Este documento introduce el concepto de serie numérica y sus propiedades básicas. Define una serie como un par ordenado de sucesiones donde una sucesión proporciona los términos y la otra las sumas parciales. Una serie es convergente si la sucesión de sumas parciales converge, y divergente si dicha sucesión diverge. Presenta ejemplos como series geométricas y la serie armónica. Establece propiedades como la linealidad de la convergencia y las series telescópicas.
INTRODUCCIÓN
Las sucesiones y series son dos conceptos clave en matemáticas que se utilizan para describir patrones y relaciones en conjuntos de números. Una sucesión es una secuencia ordenada de números, mientras que una serie es la suma de una sucesión. Ambas son herramientas valiosas para entender y resolver problemas en una amplia variedad de disciplinas, incluyendo matemáticas, cálculo, estadística y física.
Una sucesión puede ser finita o infinita, y se puede describir mediante una fórmula que determina cada término a partir de los anteriores. Por ejemplo, la sucesión 1, 2, 3, 4, 5 es una sucesión finita de números consecutivos. Por otro lado, la sucesión de Fibonacci, que se define como 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, es una sucesión infinita
Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Por ejemplo, la serie de la sucesión de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, es la suma de estos números, es decir, 88. Las series pueden ser convergentes o divergentes, dependiendo de si la suma de los términos converge a un valor finito o no.
Las sucesiones y series son herramientas poderosas para describir y solucionar problemas matemáticos, y son esenciales en muchas áreas de la matemática y la ciencia. Por ejemplo, en cálculo, se utilizan las sucesiones y series para describir funciones y resolver problemas de optimización. En estadística, se utilizan para describir patrones y tendencias en datos y para estimar valores desconocidos.
Además, las sucesiones y series son fundamentales en la resolución de ecuaciones diferenciales y en la teoría de números. Por ejemplo, las series de Fourier se utilizan en la teoría de la señal y en la ingeniería electrónica para describir y analizar señales periódicas y no periódicas.
SUSECIONES
Definición de sucesión
Una sucesión, es una función f, cuyo dominio son casi todos los enteros positivos. Si el recorrido es un subconjunto de los números reales, se dice que la sucesión es real y si el recorrido es un subconjunto de los números complejos, se dice que la sucesión es compleja. El n-ésimo término de la sucesión se denotará por f(n) o an y la sucesión por { f(n) } o por { an } o por { bn }, es decir con letras minúsculas subindizadas.
Ejemplos
Sucesión Acotada:
Una sucesión {an} se dice acotada, si existe un número real positivo M, tal que |an| ≤ M, M > 0 para todo n, en otras palabras {an} se dice acotada, si existe M > 0, talque -M ≤ an ≤ M para todo n y M es una cota superior y -M, es una cota inferior, en otras palabras, {an} se dice acotada, si es acotada superiormente e inferiormente.
Sucesión monótona
tona Una sucesión {an} se dice monótona, si {an} es creciente o decreciente ( o estrictamente creciente o estrictamente decreciente
Sucesión creciente
Se dice que una sucesión {an} es creciente si an ≤ an+1 para todo n ≥ 1, con n número natural.
Para demostrar que una sucesión {an} es creciente, basta con verificar por ejemplo, que an+1
Usamos la clásica prueba de que
p
2 es irracional para introducir el
lenguaje y los modelos de razonamiento tpicos de la logica (matematica)
y el algebra. Al mismo tiempo, esta prueba sirve como pretexto para
introducir los conceptos de la aritmetica de los numeros.
3Redu: Responsabilidad, Resiliencia y Respetocdraco
¡Hola! Somos 3Redu, conformados por Juan Camilo y Cristian. Entendemos las dificultades que enfrentan muchos estudiantes al tratar de comprender conceptos matemáticos. Nuestro objetivo es brindar una solución inclusiva y accesible para todos.
En este documento analizamos ciertos conceptos relacionados con la ficha 1 y 2. Y concluimos, dando el porque es importante desarrollar nuestras habilidades de pensamiento.
Sara Sofia Bedoya Montezuma.
9-1.
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(PROYECTO) Límites entre el Arte, los Medios de Comunicación y la Informáticavazquezgarciajesusma
En este proyecto de investigación nos adentraremos en el fascinante mundo de la intersección entre el arte y los medios de comunicación en el campo de la informática.
La rápida evolución de la tecnología ha llevado a una fusión cada vez más estrecha entre el arte y los medios digitales, generando nuevas formas de expresión y comunicación.
Continuando con el desarrollo de nuestro proyecto haremos uso del método inductivo porque organizamos nuestra investigación a la particular a lo general. El diseño metodológico del trabajo es no experimental y transversal ya que no existe manipulación deliberada de las variables ni de la situación, si no que se observa los fundamental y como se dan en su contestó natural para después analizarlos.
El diseño es transversal porque los datos se recolectan en un solo momento y su propósito es describir variables y analizar su interrelación, solo se desea saber la incidencia y el valor de uno o más variables, el diseño será descriptivo porque se requiere establecer relación entre dos o más de estás.
Mediante una encuesta recopilamos la información de este proyecto los alumnos tengan conocimiento de la evolución del arte y los medios de comunicación en la información y su importancia para la institución.
Actualmente, y debido al desarrollo tecnológico de campos como la informática y la electrónica, la mayoría de las bases de datos están en formato digital, siendo este un componente electrónico, por tanto se ha desarrollado y se ofrece un amplio rango de soluciones al problema del almacenamiento de datos.
Es un diagrama para La asistencia técnica o apoyo técnico es brindada por las compañías para que sus clientes puedan hacer uso de sus productos o servicios de la manera en que fueron puestos a la venta.
