El documento habla sobre matrices y determinantes. Introduce definiciones básicas como qué es una matriz, sus elementos, tipos de matrices como cuadradas y sus propiedades. Explica también conceptos como la traza, las matrices diagonales, triangulares e identidad. El objetivo es presentar estos conceptos matemáticos como herramientas para resolver sistemas de ecuaciones lineales en el siguiente capítulo.
Una cuádrica es el lugar geométrico de puntos que satisfacen una ecuación de segundo grado. Las superficies cuádricas pueden clasificarse en elipsoides, paraboloides elípticos, hiperboloides de una hoja, hiperboloides de dos hojas, paraboloides hiperbólicos y cilindros parabólicos mediante la inercia de su matriz asociada. La inercia mide el número de valores propios positivos, negativos y ceros de la matriz.
La función inversa f-1 de una función f cumple que si f(a) = b, entonces f-1(b) = a. El dominio de f-1 es el recorrido de f, y el recorrido de f-1 es el dominio de f. Para hallar el recorrido de una función, se debe hallar el dominio de su función inversa. Si dos funciones son inversas, su composición es la función identidad f-1(f(x)) = f(f-1(x)) = x.
Teoría y Problemas de Funciones de varias Variables ccesa007Demetrio Ccesa Rayme
Este documento presenta los conceptos básicos del cálculo diferencial e integral de funciones de varias variables. Introduce las funciones de dos y tres variables, determinando su dominio y gráfica. Explica las curvas de nivel y cómo representan superficies tridimensionales. Finalmente, cubre los límites y continuidad de funciones de varias variables.
Este documento presenta información sobre funciones racionales. Explica que estas funciones están formadas por cocientes de dos funciones polinómicas. Además, describe el dominio de las funciones racionales y provee ejemplos. Luego, introduce el concepto de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de funciones racionales, y explica cómo determinarlas en función de los grados de los polinomios en el numerador y denominador. Finalmente, pide determinar las asíntotas de varias funciones dadas.
Se explica breve mente el concepto de Función Cuadrática, se realiza un recorrido por los elementos que la componen, propiedades y para finalizar se plantean ejercicios de aplicación
Este documento explica conceptos básicos sobre funciones polinomiales, incluyendo funciones lineales, cuadráticas y cúbicas. Describe cómo se representan gráficamente y cómo se calculan sus raíces. También cubre el teorema del residuo y cómo se puede usar para determinar si un valor es una raíz de una función polinómica.
La matriz inversa A-1 es tal que A · A-1 = A-1 · A = I, donde I es la matriz identidad. Existen dos métodos para calcular la matriz inversa: 1) mediante el cálculo de determinantes y 2) mediante el método de Gauss para transformar la matriz A en la identidad I, dejando la inversa A-1 en el lado derecho.
Este documento presenta conceptos básicos sobre expresiones algebraicas, incluyendo suma, resta, multiplicación, división y valor numérico de expresiones algebraicas. También cubre productos notables y factorización utilizando productos notables como diferencia de cuadrados, cuadrado perfecto, suma y diferencia de cubos.
Una cuádrica es el lugar geométrico de puntos que satisfacen una ecuación de segundo grado. Las superficies cuádricas pueden clasificarse en elipsoides, paraboloides elípticos, hiperboloides de una hoja, hiperboloides de dos hojas, paraboloides hiperbólicos y cilindros parabólicos mediante la inercia de su matriz asociada. La inercia mide el número de valores propios positivos, negativos y ceros de la matriz.
La función inversa f-1 de una función f cumple que si f(a) = b, entonces f-1(b) = a. El dominio de f-1 es el recorrido de f, y el recorrido de f-1 es el dominio de f. Para hallar el recorrido de una función, se debe hallar el dominio de su función inversa. Si dos funciones son inversas, su composición es la función identidad f-1(f(x)) = f(f-1(x)) = x.
Teoría y Problemas de Funciones de varias Variables ccesa007Demetrio Ccesa Rayme
Este documento presenta los conceptos básicos del cálculo diferencial e integral de funciones de varias variables. Introduce las funciones de dos y tres variables, determinando su dominio y gráfica. Explica las curvas de nivel y cómo representan superficies tridimensionales. Finalmente, cubre los límites y continuidad de funciones de varias variables.
Este documento presenta información sobre funciones racionales. Explica que estas funciones están formadas por cocientes de dos funciones polinómicas. Además, describe el dominio de las funciones racionales y provee ejemplos. Luego, introduce el concepto de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de funciones racionales, y explica cómo determinarlas en función de los grados de los polinomios en el numerador y denominador. Finalmente, pide determinar las asíntotas de varias funciones dadas.
Se explica breve mente el concepto de Función Cuadrática, se realiza un recorrido por los elementos que la componen, propiedades y para finalizar se plantean ejercicios de aplicación
Este documento explica conceptos básicos sobre funciones polinomiales, incluyendo funciones lineales, cuadráticas y cúbicas. Describe cómo se representan gráficamente y cómo se calculan sus raíces. También cubre el teorema del residuo y cómo se puede usar para determinar si un valor es una raíz de una función polinómica.
La matriz inversa A-1 es tal que A · A-1 = A-1 · A = I, donde I es la matriz identidad. Existen dos métodos para calcular la matriz inversa: 1) mediante el cálculo de determinantes y 2) mediante el método de Gauss para transformar la matriz A en la identidad I, dejando la inversa A-1 en el lado derecho.
Este documento presenta conceptos básicos sobre expresiones algebraicas, incluyendo suma, resta, multiplicación, división y valor numérico de expresiones algebraicas. También cubre productos notables y factorización utilizando productos notables como diferencia de cuadrados, cuadrado perfecto, suma y diferencia de cubos.
El documento trata sobre transformaciones lineales. Define una transformación lineal como una función que asigna a cada vector de un espacio vectorial a otro de forma que cumple dos propiedades: 1) es aditiva y 2) es homogénea. Presenta ejemplos de transformaciones lineales y no lineales. Explica que las matrices definen transformaciones lineales entre espacios vectoriales.
El documento habla sobre funciones racionales, que son funciones cuya fórmula es una expresión racional. Explica que el dominio de una función racional es el conjunto de valores de la variable que no anulan al denominador. También cubre cómo simplificar expresiones racionales cuando existen factores comunes en el numerador y denominador, y cómo encontrar ceros, asíntotas y cortes con los ejes de una función racional.
Este documento presenta información sobre funciones logarítmicas. Define una función logarítmica como una función de la forma y=logax donde a es la base y es un número real positivo distinto de 1. Explica que el logaritmo de un número es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Finalmente, muestra ejemplos de cómo calcular logaritmos y cómo graficar funciones logarítmicas.
Este documento presenta 36 problemas de cálculo integral y aplicaciones de integrales dobles. Los problemas cubren temas como calcular integrales dobles sobre diferentes regiones planas, encontrar áreas y volúmenes de sólidos de revolución, y aplicar el teorema de Guldin.
Este documento explica las características de las funciones constantes, pares e impares. Las funciones constantes tienen pendiente cero y su gráfica es una línea horizontal. Las funciones pares son simétricas respecto al eje y y satisfacen la ecuación f(-x)=f(x), mientras que las funciones impares satisfacen f(-x)=-f(x) y son simétricas respecto al origen luego de una rotación de 180 grados. Algunos ejemplos de funciones pares son x^2, cos(x) y valor absoluto, m
1) El documento define varios tipos de límites que involucran el infinito, como cuando una variable tiende al infinito o cuando una función tiende al infinito al acercarse a cierto punto. 2) Explica conceptos como dominio, recorrido, funciones acotadas y diferentes métodos para calcular límites. 3) Como ejemplo, calcula el límite lim (3-1) y determina dos límites adicionales.
x->oo ___
x
Este documento describe el método de separación de variables para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. Explica que si una ecuación diferencial de primer orden puede expresarse en una forma donde las variables independientes están separadas, entonces se puede resolver mediante integración directa. A continuación, presenta 25 ejemplos resueltos que ilustran cómo aplicar este método para separar variables y encontrar la solución de la ecuación diferencial.
Ecuaciones exponenciales y logaritmicasDavid Narváez
Este documento trata sobre ecuaciones exponenciales y logarítmica. Explica las funciones exponenciales, sus definiciones y propiedades como la potenciación de números, sumas y productos de exponentes. También cubre logaritmos, sus definiciones, identidades y cambios de base. Finalmente incluye ejemplos y preguntas para la comprensión del tema.
Este documento define las funciones logarítmicas, explica cómo resolver y graficar una función logarítmica, y da ejemplos de su aplicación. Las funciones logarítmicas tienen la forma f(x) = loga x, donde a es la base. Para resolver una, se cambian las variables por valores y se usa la propiedad exponencial. Para graficar una, se crea una tabla de valores y se traza el gráfico. Se aplican en ciencias para simplificar ecuaciones y medir solutos, y en informática para medir el rendimiento de algoritmos.
