ım

n

n

(−1)n + 3
2

n+1
n

=

1
<1
2

´
Nota: Aunque pudiera pensarse que el criterio de Cauchy y el de DAlembert son equivalentes ya que se cumple la igualdad
√
an+1
ım
l´
ım n an = l´
n→∞
n→∞ an
Sin embargo, esto no es enteramente cierto, ya que esa igualdad se cumple siempre que el

È È

2o l´
ımite exista; pero puede que no exista el l´
ımite del cociente y s´ el de la ra´
ı
ız.

Lema 7.2 (Criterio de comparaciń del cociente). Sean an y bn
o
dos series de t´rminos positivos tales que, desde un lugar en adelante, la
e
razń de cada t´rmino al anterior en la primera serie an+1 /an se conserva
o
e
menor que la correspondiente razń de la segunda serie bn+1 /bn . Entonces,
o
si bn es convergente, tambiń lo es an ; y si an es divergente, tambiń
e
e
lo es bn . Es decir,

ÈÈ

∀n ≥ n0 ,

an+1
bn+1
<
⇒
an
bn

È
È
È

È

È
È

bn Conv. ⇒ an Conv.
an Div. ⇒ bn Div.

Demostraciń. Sin perder generalidad podemos suponer que la desigualdad
o
se cumple para todos los valores de n. Ser´,
a
a2
b2
<
a1
b1
b3
a3
<
a2
b2
.
.
.
bn+1
an+1
<
an
bn

multiplicando miembro a miembro, se tiene
an+1
b2 b3
bn+1
a2 a3
···
<
···
a1 a2
an
b1 b2
bn
y simplificando, resulta
bn+1
a1
an+1
<
⇒ an+1 <
bn+1
a1
b1
b1

Es decir, an+1 < k bn+1 , de donde, aplicando el criterio de comparaciń,
o
queda demostrado el lema.
Teorema 7.13 (Criterio de Raabe). Supongamos que
an+1
l´
ım
=1
n→∞ an

È
È

Entonces la indeterminaciń puede resolverse con el siguiente l´mite:
o
ı
an+1
l´ n 1 −
ım
n→∞
an

=R⇒

R < 1 ⇒ an divergente
R > 1 ⇒ an convergente
R = 1 ⇒ duda

´
CAP´

30

Obs´rvese que la comparaciń con la unidad es contraria a los dos casos
e
o
anteriores.
an+1
= < 1, (o incluso
an
tonces, para n suficientemente grande, se tendr´
a
Demostraciń. Sea l´ n 1 −
o
ım
n→∞

n 1−
De donde,
1−

an+1
an

= 1− ). En-

<1

1
1
an+1
n−1
an+1
< ⇒
>1− =
an
n
an
n
n

Es decir,
1/n
an+1
>
an
1/(n − 1)
de donde resulta que la serie dada es divergente por estar minorada, en el
cociente, por una serie armńica divergente (bn = 1/(n − 1)).
o
Por otro lado, si > 1. Entonces siempre ser´ posible encontrar un
a
n´mero r tal que > r > 1, de manera que, para n suficientemente grande,
u
se tenga
n 1−
De donde,

an+1
an

>r ⇒1−

an+1
an+1
r
r
1
> ⇒
<1− < 1−
an
n
an
n
n

n−1
an+1
<
an
n

r

=

r

(1/n)r
(1/(n − 1))r

de donde resulta que la serie dada es convergente por estar mayorada por
1
, con r > 1).
una serie armńica (p-serie) convergente (bn =
o
(n − 1)r
Nota: Se ha utilizado la siguiente desigualdad
1−

1
r
< 1−
n
n

r

que se deduce del hecho de que en el desarrollo de Taylor de (1 − 1/n)r se tiene,
1−

1
n

r

=1−

r(r − 1)
r
+
n
2!

−1
n

2

+ ···

y para r > 1, el tercer t´rmino del desarrollo es positivo. Luego, para n suficientemente
e
grande, queda determinada la desigualdad.

Ejemplo 7.27. Estudiar el carćter de la serie:
a
∞
n=1

1 · 4 · 7 · · · (3n − 2)
3 · 6 · 9 · · · 3n

2


31

Soluci´n. Aplicando el criterio del cociente, se tiene:
o
an+1
1 · 4 · 7 · · · (3n + 1)
= l´
ım
n→∞ an
n→∞ 3 · 6 · 9 · · · (3n + 3)
l´
ım

2

:

1 · 4 · 7 · · · (3n − 2)
3 · 6 · 9 · · · 3n
3n + 1
= l´
ım
n→∞ 3n + 3

2

=
2

=1

Luego el criterio del cociente no decide sobre la convergencia. Aplicamos,
entonces, el criterio de Raabe:
(3n + 3)2 − (3n + 1)2
3n + 1 2
= l´ n
ım
=
n→∞
3n + 3
(3n + 3)2
18n + 9 − 6n − 1
12
4
12n2 + 8n
= l´
ım
=
= >1
= l´ n
ım
2
n→∞
n→∞ 9n2 + 18n + 9
(3n + 3)
9
3

l´ n 1 −
ım

n→∞

Luego la serie es convergente.
Ejemplo 7.28. Estudiar el car´cter de la serie, para los distintos valores
a
de a:
∞
(a + 1)(a + 2) · · · (a + n)
n!
n=1
o
an+1
=
an
(a + 1)(a + 2) · · · (a + n)(a + n + 1) (a + 1)(a + 2) · · · (a + n)
:
=
= l´
ım
n→∞
(n + 1)!
n!
a+n+1
=1
= l´
ım
n→∞
n+1
l´
ım

n→∞

l´ n 1 −
ım

n→∞

a+n+1
n+1−1−1−1
= l´ n
ım
=
n→∞
n+1
n+1
−a
−an
= −a
= l´
ım
= l´ n
ım
n→∞
n→∞ n + 1
n+1

De donde, se tiene
– Para −a > 1 ⇒ a < −1 la serie es convergente.
– Para −a < 1 ⇒ a > −1 la serie es divergente.
– Para −a = 1 ⇒ a = −1 el criterio no decide, pero, en este caso, al
tener el valor de a, para estudiar la convergencia basta con sustituir en la
serie. As´
ı,
– Para a = −1, se tiene an = 0 ⇒ an = 0 + 0 + · · · = 0 ⇒ la serie es
convergente.

È

´
CAP´

32

Ejemplo 7.29. Estudiar el carćter de la serie:
a
∞

1

1

1

a−(1+ 2 + 3 +···+ n−1 )

siendo a > 0

n=2

o
1
1
1
1
an+1
a−(1+ 2 + 3 +···+ n−1 + n )
= l´
ım
= l´ a−1/n = a0 = 1
ım
l´
ım
1
n→∞ an
n→∞
n→∞
−(1+ 1 + 1 +···+ n−1 )
2
3
a

ım
ım
l´ n 1 − a−1/n = l´ −n a−1/n − 1 = l´ −n
ım

n→∞

n→∞

n→∞

−1
ln a = ln a
n

De donde, se tiene
– Para ln a > 1 ⇒ a > e la serie es convergente.
– Para ln a < 1 ⇒ a < e la serie es divergente.
– Para ln a = 1 ⇒ a = e el criterio no decide, pero, en este caso, al tener
el valor de a, para estudiar la convergencia basta con sustituir en la serie.
As´
ı,
– Para a = e, aplicando la constante de Euler, se tiene
∞

1
−(1+ 1 + 1 +···+ n−1 )
2
3

e
n=2

∞

e

=
∞

=
n=2

−(ln(n−1)+γ+εn )

n=2

∞

1
eln(n−1) eγ eεn

=

∞

=
n=2

1
eln(n−1)+γ+εn

=

∞
1
1
∼
γ eεn
(n − 1)e
n−1
n=2
n=2

Luego la serie es divergente por ser equivalente a una serie armńica.
o
Nos resta comprobar que la ultima equivalencia aplicada es correcta. En
´
efecto,
l´
ım

n→∞

1
1
1
an
1
n−1
= l´
ım
= l´
ım
:
= γ 0 = γ
n→∞ (n − 1)eγ eεn
bn
n − 1 n→∞ (n − 1)eγ eεn
e e
e

luego la equivalencia es correcta por se dicho l´
ımite = 0 y = ∞.
Teorema 7.14 (Criterio de la integral). Si f (x) para x ≥ 1 es una
funciń continua, positiva y mon´tono decreciente, entonces la serie
o
o
∞
n=1

an

donde an = f (n), converge o diverge simultńeamente con la integral
a
∞
1

f (x) dx


7.3.2.