1. Cap´
ıtulo 8
Series num´ricas
e
8.1. Definici´n y primeras propiedades
o
Informalmente, una serie es “una suma de infinitos sumandos” (ver antecedentes hist´ricos o
y comentarios en [Apostol, cap. 10] y en [Duran, p´g. 184 y siguientes]). Tales sumas se usan
´ a
impl´ ıcitamente, por ejemplo, al considerar desarrollos decimales “ilimitados” de los n´meros reales:
u
7
as´ la igualdad = 2, 333 . . . significa
ı,
3
7 3 3 3
=2+ + + + ...,
3 10 100 1000
3
suma con “infinitos sumandos” de la forma , n ∈ N. En general, consideraremos una sucesi´n
o
∞
10n
cualquiera (an ) y “su suma” n=1 an . ¿Qu´ sentido habr´ que darle a tal suma? La respuesta se
e a
m
∞
impone de modo natural: n=1 an “tiene que ser” l´
ım an .
m→∞
n=1
Analizando el proceso anterior, se trata, pues, de formar mediante la “sucesi´n de sumandos”
o
(an ) una nueva sucesi´n “de sumas” (sm ) dada por sm = a1 + a2 + · · · + am , m ∈ N, y determinar
o
el l´
ımite (si existe) de esta ultima sucesi´n. Esquem´ticamente:
´ o a
lugar 1 2 3 4 ... n ...
t´rmino
e a1 a2 a3 a4 ... an ...
suma a1 a1 + a2 a1 + a2 + a3 a1 + a2 + a3 + a4 ... a1 + · · · + an ... →?
Ahora bien: si, en definitiva, vamos a parar al estudio de la convergencia de una sucesi´n,o
¿qu´ novedad vamos a encontrar respecto a lo que ya sabemos de sucesiones? El cambio radica en
e
el punto de partida: tomando como “dato” la sucesi´n de sumandos (an ), nos planteamos determinar
o
propiedades de la sucesi´n de sumas (sn ) bas´ndonos en propiedades de los t´rminos an . Pasemos
o a e
a formalizar estas ideas.
8.1.1. Series: t´rminos y sumas parciales. Series convergentes, divergentes y
e
oscilantes
Definici´n 8.1.1. Una serie ∞ an es un par ordenado de sucesiones ((an ), (sn )) relacionadas
o n=1
por la condici´n de que para cada n ∈ N es
o
sn = a1 + a2 + · · · + an .
El t´rmino n-´simo de la primera sucesi´n, an , recibe el nombre de t´rmino n-´simo de la serie ;
e e o e e
el t´rmino n-´simo de la segunda sucesi´n, sn , recibe el nombre de suma parcial n-´sima de la
e e o e
serie .
143
2. 144 CAP´ ´
ITULO 8. SERIES NUMERICAS
∞
Se dice que la serie n=1 an es convergente si la sucesi´n (sn ) de sus sumas parciales es
o
convergente, es decir, si
m
∃ l´ sm = l´
ım ım an ∈ R.
m m
n=1
Diremos que la serie ∞ an es divergente a +∞, divergente a −∞ u oscilante si la sucesi´n
n=1 o
de sus sumas parciales es divergente a +∞, divergente a −∞ u oscilante, respectivamente.
Si una serie ∞ an es convergente, se llama suma de dicha serie al l´
n=1 ımite de la sucesi´n
o
de sus sumas parciales; si la serie diverge a +∞ o a −∞, se dice que su suma es +∞ o −∞,
respectivamente. Con un abuso de notaci´n que no suele conducir a error, se denota la suma con
o
el mismo s´ımbolo que la serie. Es decir, se escribe
∞ m
an = l´
ım an ,
m
n=1 n=1
cuando este l´
ımite existe.
Nota. A veces es c´modo considerar series de la forma ∞ an , donde m es un n´mero entero:
o n=m u
las sumas parciales ser´n entonces s1 = am , s2 = am + am+1 ,. . . , sn = am + · · · + am+n−1 , . . .
a
Se utiliza tambi´n la notaci´n am + am+1 + · · · + an + · · · en vez de ∞ an y, cuando no da
e o n=m
lugar a confusi´n, se abrevia en
o an .
Ejemplo (series geom´tricas). Una serie ∞ an es una serie geom´trica si existe un r ∈ R
e n=1 e
tal que para todo n ∈ N es an+1 = r · an (o an+1 /an = r si a1 = 0); de otro modo, si es de la forma
∞ n
n=0 a r . Si sn es su suma parcial n-´sima, se tendr´
e a
n
n−1 a 1−r
1−r si r = 1
sn = a + a r + · · · + a r = .
an si r = 1
Excluyendo el caso trivial a = 0, se sigue:
∞
a
a) si |r| < 1, la serie arn es convergente y la suma es ;
1−r
n=0
b) si r ≥ 1, la serie es divergente a +∞ (si a > 0) o a −∞ (si a < 0);
c) si r = −1, la serie es oscilante, aunque las sumas parciales est´n acotadas;
a
d) si r < −1, la serie es oscilante y las sumas parciales tienden, en valor absoluto, a +∞.
Ejemplo (serie arm´nica). Se denomina as´ la serie
o ı
∞
1
.
n
n=1
Se comprueba que, para cada n, su suma parcial n-´sima, denotada habitualmente por Hn , cumple
e
n n k+1 n+1
1 dx dx
Hn = ≥ = = log(n + 1),
k k x 1 x
k=1 k=1
1
luego la serie arm´nica diverge a +∞ a pesar de que l´
o ım = 0.
n n
El “car´cter” de una serie no cambia si se prescinde de un n´mero finito de sumandos (aunque
a u
s´ puede cambiar el valor de la suma). Dicho de forma m´s precisa,
ı a
3. ´
8.1. DEFINICION Y PRIMERAS PROPIEDADES 145
∞
Proposici´n 8.1.2. Dada una serie
o n=1 an y un entero m > 1, se tiene:
∞ ∞
a) n=1 an converge si y solo si converge n=m an . Si convergen, entonces
∞ m−1 ∞
an = an + an .
n=1 n=1 n=m
∞ ∞
b) n=1 an diverge a +∞ si y solo si n=m an diverge a +∞.
∞ ∞
c) n=1 an diverge a −∞ si y solo si n=m an diverge a −∞.
∞ ∞
d) n=1 an es oscilante si y solo si n=m an es oscilante.
Demostraci´n. Basta observar que para todo p > m es
o
p m−1 p
an = an + an ,
n=1 n=1 n=m
m−1
donde n=1 an es fijo (independiente de p), y aplicar las definiciones previas y los resultados
conocidos para sucesiones.