Este documento describe las funciones definidas a trozos y la función valor absoluto. Explica que una función definida a trozos se compone de "trozos" de otras funciones y muestra ejemplos de cómo dividir el eje x en regiones para graficar cada trozo. También explica que la función valor absoluto mantiene los signos positivos e invierte los negativos, lo que efectivamente la convierte en una función definida a trozos. Muestra ejemplos gráficos de ambos tipos de funciones.
Una función cuadrática es una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son números reales y a no es cero. Una función cuadrática describe la posición de un objeto lanzado verticalmente en función del tiempo, usando una ecuación cuadrática. Las raíces de una función cuadrática son los valores de x para los cuales la función es igual a cero y representan los puntos donde la parábola corta el eje x.
El documento describe los cuadrantes del plano cartesiano y cómo representar puntos en él usando coordenadas. También explica cómo calcular la distancia entre dos puntos y encontrar el punto medio de un segmento.
Este documento habla sobre funciones racionales. Define funciones racionales como una relación entre dos funciones polinómicas donde el denominador no es cero. Explica conceptos como dominio, asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. Proporciona ejemplos para encontrar el dominio y las asíntotas de funciones racionales específicas.
Este documento explica los conceptos de dominio y rango de una función. Define dominio como el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente y rango como el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente. Explica cómo calcular el dominio y rango de funciones polinómicas, racionales, irracionales y exponenciales mediante la resolución de ecuaciones e inecuaciones. Incluye 13 ejercicios resueltos como ejemplos para ilustrar estos conceptos. El autor solicita comentarios y sugerencias de los lectores.
Un vector es un elemento de un espacio vectorial que cumple ciertos axiomas. En matemáticas, un vector puede ser un conjunto ordenado de elementos. Los vectores en R2 se ubican en un plano cartesiano y tienen un origen, dirección y sentido. Se grafican como una flecha desde el origen hasta el punto final.
Este documento contiene definiciones de conceptos básicos de física como fenómeno, energía, magnitud, medida, dimensión, cantidad, ecuaciones dimensionales y sistemas de unidades. También incluye definiciones de vectores, magnitudes escalares y vectoriales, y métodos para la suma y resta de vectores geométricos y analíticos. Por último, presenta conceptos fundamentales de mecánica como cinemática, movimiento rectilíneo uniforme, movimiento uniformemente variado, aceleración y ecuaciones del movimiento
Este documento describe cómo calcular la distancia entre dos puntos en un plano utilizando la fórmula de Pitágoras. Explica que la distancia entre dos puntos P y Q es la longitud del segmento que los une, y que para determinar esta longitud se debe considerar el triángulo rectángulo formado por los catetos correspondientes a las coordenadas de cada punto y aplicar el teorema de Pitágoras. Proporciona ejemplos para ilustrar cómo aplicar la fórmula.
El documento explica el teorema del binomio, que proporciona una fórmula para expandir la potencia n-ésima de un binomio (x + y)n como una suma de términos cuya forma es axbyc, donde b + c = n. Los coeficientes a de cada término son números combinatorios que siguen el patrón del triángulo de Tartaglia.
El alumno aprende a:
1) Reconocer y resolver ecuaciones de segundo y tercer grado.
2) Identificar el número de soluciones de una ecuación cuadrática a partir de su discriminante.
3) Resolver ecuaciones de tercer grado mediante la regla de Ruffini.
El documento presenta apuntes sobre álgebra lineal. Introduce conceptos básicos como matrices, operaciones con matrices como suma y multiplicación, y tipos de matrices como diagonales y triangulares. Explica el rango de una matriz y métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, como el método de Gauss. Finalmente, define determinantes de matrices y su uso para calcular matrices inversas.
Este documento presenta apuntes sobre álgebra lineal para estudiantes de ingeniería informática. Incluye definiciones básicas de matrices, operaciones con matrices como suma y multiplicación por escalares, y métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales como el método de Gauss. También cubre temas como determinantes, espacios vectoriales, aplicaciones lineales, ortogonalidad, autovalores y autovectores.
El documento trata sobre transformaciones lineales. Define una transformación lineal como una función que asigna a cada vector de un espacio vectorial a otro de forma que cumple dos propiedades: 1) es aditiva y 2) es homogénea. Presenta ejemplos de transformaciones lineales y no lineales. Explica que las matrices definen transformaciones lineales entre espacios vectoriales.
El documento habla sobre funciones racionales, que son funciones cuya fórmula es una expresión racional. Explica que el dominio de una función racional es el conjunto de valores de la variable que no anulan al denominador. También cubre cómo simplificar expresiones racionales cuando existen factores comunes en el numerador y denominador, y cómo encontrar ceros, asíntotas y cortes con los ejes de una función racional.
Este documento presenta información sobre funciones logarítmicas. Define una función logarítmica como una función de la forma y=logax donde a es la base y es un número real positivo distinto de 1. Explica que el logaritmo de un número es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Finalmente, muestra ejemplos de cómo calcular logaritmos y cómo graficar funciones logarítmicas.
Este documento presenta 36 problemas de cálculo integral y aplicaciones de integrales dobles. Los problemas cubren temas como calcular integrales dobles sobre diferentes regiones planas, encontrar áreas y volúmenes de sólidos de revolución, y aplicar el teorema de Guldin.
Este documento explica las características de las funciones constantes, pares e impares. Las funciones constantes tienen pendiente cero y su gráfica es una línea horizontal. Las funciones pares son simétricas respecto al eje y y satisfacen la ecuación f(-x)=f(x), mientras que las funciones impares satisfacen f(-x)=-f(x) y son simétricas respecto al origen luego de una rotación de 180 grados. Algunos ejemplos de funciones pares son x^2, cos(x) y valor absoluto, m
1) El documento define varios tipos de límites que involucran el infinito, como cuando una variable tiende al infinito o cuando una función tiende al infinito al acercarse a cierto punto. 2) Explica conceptos como dominio, recorrido, funciones acotadas y diferentes métodos para calcular límites. 3) Como ejemplo, calcula el límite lim (3-1) y determina dos límites adicionales.
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Este documento describe el método de separación de variables para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. Explica que si una ecuación diferencial de primer orden puede expresarse en una forma donde las variables independientes están separadas, entonces se puede resolver mediante integración directa. A continuación, presenta 25 ejemplos resueltos que ilustran cómo aplicar este método para separar variables y encontrar la solución de la ecuación diferencial.
Ecuaciones exponenciales y logaritmicasDavid Narváez
Este documento trata sobre ecuaciones exponenciales y logarítmica. Explica las funciones exponenciales, sus definiciones y propiedades como la potenciación de números, sumas y productos de exponentes. También cubre logaritmos, sus definiciones, identidades y cambios de base. Finalmente incluye ejemplos y preguntas para la comprensión del tema.
Este documento define las funciones logarítmicas, explica cómo resolver y graficar una función logarítmica, y da ejemplos de su aplicación. Las funciones logarítmicas tienen la forma f(x) = loga x, donde a es la base. Para resolver una, se cambian las variables por valores y se usa la propiedad exponencial. Para graficar una, se crea una tabla de valores y se traza el gráfico. Se aplican en ciencias para simplificar ecuaciones y medir solutos, y en informática para medir el rendimiento de algoritmos.
Este documento describe las funciones definidas a trozos y la función valor absoluto. Explica que una función definida a trozos se compone de "trozos" de otras funciones y muestra ejemplos de cómo dividir el eje x en regiones para graficar cada trozo. También explica que la función valor absoluto mantiene los signos positivos e invierte los negativos, lo que efectivamente la convierte en una función definida a trozos. Muestra ejemplos gráficos de ambos tipos de funciones.
Una función cuadrática es una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son números reales y a no es cero. Una función cuadrática describe la posición de un objeto lanzado verticalmente en función del tiempo, usando una ecuación cuadrática. Las raíces de una función cuadrática son los valores de x para los cuales la función es igual a cero y representan los puntos donde la parábola corta el eje x.
El documento describe los cuadrantes del plano cartesiano y cómo representar puntos en él usando coordenadas. También explica cómo calcular la distancia entre dos puntos y encontrar el punto medio de un segmento.
Este documento habla sobre funciones racionales. Define funciones racionales como una relación entre dos funciones polinómicas donde el denominador no es cero. Explica conceptos como dominio, asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. Proporciona ejemplos para encontrar el dominio y las asíntotas de funciones racionales específicas.