33

Series alternadas

Definiciń 7.7 (Series alternadas). Una serie se dice que es alternada
o
cuando sus t´rminos cambian consecutivamente de signo.
e
∞
n=1

(−1)n+1 an = a1 − a2 + a3 − · · · + (−1)n+1 an + · · ·

Las series alternadas pueden comenzar por un positivo o por un negativo, aunque supondremos que siempre empiezan con un positivo, en caso
contrario bastar´ con sacar factor comń el signo negativo.
a
u
Teorema 7.15 (Criterio de convergencia para series alternadas.
Leibniz). Una serie alternada converge si los valores absolutos de sus t´rmie
nos decrecen y el t´rmino general tiende a cero.
e

È

an alternada
|an | ↓
|an | → 0

⇒

an converge

Demostraciń. Consideremos que la sucesiń empieza por un t´rmino posio
o
e
tivo,
∞

n=1

(−1)n+1 an = a1 − a2 + a3 − a4 + a5 − · · ·

y expresemos las sumas parciales de orden par de las dos maneras siguientes:
– Por un lado como sumas de t´rminos positivos
e
S2 = (a1 − a2 )
S4 = (a1 − a2 ) + (a3 − a4 )
S6 = (a1 − a2 ) + (a3 − a4 ) + (a5 − a6 )
.
.
.
S2n = (a1 − a2 ) + (a3 − a4 ) + (a5 − a6 ) + · · · + (a2n−1 − a2n )
– Y por otro, como el resultado de restarle a a1 diversas cantidades
tambiń positivas
e
S2 = a1 − a2
S4 = a1 − (a2 − a3 ) − a4
S6 = a1 − (a2 − a3 ) − (a4 − a5 ) − a6
.
.
.
S2n = a1 − (a2 − a3 ) − (a4 − a5 ) − · · · − (a2n−2 − a2n−1 ) − a2n
De lo primero, al ser todos los parńtesis positivos, ak −ak+1 ≥ 0, resulta que
e
la sucesiń de las sumas parciales pares {S2n }, es una sucesiń mon´tona
o
o
o

´
CAP´

34

creciente. Y, de lo segundo, al obtenerse las sumas parciales pares restando
o
de a1 cantidades positivas, resulta que la sucesiń de las sumas parciales
pares {S2n }, es una sucesiń acotada superiormente.
o
S2n = a1 − (a2 − a3 ) − (a4 − a5 ) − · · · − (a2n−2 − a2n−1 ) − a2n ≤ a1
Luego, tenemos una sucesiń mon´tona creciente que est´ acotada superioro
o
a
mente, y, en consecuencia, tiene l´
ımite.
Sea S = l´ S2n
ım
n→∞

que, adem´s ser´ 0 ≤ S ≤ a1
a
a

Nos queda demostrar que las sumas impares tienen el mismo l´
ımite que las
pares, para demostrar que dicho l´
ımite es el de todas las sumas parciales, y,
en consecuencia, es la suma de la sucesiń. En efecto, cada suma impar se
o
obtiene a partir de una suma par de la siguiente forma
S2n+1 = S2n + a2n+1
En consecuencia,
ım
ım
l´ S2n+1 = l´ S2n + l´ a2n+1 = S + 0 = S
ım

n→∞

luego

n→∞

∞
n=1

n→∞

(−1)n+1 an = l´ S2n = S
ım
n→∞

El rec´
ıproco de este teorema no es cierto, ya que s´lo podemos asegurar
o
que si el t´rmino general no tiende a cero, entonces la serie es divergente,
e
por no cumplir la condiciń necesaria de convergencia; pero si la sucesiń de
o
o
los valores absolutos no es decreciente, entonces no podemos asegurar nada.
Nota: Gr´ficamente, el criterio de Leibniz para la convergencia de la serie alternada queda
a
reflejado en la Fig. 7.2 en esta p´gina
a

Figura 7.2: Criterio de Leibniz
a
e
∞

n+1

(−1)

(i )
n=1

n
2n − 1

∞

(ii )

n+1 1

(−1)
n=1

n

Soluciń. Aplicando el criterio de Leibniz, resulta:
o

∞

(iii )
n=1

(−1)n

ln n
n


35

(i ) La primera serie no cumple el criterio del t´rmino general,
e
1
n
= =0
n→∞ 2n − 1
2

l´ |an | = l´
ım
ım

n→∞

luego la serie dada es divergente.
(ii ) Para la segunda serie tenemos,
1
=0
n→∞
n→∞ n
1
1
< ⇒ |an+1 | < |an | ⇒ |an | ↓
n+1>n⇒
n+1
n
l´ |an | = l´
ım
ım

luego la serie dada es convergente (serie ((armńica alternada))).
o
(iii ) Para la tercera serie tenemos,

ä ç

ln n
∞
1/n
1
=
= l´
ım
=0
= l´
ım
n→∞ n
n→∞ 1
n→∞ n
∞

ım
l´ |an | = l´
ım

n→∞

(donde hemos tratado la sucesiń como una funciń).
o
o
Para estudiar el crecimiento de |an | = f (n) recurrimos a la funciń
o
f (x) =

ln x
x

y estudiamos su crecimiento a partir de su derivada,
f (x) =

1
xx

− ln x
1 − ln x
=
2
x
x2

teniendo en cuenta que la funciń f (x) ser´ decreciente all´ donde su
o
a
ı
derivada f (x) sea negativa, resulta:
f (x) < 0 ⇒

1 − ln x
< 0 ⇒ 1 − ln x < 0 ⇒ 1 < ln x ⇒ x > e
x2

a
Luego la sucesiń |an | ser´ decreciente para n ≥ 3, lo que significa
o
que al eliminar los dos primeros t´rminos de la serie, se cumplen las
e
condiciones de Leibniz. Por lo tanto,
∞
n=3

an convergente ⇒

∞
n=1

an convergente

Teorema 7.16 (Suma de la serie alternada). La suma de la serie alternada es siempre menor que su primer t´rmino. S ≤ a1
e

´
CAP´

36

Teorema 7.17 (El error en la serie alternada). Si tomamos como
aproximaciń de la suma total de una serie alternada una suma parcial,
o
entonces el error que cometemos en esta aproximaciń, en valor absoluto,
o
es menor que el primer t´rmino que no se suma.
e
S

Sn

⇒

|Rn | < an+1

Demostraciń. En efecto, la serie alternada la podemos expresar de la sio
guiente forma
∞
n=1

(−1)n+1 an = [a1 − a2 + a3 − · · · ± an ] ∓ [an+1 − an+2 + · · · ]

con lo cual, si tomamos como valor aproximado de la suma total, la suma
parcial
∞

n=1

(−1)n+1 an = S

Sn = a1 − a2 + a3 − · · · ± an

el error que cometemos en la aproximaciń vendr´ dado por
o
a
|Rn | = an+1 − an+2 + · · ·
pero este error es, a su vez, una serie alternada cuya suma ser´ menor que
a
su primer t´rmino. Es decir
e
|Rn | = an+1 − an+2 + · · · < an+1
Ejemplo 7.31. Probar que la serie armńica alternada es convergente y
o
dar una estimaciń de su suma con un error menor que 0,1
o
Soluciń. La serie armńica alternada viene definida por:
o
o
∞

(−1)n+1

n=1

1 1 1
1
= 1 − + − + ···
n
2 3 4

– Su convergencia se ha visto en el Ejemplo 7.30, en la p´gina 34, donde
a
se vio que
1
=0
n
1
1
< ⇒ |an+1 | < |an | ⇒ |an | ↓
n+1>n⇒
n+1
n
l´ |an | = l´
ım
ım

n→∞

n→∞

– Para estimar su suma, con el error requerido; en primer lugar, debemos
determinar cuńtos t´rminos hemos de sumar. Para ello determinamos el
a
e
valor de n, a partir del error permitido. Teniendo en cuenta que el error


37

en la serie alternada viene determinado por el primer t´rmino no sumado,
e
resulta:
|Rn | ≤ |an+1 | < 0,1 ⇒

1
1
<
⇒ n + 1 > 10 ⇒ n > 9 ⇒ n = 10
n+1
10

En consecuencia, la estimaciń de la suma, con un error menor que 0,1 es
o
S10 = 1 −

S

7.3.3.