8.1.2. Linealidad de la convergencia de series
Proposici´n 8.1.3. Sean ∞ an , ∞ bn series convergentes. Para cualesquiera α, β ∈ R, la
o n=1 n=1
∞
serie n=1 (αan + βbn ) es convergente y se tiene
∞ ∞ ∞
(αan + βbn ) = α an + β bn .
n=1 n=1 n=1
Demostraci´n. Basta tener en cuenta que
o
N N N
(αan + βbn ) = α an + β an .
n=1 n=1 n=1
∞ ∞ ∞
Corolario 8.1.4. Si n=1 an converge y n=1 bn no es convergente, entonces n=1 (an + bn ) no
es convergente.
∞
Demostraci´n. Si la serie
o n=1 (an + bn ) convergiera, entonces la serie
∞ ∞
bn = (an + bn ) + (−1)an
n=1 n=1
tambi´n converger´ seg´n la proposici´n anterior.
e ıa, u o
Ejemplos. La serie (1/n + 1/2n ) no converge, pues 1/n no es convergente y 1/2n s´
ı.
Sin embargo, al sumar dos series no convergentes, la suma puede ser tanto convergente como
ınense los casos an = bn = 1 y an = 1, bn = −1.
no convergente: exam´
4. 146 CAP´ ´
ITULO 8. SERIES NUMERICAS
8.1.3. Series telesc´picas
o
Proposici´n 8.1.5. Sean (an ) y (bn ) dos sucesiones de n´meros reales tales que para todo n ∈ N
o u
se cumple
an = bn − bn+1 .
Entonces la serie ∞ an (denominada serie telesc´pica) es convergente si y solo si la sucesi´n
n=1 o o
(bn ) tiene l´
ımite real, en cuyo caso tenemos
∞
an = b1 − l´ bn .
ım
n
n=1
∞
Demostraci´n. Basta tener en cuenta que las sumas parciales de la serie
o n=1 an son
N
sN = an = (b1 − b2 ) + (b2 − b3 ) + · · · + (bN −1 − bN ) + (bN − bN +1 ) = b1 − bN +1 .
n=1
1 1 1
Ejemplo. Si an = = − , entonces la suma parcial N -´sima es simplemente
e
n(n + 1) n n+1
N N
1 1 1 1
SN = = − =1− ,
n(n + 1) n n+1 N +1
n=1 n=1
∞
con lo que l´ SN = 1. Es decir, la serie
ım n=1 an converge y su suma es 1:
N
∞
1
= 1.
n(n + 1)
n=1
1
Ejemplo. Sea ahora an = log 1 + . La suma parcial de orden N es
n
N N N
1
an = log 1 + = log(n + 1) − log n = log(N + 1) − log 1 = log(N + 1)
n
n=1 n=1 n=1
∞
1
y tiende a +∞. Es decir, la serie log 1 + diverge a +∞.
n
n=1
∞
Nota. Toda serie n=1 an se puede ver trivialmente como una serie telesc´pica: basta poner
o
b1 = 0, bn+1 = −(a1 + a2 + · · · + an ) (n ∈ N),
lo que no a˜ade nada interesante al estudio de la serie. Como es obvio, el resultado que hemos ob-
n
tenido s´lo es util cuando la sucesi´n (bn ) es una sucesi´n conocida, cuyo comportamiento sabemos
o ´ o o
de antemano.
Ejercicio. Escribi´ndolas como series telesc´picas, estudiar las siguientes series:
e o
∞
1 n+2 n+2
a) n n(n + 1)
(descomponer en fracciones simples).
2 n(n + 1)
n=1
∞
a x x
b) 3n sen3 n
(obs´rvese que sen x = 3 sen − 4 sen3 ).
e
3 3 3
n=1
x
∞ 2 tg
a a 2 ).
c) 2n−1 tg2 n tg n−1 (utilizar que tg x =
2 2 1 − tg 2 x
n=1
2
∞
1 3 1
d) sen cos n (tener en cuenta que cos x sen y = [sen(x + y) − sen(x − y)]).
2n 2 2
n=1
5. ´
8.2. SERIES DE TERMINOS NO NEGATIVOS 147
8.1.4. Condici´n necesaria para la convergencia de una serie. Condici´n general
o o
de convergencia de Cauchy
Proposici´n 8.1.6 (condici´n necesaria para la convergencia de una serie). Si la serie
o o
∞
n=1 an converge, necesariamente
l´ an = 0.
ım
n
Demostraci´n. Si (sN ) es la sucesi´n de las sumas parciales, es decir,
o o
N
sN = an ,
n=1
entonces
∃ l´ sN ∈ R.
ım
N
Como aN = sN − sN −1 , se deduce que
l´ aN = l´ sN − l´ sN −1 = 0.
ım ım ım
N N N
Esta condici´n no es suficiente para la convergencia de una serie: veremos numerosos ejemplos
o
de series no convergentes cuya sucesi´n de t´rminos tiende a 0; el m´s sencillo es quiz´ la serie
o e a a
arm´nica
o
∞
1 1 1 1
= 1 + + + ··· + + ··· ,
n 2 3 n
n=1
ya estudiada.
Teorema 8.1.7 (condici´n de Cauchy para la convergencia de una serie). Una serie
o
∞
n=1 an es convergente si y solo si para cada ε > 0 existe un N = N (ε) tal que para cualesquiera
m,n ∈ N con m ≥ n > N se cumple
m
ak < ε.
k=n
Demostraci´n. La serie es convergente si y solo si lo es la sucesi´n (sn ) de sus sumas parciales, lo
o o
que equivale a que (sn ) sea de Cauchy, y esto a su vez es es equivalente a que para cada ε > 0
exista un N = N (ε) tal que para cualesquiera m, n ∈ N con m ≥ n > N sea |sm − sn−1 | < ε; pero
m n−1 m
sm − sn−1 = ak − ak = ak .
k=1 k=1 k=n
8.2. Series de t´rminos no negativos
e
8.2.1. Convergencia de una serie de t´rminos no negativos. Criterios de com-
e
paraci´n
o
El estudio del car´cter de una serie se simplifica cuando ´sta es de t´rminos no negativos.
a e e
Proposici´n 8.2.1. Sea ∞ an una serie tal que an ≥ 0 para cada n ∈ N. Entonces ∞ an
o n=1 n=1
converge si y solo si la sucesi´n (sn ) de sus sumas parciales est´ acotada superiormente. En caso
o a
contrario, la serie diverge a +∞.