Este documento explica los conceptos de dominio y rango de una función. Define dominio como el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente y rango como el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente. Explica cómo calcular el dominio y rango de funciones polinómicas, racionales, irracionales y exponenciales mediante la resolución de ecuaciones e inecuaciones. Incluye 13 ejercicios resueltos como ejemplos para ilustrar estos conceptos. El autor solicita comentarios y sugerencias de los lectores.
Un vector es un elemento de un espacio vectorial que cumple ciertos axiomas. En matemáticas, un vector puede ser un conjunto ordenado de elementos. Los vectores en R2 se ubican en un plano cartesiano y tienen un origen, dirección y sentido. Se grafican como una flecha desde el origen hasta el punto final.
Este documento contiene definiciones de conceptos básicos de física como fenómeno, energía, magnitud, medida, dimensión, cantidad, ecuaciones dimensionales y sistemas de unidades. También incluye definiciones de vectores, magnitudes escalares y vectoriales, y métodos para la suma y resta de vectores geométricos y analíticos. Por último, presenta conceptos fundamentales de mecánica como cinemática, movimiento rectilíneo uniforme, movimiento uniformemente variado, aceleración y ecuaciones del movimiento
Este documento describe cómo calcular la distancia entre dos puntos en un plano utilizando la fórmula de Pitágoras. Explica que la distancia entre dos puntos P y Q es la longitud del segmento que los une, y que para determinar esta longitud se debe considerar el triángulo rectángulo formado por los catetos correspondientes a las coordenadas de cada punto y aplicar el teorema de Pitágoras. Proporciona ejemplos para ilustrar cómo aplicar la fórmula.
El documento explica el teorema del binomio, que proporciona una fórmula para expandir la potencia n-ésima de un binomio (x + y)n como una suma de términos cuya forma es axbyc, donde b + c = n. Los coeficientes a de cada término son números combinatorios que siguen el patrón del triángulo de Tartaglia.
El alumno aprende a:
1) Reconocer y resolver ecuaciones de segundo y tercer grado.
2) Identificar el número de soluciones de una ecuación cuadrática a partir de su discriminante.
3) Resolver ecuaciones de tercer grado mediante la regla de Ruffini.
El documento presenta apuntes sobre álgebra lineal. Introduce conceptos básicos como matrices, operaciones con matrices como suma y multiplicación, y tipos de matrices como diagonales y triangulares. Explica el rango de una matriz y métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, como el método de Gauss. Finalmente, define determinantes de matrices y su uso para calcular matrices inversas.
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Este documento trata sobre matrices y determinantes. Explica qué es una matriz, cómo se representan y las diferentes operaciones que se pueden realizar con ellas como suma, producto por escalar y producto de matrices. También introduce el concepto de determinante de una matriz cuadrada y algunas aplicaciones de las matrices.
guia algebra de lineal Msc.Jorge CamposFelipe Vargas
Este documento presenta los conceptos básicos de las matrices y las operaciones con ellas. Introduce la noción de matriz como un arreglo bidimensional de números, definiendo las filas, columnas y componentes de una matriz. Explica las diferentes clases de matrices como matrices cuadradas, matrices nulas e identidad. También define operaciones elementales con matrices como suma, multiplicación por escalar y producto de matrices.
Este documento presenta los conceptos básicos de álgebra lineal como matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y espacios vectoriales. En el capítulo 1 se definen matrices, operaciones con matrices, transformaciones elementales, determinantes, factorización triangular e inversa de matrices. Los capítulos siguientes tratan sobre sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales, aplicaciones lineales, ortogonalidad, autovalores y autovectores.
Este documento presenta los conceptos básicos de álgebra lineal como matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y espacios vectoriales. En el capítulo 1 se definen matrices, operaciones con matrices, transformaciones elementales, determinantes, factorización triangular e inversa de matrices. Los capítulos siguientes tratan sobre sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales, aplicaciones lineales, ortogonalidad, autovalores y autovectores.
Este documento presenta un resumen de álgebra lineal. Introduce conceptos clave como matrices, operaciones entre matrices como suma, resta y multiplicación, y propiedades de las matrices como matrices cuadradas, matrices diagonales, matrices identidad e inversas. También cubre temas como determinantes, sistemas de ecuaciones, vectores, planos, rectas y espacios vectoriales.
Este documento presenta un libro de texto sobre álgebra lineal dirigido a estudiantes de ingeniería en la Universidad de Costa Rica. El libro resume la experiencia de impartir el curso de álgebra lineal durante seis años y cubre temas básicos como sistemas de ecuaciones lineales, matrices, determinantes, programación lineal, geometría vectorial y más. Esta es la tercera edición del libro, con mejoras en los gráficos y ejercicios.
Este documento presenta un libro sobre matrices y sistemas lineales. El libro contiene información sobre conceptos básicos de matrices, operaciones con matrices, determinantes y sistemas lineales. El autor espera que el libro ayude a estudiantes de álgebra lineal a apropiarse de habilidades importantes mediante ejemplos resueltos, demostraciones y ejercicios.
Este documento presenta un libro sobre matrices y sistemas lineales. El libro contiene capítulos sobre conceptos básicos de matrices, operaciones con matrices, determinantes, y sistemas lineales. El autor desarrolla la teoría de manera rigurosa pero accesible para estudiantes de ingeniería y matemáticas. El libro incluye numerosos ejemplos y ejercicios resueltos.
Este documento presenta los conceptos básicos de álgebra lineal necesarios para trabajar con bloques de números. Introduce las definiciones de matriz, sus tipos principales y las operaciones elementales como suma, producto por escalar y producto de matrices. Explica cómo representar y manipular algebraicamente datos numéricos múltiples mediante estas herramientas.
Este documento presenta las notas de un curso de álgebra lineal dictado en la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires. Incluye los temas básicos de álgebra lineal como espacios vectoriales, subespacios, sistemas de ecuaciones lineales, independencia lineal, bases, matrices, transformaciones lineales, el espacio dual, determinantes, y diagonalización de matrices. Las notas están dirigidas a estudiantes de licenciatura y profesorado en matemáticas.
Este documento presenta un resumen de los conceptos fundamentales del álgebra. Introduce los sistemas de ecuaciones lineales y las matrices, y explica cómo resolver sistemas mediante el método de eliminación gaussiana. También define estructuras algebraicas como grupos, anillos y cuerpos. Finalmente, presenta los objetivos didácticos del documento, que son enseñar técnicas de álgebra lineal y aplicaciones a la informática.
es un estupendo libro le va a permitir desarrollar el tema de algebra en los temas de matrices y el algebra vectorial desde varios ejercicios de solucion
Este documento es un libro de texto sobre álgebra lineal desarrollado para estudiantes de ingeniería en la Universidad de Costa Rica. Presenta los temas básicos de la teoría de álgebra lineal, resaltando los aspectos geométricos y mostrando demostraciones y aplicaciones. Incluye abundantes ejercicios y una nueva edición en formato electrónico.
Documento completo _---matematica basica para agronomiaHaydee Melo Javier
Este documento presenta un libro de texto sobre matemática básica para ingeniería agronómica e ingeniería forestal. El libro contiene siete capítulos que cubren temas como ecuaciones, combinatoria, conjuntos en el plano, cónicas, vectores, matrices y determinantes, y sistemas de ecuaciones lineales. Fue escrito por Cecilia Zulema González y Horacio Agustín Caraballo y publicado por la Universidad Nacional de La Plata en 2013.
Este documento presenta un resumen de los temas centrales del álgebra lineal. Introduce conceptos clave como matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales, aplicaciones lineales y endomorfismos. El documento está organizado en seis temas principales que cubren estas áreas fundamentales del álgebra lineal.
Este documento presenta un resumen de conceptos básicos de álgebra, geometría y trigonometría para estudiantes universitarios. El capítulo 1 cubre números reales, exponentes, radicales, factorización, ecuaciones de primer y segundo grado, y sistemas de ecuaciones. El capítulo 2 trata ángulos, triángulos, paralelogramos, volúmenes y problemas geométricos. El capítulo 3 explica funciones trigonométricas, identidades trigonométricas y la solución de triángulos.
Algebra lineal para estudiantes de Ingenieria y Ciencias.pdfJesusRenatoMontoyaMo
Este documento presenta un libro de álgebra lineal para estudiantes de ingeniería y ciencias. El libro contiene información sobre matrices, sistemas lineales, determinantes, espacios vectoriales y otros temas relacionados. Está dividido en dos partes principales y varios capítulos dentro de cada parte. La primera parte cubre temas como matrices, operaciones con matrices, sistemas lineales y su resolución, y determinantes. La segunda parte trata sobre espacios vectoriales, producto interior, normas, valores y vectores propios. El libro
Aplicacion de ecuasiones de primer ordenwhitecrow2013
Este documento presenta un resumen de tres capítulos sobre ecuaciones diferenciales. Introduce conceptos básicos de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo definiciones, resolución de diferentes tipos de ecuaciones y aplicaciones. Luego cubre ecuaciones diferenciales lineales de orden superior, con énfasis en las lineales con coeficientes constantes. Finalmente, analiza sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden lineales.