1
1 1 1 1 1 1 1 1
+ − + − + − + −
= 0,64563
2 3 4 5 6 7 8 9 10

Series de t´rminos de signo cualesquiera
e

Definiciń 7.8 (Convergencia absoluta). Una serie se dice que es abo
solutamente convergente si la serie formada por los valores absolutos de sus
t´rminos es convergente.
e
∞
n=1

an absolutamente convergente ⇐⇒

∞
n=1

|an | convergente

Definiciń 7.9 (Convergencia condicional). Una serie se dice que es
o
condicionalmente convergente si ella es convergente pero la serie formada
por los valores absolutos de sus t´rminos es divergente.
e
∞
∞
n=1

an condicionalmente convergente ⇐⇒

n=1
∞
n=1

an convergente
|an | divergente

Ejemplo 7.32. Estudiar la convergencia absoluta y condicional de las siguientes series:
a) 1 −

1
1 1 1
+ − +
+ ··· ;
2 4 8 16

b) 1 −

1 1 1 1
+ − + + ···
2 3 4 5

Soluciń. Ambas series son alternadas y cumplen las condiciones de Leibnitz,
o
luego son convergentes. Ahora bien, si construimos las series formadas con
los valores absolutos de sus t´rminos, resulta:
e
1
1 1 1
+ ···
|an | = 1 + + + +
a)
2 4 8 16
que es una serie geom´trica convergente (r = 1/2). Y, en consecuencia, la
e
serie es absolutamente convergente (porque la serie formada con los valores
absolutos de sus t´rminos es convergente).
e
Mientras que, para la otra serie tenemos:
1 1 1 1
|an | = 1 + + + + + · · ·
b)
2 3 4 5
que es la serie armńica divergente. Luego, la serie es condicionalmente cono
vergente, porque ella es convergente, pero la serie formada con los valores
absolutos de sus t´rminos es divergente.
e

´
CAP´

38

Teorema 7.18 (Criterio de la convergencia absoluta). Si una serie
es absolutamente convergente, entonces es convergente.
∞
n=1

|an | convergente =⇒

∞
n=1

an convergente

Demostraciń. En general, tenemos que:
o
0 ≤ an + |an | ≤ 2 |an |
En consecuencia, aplicando el criterio de comparaciń, para series de t´rmio
e
nos no negativos, podemos afirmar que
|an | Conv. ⇒

an + |an | Conv.

Ahora bien, teniendo en cuenta que an siempre se puede expresar de la forma
an = an + |an | − |an |, resulta
an + |an | − |an | =

an =

an + |an | −

|an |

Y, en consecuencia, tenemos

ya que

È

|an | Conv. ⇒

an + |an | Conv. ⇒

an Conv.

an , ser´ la diferencia de dos series convergentes.
ıa

Nota: Este criterio es valido para todo tipo de series, incluidas las alternadas.
Si una serie de t´rminos positivos es convergente, entonces podemos cambiar de signo
e
todos los t´rminos que queramos, y la nueva serie sigue siendo convergente.
e
La convergencia absoluta permite estudiar la convergencia de una serie de t´rminos
e
cualesquiera, pero no la divergencia.

È
È

Al estudiar la convergencia absoluta, se est´ estudiando una serie de t´rminos positivos
a
e
(no negativos) y, por tanto, se le pueden aplicar todos los criterios de convergencias de
las series de t´rminos positivos. As´ si
e
ı,

È

y t´rminos negativos, resulta que a
e

È

an es una serie que tiene t´rminos positivos
e

an s´lo le puedo aplicar el criterio del t´rmino
o
e

È

general para la divergencia; o bien, el criterio de Leibniz, si fuera alternada; mientras que
a

|an | le puedo aplicar todos los criterios de convergencia de las series de t´rminos no
e

negativos. As´ pues, si
ı

|an | es divergente, entonces, las posibilidades de estudio de

an

son m´
ınimas.

Reordenaciń de t´rminos
o
e
Teorema 7.19 (Reordenaciń de t´rminos). Si una serie es absolutamente convero
e
gente, entonces la serie obtenida despu´s de cualquier reordenaciń de sus t´rminos tame
o
e
biń converge absolutamente y tiene la misma suma.
e
Es decir, la suma de una serie absolutamente convergente no se altera por una reordenaciń de sus t´rminos. Si la serie converge s´lo condicionalmente, entonces al reordenar
o
e
o
sus t´rminos la suma de la serie puede cambiar. En particular, reordenando los t´rminos
e
e
de una serie condicionalmente convergente se puede transformar en divergente.


39

Teorema 7.20 (Teorema de Dirichlet). Una serie es absolutamente convergente si y
s´lo si su suma no var´ ante cualquier reordenaciń de sus t´rminos.
o
ıa
o
e
Teorema 7.21 (Teorema de Riemann). Se puede alterar el orden de los t´rminos de
e
una serie condicionalmente convergente, de modo que la serie sume lo que queramos.

Ejemplo 7.33. Estudiar la convergencia absoluta de las siguientes series:
∞

cos n
(i )
n2
n=1

∞

(ii )

n
n2

(−1)
n=1

n!

∞

(iii )
n=1

(−1)n

ln n
n3

Soluciń. Se trata de series con t´rminos positivos y negativos. Aplicando
o
e
el criterio de la convergencia absoluta, resulta que la serie de los valores
absolutos es una serie de t´rminos no negativos y en consecuencia se le
e
pueden aplicar todos los criterios de convergencia.
(i ) Para la primera serie tenemos:

¬¬¬
¬

¬¬¬
¬

| cos n|
1
cos n
=
≤ 2
|an | =
2
2
n
n
n
luego, por el criterio de comparaciń, la serie dada es absolutamente cono
vergente y, por tanto, ella es convergente.
(ii ) Para la segunda serie tenemos:
|an | =

2n
n!

de donde, aplicando el criterio del cociente, resulta:
2n
|an+1 |
2n+1
2n+1 n!
2
= l´
ım
:
= l´
ım n
= l´
ım
=0<1
n→∞ |an |
n→∞ (n + 1)!
n→∞ 2 (n + 1)!
n→∞ n + 1
n!
l´
ım

luego, por el criterio del cociente, la serie dada es absolutamente convergente,
y por tanto ella es convergente.
(iii ) Para la tercera serie tenemos,
|an | =

ln n
n3

Teniendo en cuenta que ln n < n resulta la desigualdad:
|an | =

ln n
n
1
< 3 = 2
n3
n
n

luego, aplicando el criterio de comparaciń, la serie dada es absolutamente
o
convergente, y por tanto ella es convergente.
Ejemplo 7.34. Estudiar la convergencia absoluta de la siguiente serie:
∞
n=0

(−1)n

√

n+1−

√

n

´
CAP´

40

Soluciń. El estudio de esta serie resulta m´s fćil si transformamos su
o
a a
t´rmino general, multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominae
dor, con lo cual resulta:
∞

(−1)n

√

n+1−

√

∞

(−1)n √

n =

n=0

n=0

Con lo cual tenemos:
|an | = √

∞
n+1−n
(−1)n
√
√ =
√
n + 1 + n n=0 n + 1 + n

1
√
n+1+ n

Y para estudiar la convergencia de esta serie buscamos una serie conocida
que nos sirva de comparaciń. Para valores grandes de n podemos esperar
o
que los siguientes infinit´simos sean del mismo orden:
e
|an | = √

1
1
√ ∼√
n
n+1+ n

∞

1
√ diverge, entonces, aplicando el criterio
n
n=1
de comparaciń de infinit´simos, tambiń diverge la serie formada por los
o
e
e
valores absolutos de los t´rminos de la serie dada. No obstante, el proceso
e
necesita de la siguiente comprobaciń:
o
√
1
1 =∞
an
1
n
l´
ım
ım
= l´ √
ım
√ : √ = l´ √
√ =
n→∞ bn
n→∞
n n→∞ n + 1 + n
2 =0
n+1+ n

o

Estudiemos su convergencia condicional. Se trata de una serie alternada,
luego podemos aplicarle el criterio de Leibniz,
1
ım
l´ |an | = l´ √
ım
√ =0
n→∞
n→∞
n+1+ n
√
√
√
√
1
1
√
n+1+ n < n+2+ n+1 ⇒ √
⇒
√ > √
n+1+ n
n+2+ n+1
⇒ |an | > |an+1 ⇒ |an | ↓ Luego la serie es convergente y, por tanto,
condicionalmente convergente.