Demostraci´n. Puesto que para cada n ∈ N es
o
sn+1 − sn = an+1 ≥ 0,
la sucesi´n (sn ) es mon´tona no decreciente. Luego o bien est´ acotada superiormente y converge,
o o a
o bien no est´ acotada superiormente y diverge a +∞.
a
6. 148 CAP´ ´
ITULO 8. SERIES NUMERICAS
Este resultado permite deducir en algunos casos la convergencia (o divergencia) de una serie a
partir del car´cter de otra serie conocida.
a
Teorema 8.2.2 (criterio de comparaci´n por mayoraci´n). Sean ∞ an y ∞ bn dos
o o n=1 n=1
series y n0 ∈ N de modo que para n ≥ n0 es 0 ≤ an ≤ bn . Si ∞ bn converge, tambi´n converge
n=1 e
∞ ∞ ∞
n=1 an . En consecuencia, si n=1 an diverge, n=1 bn es asimismo divergente.
Demostraci´n. Sabemos que ∞ an tiene el mismo car´cter que ∞ 0 an , y que ∞ bn tiene
o n=1 a n=n n=1
el mismo car´cter que ∞ 0 bn . Denotando por (sn ) la sucesi´n de sumas parciales de ∞ 0 an
a n=n o n=n
y por (tn ) la de ∞ 0 bn , se sigue que para cada n ∈ N es sn ≤ tn , luego si (tn ) est´ acotada
n=n a
superiormente, (sn ) estar´ acotada superiormente. Y si (sn ) no est´ acotada superiormente, (tn )
a a
tampoco puede estar acotada superiormente. Basta aplicar ahora la proposici´n anterior.
o
Otra forma de comparar dos series es estudiar el cociente de sus t´rminos:
e
∞ ∞
Teorema 8.2.3 (criterio de comparaci´n por paso al l´
o ımite). Sean n=1 an , n=1 bn series
de t´rminos no negativos. Supongamos que existe
e
an
l´
ım = ∈ [0, +∞) ∪ {+∞}.
n bn
∞ ∞
a) Si < +∞ y la serie n=1 bn converge, entonces la serie n=1 an tambi´n converge.
e
∞ ∞
b) Si 0 < y la serie n=1 bn diverge, entonces la serie n=1 an tambi´n diverge.
e
∞ ∞
c) Si 0 < < +∞, entonces las dos series n=1 an y n=1 bn tienen el mismo car´cter.
a
Demostraci´n. a) Sea C ∈ ( , +∞) (por ejemplo C = + 1). Entonces existe alg´n n0 ∈ N tal
o u
que an /bn ≤ C para todo n ≥ n0 , es decir, 0 ≤ an ≤ Cbn para todo n ≥ n0 . Si la serie ∞ bnn=1
converge, entonces tambi´n la serie ∞ Cbn converge y, por el criterio anterior, la serie ∞ an
e n=1 n=1
converge.
b) Sea C ∈ (0, ). Existe alg´n n0 ∈ N tal que an /bn ≥ C para todo n ≥ n0 , es decir, an ≥ Cbn ≥ 0
u
para todo n ≥ n0 . Si la serie ∞ bn diverge, entonces tambi´n la serie ∞ Cbn diverge y, por
n=1 e n=1
el criterio anterior, la serie ∞ an diverge.
n=1
c) Basta aplicar a) y b).
∞ ∞
Corolario 8.2.4 (series de t´rminos equivalentes). Sean
e n=1 an , n=1 bn dos series de
∞ ∞
t´rminos no negativos. Supongamos que (an ) ∼ (bn ). Entonces
e n=1 an y n=1 bn tienen el mismo
car´cter.
a
Por supuesto, en el resultado anterior las dos series pueden tener distinta suma.
La comparaci´n con las series geom´tricas proporciona dos criterios muy utiles en la pr´ctica:
o e ´ a
el criterio de la ra´ y el criterio del cociente. Posteriormente veremos versiones m´s generales de
ız a
los mismos para series de t´rminos cualesquiera, as´ que dejamos la demostraci´n para entonces.
e ı o
∞
Proposici´n 8.2.5 (criterio de Cauchy o de la ra´
o ız). Sea n=1 an una serie de t´rminos no
e
√
negativos tal que existe R = l´ n an .
ım
n→∞
∞
a) Si R < 1, la serie n=1 an es convergente.
∞
b) Si R > 1, entonces an → 0 y la serie n=1 an es divergente.
∞
Proposici´n 8.2.6 (criterio de D’Alembert o del cociente). Sea
o n=1 an una serie de
an+1
t´rminos no negativos tal que existe R = l´
e ım .
n→∞ an
∞
a) Si R < 1, la serie n=1 an es convergente.
7. ´
8.2. SERIES DE TERMINOS NO NEGATIVOS 149
∞
b) Si R > 1, entonces an → 0 y la serie n=1 an es divergente.
Un complemento interesante del criterio del cociente es el criterio de Raabe.
∞
Proposici´n 8.2.7 (criterio de Raabe). Sea
o n=1 an una serie de t´rminos no negativos tal
e
an+1
que existe R = l´ n (1 −
ım ). Entonces:
n→∞ an
∞
a) Si R > 1, la serie n=1 an es convergente.
∞
b) Si R < 1, la serie n=1 an diverge a +∞.
Demostraci´n. Ver [Garay-Cuadra-Alfaro, teorema 5.28, p´gs. 101–102].
o a
8.2.2. Otros criterios. Convergencia de algunas series de t´rminos no negativos
e
Proposici´n 8.2.8 (criterio integral). Sea f : [1, +∞) → [0, +∞) no creciente. Entonces:
o
+∞ ∞
a) La integral impropia f es convergente si y solo si la serie f (n) converge.
1 n=1
n n
b) Existe C = l´
ım f (k) − f ∈ [0, +∞).
n 1
k=1
n n
c) Para cada n ∈ N se tiene f (k) = f + C + εn , con 0 ≤ εn ≤ f (n) − l´ f (x).