3. 1 MATRICES Y DETERMINANTES
Este primer cap´ıtulo est´a dedicado a introducir los conceptos b´asicos relativos
a las matrices y determinantes. Aunque tales cuestiones son de un amplio
uso en diferentes sectores no s´olo de la econom´ıa sino de cualquier disciplina
del saber, nosotros inicialmente usaremos dichos conceptos como herramienta
adecuada para la resoluci´on, en el siguiente cap´ıtulo, de sistemas de ecua-
ciones lineales. As´ı la estructura del cap´ıtulo y los conceptos en ´el estudiados
persiguen primordialmente dicho objetivo.
1.1 DEFINICIONES B´ASICAS
Llamamos matriz de n´umeros reales con m filas y n columnas, o de tipo m × n, a
una lista de n´umeros reales ordenados en la forma:
A = (aij)m×n =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn
donde aij ∈ R, para todo i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. El elemento aij es el que se
encuentra en la fila i y la columna j. Al conjunto de todas las matrices de orden
m×n se le denota mediante Mm×n. Cuando una matriz es del tipo 1×n se le llama
matriz fila o vector fila de orden n y una matriz columna o vector columna de orden
m si es del tipo m × 1.
Dos matrices se dicen iguales si tienen igual n´umero de filas y columnas y coinciden
elemento a elemento.
Ejemplo 1.1
• La matriz A =
−2 1 0
4 2 4
es una matriz de orden 2 × 3.
La matriz B =
1
0
es una matriz columna de orden 2.
1
4. 2 DEFINICIONES B´ASICAS
Dada una matriz A = (aij), una submatriz de A es cualquier matriz obtenida desde
A suprimiendo filas y/o columnas.
Ejemplo 1.2
• Dada la matriz A =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 0 1 2
, la matriz
B =
6 7 8
0 1 2
es una submatriz de A obtenida suprimiendo la primera fila y la primera columna
de A. De igual forma, la matriz
C =
1 2 4
5 6 8
9 0 2
es la submatriz de A obtenida suprimiendo la tercera columna de A.
Una matriz con igual n´umero de filas que de columnas (de tipo n×n) se dice que es
una matriz cuadrada de orden n. Denotaremos mediante Mn al conjunto de matrices
cuadradas de orden n.
Sea A ∈ Mm×n. La matriz transpuesta de A, At
∈ Mn×m, es la matriz que se
obtiene, desde A, cambiando la posici´on de las filas y columnas, entre s´ı.
Ejemplo 1.3
•
1 0 −1
2 3 2
es la matriz transpuesta de
1 2
0 3
−1 2
.
De forma evidente, se obtiene la propiedad (At
)t
= A.
La matriz de orden m × n con todos los elementos nulos se llama matriz cero. Se
denotar´a mediante 0m×n o simplemente por 0.
0 =
0 0 0 . . . 0
0 0 0 . . . 0
0 0 0 . . . 0
...
...
...
...
...
0 0 0 . . . 0
.
Dada A ∈ Mn, la diagonal principal de A es la matriz fila
(a11, a22, . . . , ann).
Es decir, los elementos en negrita en la figura siguiente:
A =
a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n
a31 a32 a33 . . . a3n
...
...
...
...
...
an1 an2 an3 . . . ann
.
5. MATRICES Y DETERMINANTES 3
La traza de A ∈ Mn, tr(A), es la suma de los elementos de la diagonal principal:
tr(A) = a11 + a22 + · · · + ann =
n
i=1
aii.
Ejemplo 1.4
• La traza de la matriz A =
−1 0 3
0 0 1
2
0 0 −1
es
tr(A) = a11 + a22 + a33 = −1 + 0 − 1 = −2.
Una matriz cuadrada A se dice triangular superior (inferior) si todos los elementos
por debajo (encima) de la diagonal principal son nulos y se llamar´a diagonal si es
tanto triangular superior como triangular inferior (esto es, todo elemento fuera de la
diagonal es cero). En muchas ocasiones, para simplificar la notaci´on, designaremos
por diag(a1, a2, · · · , an) a la matriz diagonal
diag(a1, a2, · · · , an) =
a1 0 0 · · · 0
0 a2 0 · · · 0
...
...
...
...
...
0 0 0 · · · an
.
Ejemplo 1.5
• Las matrices
−1 0 3
0 0 1
2
0 0 −1
,
1 0 0 0
1 1 0 0
1 1 1 0
1 1 1 1
y
1 0
0 1
son, respectivamente, triangular superior, triangular inferior y diagonal.
Llamamos matriz identidad de orden n y la denotaremos por In ´o simplemente por
I, a la matriz diagonal de orden n con todos los elementos de la diagonal principal
iguales a 1.
In = diag(1, 1,
n)
· · ·, 1) =
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
...
...
...
...
0 0 . . . 1
.
6. 4 OPERACIONES CON MATRICES.
1.2 OPERACIONES CON MATRICES.
1.2.1 Suma de matrices.
No siempre es posible sumar dos matrices, para ello ser´a necesario que ambas sean
del mismo tipo. Dadas dos matrices A = (aij), B = (bij) ∈ Mm×n la matriz suma
de A y B es una matriz (del mismo tipo a las anteriores), A + B = C ∈ Mm×n,
cuyos elementos se obtienen sumando t´ermino t´ermino a t´ermino los elementos de
A y de B, es decir, cij = aij + bij, i = 1, 2, · · · , m, j = 1, 2, · · · , n.
A + B =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn
+
b11 b12 . . . b1n
b21 b22 . . . b2n
...
...
...
...
bm1 bm2 . . . bmn
=
a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n
a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n
...
...
...
...
am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn
.
Ejemplo 1.6
• Si A =
1 2
3 4
y B =
−2 0
1 −4
, entonces
A + B =
1 2
3 4
+
−2 0
1 −4
=
−1 2
4 0
.
Como primeras propiedades de la suma de matrices obtenemos las siguientes:
7. Resultado 1.2.1 Sean A, B, C ∈ Mm×n y 0 ∈ Mm×n la matriz cero. En-
tonces se verifica:
• (Conmutativa) A + B = B + A.
• (Asociativa) A + (B + C) = (A + B) + C.
• (Elemento neutro) A + 0 = 0 + A = A.
• (Elemento opuesto) Existe una matriz A ∈ Mm×n, que llamaremos matriz
opuesta de A, tal que A + A = 0.
• (A + B)t
= At
+ Bt
.
Resulta inmediato comprobar que la matriz A se obtiene cambiando de signo todos
los elementos de la matriz A, es decir, aij = −aij, i = 1, 2, · · · , n, j = 1, 2, · · · , m.
En lo sucesivo denotaremos a esta matriz por −A.
8. MATRICES Y DETERMINANTES 5
1.2.2 Producto de una matriz por un n´umero.
Sea A ∈ Mm×n y λ ∈ R, definimos la matriz producto de λ por A, y la denotamos
mediante λ · A ∈ Mm×n como:
λ ·
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn
=
λ a11 λ a12 . . . λ a1n
λ a21 λ a22 . . . λ a2n
...
...
...
...
λ am1 λ am2 . . . λ amn
.
Con esta definici´on resulta que la matriz opuesta de A es precisamente la matriz
(−1) · A, es decir, −A = (−1) · A.
Ejemplo 1.7
4 ·
1 −1 2 0
2 3 0 0
=
4 −4 8 0
8 12 0 0
.
9. Resultado 1.2.2 Sean λ, µ ∈ R y A, B ∈ Mm×n. Entonces se cumplen las
siguientes propiedades:
• (Distributiva respecto a la suma de matrices) λ · (A + B) = λ · A + λ · B,
• (Distributiva respecto a la suma de escalares) (λ + µ) · A = λ · A + µ · A,
• (Elemento unidad) 1 · A = A,
• (Pseudoasociativa) (λ µ) · A = λ · (µ · A),
• λ · 0 = 0, 0 · A = 0,
• (λ · A)t
= λ · At
,
Una matriz cuadrada A se dice sim´etrica si coincide con su transpuesta, esto es,
A = At
. Esto, a su vez, se traduce en la relaci´on entre coeficientes siguiente: aij =
aj i, para cualesquiera i, j = 1, . . . , n.
La matriz cuadrada A se dir´a antisim´etrica si, cumple que At
= −A. Esto es, si
aij = −aji, para cualesquiera i, j = 1, . . . , n. Es f´acil deducir, empleando la relaci´on
entre coeficientes anterior para el caso i = j, que los elementos de la diagonal
principal de matrices antisim´etricas son todos nulos.