7.3.4.

Aplicaciń del criterio de D’ Alembert al c´lculo de
o
a
l´
ımite de sucesiones

El criterio del cociente proporciona un m´todo indirecto para el c´lculo
e
a
de l´
ımites de sucesiones.
Teorema 7.22. Sea {an } una sucesiń cuyos t´rminos son todos positivos
o
e
(o al menos desde un lugar en adelante). Entonces,
an+1
< 1 ⇒ l´ an = 0
ım
n→∞
an
an+1
> 1 ⇒ l´ an = +∞
ım
l´
ım
n→∞ an
n→∞
l´
ım

n→∞

7.4. SUMA DE SERIES
Demostraciń. Consideremos la serie, de t´rminos positivos,
o
e
do el criterio del cociente y el del t´rmino general, resulta
e
an+1
<1⇒
n→∞ an

È

41
an . Aplican-

an Conv. ⇒ l´ an = 0
ım

l´
ım

n→∞

Por otro lado, si

an+1
= >1
an
Entonces, siempre ser´ posible encontrar un n´mero r tal que
a
u
manera que, para n suficientemente grande (n ≥ k), se tenga
l´
ım

n→∞

> r > 1, de

an+1
>r
an
De donde,
ak+1 > rak
ak+2 > rak+1 > r2 ak
ak+3 > rak+2 > r3 ak
.
.
.

an > ran−1 > rn−k ak
de donde, al ser k fijo y r > 1, resulta,
ım
ım
l´ an > l´ rn−k ak = ak l´ rn−k = +∞
ım

n→∞

n→∞

n→∞

Luego l´ an = +∞.
ım
n→∞

3n
n→∞ n!

Ejemplo 7.35. Calcular l´
ım

Soluciń. Aplicando el criterio del cociente, resulta
o
3n
3n+1
3n+1 n!
3
3n
:
= l´
ım n
= l´
ım
= 0 < 1 ⇒ l´
ım
=0
n→∞ (n + 1)!
n→∞ 3 (n + 1)!
n→∞ n + 1
n→∞ n!
n!
l´
ım

Ejercicios propuestos de la secciń 7.3. Criterios de convero
gencia
a
7.3.1.

7.4.

Suma de series

Lo normal es que no exista un procedimiento para calcular el valor exacto
de la suma de una serie y tengamos que conformarnos con un valor aproximado de la suma, sumando los primeros t´rminos de la serie. Sin embargo
e
podemos intentar calcular el valor exacto de la suma de la serie utilizando
los siguientes procedimientos:

´
CAP´

42

7.4.1.

Aplicando la definiciń
o

Ya se vio en la secciń 7.2.1, en la p´gina 6.
o
a
S = l´ Sn
ım
n→∞

5
2n + 1
3
+
+ ··· + 2
+ ···
4 36
n (n + 1)2
Soluciń. Aplicando la definiciń, resulta
o
o
3
S1 =
4
5
25 + 5
32
8
3
=
=
=
S2 = +
4 36
36
36
9
7
128 + 7
135
15
8
=
=
=
S3 = +
9 144
144
9 · 16
16
.
.
.
Ejemplo 7.36. Calcular

Sn =
Para que sea Sn =

(n + 1)2 − 1
n2 + 2n
=
2
(n + 1)
(n + 1)2

(n + 1)2 − 1
(n + 2)2 − 1
, tendr´ que ser Sn+1 =
a
(n + 1)2
(n + 2)2

En efecto,
n2 + 2n
2n + 3
+
=
2
(n + 1)
(n + 1)2 (n + 2)2
(n2 + 2n)(n2 + 4n + 4) + 2n + 3
=
=
(n + 1)2 (n + 2)2
n4 + 4n3 + 4n2 + 2n3 + 8n2 + 8n + 2n + 3
=
=
(n + 1)2 (n + 2)2
(n + 1)2 (n2 + 4n + 3)
n4 + 6n3 + 12n2 + 10n + 3
=
=
=
(n + 1)2 (n + 2)2
(n + 1)2 (n + 2)2
n2 + 4n + 4 − 1
(n + 2)2 − 1
n2 + 4n + 3
=
=
=
=
2
2
(n + 2)
(n + 2)
(n + 2)2

Sn+1 = Sn + an+1 =

luego la expresiń supuesta para Sn es correcta. En consecuencia,
o
1
(n + 1)2 − 1
= l´
ım 1 −
2
n→∞
n→∞
(n + 1)
(n + 1)2

ım
S = l´ Sn = l´
ım
n→∞

7.4.2.

=1−0=1

Series geom´tricas
e

Ya se vio en la secciń ??, en la p´gina ??.
o
a
∞
n=k

a · rn =

a · rk
1−r

si

|r| < 1

(el numerador de la fracciń es el primer t´rmino de la serie)
o
e

7.4. SUMA DE SERIES
Ejemplo 7.37. Sumar

43

5 13
3n + 2n
+
+ ··· +
6 36
6n

Soluciń. La serie se puede descomponer en la suma de dos series geom´tricas
o
e
convergentes. En efecto,
∞

∞
3n + 2n
3n 2n
=
+
6n
6n 6n
n=1
n=1

=

7.4.3.

∞

=
n=1

1
2

n

+

1
3

n

=

1/2
1/3
1/2 1/3
1
3
+
=
+
=1+ =
1 − 1/2 1 − 1/3
1/2 2/3
2
2

Series aritm´tico-geom´tricas
e
e

Se llaman series aritm´tico-geom´tricas aquellas cuyo t´rmino general es
e
e
e
de la forma
an = (a · n + b)rn
Es decir es el producto de dos t´rminos: uno va en progresiń aritm´tica y el
e
o
e
otro en progresiń geom´trica. Si la serie est´ expresada en forma canńica
o
e
a
o
(comienza en n = 1 y el exponente de r es n), entonces su suma se puede
calcular por la f´rmula:
o
∞

(a · n + b)rn =

n=1

(a + b)r − b r2
(1 − r)2

Tambiń podemos repetir el proceso completo de deducciń de la f´rmula
e
o
o
en cada caso,
Sn = (a + b)r + (2a + b)r2 + (3a + b)r3 + · · · + (an + b)rn
−rSn = −(a + b)r2 − (2a + b)r3 − (3a + b)r4 − · · · − (an + b)rn+1
(1 − r)Sn = (a + b)r + ar2 + ar3 + · · · + arn − (an + b)rn+1
de donde,
(1 − r)Sn = (a + b)r + a(r2 + r3 + · · · + rn ) − (an + b)rn+1
y tomando l´
ımites,
(1−r)S = (a+b)r+a

(a + b)r − (a + b)r2 + ar2
(a + b)r − br2
r2
−0 =
=
1−r
1−r
1−r

de donde, despejando S
S=

Ejemplo 7.38. Sumar

(a + b)r − br2
(1 − r)2

∞
3 7 11
1
+ +
+ ··· =
(4n − 1)
2 4
8
2
n=1

n

´
CAP´

44

Soluciń. se trata de una serie aritm´tico-geom´trica de razń 1/2, y por
o
e
e
o
tanto convergente. Para sumarla podemos aplicar la f´rmula, o bien repetir
o
el proceso completo,
Sn = 3 1 + 7
2
−1
2 Sn
1
2 Sn

1 2
2

= −3

= 3 +4
2

de donde,
3
1
Sn = + 4
2
2

æ

1 2
2

1 3
2

−7

1 2
2

1
2

+ · · · + (4n − 1)
1 4
2

− 11

1 3
2

+4

2

1 3
2

+ 11

1
+
2

3

1 n
2

1 n+1
2
n+1
1) 1
2

− · · · − (4n − 1)
1 n
2

+ ··· + 4

1
+ ··· +
2

n

é

− (4n −

− (4n − 1)