ım
1 x→+∞
k=1
Demostraci´n. Para cada n ∈ N, pongamos
o
n n
sn = f (k), tn = f, dn = sn − tn .
k=1 1
Entonces
n n−1 k+1 n−1 k+1
dn = f (k) − f = f (n) + f (k) − f (x) dx
k=1 k=1 k k=1 k
n−1 k+1
= f (n) + [f (k) − f (x)] dx ≥ 0.
k=1 k
Como
n+1
dn − dn+1 = sn − tn − sn+1 + tn+1 = f (x) dx − f (n + 1)
n
n+1
= [f (x) − f (n + 1)] dx ≥ 0,
n
se sigue que (dn ) es mon´tona no creciente y acotada inferiormente por 0, con lo que existe C =
o
l´ dn ∈ [0, +∞) y, en consecuencia, (sn ) y (tn ) ser´n simult´neamente convergentes o divergentes.
ım a a
n
+∞
Puesto que f ≥ 0, la convergencia de (tn ) equivale asimismo a la de la integral 1 f , luego esta
integral converge si y solo si converge la serie ∞ f (n). Con esto hemos demostrado a) y b).
n=1
En cuanto a c), la igualdad se cumple trivialmente si definimos εn = sn − tn − C = dn − C; lo
que hay que probar es que
0 ≤ εn ≤ f (n) − l´ f (x).
ım
x→+∞
8. 150 CAP´ ´
ITULO 8. SERIES NUMERICAS
Observemos que
n+1 n+1
0 ≤ dn − dn+1 = f (x) dx − f (n + 1) ≤ f (n) dx − f (n + 1) = f (n) − f (n + 1).
n n
Reiterando, para cualquier n´mero natural m > n resulta:
u
0 ≤ dn − dn+1 ≤ f (n) − f (n + 1),
0 ≤ dn+1 − dn+2 ≤ f (n + 1) − f (n + 2),
...
0 ≤ dm−1 − dm ≤ f (m − 1) − f (m).
Al sumar las desigualdades resulta que
0 ≤ dn − dm ≤ f (n) − f (m).
Pasando al l´
ımite en m, y teniendo en cuenta que l´ f (x) existe por ser f mon´tona no creciente,
ım o
x→+∞
obtenemos
0 ≤ dn − C ≤ f (n) − l´ f (x).
ım
x→+∞
Como εn = dn − C, hemos terminado la demostraci´n.
o
Aplicaciones. 1.- La constante γ de Euler . Aplicando los resultados que acabamos de obtener
a la funci´n f dada por f (x) = 1/x y teniendo en cuenta que
o
n
1
dx = log n,
1 x
podemos escribir la suma parcial n-´sima de la serie arm´nica como
e o
n
1
Hn = = log n + γ + εn ,
k
k=1
donde 0 ≤ εn ≤ 1/n y
n
1
γ = l´
ım − log n = 0, 5772156649 . . .
n k
k=1
es un n´mero introducido por Euler en 1734 en el estudio de la funci´n Γ, definida tambi´n por ´l.
u o e e
Euler obtuvo sus diecis´is primeras cifras decimales en 1781; en 1963, Sweeney calcul´ 3.566 cifras.
e o
No se sabe todav´ si es un n´mero racional o irracional (ver [Le Lionnais, p´g. 28]).
ıa u a
2.- La funci´n ζ de Riemann . El criterio integral permite comprobar f´cilmente que la serie
o a
∞
1
ns
n=1
converge si y solo si s > 1. La funci´n
o
∞
1
ζ(s) = , s > 1,
ns
n=1
se denomina funci´n zeta de Riemann y tiene importantes aplicaciones (especialmente en teor´
o ıa
de n´meros). Hay expresiones m´s o menos sencillas para ζ(2n), n ∈ N, pero no para otros valores.
u a
π2 π4
Se sabe por ejemplo que ζ(2) = , ζ(4) = . Hasta fechas recientes (R. Ap´ry, 1978) no se hab´
e ıa
6 90
podido probar siquiera que ζ(3) es irracional: ver [Le Lionnais, p´g. 36].
a
9. ´
8.3. SERIES DE TERMINOS CUALESQUIERA 151
3.- Series logar´
ıtmicas . Tambi´n mediante el criterio integral se prueba que la serie
e
∞
1
n(log n)s
n=2
converge si y solo si s > 1 (ver [Apostol, p´g. 486]).
a
Por comparaci´n con las series anteriores se deducen inmediatamente los siguientes criterios de
o
convergencia.
∞
Proposici´n 8.2.9 (criterio de Pringsheim). Sea
o n=1 an una serie de t´rminos no negativos
e
tal que para alg´n α ∈ R existe el l´
u ımite
l´ nα an = ∈ [0, +∞].
ım
n→∞
Entonces:
∞
a) Si α > 1 y < +∞, la serie n=1 an converge.
∞
b) Si α ≤ 1 y > 0, la serie n=1 an diverge (a +∞).
Proposici´n 8.2.10 (criterios logar´
o ıtmicos). Sea ∞ an una serie de t´rminos no negativos
n=1 e
− log an − log(n an )
tal que existe alguno de los dos l´
ımites A = l´
ım , B = l´
ım . Entonces:
n→∞ log n n→∞ log(log n)
∞
a) Si A > 1, la serie n=1 an es convergente; si A < 1, diverge a +∞.
∞
b) Si B > 1, la serie n=1 an es convergente; si B < 1, diverge a +∞.
8.3. Series de t´rminos cualesquiera
e
8.3.1. Series alternadas: criterio de Leibniz
Proposici´n 8.3.1 (criterio de Leibniz). Sea ∞ xn una serie alternada, es decir, una serie
o n=1
tal que para cada n ∈ N es xn = (−1)n+1 an con an ≥ 0. Si (an ) es una sucesi´n no creciente con
o
∞ ∞ n+1 a es convergente. Adem´s, denotando con s
ımite 0, entonces la serie n=1 xn = n=1 (−1)
l´ n a n
la suma parcial n-´sima de la serie y con s su suma, se verifican para todo n ∈ N las desigualdades
e
0 ≤ (−1)n (sn+2 − sn ) ≤ an+1 , (8.1)
n
0 ≤ (−1) (s − sn ) ≤ an+1 . (8.2)
Nota. De (8.1) se sigue que las sumas de orden par forman una sucesi´n no decreciente y las sumas
o
de orden impar una sucesi´n no creciente. Las desigualdades (8.2) pueden interpretarse del siguiente
o
modo: si tomamos sn como valor aproximado de s, el error que cometemos es menor o igual que
an+1 , de modo que si (an ) converge “r´pidamente” a 0 obtenemos una buena aproximaci´n de la
a o
suma mediante una suma parcial de “pocos” t´rminos.