Ejemplo 1.8
•
1 2 −1
2 4 0
−1 0 6
es una matriz sim´etrica y
0 2 −1
−2 0 3
1 −3 0
es antisim´etrica.
Toda matriz cuadrada se puede expresar como suma de una matriz sim´etrica y otra
antisim´etrica. M´as concretamente, dada la matriz A ∈ Mn se puede escribir como
A = B + C,
donde B es la matriz sim´etrica B = 1
2
(A + At
) y C es la matriz antisim´etrica
C = 1
2
(A − At
).
10. 6 OPERACIONES CON MATRICES.
Ejemplo 1.9
• Dada la matriz A =
1 4 −2
0 4 3
0 −3 6
, entonces A = B + C, donde
B =
1
2
(A + At
) =
1 2 −1
2 4 0
−1 0 6
es una matriz sim´etrica y
C =
1
2
(A − At
) =
0 2 −1
−2 0 3
1 −3 0
es antisim´etrica.
1.2.3 Producto de matrices.
Al igual que ocurr´ıa con la suma, no siempre ser´a posible multiplicar dos matrices
entre s´ı. De hecho, s´olo existir´a la multiplicaci´on cuando exista una cierta compat-
ibilidad entre el n´umero de filas y columnas de ambas. M´as concretamente, dadas
las matrices A ∈ Mm×n y B ∈ Mn×p se define la matriz producto de A y B, y
la notaremos por A · B, como una matriz C = A · B ∈ Mn×p cuyos elementos se
obtienen en la forma
cij =
n
r=1
airbrj, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , p.
Es decir, el elemento de la matriz A · B en la posici´on (i, j) se obtiene sumando los
productos t´ermino a t´ermino de los elementos de la fila i de A y la columna j de B.
Ejemplo 1.10
−1 1
2 3
0 −2
2 0
4×2
·
2 −1 0
1 −1 1 2×3
=
−1 · 2 + 1 · 1 −1 · (−1) + 1 · (−1) −1 · 0 + 1 · 1
2 · 2 + 3 · 1 2 · (−1) + 3 · (−1) 2 · 0 + 3 · 1
0 · 2 − 2 · 1 0 · (−1) − 2 · (−1) 0 · 0 − 2 · 1
2 · 2 + 0 · 1 2 · (−1) + 0 · (−1) 2 · 0 + 0 · 1
=
−1 0 1
7 −5 3
−2 2 −2
4 −2 0
4×3
11. Propiedad 1.2.1 Propiedades del producto de matrices
• (A · B) · C = A · (B · C), para A ∈ Mm×n, B ∈ Mn×p y C ∈ Mp×q.
• (A + B) · C = A · C + B · C, para A, B ∈ Mm×n y C ∈ Mm×p.
• A · (B + C) = A · B + A · C, para A ∈ Mm×n y B, C ∈ Mm×n.
• I · A = A · I = A, 0 · A = A · 0 = 0, donde las matrices I y 0 han sido
convenientemente elegidas, para que tengan sentido las operaciones, y A ∈
Mn×m.
• (A · B)t
= Bt
· At
, para A ∈ Mm×n y B ∈ Mn×p.
12. MATRICES Y DETERMINANTES 7
Una observaci´on interesante es que, en general, el producto de matrices, a´un cuando
est´e definido en ambos sentidos, no siempre es conmutativo. Es decir, dadas matrices
A ∈ Mm×n y B ∈ Mn×m, A · B no tiene porqu´e coincidir con B · A. (De hecho,
A·B ∈ Mm y B ·A ∈ Mn; la propiedad conmutativa tampoco es cierta, en general,
para el caso m = n).
1.2.4 Matriz inversa
Una matriz B ∈ Mn se dice inversa de otra A ∈ Mn si satisfacen las igualdades
A · B = B · A = I.
En tal caso, a la matriz B se le denotar´a mediante A−1
y, como es l´ogico, tambi´en
A es inversa de B, (es decir, A = B−1
y A = (A−1
)−1
).
Adem´as, la matriz inversa de A, en caso de existir, es siempre ´unica. Una matriz
A ∈ Mn que posee inversa se le llama matriz regular. En caso contrario, se dice que
A es singular.
Ejemplo 1.11
• La matriz
1 1
1 0
es inversa de
0 1
1 −1
, pues
1 1
1 0
0 1
1 −1
=
0 1
1 −1
1 0
0 1
=
1 0
0 1
1.2.5 Potencia de una matriz
Dada una matriz cuadrada A y n´umero natural k ∈ N , donde N0 = N∪0, definimos
la potencia k-´esima de A, de forma inductiva como
Ak
=
I si k = 0
Ak−1
· A si k 0
Las potencias de matrices, como productos matriciales que son, se rigen por las
mismas propiedades del producto de matrices; sin embargo, destacamos dos nuevas
propiedades de particular inter´es.
13. Resultado 1.2.3 Propiedades de las potencias de una matriz:
• Dada A ∈ Mn y k, l ∈ N0,
Ak
· Al
= Al
· Ak
= Ak+l
, (Ak
)l
= Akl
.
• Si A ∈ Mn es una matriz diagonal, esto es,
A = diag(a1, a2, · · · , an)
y k ∈ N0, entonces Ak
es tambi´en una matriz diagonal, siendo
Ak
= diag ak
1, ak
2, · · · , ak
n .
14. 8 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA.
1.3 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA.
1.3.1 Determinantes de orden 2
Supongamos que queremos resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos
inc´ognitas
S ≡
a11x1 + a22x2 = c1
a21x1 + a22x2 = c2
(1.3.1)
Usando el producto matricial y la igualdad de matrices, el sistema anterior puede
escribirse matricialmente en la forma
a11 a12
a21 a22
x1
x2
=
c1
c2
.
La matriz A =
a11 a12
a21 a22
se denomina matriz de coeficientes del sistema.
Para resolver el sistema (1.3.1) aplicamos el m´etodo de reducci´on: (multiplicamos
la primera ecuaci´on por a22 y la segunda ecuaci´on por −a12)
a22(a11x1 + a22x2) = c1a22
−a12(a21x1 + a22x2) = −c2a12
⇒
a11a22x1 + a12a22x2 = c1a22
−a21a12x1 − a22a12x2 = −c2a12
Sumando ambas ecuaciones se obtiene:
(a11a22 − a21a12)x1 = c1a22 − c2a12.
Si a11a22 − a21a12 = 0, entonces x1 =
c1a22 − c1a21
a11a22 − a21a12
.
Procediendo de forma an´aloga se llegar´ıa a que x2 =
c2a11 − c1a21
a11a22 − a21a12
.
El n´umero a11a22 − a12a21 se denomina determinante de la matriz A y se denota
por
det(A) = det
a11 a12
a21 a22
= |A| =
a11 a12
a21 a22
= a11a22 − a12a21.
Utilizando la definici´on de determinante podemos enunciar el siguiente resultado
conocido como regla de Cramer para sistemas de orden 2 × 2.
15. Resultado 1.3.1 (Regla de Cramer para sistemas de orden 2 × 2)
Si el determinante de la matriz de coeficientes del sistema (1.3.1) es distinto de
cero, entonces las soluci´on de (1.3.1) viene dada por
x1 =
c1 a12
c2 a22
a11 a12
a21 a22
, x2 =
a11 c1
a21 c2
a11 a12
a21 a22
.
1.3.1.1 Propiedades de los determinantes de orden 2. Enunciamos a conti-
nuaci´on algunas de las propiedades de los determinantes de orden 2 cuya com-
probaci´on resulta inmediata. Dichas propiedades se generalizar´an posteriormente a
determinantes de orden superior.
17. Resultado 1.3.2
a) El determinante de una matriz coincide con el de su transpuesta
a11 a12
a21 a22
=
a11 a21
a12 a22
.
(Esta propiedad nos permite que todos los resultados que enunciamos a continuaci´on
para las filas de una matriz sean tambi´en v´alidos para las columnas).
b) Si una matriz tiene una fila (columna) de ceros, su determinante es cero.
c) Si intercambiamos dos filas (columnas) de una matriz, el determinante cambia
de signo.
d) Si una matriz tiene sus dos filas (columnas) iguales su determinante es cero.
e) Si multiplicamos cada elemento de una fila (columna) por un n´umero, el de-
terminante queda multiplicado por ese n´umero,
λa11 a12
λa21 a22
= λ
a11 a12
a21 a22
.
f) Si una matriz tiene dos filas (columnas) proporcionales, el determinante vale
cero.
g) Si los elementos de una fila (columna) de una matriz vienen expresados como
suma de dos elementos, entonces el determinante se descompone en suma de
dos determinantes del siguiente modo
a11 + a11 a12
a21 + a21 a22
=
a11 a12
a21 a22
+
a11 a12
a21 a22
.
h) Si a una fila (columna) le sumamos la otra fila (columna) multiplicada por un
n´umero, el determinante no cambia.
a11 + λa12 a12
a21 + λa22 a22
=
a11 a12
a21 a22
.