1
2

n+1

y tomando l´
ımites,
1
3
1/4
3
1/4
1
3
7
S = +4
−0= +4
=
= +2=
2
2
1 − 1/2
2
1/2
1/2
2
2
de donde, despejando S, resulta S = 7.
Nota: Tambiń podemos aplicar la f´rmula para sumar las series aritm´tico geom´tricas,
e
o
e
e
una vez que la serie est´ expresada en forma canńica,
a
o
∞

(a · n + b)rn =
n=1

(a + b)r − br2
⇒
(1 − r)2
∞

⇒

(4n − 1)
n=1

Ejemplo 7.39. Sumar 5 +

1
2

n

=

¡

1
(4 − 1) 2 + 1

1−

¡

1 2
2

1 2
2

=

3
2

∞
8 11 14
1
+
+
+ ··· =
(3n + 2)
2
4
8
2
n=1

+
1
4

1
4

=7

n−1

Soluciń. se trata de una serie aritm´tico-geom´trica de razń 1/2, y por
o
e
e
o
tanto convergente. Para sumarla podemos aplicar la f´rmula, o bien repetir
o
el proceso completo,
Sn = 5 + 8 1 + 11
2
1
1
−1
2 Sn = −5 2 − 8 2
1
3
1
2 Sn = 5 + 2 + 3 2

1 2
2
2

− 11

2

n−1
1 3
+ · · · + (3n + 2) 1
2
2
4
n
1 3
− 14 1 − · · · − (3n + 2) 1
2
2
2
n−1
n
1 3
+ ··· + 3 1
− (3n + 2) 1
2
2
2

+ 14

+3

de donde, multiplicando por 2, resulta
Sn = 10 + 3 +

3
1
+3
2
2

æ

2

+3

1
2

3

+ ··· + 3

1
2

y, sacando 3 factor comń en la serie geom´trica,
u
e
1
1
+
Sn = 13 + 3
2
2

2

1
+
2

3

1
+ ··· +
2

n−2

n−1

é

− (3n + 2)

− (3n + 2)

1
2

1
2

n−1

n−1

7.4. SUMA DE SERIES

45

y tomando l´
ımites,
S = 13 + 3

1/2
− 0 = 13 + 3 = 16.
1 − 1/2

e
o
e
e
una vez que la serie est´ expresada en forma canńica,
a
o
∞

(a · n + b)rn =
n=1
∞

⇒
n=1

(a + b)r − br2
⇒
(1 − r)2

1
(3n + 2)
2

∞

n−1

=2
n=1

1
(3n + 2)
2

n

=2

¡

(3 + 2) 1 − 2
2
1−
5

=22

7.4.4.

¡

1 2
2

−
1
4

2
4

1 2
2

=2

=
8/4
= 16
1/4

Series hipergeom´tricas
e

Las series hipergeom´tricas se detectan al aplicar el criterio del cociente
e
en la convergencia. Cuando nos encontramos con la situaciń,
o
an+1
α · n + β n→∞
=
−− 1
−→
an
α·n+γ
∞

Definiciń 7.10. Una serie, de t´rminos positivos,
o
e
n=1

geom´trica cuando:
e
α · n + β n→∞
an+1
=
− − 1,
−→
an
α·n+γ

an se llama hiper-

con α > 0, γ = 0, α + β = γ

Nota 1: N´tese que numerador y denominador han de ser polinomios de primer grado
o
con el mismo coeficiente de n. En el caso de que el coeficiente de n, fuera negativo, α < 0,
bastar´ multiplicar numerador y denominador por −1, para obtenerlo positivo (es decir,
ıa
lo que realmente se exige de α es que sea α = 0).

Teorema 7.23. La convergencia de la serie hipergeom´trica se estudia mee
diante el criterio de Raabe y viene determinada de la siguiente forma:
α + β < γ ⇒ Convergente
α + β > γ ⇒ Divergente
Para sumar la serie hipergeom´trica (que comience en n = 1) se puede
e
aplicar la f´rmula de la suma de una serie geom´trica de razń
o
e
o
r=
Es decir,

α+β
γ

∞
n=1

an =

a1
1−r

´
CAP´

46

Nota 2: N´tese que cuando γ > 0, la convergencia de la serie hipergeom´trica viene
o
e
determinada, por la razń, de manera an´loga a lo que ocurre en la serie geom´trica. En
o
a
e
efecto,
α+β
= r < 1 ⇒ Convergente
γ
α+β
α+β >γ ⇒
= r > 1 ⇒ Divergente
γ

α+β <γ ⇒

La situaciń r = 1 no se da; ya que, en ese caso, ser´ α + β = γ, y, en consecuencia, la
o
ıa
serie no es hipergeom´trica.
e
Cuando γ < 0, el criterio es el contrario. Es decir,
α+β
= r > 1 ⇒ Convergente
γ
α+β
α+β >γ ⇒
= r < 1 ⇒ Divergente
γ

α+β <γ ⇒

En resumen, tenemos:

α>0⇒

γ>0⇒
γ<0⇒

r
r
r
r

<1⇒
>1⇒
>1⇒
<1⇒

Convergente
Divergente
Convergente
Divergente

Nota 3: Hay que hacer notar que para poder aplicar la f´rmula de la suma, la serie tiene
o
a
que comenzar en n = 1. Si la serie comienza en n = n0 no est´ permitido sustituir en la
e
f´rmula de la suma, a1 por an0 , como ocurre en la serie geom´trica. Sino que, en este caso
o
habr´ que calcular la suma total desde n = 1 y restar los t´rminos que no figuren en la
a
e
serie, o bien, transformar la f´rmula del t´rmino general para que la suma comience en
o
e
n = 1. As´ por ejemplo,
ı,
∞

∞

an = −a1 − a2 +
n=3
∞

∞

an

o bien

n=1

n=3
∞

∞

an = a0 +
n=0

∞

an =

an

o bien

n=1

an+2
n=1
∞

an =
n=0

Demostraciń. Supongamos una serie de t´rminos positivos
o
e

È

an−1

n=1

∞
n=1 an

tal que

α·n+β
an+1
=
an
α·n+γ
Entonces, aplicando el criterio de Raabe, se tiene
l´ n 1 −
ım

n→∞

α·n+β
=
n→∞
α·n+γ
γ−β
α·n+γ−α·n−β
(γ − β)n
= l´
ım
=
= l´ n
ım
n→∞
n→∞ α · n + γ
α·n+γ
α

an+1
an

= l´ n 1 −
ım

Luego, la serie es:
convergente si

γ−β
γ−β
> 1; y divergente si
<1
α
α

7.4. SUMA DE SERIES

47

È
È

Luego, bajo el supuesto de que α > 0, se tiene:
α+β <γ ⇒
α+β >γ ⇒

an Convergente
an Divergente

Para calcular la suma, demostremos por inducciń que la suma parcial no
sima tiene la siguiente expresiń,
o
Sn =

(α · n + β)an − γ a1
α+β−γ

En efecto,
– La f´rmula se cumple para n = 1,
o
S1 =

(α + β − γ)a1
(α · 1 + β)a1 − γa1
=
= a1
α+β−γ
α+β−γ

– Suponiendo que es cierta para n, tambiń se cumple para n + 1
e
(α · n + β)an − γ a1
+ an+1 =
α+β−γ
α·n+γ
an+1 − γa1
(α · n + β)
α·n+β
+ an+1 =
=
α+β−γ
(α · n + γ)an+1 − γ a1 + (α + β − γ)an+1
=
=
α+β−γ

Sn+1 = Sn + an+1 =

ä

ç

α · (n + 1) + β an+1 − γ a1
(α · n + γ + α + β − γ)an+1 − γ a1
=
=
α+β−γ
α+β−γ
Luego la expresiń dada para Sn es correcta, y, en consecuencia, la suma de
o
la serie, cuando es convergente, viene dada por:
0 − γ a1
γ a1
(α · n + β)an − γ a1
=
=
=
n→∞
α+β−γ
α+β−γ
γ−α−β
a1
a1
=
=
α+β
1−r
1− γ

S = l´ Sn = l´
ım
ım
n→∞

Nota 4: Para estudiar la convergencia se puede seguir cualquier criterio, no obstante, una
a o
vez que necesitamos calcular el cociente an+1 /an , el camino m´s l´gico es el criterio de
Raabe. Sin embargo, si el criterio de Raabe no decidiera sobre la convergencia (porque el
nuevo l´
ımite fuera tambiń 1), entonces habr´ que acudir a otro criterio. Pero, en este
e
ıa
caso, la serie no ser´ hipergeom´trica.
ıa
e
Hay que advertir que aunque en la suma se aplica la f´rmula de las series geom´tricas,
o
e
no por ello la serie es geom´trica, ni la convergencia viene determinada, exactamente, por
e
la razń como ocurre en las series geom´tricas, sino, que hay que tener en cuenta el signo
o
e
de γ.