e
Demostraci´n. Obs´rvese que dado k ∈ N, la diferencia
o e
−(s2k+1 − s2k−1 ) = a2k − a2k+1
es mayor o igual que 0 por ser (an ) decreciente, y menor o igual que a2k por ser a2k+1 ≥ 0, lo que
da (8.1) en el caso n = 2k − 1. Para n = 2k es
s2k+2 − s2k = a2k+1 − a2k+2 ,
10. 152 CAP´ ´
ITULO 8. SERIES NUMERICAS
que an´logamente es mayor o igual que 0 y menor o igual que a2k+1 , lo que completa la prueba
a
de (8.1) para todos los casos. Adem´s, hemos obtenido que (s2k ) es una sucesi´n no decreciente.
a o
Como
s2k = a1 − [(a2 − a3 ) + · · · + (a2k−2 − a2k−1 ) + a2k ] ≤ a1 ,
(s2k ) est´ acotada superiormente, luego es convergente. Sea s su l´
a ımite. Puesto que
s2k−1 = s2k + a2k
y a2k → 0, resulta que
l´ s2k−1 = l´ (s2k + a2k ) = l´ s2k + l´ a2k = s + 0 = s.
ım ım ım ım
k k k k
Es decir: tanto la subsucesi´n de t´rminos pares como la de t´rminos impares de (sn ) son con-
o e e
vergentes con l´
ımite s. Esto permite afirmar que (sn ) es convergente con l´
ımite s, es decir, que
+∞
n=1 xn = s.
Finalmente, puesto que para cada n ∈ N es
+∞ +∞
s = x1 + · · · + xn + xk = sn + (−1)k+1 ak ,
k=n+1 k=n+1
se sigue que
+∞
n
(−1) (s − sn ) = (−1)n+k+1 ak
k=n+1
= an+1 − an+2 + l´ [(an+3 − an+4 ) + · · · + (an+2m+1 − an+2m+2 )]
ım
m
≥ an+1 − an+2 ≥ 0
y que
+∞
n
(−1) (s − sn ) = (−1)n+k+1 ak
k=n+1
= an+1 − l´ [(an+2 − an+3 ) + · · · + (an+2m − an+2m+1 )]
ım
m
≤ an+1 ,
lo que prueba (8.2).
Ejemplo. La serie arm´nica alternada
o
∞
(−1)n−1
n
n=1
es convergente. Adem´s, su suma se calcula f´cilmente utilizando la constante de Euler. En efecto:
a a
para cada n ∈ N, sumando y restando t´rminos, se tiene
e
2n
(−1)k+1 1 1 1 1 1
= 1 − + − + ··· + −
k 2 3 4 2n − 1 2n
k=1
1 1 1 1 1 1 1 1
=1+ + + + ··· + + −2 + + ··· +
2 3 4 2n − 1 2n 2 4 2n
= H2n − Hn = log 2n + γ + ε2n − log n − γ − εn = log 2 + ε2n − εn .
Como sabemos ya que la serie arm´nica alternada es convergente, podemos escribir:
o
+∞ m 2n
(−1)k+1 (−1)k+1 (−1)k+1
= l´
ım = l´
ım = log 2.
k m k n k
k=1 k=1 k=1
11. ´
8.3. SERIES DE TERMINOS CUALESQUIERA 153
Ejemplo. La serie
∞
(−1)n log n
n
n=2
log x
es convergente. En efecto, es f´cil comprobar que la funci´n f (x) =
a o es decreciente en [3, +∞)
x
log n log n
(por ejemplo, calculando f ). Adem´s, a ≥ 0 y → 0. De aqu´ se deduce que la serie
ı
n n
∞
(−1)n log n
converge.
n
n=3
8.3.2. Series absolutamente convergentes
∞ ∞
Definici´n 8.3.2. Una serie
o n=1 an se dice absolutamente convergente si la serie n=1 |an |
es convergente.
El ejemplo m´s sencillo de serie convergente que no converge absolutamente es la serie arm´nica
a o
alternada.
Observaci´n. Si ∞ an y ∞ bn son dos series absolutamente convergentes y r, s ∈ R, enton-
o n=1 n=1
ces la serie ∞ (ran +sbn ) tambi´n es absolutamente convergente. Esto se deduce de la desigualdad
n=1 e
|ran + sbn | ≤ |r||an | + |s||bn | y el criterio de mayoraci´n.
o
Definici´n 8.3.3. Para un n´mero real cualquiera x, escribamos
o u
x+ = m´x{x, 0},
a x− = m´x{−x, 0}.
a
Es f´cil comprobar que |x| = x+ + x− , x = x+ − x− , x+ ≥ 0, x− ≥ 0.
a
Proposici´n 8.3.4. Toda serie absolutamente convergente es convergente: dicho de otro modo, si
o
∞
n=1 |an | converge, entonces la serie ∞ an tambi´n converge. Y en ese caso,
n=1 e
∞ ∞
an ≤ |an |.
n=1 n=1
Demostraci´n. Con la notaci´n anterior,
o o
0 ≤ a+ ≤ |an |,
n 0 ≤ a− ≤ |an |,
n
luego las dos series ∞ a+ y ∞ a− convergen. Como an = a+ − a− , la serie
n=1 n n=1 n n n
∞
n=1 an tambi´n
e
converge. Adem´s, para cada n ∈ N
a
n n
ak ≤ |ak |,
k=1 k=1
por la desigualdad triangular. Pasando al l´
ımite (una vez que ya sabemos que las dos series con-
vergen),
∞ ∞
ak ≤ |ak |.
k=1 k=1
12. 154 CAP´ ´
ITULO 8. SERIES NUMERICAS
8.3.3. Criterios generales de Cauchy (de la ra´ y de D’Alembert (del cociente)
ız)
Los criterios ya vistos sobre convergencia de series de t´rminos no negativos se traducen de
e
manera obvia en criterios de convergencia absoluta para series de t´rminos cualesquiera. As´
e ı:
∞
Proposici´n 8.3.5 (criterio de la ra´ o de Cauchy). Sea
o ız n=1 an una serie tal que existe
R = l´ n |an |.