1.3.1.2 Una interpretaci´on geom´etrica del determinante. En el siguiente para-
lelogramo se representa gr´aficamente la suma de los vectores (x1, y1) y (x2, y2).
(x1, y1)
(x2, y2)
Para calcular el ´area comprobamos que
18. 10 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA.
y1
y2
x2 x1
A
B
C
D
E
F
´Area del paralelogramo
= ´Area del rect´angulo − ´Area de A
− ´Area de B − · · · − ´Area de F
= (x1 + x2)(y1 + y2) − x2y1 − x1y1/2
− x2y2/2 − x2y2/2 − x1y1/2 − x2y1
= x1y2 − x2y1
As´ı, es f´acil concluir que el ´area del paralelogramo coincide con el valor del deter-
minante siguiente
x1 x2
y1 y2
= x1y2 − x2y1 .
1.3.2 Determinantes de orden 3
Los determinantes de orden 3 surgen de forma an´aloga al considerar un sistema
lineal de 3 ecuaciones y 3 inc´ognitas
S ≡
a11x1 + a12x2 + a13x3 = c1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = c2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = c3
⇔
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a23
x1
x2
x3
=
c1
c2
c3
.
Mediante un proceso de reducci´on (un poco m´as engorroso) se llega a expresiones
del tipo
x1 =
∆1
∆
, x2 =
∆2
∆
, x3 =
∆3
∆
,
supuesto que ∆ = 0, donde
∆ = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 − a31a22a23 − a21a12a33 − a11a32a23. (1.3.2)
El valor de ∆ se llama determinante de la matriz A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a23
y se denota
por
det(A) = det
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a23
= |A| =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a23
.
Para recordar la f´ormula (1.3.2) se recurre a la regla de Sarrus. Para ello se repiten
las dos primeras filas del determinante. Las diagonales trazadas desde a11, a21 y a31
corresponden a los sumandos positivos y las diagonales trazadas desde a13, a23 y a33
a los sumandos negativos.
+ a11 a12 a13
+ a21 a22 a23
+ a31 a32 a33
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a11 a12 a13 −
a21 a22 a23 −
a31 a32 a33 −
a11 a12 a13
a21 a22 a23
19. MATRICES Y DETERMINANTES 11
Ejemplo 1.12
1 −1 0
2 2 0
3 −2 1
= 1 · 2 · 1 − 1 · 0 · 3 − 2 · 2 · 0 − 2 · 3 · 0 + 1 · 2 · 1 + 1 · 2 · 0 = 4.
1.3.2.1 Propiedades de los determinantes de orden 3. Las propiedades de los
determinantes de orden 3 son an´alogas a las de los determinantes de orden 2. De
hecho las propiedades a)-g) que figuran en la Proposici´on 1.3.2 se enuncian exacta-
mente igual para determinantes de orden 3. Por otra parte, la propiedad h) admite
una formulaci´on m´as general.
20. Resultado 1.3.3
h) Si a una fila (columna) le sumamos una combinaci´on lineal de las restantes
filas (columnas), el determinante no var´ıa.
i) Si una fila (columna) es combinaci´on lineal de las restantes filas (columnas),
el determinante es cero.
La propiedad h) es especialmente interesante porque nos permite efectuar transfor-
maciones en las filas y columnas de una matriz A sin que se altere el valor de su
determinante. De hecho est´e ser´a el procedimiento que seguiremos para el c´alculo
de determinantes de orden superior.
1.3.3 Menor complementario y adjunto de un elemento
Consideremos la matriz
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a23
.
Se llama menor complementario del elemento aij, y lo representamos por αij, al
determinante de la submatriz de orden 2 × 2 obtenida al suprimir la fila i y la
columna j de la matriz A, es decir, al suprimir la fila y la columna en la que se
encuentra dicho elemento. Por ejemplo:
α11 =
a22 a23
a32 a33
, α23 =
a11 a12
a31 a32
, a22 =
a11 a13
a31 a33
.
Se llama adjunto del elemento aij, y lo denotaremos por Aij, al n´umero
Aij = (−1)i+j
αij,
es decir, el adjunto del elemento aij tiene el mismo valor que el menor complemen-
tario αij anteponiendo el signo + o − seg´un que la suma de los ´ındices i, j sea par
o impar. Por ejemplo:
A11 = (−1)1+1
α11 =
a22 a23
a32 a33
, A23 = (−1)2+3
α23 = −
a11 a12
a31 a32
.
22. Resultado 1.3.4 El determinante de la matriz A se puede obtener como la
suma de los elementos de una fila o columna multiplicados por sus adjuntos corre-
spondientes
Comprobemos que se cumple esta propiedad. En efecto,
|A| = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 − a31a22a23 − a21a12a33 − a11a32a23
= a11(a22a33 − a32a23) − a12(a21a33 − a31a23) + a13(a21a32 − a31a22)
= a11
a22 a23
a32 a33
− a12
a21 a23
a31 a33
+ a13
a21 a22
a31 a32
= a11A11 + a12A12 + a13A13. (1.3.3)
En la expresi´on (1.3.3) se dice que el determinante se obtiene desarrollando los
elementos de la primera fila por sus adjuntos correspondientes. De igual forma puede
comprobarse f´acilmente que se obtiene el mismo resultado desarrollando por los
elementos de cualquier fila o columna.
1.3.3.1 Interpretaci´on geom´etrica de un determinante de orden 3. Tambi´en
puede darse una interpretaci´on geom´etrica para determinantes de orden 3. En este
caso, el volumen del paralelep´ıpedo determinado por los vectores
(x1, y1, z1), (x2, y2, z2) y (x3, y3, z3)
coincide (salvo el signo) con el valor del determinante de la matriz cuyas filas o
columnas vienen dadas por las coordenadas de los vectores.
Ejemplo 1.13
• El volumen de la siguiente figura puede calcularse mediante el determinante
(2, 0, 2)
(0, 3, 1)
(−1, 0, 1)
2 0 −1
0 3 0
2 1 1
= 12
1.3.4 Determinantes de orden superior
La generalizaci´on de la definici´on de adjunto a matrices de orden n y la Proposici´on
1.3.4 nos permitir´an calcular, de forma inductiva, el determinante de una matriz
cuadrada de orden superior a 3. Basta observar que los menores complementarios
de los elementos de una matriz de orden 4 ser´an determinantes de orden 3 que ya
sabemos calcular. De hecho vamos a definir los determinantes de orden superior
utilizando un desarrollo an´alogo al dado en la expresi´on (1.3.3).
23. MATRICES Y DETERMINANTES 13
Sea A una matriz cuadrada de orden n
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
an1 an2 . . . ann
,
se define el determinante de A, y lo notaremos por cualquiera de las expresiones
siguientes,
det(A) = det
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
an1 an2 . . . ann
= |A| =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
an1 an2 . . . ann
,
al valor obtenido desarrollando los elementos de la primera fila por sus adjuntos
correspondientes, es decir,
det(A) = a11A11 + a12A12 + · · · + a1nA1n =
n
j=1
a1jA1j. (1.3.4)
Observaciones:
• El adjunto de un elemento tiene el mismo significado que el dado para matrices
cuadradas de orden 3.
• La definici´on de determinante dada en (1.3.4) es inductiva, es decir, si sabemos
calcular determinantes de orden 2 sabemos calcular de orden 3 y, por tanto, de
orden 4 y, por tanto, de orden 5, etc.
• Puede probarse que el valor dado en (1.3.4) no var´ıa si hacemos el desarrollo
por los elementos de cualquier otra fila o columna.
• De igual forma, puede probarse por inducci´on, que los determinantes de orden
superior cumplen las mismas propiedades que las enunciadas para determinantes
de orden 2 y 3.
Ejemplo 1.14
7 4 1 9
2 0 6 3
5 1 6 11
−1 7 2 8
=−4
2 6 3
5 6 11
−1 2 8
+ 0
7 1 9
5 6 11
−1 2 8
− 1
7 1 9
2 6 3
−1 2 8
+ 7
7 1 9
2 6 3
5 6 11
= 1628.