´
CAP´

48

Ejemplo 7.40. Estudiar el carćter de la siguiente serie y determinar su
a
suma:
∞
1
(3n + 4)(3n + 7)
n=0
Soluciń. Aplicando el criterio del cociente, tenemos que
o
an+1
1
(3n + 4)(3n + 7)
1
:
=
=
=
an
(3n + 7)(3n + 10) (3n + 4)(3n + 7)
(3n + 7)(3n + 10)
3n + 4 n→∞
−− 1
−→
=
3n + 10
cuyo l´
ımite es 1, y nos indica que se trata de una serie hipergeom´trica. Para
e
determinar la convergencia podemos acudir el criterio de Raabe.
n 1−

an+1
an

=n 1−

3n + 4
3n + 10 − 3n − 4
=
=n
3n + 10
3n + 10
6n
=
→ 2 > 1 Conv.
3n + 10

Para sumarla, necesitamos sacar del sumatorio el t´rmino a0 , con objeto de
e
tener la suma desde n = 1 y poderle aplicar la f´rmula de la serie geom´trica
o
e
de razń r = 7/10, con lo cual,
o
∞

∞
1
1
1/70
1
1
=
+
=
+
=
(3n + 4)(3n + 7)
28 n=1 (3n + 4)(3n + 7)
28 1 − 7/10
n=0

=

1
1/70
1
1
3+4
7
1
+
=
+
=
=
=
28 3/10
28 21
3·4·7
3·4·7
12

Ejemplo 7.41. Determina el carćter de la siguiente serie num´rica y cala
e
cula su suma
∞
1
(2n − 1)(2n + 1)(2n + 3)
n=2
Soluciń. Aplicando el criterio del cociente, tenemos que
o
an+1
1
1
:
=
=
an
(2n + 1)(2n + 3)(2n + 5) (2n − 1)(2n + 1)(2n + 3)
2n − 1 n→∞
(2n − 1)(2n + 1)(2n + 3)
=
−− 1
−→
=
(2n + 1)(2n + 3)(2n + 5)
2n + 5
cuyo l´
ımite es 1, y nos indica que se trata de una serie hipergeom´trica. Para
e
determinar la convergencia podemos acudir el criterio de Raabe.
n(1 −

2n + 5 − 2n + 1
6n
2n − 1
an+1
)=n
=
→ 3 > 1 Conv.
) = n(1 −
an
2n + 5
2n + 5
2n + 5

7.4. SUMA DE SERIES

49

Para sumarla, necesitamos que la serie comience en n = 1, lo que se consigue
sumando y restando a1 , con lo cual a la suma desde n = 1 se le puede aplicar
la f´rmula de la serie geom´trica de razń r = 1/5, resultando,
o
e
o
∞

∞
−1
1
1
=
+
=
(2n − 1)(2n + 1)(2n + 3)
1 · 3 · 5 n=1 (2n − 1)(2n + 1)(2n + 3)
n=2

=

7.4.5.

1/15
−1 1/15
−1
1
−12 + 15
1
−1
+
=
+
=
+
=
=
15
1 − 1/5
15
4/5
15
12
12 · 15
60

Series telesc´picas
o

Son aquellas cuyo t´rmino general se puede descomponer en la diferencia de
e
dos t´rminos consecutivos, de manera que en las sumas parciales se simplife
ican todos los t´rminos intermedios
e
∞
n=1

∞

an =

n=1

(bn − bn+1 )

Tenemos:
Sn = b1 − b2 + b2 − b3 + b − 3 − b4 + · · · + bn − bn+1 = b1 − bn+1
de donde,
S = l´ Sn = l´ (b1 − bn+1 )
ım
ım
n→∞

n→∞

Nota: Para determinar la expresiń simplificada de Sn ; en unas ocasiones es preferible
o
abordar directamente la expresiń total de Sn ; y, en otras ocasiones, es preferible hacerlo
o
de manera progresiva: S1 , S2 , · · · , Sn .

Ejemplo 7.42. Estudiar el carćter de las siguientes series y sumarlas
a
cuando sea posible.
∞

ln

a)
n=1

∞

n+1
n

b)
n=2

ln 1 −

1
n2

∞

c)

ln 1 +
n=1

2
n(n + 3)

Soluciń. Utilizando las propiedades de los logaritmos las tres series se
o
pueden expresar de manera telesc´pica.
o
a) Para la primera serie tenemos:
∞

ln
n=1

ä

∞
n+1
=
ln(n + 1) − ln n
n
n=1

de donde,
S1 = ln 2 − ln 1 = ln 2
S2 = ln 2 + ln 3 − ln 2 = ln 3
S3 = ln 3 + ln 4 − ln 3 = ln 4
.
.
.
Sn = ln(n + 1)

ç

´
CAP´

50
y en consecuencia,

S = l´ Sn = l´ ln(n + 1) = +∞
ım
ım
n→∞

n→∞

luego la serie es divergente.
b) Transformamos la expresi´n bajo el logaritmo hasta convertirla en el
o
cociente de dos t´rminos consecutivos. As´
e
ı,
ln 1 −

1
n2

= ln

n
n2 − 1
(n + 1)(n − 1)
n+1
= ln
:
= ln
=
2
n
n·n
n
n−1
n
n+1
− ln
= ln
n
n−1

de donde,
3
− ln 2
2
4
3
4
3
S3 = ln − ln 2 + ln − ln = − ln 2 + ln
2
3
2
3
5
4
5
4
S4 = − ln 2 + ln + ln − ln = − ln 2 + ln
3
4
3
4
.
.
.

S2 = ln

n+1
n
y en consecuencia, la serie es convergente y su suma es:
n+1
ım − ln 2 + ln
= − ln 2
S = l´ Sn = l´
ım
n→∞
n→∞
n
c) Transformamos la expresi´n bajo el logaritmo hasta convertirla en
o
el cociente de dos t´rminos consecutivos, para ello tenemos en cuenta que
e
n2 + 3n + 2 = (n + 1)(n + 2), con lo que resulta,
Sn = − ln 2 + ln

ln 1 +

2
n(n + 3)

= ln

(n + 1)(n + 2)
n2 + 3n + 2
= ln
=
n(n + 3)
n(n + 3)
n+3
n+2
n+2 n+3
:
− ln
= ln
= ln
n
n+1
n
n+1

de donde,
4
2
4
5
5
4
S2 = ln 3 − ln + ln − ln = ln 3 − ln
2
2
3
3
5
6
6
5
S3 = ln 3 − ln + ln − ln = ln 3 − ln
3
3
4
4
.
.
.

S1 = ln 3 − ln

Sn = ln 3 − ln

n+3
n+1

7.4. SUMA DE SERIES

51

y en consecuencia, la serie es convergente y su suma es:
S = l´ Sn = l´
ım
ım
n→∞

7.4.6.

n→∞

ln 3 − ln

n+3
= ln 3
n+1

Descomposiciń en fracciones simples
o

Se aplica en aquellas series cuyo t´rmino general es el cociente de dos
e
polinomios, con objeto de convertirlas en telesc´picas.
o
Ejemplo 7.43. Estudiar el carćter y sumar, en su caso, la serie
a
∞
n=1

n2

1
+ 3n + 2

Soluciń. Factorizamos el denominador; para ello hallamos las ra´
o
ıces de la
2 + 3n + 2 = 0
ecuaciń n
o
2

n + 3n + 2 = 0 ⇒ n =

−3 ±

√
2

9−8

−3 ± 1
=
=
2

´

−1
−2

de donde,
A
B
An + 2A + Bn + B
1
=
+
=
n2 + 3n + 2
n+1 n+2
(n + 1)(n + 2)
igualando los coeficientes, resulta
B = −A
2A + A = 1 ⇒ A = 1 ⇒ B = −1

A+B =0
2A + B = 1
En consecuencia,
an =

n2

1
1
1
=
−
+ 3n + 2
n+1 n+2

Luego,
1 1
−
2 3
1 1
1 1 1 1
S2 = − + − = −
2 3 3 4
2 4
1 1
1 1 1 1
S3 = − + − = −
2 4 4 5
2 5
.
.
.