ım
n→∞
∞
a) Si R < 1, la serie n=1 an converge absolutamente.
∞
b) Si R > 1, entonces an → 0 y la serie n=1 an no es convergente.
Demostraci´n. a) Supongamos que R < 1. Sea R < c < 1. Entonces existir´ alg´n n0 tal que
o a u
n
|an | ≤ c para todo n ≥ n0 . Por lo tanto,
0 ≤ |an | ≤ cn , n ≥ n0 .
Como 0 < c < 1, la serie geom´trica ∞ 0 cn converge y por lo tanto la serie ∞ 0 |an | converge,
e n=n n=n
y la serie ∞ |an | tambi´n converge.
n=1 e
b) Supongamos que R > 1. Entonces existir´ alg´n n0 tal que n |an | ≥ 1 para todo n ≥ n0 . Por lo
a u
tanto,
|an | ≥ 1, n ≥ n0 .
∞
Entonces, an → 0 y la serie n=1 an no es convergente.
∞
Proposici´n 8.3.6 (criterio del cociente o de D’Alembert). Sea
o n=1 an una serie tal que
|an+1 |
existe R = l´
ım .
n→∞ |an |
∞
a) Si R < 1, la serie n=1 an converge absolutamente.
∞
b) Si R > 1, entonces an → 0 y la serie n=1 an no es convergente.
Demostraci´n. a) Supongamos que R < 1. Sea R < c < 1. Entonces existir´ alg´n n0 tal que
o a u
|an+1 |
|an | ≤ c para todo n ≥ n0 . Por lo tanto,
|an+1 | ≤ c|an |, n ≥ n0 .
De aqu´ es f´cil deducir por inducci´n que
ı a o
|an0 | n
0 ≤ |an | ≤ c , n ≥ n0 .
cn0
Como 0 < c < 1, la serie geom´trica ∞ 0 cn converge y por lo tanto la serie
e n=n
∞
n=n0 |an | converge,
y la serie ∞ |an | tambi´n converge.
n=1 e
|an+1 |
b) Supongamos que R > 1. Entonces existir´ alg´n n0 tal que
a u |an | ≥ 1 para todo n ≥ n0 . Por lo
tanto,
|an+1 | ≥ |an |, n ≥ n0 .
∞
Entonces, la sucesi´n |an | no tiende a 0 (es no decreciente), luego an → 0 y la serie
o n=1 an no es
convergente.
13. 8.4. PROPIEDAD CONMUTATIVA PARA SERIES 155
8.3.4. Criterios de convergencia de Abel y Dirichlet
El criterio de Leibniz nos ha permitido encontrar series que convergen pero no absolutamente.
Para ampliar la lista de criterios que no se refieren a la convergencia absoluta a˜adimos los m´s
n a
conocidos, de Abel y Dirichlet, que se obtienen de una interesante “f´rmula de sumaci´n por partes”.
o o
Lema 8.3.7 (f´rmula de sumaci´n parcial de Abel). Sean (an )∞ , (bn )∞ dos sucesiones
o o n=1 n=1
arbitrarias, y llamemos, para cada n,
n
An = ak
k=1
∞
(suma parcial n-´sima de la serie
e n=1 an ) Entonces
n n
ak bk = An bn+1 + Ak (bk − bk+1 )
k=1 k=1
cualquiera que sea n ∈ N.
Demostraci´n. Ver [Apostol, p´g. 497].
o a
Proposici´n 8.3.8 (criterio de Abel). Si (an )∞ es una sucesi´n mon´tona y acotada, y
o n=1 o o
∞ ∞
n=1 bn es una serie convergente, la serie n=1 an bn es convergente.
Demostraci´n. Ver [Apostol, p´g. 498].
o a
Proposici´n 8.3.9 (criterio de Dirichlet). Si (an )∞ es una sucesi´n mon´tona que converge
o n=1 o o
a 0, y ∞ bn es una serie cuya sucesi´n de sumas parciales est´ acotada, la serie ∞ an bn es
n=1 o a n=1
convergente.
Demostraci´n. Ver [Apostol, p´gs. 497–498].
o a
8.4. Propiedad conmutativa para series
¿Qu´ sucede cuando en una serie “se cambia el orden de los sumandos”? Veremos que las
e
unicas series “inalterables” por tales cambios son las absolutamente convergentes; en general, pues,
´
las series no mantienen la propiedad conmutativa de las sumas finitas. Precisemos estos conceptos.
Definici´n 8.4.1. Dada una serie ∞ an , se dice que otra serie ∞ bn es una reordenaci´n
o n=1 n=1 o
suya si existe una aplicaci´n biyectiva r : N → N tal que, para cada n ∈ N,
o
bn = ar(n) .
∞ ∞
N´tese que, rec´
o ıprocamente, n=1 an es una reordenaci´n de
o n=1 bn , pues la inversa r−1 es
igualmente una biyecci´n.
o
Informalmente, una serie es una reordenaci´n de otra si tiene exactamente los mismos t´rminos,
o e
pero en otro orden. Que una serie tenga la propiedad conmutativa significar´, as´ que tenga suma
a ı,
y que cualquier reordenaci´n suya tenga la misma suma. Vamos a dar un nombre especial a las
o
series convergentes con la propiedad conmutativa.
Definici´n 8.4.2. Una serie se denomina incondicionalmente convergente si es convergente
o
y si toda reordenaci´n suya es asimismo convergente, y con la misma suma.
o
Diremos que una serie es condicionalmente convergente si es convergente pero no incondi-
cionalmente convergente, de modo que alguna reordenaci´n suya o bien no es convergente o converge
o
a una suma distinta.
14. 156 CAP´ ´
ITULO 8. SERIES NUMERICAS
∞ ∞
Lema 8.4.3. Dada una serie n=1 an de t´rminos no negativos y una reordenaci´n suya
e o n=1 bn ,
se tiene:
∞ ∞
a) si n=1 an es convergente con suma s, tambi´n
e n=1 bn es convergente con suma s.
∞ ∞
b) si n=1 an es divergente a +∞, tambi´n
e n=1 bn es divergente a +∞.