En el ejemplo anterior hemos calculado el determinante haciendo el desarrollo de los
elementos de la segunda columna por sus adjuntos correspondientes. El c´alculo del
determinante queda reducido al c´alculo de (como m´aximo) 4 determinantes de orden
3. Observemos que la presencia de un cero en el elemento a22 de la matriz nos ahorra
el c´alculo del adjunto correspondiente en el desarrollo. Por tanto, resulta conveniente
utilizar para el desarrollo del determinante aquella fila o columna que tenga mayor
n´umero de ceros. La presencia de un cero nos ahorra c´alculos y tiempo. Precisamente
en esto se basa la t´ecnica de c´alculo de determinantes de orden superior: “Si no hay
ceros, los hacemos”. Para ello utilizaremos la propiedad h) de los determinantes:
“Si a una fila (columna) le sumamos una combinaci´on lineal de las restantes filas
(columnas), el determinante no var´ıa”.
24. 14 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA.
Ejemplo 1.15
7 4 1 9
2 0 6 3
5 1 6 11
−1 7 2 8
=
F1 → F1 − 4F3
F2 → F2
F3 → F3
F4 → F4 − 7F3
=
−13 0 −23 −35
2 0 6 3
5 1 6 11
−36 0 −40 −69
=
desarrollando por
los elementos de la
segunda columna
= −1
−13 −23 −35
2 6 3
−36 −40 −69
= 1628.
Otras propiedades interesantes de los determinantes vienen recogidas en la propo-
sici´on siguiente:
25. Resultado 1.3.5 Sean A, B ∈ Mn, entonces
a) Si A ∈ Mn es una matriz triangular, entonces el determinante de A se obtiene
multiplicando los elementos situados en la diagonal principal, es decir,
|A| = a11a22 · · · ann.
b) En particular, si A es una matriz diagonal A = diag(a1, a2, · · · , an), entonces
|A| = a1a2 · · · an.
En particular, |I| = 1.
c) (F´ormula de Binet-Cauchy): |A · B| = |A| · |B|.
d) A es regular si, y s´olo si, |A| = 0. Adem´as, en tal caso, |A−1
| =
1
|A|
.
e) |Ak
| = |A|k
, para k ∈ N0.
1.3.5 Matriz adjunta. C´alculo de la matriz inversa
Dada una matriz A ∈ Mn se define la matriz adjunta de A, y se denota por adj(A),
a la matriz cuyos elementos en la posici´on (i, j) son los adjuntos Aij de la matriz A.
El c´alculo de la matriz adjunta nos proporciona un m´etodo para calcular la matriz
inversa, A−1
, de una matriz A regular.
26. Resultado 1.3.6 Sea A ∈ Mn una matriz regular, entonces
A−1
=
1
|A|
adj(A)
t
=
1
|A|
adj At
.
Ejemplo 1.16
• Supongamos que queremos calcular la inversa de la matriz
A =
1 1 1 1
−1 0 0 1
1 2 1 −1
3 0 0 1
.
27. MATRICES Y DETERMINANTES 15
En primer lugar hemos de probar que A es una matriz regular. Para ello calculamos
su determinante
|A| =
1 1 1 1
−1 0 0 1
1 2 1 −1
3 0 0 1
=
F1 → F1
F2 → F2
F3 → F3 − F1
F4 → F4
=
1 1 1 1
−1 0 0 1
0 1 0 −2
3 0 0 1
= 1
−1 0 1
0 1 −2
3 0 1
= −4.
Como el determinante es distinto de cero, la matriz A es regular. Ahora determi-
namos la matriz adjunta, calculando los adjuntos de cada uno de los elementos de
la matriz A,
A11 =
0 0 1
2 1 −1
0 0 1
= 0, A12 = −
−1 0 1
1 1 −1
3 0 1
= 4, · · ·
La matriz adjunta viene dada por
adj(A) =
0 4 −8 0
1 −6 8 −3
0 −4 4 0
−1 −2 4 −1
.
Finalmente, la matriz inversa ser´a
A−1
=
1
|A|
adj(A)
t
= −
1
4
0 1 0 −1
4 −6 −4 −2
−8 8 4 4
0 3 0 −1
t
=
0 −1
4 0 1
4
−1 3
2 1 1
2
2 −2 −1 −1
0 3
4 0 1
4
.
Tambi´en con ayuda del Mathematica podr´ıamos haber obtenido dicho inversa
1.4 RANGO DE UNA MATRIZ.
Si en una matriz A ∈ Mm×m seleccionamos r filas y r columnas (r ≤ m, r ≤ n)
se forma una submatriz cuadrada de orden r. Al determinante de esta matriz lo
llamaremos menor de orden r de la matriz A.
El rango de A es el mayor de los ordenes de los menores de A no nulos; es decir, el
mayor orden de las submatrices cuadradas de A con determinante distinto de cero.
De forma evidente, se cumple que si A es una submatriz de B, entonces el rango de
A es siempre menor o igual que el rango de B.
Ejemplo 1.17
• La matriz A =
1 −1 1
0 0 2
1 2 1
0 0 1
tiene rango 3.
28. 16 RANGO DE UNA MATRIZ.
En efecto, la submatriz cuadrada de orden 3 obtenida a partir de la matriz A selec-
cionando las 3 primeras filas y las 3 primeras columnas
1 −1 1
0 0 2
1 2 1
tiene determinante no nulo.
Este nuevo concepto nos permite obtener una caracterizaci´on de las matrices regu-
lares en funci´on de ´el.
29. Resultado 1.4.1 Una matriz cuadrada A ∈ Mn es regular si, y s´olo si, su
rango es n.
Como es l´ogico, desde esta proposici´on tambi´en se concluye una caracterizaci´on de
la singularidad de una matriz cuadrada: A ∈ Mn es singular si, y s´olo si, su rango
es estrictamente menor que n.
1.4.1 C´alculo del rango de una matriz
Para la determinaci´on del rango de una matriz resulta conveniente tener en cuenta
las siguientes observaciones:
• De la definici´on inductiva de los determinantes se deduce inmediatamente que
si todos los memores de orden r de una matriz A son nulos, entonces tambi´en
ser´an nulos todos los menores de orden mayor que r que pudieran formarse en la
matriz A. Esto nos sugiere una estrategia para calcular el rango de una matriz:
seleccionar menores no nulos comenzando por menores de orden 1, 2, etc.
• Como sabemos, la operaci´on de sumar a una fila (columna) una combinaci´on
lineal de las restantes filas (columnas) no afecta al valor del determinante de
una matriz y, por tanto, dicha operaci´on tampoco afectar´a al rango de la matriz.
De igual modo las operaciones de permutaci´on de filas o columnas (que s´olo
afectan al signo del determinante) y la de multiplicaci´on de los elementos de
una fila o columna por un n´umero distinto de cero (que s´olo afecta al valor del
determinante pero no al hecho de que ´este sea o no distinto de cero), tampoco
alterar´a el valor del rango de la matriz.
Estas operaciones se llamar´an operaciones elementales y constituyen una buena
herramienta para simplificar el c´alculo del rango de una matriz.
• Por otra parte, tambi´en sabemos que si una matriz cuadrada tiene una fila
(columna) que es combinaci´on lineal de las restantes filas (columnas), el deter-
minante vale cero. Esto se traduce en la siguiente propiedad: si una matriz tiene
una fila (columna) que es combinaci´on lineal de las restantes filas (columnas),
dicha fila (columna) puede suprimirse dado que no afectar´a al rango de la ma-
triz.
Las observaciones anteriores nos sugieren el siguiente procedimiento para calcular el
rango de una matriz:
30. MATRICES Y DETERMINANTES 17
1) Comprobar si hay alguna fila (columna) que sea combinaci´on lineal de las
restantes filas (columnas). En tal caso, ´esta se suprime.
2) Seleccionar un menor de orden 2 que sea distinto de cero y marcarlo sobre la
matriz. Si esto no es posible, el rango ser´ıa 1 (salvo en el caso trivial de que
todos los elementos de la matriz sean cero en que el rango ser´ıa 0).
3) Formar posibles menores de orden 3 que contengan al menor de orden 2 selec-
cionado anteriormente (este proceso se llama orlar filas o columnas). Si todos
estos menores son cero, el rango ser´ıa 2; en caso contrario tomar´ıamos el menor
de orden 3 y continuamos estudiando los de orden 4, etc.
Ejemplo 1.18
• Para calcular el rango de la matriz
A =
−1 3 0 1 2
0 5 1 2 3
−3 −1 −2 −1 0
3 11 4 5 6
,
procedemos de la siguiente manera:
1) Comprobamos si hay alguna fila (columna) que sea combinaci´on lineal de las
restantes filas (columnas). Aparentemente no.
2) Buscamos un menor de orden 2 que sea distinto de cero y lo se˜nalamos en la
matriz. En nuestro caso, el menor obtenido tomando las dos primeras filas y las
dos primeras columnas satisface esta condici´on,
−1 3
0 5
= −5 = 0.