S1 =

Sn =

1
1
−
2 n+2

´
CAP´

52
En consecuancia, resulta,

S = l´ Sn = l´
ım
ım
n→∞

n→∞

1
1
1
−
=
2 n+2
2

Nota: Tambiń podemos hacer,
e
Sn =

1
1
1
1
1
1
1
1
1
− + − + ··· +
−
= −
−−→
−−
2
3
3
4
n+1
n+2
2
n + 2 n→∞ 2

Nota: En ocasiones la cancelaciń de los t´rminos resulta un tanto complicada; como en
o
e
el siguiente ejemplo,
∞

Ejemplo 7.44. Sumar
n=1

2n + 5
n(n + 1)(n + 2)

Soluciń. Descomponemos en fracciones simples,
o
A(n2 + 3n + 2) + B(n2 + 2n) + C(n2 + n)
2n + 5
A
B
C
= +
+
=
=
n(n + 1)(n + 2)
n n+1 n+2
n(n + 1)(n + 2)
=

µ

An2 + 3An + 2A + Bn2 + 2Bn + Cn2 + Cn
n(n + 1)(n + 2)

de donde, igualando coeficientes, resulta:
A+B+C =0
3A + 2B + C = 2
2A = 5

B + C = −5/2
2A + B = 2
A = 5/2

µ

C = −5/2 + 3 = 1/2
B = 2 − 5 = −3
A = 5/2

µ

de donde,
an =

5/2
1/2
2n + 5
3
=
−
+
n(n + 1)(n + 2)
n
n+1
n+2

de donde, multiplicando por 2 para evitar las fracciones, resulta,
2an =

5
6
1
−
+
n
n+1
n+2

y, en consecuencia,
5
6
1
− +
1
2
3
6
1
5
2S2 = 5 − + +
2
3
2
1
5
1
2S3 = 5 − − +
2
3
4
1
5
1
2S3 = 5 − − +
2
4
5
.
.
.
1
5
2Sn = 5 − −
2
n+1
2S1 =

6
1
1
+ =5− −
3
4
2
5
6
1
+ − + =5−
3
4
5
5
6
1
+ − + =5−
4
5
6
−

+

5
1
+
3
4
1
5
1
− +
2
4
5
1
5
1
− +
2
5
6

5
1
1
5
1
⇒ Sn = − −
+
n+2
2
4
2n + 2
2n + 4

En consecuencia,
S = l´
ım

n→∞

5
1
5
1
− −
+
2
4
2n + 2
2n + 4

=

5
1
10
1
9
− −0+0=
− =
2
4
4
4
4

7.4. SUMA DE SERIES

7.4.7.

53

Series que se obtienen a partir del n´mero e
u

Cuando el denominador es un factorial y el numerador un polinomio intentamos relacionar la serie con el n´mero e, transformando para ello el nuu
merador con objeto de expresar el t´rmino general como suma de fracciones
e
con numeradores num´ricos y denominadores factoriales, y comparamos el
e
resultado con el desarrollo del n´mero e. Si en el proceso aparecen factoriau
les de t´rminos negativos lo resolvemos sacando del sumatorio los t´rminos
e
e
necesarios para evitar los negativos. Por tanto, tenemos que las series del
tipo:
∞
p(n)
son siempre convergentes
(n + k)!
n=1
y para hallar su suma las descomponemos en fracciones simples, teniendo
en cuenta el desarrollo:
1
1
e = 1 + 1 + + + ···
2 3!
La descomposiciń en fracciones simples tambiń puede hacerse por identio
e
ficaciń de coeficientes.
o
Ejemplo 7.45. Sumar las series,
∞

a)

1
n!
n=1

∞

b)

1
(n + 1)!
n=0

∞

c)

1
(n + 2)!
n=0

Soluciń. Comparando cada una de las series con la serie
o
1
1
e = 1 + 1 + + + ···
2 3!
resulta,
∞

a)

1
1
1
= 1 + + + ··· = e − 1
n!
2! 3!
n=1
∞

b)

1
1
1
= 1 + + + ··· = e − 1
(n + 1)!
2! 3!
n=0
∞

b)

1
1
1
= + + ··· = e − 1 − 1 = e − 2
(n + 2)!
2! 3!
n=0
∞

Ejemplo 7.46. Sumar la serie

n
(n + 1)!
n=1

Soluciń. Transformamos el numerador con objeto de expresar el t´rmino
o
e
general como suma de fracciones con numeradores num´ricos y denominadoe
res factoriales, y comparamos el resultado de cada sumando con el desarrollo
del n´mero e. As´
u
ı,
∞

∞
∞
1
n
n+1−1
1
=
=
−
(n + 1)! n=1 (n + 1)!
n! (n + 1)!
n=1
n=1

= (e − 1) − (e − 2) = 1

´
CAP´

54
∞


n2
n!
n=1

Soluciń. Como en el ejemplo anterior, transformamos el numerador con
o
objeto de expresar el t´rmino general como suma de fracciones con numee
radores num´ricos y denominadores factoriales. Sin embargo, en este caso
e
aparece en el denominador el factorial de un n´mero negativo (−1)!. En
u
efecto,
∞

∞
∞
∞
1
n2
n
n−1+1
1
=
=
=
+
n!
(n − 1)! n=1 (n − 1)!
(n − 2)! (n − 1)!
n=1
n=1
n=1

En consecuencia, para evitar esta circunstancia, sacamos el primer t´rmino
e
del sumatorio, resultando,
∞

∞
∞
n2
n
n−1+1
=1+
=1+
=
n!
(n − 1)!
(n − 1)!
n=1
n=2
n=2
∞

=1+
n=2

1
1
+
(n − 2)! (n − 1)!

= 1 + (e) + (e − 1) = 2e

∞


k 2 + 3k − 1
k!
k=2

Soluciń. Para sumarla descomponemos el t´rmino general en varios sumano
e
dos de manera que en los numeradores de cada uno de ellos s´lo aparezcan
o
n´meros y en los denominadores factoriales. Esto se consigue teniendo en
u
cuenta que k(k − 1) = k 2 − k, resulta.
∞

∞
k 2 + 3k − 1
k 2 − k + 4k − 1
=
=
k!
k!
k=2
k=2
∞

=
n=2
∞

=

1
k(k − 1) 4k
+
−
k!
k!
k!

=

∞
∞
1
4
1
+
−
=
(k − 2)! k=2 (k − 1)! k=2 k!
k=2

= e + 4(e − 1) − (e − 2) = 4e − 2
Nota: La descomposiciń tambiń pod´ haberse hecho mediante la identificaciń de
o
e
ıa
o
coeficientes. En efecto, haciendo:
Ak(k − 1) + Bk + C
k2 + 3k − 1
=
k!
k!
resulta:
k = 0 ⇒ −1 = C
k =1⇒3=B+C
n = 2 ⇒ 9 = 2A + 2B + C

µ

C = −1
B =3−C =3+1=4
9 − 2B − C
A=
= 1 (9 − 8 + 1) = 1
2
2

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DEL CAP´
ITULO 7

55

Ejercicios propuestos de la secciń 7.4. Suma de series
o
a
7.4.1.