Demostraci´n. a) Sea r : N → N tal que bn = ar(n) para cada n ∈ N. Para cada n ∈ N definamos
o
m(n) = m´x{r(1), r(2), . . . , r(n)}.
a
∞
Denotando con tn la suma parcial n-´sima de
e n=1 bn ser´ entonces
a
tn = ar(1) + ar(2) + · · · + ar(n) ≤ a1 + a2 + · · · + am(n) ≤ s,
lo que prueba que ∞ bn es convergente con suma menor o igual que s. Como a su vez ∞ an
n=1 n=1
es una reordenaci´n de ∞ bn , por el mismo motivo su suma ser´ menor o igual que la suma de
o n=1 a
∞
n=1 bn , lo que implica la igualdad entre ambas sumas.
b) En caso contrario, ∞ bn ser´ convergente y entonces ∞ an , reordenaci´n suya, tambi´n
n=1 ıa n=1 o e
converger´ ıa.
Proposici´n 8.4.4. Toda serie absolutamente convergente es incondicionalmente convergente.
o
Demostraci´n. Si la serie ∞ |an | converge, aplicamos el lema anterior a las series
o n=1
∞ +
n=1 an y
∞ − (que tambi´n convergen) y por ultimo recordamos que a = a+ − a− .
n=1 an e ´ n n n
El rec´
ıproco tambi´n es cierto: m´s a´n, una serie convergente que no converja absolutamente
e a u
posee reordenaciones “que van a parar donde se desee”: convergentes con suma arbitrariamente
prefijada, divergentes a +∞, divergentes a −∞, oscilantes a capricho. Este es el contenido de un
c´lebre teorema de Riemann.
e
Teorema 8.4.5 (de Riemann). Si una serie es convergente pero no absolutamente convergente,
para cada ∈ [−∞, +∞] existe una reordenaci´n suya con suma ; en general, dados 1 , 2 , . . . ,
o
k , existe una reordenaci´n cuya sucesi´n de sumas parciales contiene subsucesiones que convergen
o o
a 1, 2, . . . , k .
Demostraci´n. [Garay-Cuadra-Alfaro, teorema 5.33, p´g. 105], [Ortega, teorema 9.20, p´g. 303].
o a a
Corolario 8.4.6 (teorema de Dirichlet). Una serie es incondicionalmente convergente si y solo
si es absolutamente convergente.
8.5. Ap´ndice: sumaci´n de series
e o
Resumimos las ideas fundamentales sobre el c´lculo de las sumas de algunos tipos particulares
a
de series.
Series telesc´picas
o
∞
Si para cada n puede ponerse an = bn − bn+1 , la serie an converge si y solo si es convergente
n=1
∞
la sucesi´n (bn ), y si este es el caso,
o an = b1 − l´ bn .
ım
n
n=1
15. ´ ´
8.5. APENDICE: SUMACION DE SERIES 157
Series geom´tricas
e
∞ ∞
a
Si a = 0, entonces la serie a rn−1 converge si y solo si |r| < 1; si converge, a rn−1 = .
1−r
n=1 n=1
Series aritm´tico-geom´tricas
e e
∞
Si P es un polinomio no constante, la serie P (n) rn converge si y solo si |r| < 1. Llamando
n=0
∞ ∞
S a su suma, (1 − r)S = P (0) + [P (n) − P (n − 1)]rn = P (0) + Q(n)rn , donde Q es un
n=1 n=1
polinomio de grado menor que P ; reiterando, se llega a una serie geom´trica.
e
Series hipergeom´tricas
e
∞
an+1 αn + β
Son de la forma an con = , α > 0. La serie converge si y solo si γ > α + β, con
an αn + γ
n=1
γa1
suma γ−α−β
Series ‘racionales’ o ‘de cocientes de polinomios’
P (n)
Series del tipo , donde P y Q son polinomios (el nombre no es est´ndar). Cuando
a
Q(n)
convergen, puede hallarse a veces su suma descomponiendo P/Q en fracciones simples y calculando
la suma parcial n-´sima, relacion´ndola con sumas de series conocidas. Pueden ser de ayuda las
e a
siguientes:
• Serie arm´nica
o
1 1 1
Hn := 1 + + + · · · + = log n + γ + εn , donde γ es la constante de Euler y l´ n εn = 0
ım
2 3 n
• Funci´n ζ de Riemann
o
∞
1
ζ(s) := , s > 1 (funci´n zeta de Riemann). En particular
o
ns
n=1
∞ ∞
1 π2 1 π4
ζ(2) = = , ζ(4) = = .
n2 6 n4 90
n=1 n=1
Reordenadas de la serie arm´nica alternada
o
En algunos casos pueden hallarse expresiones simplificadas de ciertas sumas parciales en t´rmi-
e
nos de Hn , y deducir as´ el comportamiento de la serie.
ı
Series que se reducen a la exponencial
∞
xn
Partiendo de que para todo x ∈ R es = ex , se pueden sumar series de la forma
n!
n=0
P (n) n
x , donde P es un polinomio de grado m, sin m´s que reescribir
a
n!
P (n) = a0 n(n − 1) · · · (n − m + 1) + a1 n(n − 1) · · · (n − m + 2) + · · · + am−1 n + am
16. 158 CAP´ ´
ITULO 8. SERIES NUMERICAS
para coeficientes a0 , . . . , am adecuados, y observar que
n(n − 1) · · · (n − k) 1
= ,
n! (n − k − 1)!
si n > k.
17. Bibliograf´
ıa
[Apostol] Apostol, T. M.: Calculus, vol. I (segunda edici´n). Revert´, Barcelona,
o e
1989. Citado en la(s) p´gina(s) 143, 151, 155
a
[Duran]
´ Dur´n, A. J.: Historia, con personajes, de los conceptos del c´lculo. Alian-
a a
za, Madrid, 1996. Citado en la(s) p´gina(s) 143
a
[Garay-Cuadra-Alfaro] Garay, J. - Cuadra, J. L. - Alfaro, M.: Una introducci´n al c´lculo infi-
o a
nitesimal. Edici´n de los autores, Zaragoza, 1974. Citado en la(s) p´gina(s)
o a
149, 156
[Le Lionnais] Le Lionnais, F.: Les nombres remarquables. Hermann, Paris, 1983. Citado
en la(s) p´gina(s) 150
a
[Ortega] Ortega, J. M.: Introducci´n al An´lisis Matem´tico. Labor, Barcelona,
o a a
1995. Citado en la(s) p´gina(s) 156
a
159