Ejercicios y problemas del Cap´
ıtulo 7
Ejercicios resueltos del Cap´
ıtulo 7
7.1. El signo del sumatorio
7.2. Series num´ricas. Definiciones
e
??. Criterios de convergencia
7.1 (Convergencia de series num´ricas). Determina el carćter de las siguientes
e
a
series num´ricas:
e
∞

a)
n=1

∞

n
n
22

b)

ln 1 +
n=1

1
n2

Soluciń. a) Por el criterio de cociente, tenemos:
o
n

(n + 1)2 2
n+1 n
n + 1 n − n+1
n + 1 −1/2
an+1
= n+1 : n =
=
22 2 =
2
n+1
an
n
n
22
2 2
n2 2
1
−−→ √ < 1
−−
n→∞
2
b) Aplicando el infinit´simo ln(1 + z) ∼ z, resulta,
e
∞

ln 1 +
n=1

1
n2

∞

∼
n=1

1
n2

Luego la serie es convergente.
7.2 (Convergencia de series num´ricas). Utiliza el criterio de condensaciń de
e
o
∞
1
segń los valores de p
u
Cauchy para estudiar la convergencia de la serie
n(ln n)p
n=2

È

È

Soluciń. El criterio de condensaciń de Cauchy establece que si {an } es una sucesiń
o
o
o
∞
a es convergente si y s´lo si
o
decreciente de t´rminos no negativos. Entonces,
e
n=1 n
∞
2k a2k es convergente. En consecuencia,
k=0
∞

n=2

1
∼
n(ln n)p

∞

2n
n=1

1
=
2n (ln 2n )p

∞

n=1

1
1
=
(n ln 2)p
(ln 2)p

∞

n=1

1
np

Luego, al resultar una serie armńica (p-serie), la serie es convergente para p > 1 y
o
divergente para p ≤ 1.

´
CAP´

56

7.3 (Convergencia de series num´ricas). Estudiar la convergencia absoluta y condie
cional de las series:
∞

a)

1+
n=0
∞

b)
n=2

1
n

n

.

(−1)n
.
n ln n

Soluciń. a) Aplicando la condiciń necesaria del t´rmino general, para la convergencia,
o
o
e
resulta,
1 n
=e=0
l´
ım 1 +
n→∞
n
Luego la serie es divergente.
b) La serie de los valores absolutos es
∞

1
n ln n

n=2

ä

ç

Para estudiar la convergencia de esta seria aplicamos el criterio de la integral,
∞
2

1
dx = ln(ln n)
x ln x

∞
2

= +∞

luego la serie es divergente. En consecuencia la serie dada no es absolutamente convergente.
Ahora bien, la serie dada es alternada y cumple las condiciones de Leibniz, luego es
convergente. En efecto:
1
1
→ 0,
↓
n ln n
n ln n
Luego es condicionalmente convergente.
Nota: El criterio de la integral establece que si existe un n´ mero natural n0 tal que la
u
funciń no negativa f decrece cuando x ≥ n0 , entonces la serie
o
∞

f (n)
n=n0

converge si y s´lo si converge la integral
o
+∞

f (x) dx
n0

El criterio de Leibniz para las series alternadas establece que
n→∞

an − − → 0
−−
a1 ≥ a2 ≥ · · · > 0

∞

(−1)n an converge

⇒
n=1

7.4 (Convergencia de series num´ricas). Determina el carćter de las series
e
a
∞

a)
n=1
∞

b)
n=1

1
1
+ sen2
n
n
2n
5n · nn

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DEL CAP´
ITULO 7
Soluciń. a) Al ser sen2
o

57

1
> 0, tenemos que
n
1
1
1
+ sen2 >
n
n
n

luego, por el criterio de comparaciń, la serie es divergente.
o
b) Aplicando el criterio de la ra´ resulta
ız,
l´
ım

n→∞

√
n

an = l´
ım

√
n
2n
2n
1
= l´
ım
=
=0
n · nn
n→∞ 5n
5
∞

n

n→∞

ım
Nota: A partir del criterio de la ra´ 1 , se tiene l´
ız

√
n

n→∞

2n = l´
ım

n→∞

2n + 2
=1
2n

7.5 (L´
ımites). Calcular los siguientes l´
ımites:
1+

l´
ım

n→∞

1
1
1
+ + ··· +
3
5
2n + 1

Soluciń. El l´
o
ımite pedido puede calcularse teniendo en cuenta que representa la suma de
una serie divergente.
l´
ım

n→∞

1+

∞

1
1
1
+ + ··· +
3
5
2n + 1

=
n=0

1
= +∞
2n + 1

Tambiń puede calcularse teniendo en cuenta la constante de Euler.
e
??. Suma de series
7.6 (Series num´ricas). Estudiar el carćter y sumar en su caso las siguientes series
e
a
num´ricas:
e
∞

(i)
n=1

∞

n · 2n+1
n2 + 5n − 3

(ii)
n=1

∞

1
1 − cos √
n

(iii)
n=1

n2 + 7n − 3
(n + 1)!

Soluciń.
o
∞

(i)
n=1
∞

(ii)
n=1

n · 2n+1
+ 5n − 3

la serie diverge ya que an → ∞

1
1 − cos √
n

∼

n2

∞

n=1

1
2

1
√
n

∞

2

∼
n=1

Se ha aplicado el infinit´simo 1 − cos z ∼
e
∞

(iii)
n=1

n2 + 7n − 3
(n + 1)!

La serie es del tipo

È

1
2n

divergente.

z2
2

p(n)
que siempre es convergente, puede
(n + k)!

comprobarse por el criterio del cociente. Su suma se obtiene a partir de la serie que
define al n´mero e.
u
∞
1
1
1
=1+1+ +
+ ··· = e
n
2
3!
n=0

1

Ver teorema ?? en la P´g. ??
a

´
CAP´

58

Para sumarla descomponemos el t´rmino general en varios sumandos de manera
e
que en los numeradores de cada uno de ellos s´lo aparezcan n´meros y en los
o
u
denominadores factoriales. Teniendo en cuenta que (n + 1)n = n2 + n, resulta.
∞

n=1

n2 + 7n − 3
=
(n + 1)!

∞

n=1
∞

n2 + n + 6n + 6 − 9
=
(n + 1)!
6(n + 1)
(n + 1)n
9
+
−
(n + 1)!
(n + 1)!
(n + 1)!

=
n=1
∞

=
n=1

1
+
(n − 1)!

∞

n=1

6
−
n!

∞

n=1

=

9
=
(n + 1)!

= e + 6(e − 2) − 9(e − 2) = 12 − 2e
7.7 (Series num´ricas). Estudiar el carćter y sumar en su caso las siguientes series
e
a
num´ricas:
e
∞

(i)2
n=1

n
2n−1

+

∞

3
2n

1
, (iii)
(2n − 1)(2n + 1)(2n + 3)

, (ii)
n=1

∞

n=0

n2 − 7n − 3
(n + 3)!

Soluciń. (i) La serie puede expresarse de la siguiente manera:
o
∞

n=1

n
2n−1

+

3
2n

∞

=
n=1

2n + 3
=
2n

∞

(2n + 3)
n=1

1
2

n

que es una serie aritm´tico-geom´trica, de razń 1/2 y por tanto convergente. Para sumare
e
o
la podemos aplicar la f´rmula, o bien repetir el proceso completo:
o
1 2
1 3
1 n
1
Sn = 5 + 7
+9
+ · · · + (2n + 3)
2
2
2
2
−1
1 2
1 3
1 4
1 n+1
−7
−9
− · · · − (2n + 3)
Sn = −5
2
2
2
2
2
1
1 2
1 3
1 n
1 n+1
5
+2
+ ··· + 2
− (2n + 3)
Sn = + 2
2
2
2
2
2
2
de donde
1 2
1 3
1 n
1 n+1
5
1
+
+ ··· +
− (2n + 3)
Sn = + 2
2
2
2
2
2
2
y tomando l´
ımites:

å

è

1/4
1/4
1
5
5
5
S = +2
−0= +2
= +1
2
2
1 − 1/2
2
1/2
2
de donde, despejando S, se tiene S = 5 + 2 = 7
e
o
e
e
una vez que la serie est´ expresada en forma canńica.
a
o
∞

(an + b)rn =
n=1

(a + b)r − br2
(1 − r)2
∞

⇒

(2n + 3)
n=1

2

Ver Ejerc. 7.24 (a), en la P´g. 74
a

1
2

1
− 3( 1 )2
2
2
=
(1 − 1 )2
2

(2 + 3)

n

=

5
2

−
1
4

3
4

=7

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