3) Orlamos la 3a fila y formamos menores de orden 3 con las columnas 3a, 4a y 5a.
−1 3 0
0 5 1
−3 −1 −2
= 0,
−1 3 1
0 5 2
−3 −1 −1
= 0,
−1 3 2
0 5 3
−3 −1 0
= 0.
Todos los menores de orden 3 obtenidos orlando la 3a fila son cero, lo cual
significa que la 3a fila es combinaci´on lineal de la 1a y 2a filas y, por tanto, puede
suprimirse.
4) Continuamos formando determinantes de orden 3 orlando ahora la 4a fila con las
columnas 3a, 4a y 5a.
−1 3 0
0 5 1
3 11 4
= 0,
−1 3 1
0 5 2
3 11 5
= 0,
−1 3 2
0 5 3
3 11 6
= 0.
De nuevo todos los menores obtenidos orlando la 4a fila son cero, lo cual significa
que tambi´en la 4a fila es combinaci´on lineal de la 1a y 2a filas y, por tanto, puede
suprimirse.
En consecuencia, se concluye que rango(A) = 2.
Para concluir esta secci´on, indicaremos que el rango del producto de dos matrices
es menor o igual que el m´ınimo del rango de las dos matrices.
31. 18 EJERCICIOS PROPUESTOS EN EX´AMENES ANTERIORES
1.5 EJERCICIOS PROPUESTOS EN EX´AMENES ANTERIORES
1.- Calcular el determinante de la matriz cuadrada de orden n, A = (aij), cuyos
elementos vienen dados por
aij = i + j − 1, i, j = 1, 2, . . . , n.
2.- Dada la matriz
A =
0 1
3
0
1
3
0 0
0 0 1
3
calcular S = I + A + A2
+ A3
+ · · · + An
.
3.- Obtener el valor de x para que se cumpla que
1 1 1 1
sen 0 senπ
6
−1 −x
sen2
0 sen2 π
6
1 x2
sen3
0 sen3 π
6
−1 −x3
= 0.
4.- Sabiendo que a = −1, obtener el valor de x en la siguiente ecuaci´on:
7a + 7 a + 1 a + 1 a + 1
7 −1 1 −1
7 2 4 8
7 x x2
x3
= 0.
5.- Sabiendo que
A =
1 −1 0 0 0
0 1 −1 0 0
0 0 1 −1 0
0 0 0 1 −1
0 0 0 0 1
y A−1
=
1 1 1 1 1
0 1 1 1 1
0 0 1 1 1
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1
,
calcular la inversa de la matriz
B =
2 −1 0 0 0
−1 2 −1 0 0
0 −1 2 −1 0
0 0 −1 2 −1
0 0 0 −1 1
sabiendo que B = A.A .
6.- Calcular a, b, c, d ∈ R para que
A2
− (a + d)A + (ad − bc)I + A =
1 2
0 −1
,
siendo A =
a b
c d
.
7.- Resolver la ecuaci´on
a −1 1 −1
a a a2
a3
a −b b2
−b3
a (a − b) (a − b)2
(a − b)3
= 0.
32. 2 ESPACIOS VECTORIALES.
Los espacios vectoriales constituyen una de las estructuras algebraicas m´as
importantes en Matem´aticas. La mayor´ıa de los objetos matem´aticos que
usamos habitualmente: vectores, matrices, polinomios, funciones, ... tienen
estructura de espacio vectorial.
2.1 DEFINICI´ON Y EJEMPLOS
Sea V un conjunto, cuyos elementos llamaremos vectores y notaremos por u, v, · · · ,
en el que tenemos definidas dos operaciones: la operaci´on ‘+’ que llamaremos suma
de vectores y la operaci´on ‘·’ que llamaremos producto a izquierda por un n´umero
real. Diremos que (V, +, ·) es un espacio vectorial real si se cumple que:
1.- La suma de vectores es una operaci´on interna en V, es decir, si v, w ∈ V,
entonces v + w ∈ V, verificando las siguientes propiedades:
a1) Conmutativa: ∀u, v ∈ V, u + v = v + u.
a2) Asociativa: ∀u, v, w ∈ V, (u + v) + w = u + (v + w).
a3) Existencia de elemento neutro: Existe un vector, 0 ∈ V, que llamaremos
vector nulo tal que v + 0 = v , para todo v ∈ V .
a4) Existencia de elemento opuesto: Para cada vector v ∈ V existe otro vec-
tor v ∈ V, que llamaremos vector opuesto de v, tal que v + v = 0.
19
33. 20 DEFINICI´ON Y EJEMPLOS
2.- La operaci´on de multiplicaci´on a izquierda por un n´umero real es una operaci´on
externa sobre V, es decir, si λ ∈ R y v ∈ V, entonces λ · v ∈ V, verificando las
siguientes propiedades:
b1) Distributiva respecto a la suma de n´umeros reales: ∀ λ, µ ∈ R y ∀ v ∈ V,
(λ + µ) · v = λ · v + µ · v.
b2) Distributiva respecto a la suma de vectores:∀ λ, µ ∈ R, ∀u, v ∈ V,
λ · (u + v) = λ · v + µ · v.
b3) Pseudoasociativa: ∀ λ, µ ∈ R, ∀ v ∈ V, (λ µ) · v = λ · (µ · v).
b4) Elemento unidad: ∀ v ∈ V, 1 · v = v.
En lo que sigue, para simplificar la notaci´on, el producto de un n´umero real λ por
un vector v ∈ V tambi´en lo notaremos simplemente por λ v.
Ejemplo 2.1
• El conjunto de vectores del plano es un espacio vectorial. Geom´etricamente un vector
del plano viene representado mediante un segmento orientado. Algebraicamente, un
vector u del plano viene dado por un par de n´umeros reales u = (u1, u2) que se
denominan coordenadas del vector. El conjunto de vectores del plano se identifica
con el conjunto
R2
= R × R = {x = (x1, x2) : x1, x2 ∈ R},
en el que se definen las operaciones usuales de suma de vectores y multiplicaci´on por
un n´umero real dadas por
x + y = (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2),
λ x = λ (x1, x2) = (λ x1, λ x2).
(2.1.1)
Entonces (R2, +, ·) es un espacio vectorial real.
• El conjunto P2[x] de los polinomios grado menor o igual que 2 en la variable x,
es decir, expresiones de la forma p(x) = a0 + a1x + a2x2 con a0, a1, a2 ∈ R, tiene
estructura de espacio vectorial con las operaciones algebraicas usuales:
p(x) + q(x) = (a0 + a1x + a2x2
) + (b0 + b1x + b2x2
)
= (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2
.
λ · p(x) = λ(a0 + a1x + a2x2
) = (λa0) + (λa1) + (λa2)x2
.
En general, el conjunto Pn[x] (polinomios de grado menor o igual que n en la variable
x con las operaciones usuales) tiene estructura de espacio vectorial).
• El conjunto de matrices cuadradas reales de orden 2 que notaremos por M2×2(R)
tiene estructura de espacio vectorial. Las operaciones de suma y producto por
escalares vienen dadas por:
A + B =
a11 a12
a21 a22
+
b11 b12
b21 b22
=
a11 + b11 a12 + b12
a21 + b21 a22 + b22
.
λ · A = λ ·
a11 a12
a21 a22
=
λ a11 λ a12
λ a21 λ a22
34. ESPACIOS VECTORIALES. 21
En general, el conjunto Mm×n(R), de las matrices reales com m filas y n columnas
y las operaciones usuales de suma de matrices y multiplicaci´on de una matriz por
un n´umero real, es un espacio vectorial.
• El espacio de las funciones f : R → R es un espacio vectorial con las operaciones
usuales:
(f + g)(t) = f(t) + g(t), (λ f)(t) = (λ · f)(t) = λ f(t), t ∈ A.
35. Propiedad 2.1.1 En un espacio vectorial (V, +, ·) se satisfacen las identidades
siguientes:
p1) 0 · v = 0,
p2) v + (−1)v = 0,
p3) λ · 0 = 0.
para todo v ∈ V y λ ∈ R.
Observemos que la propiedad p2) nos indica que el vector opuesto de un vector v
es precisamente el vector (−1)v. En lo sucesivo notaremos a este vector por −v.
Asimismo, definiremos la operaci´on de restar dos vectores en la forma
u − v = u + (−v).
Ejercicio 2.2
• Escribe el vector nulo en cada uno de los espacios vectoriales del Ejemplo 1.1.
• Da un ejemplo concreto de un vector en cada uno de los espacios vectoriales del
Ejemplo 1.1 y escribe su vector opuesto.
2.1.1 El espacio vectorial Rn
La estructura de espacio vectorial definida sobre R2
puede extenderse f´acilmente a
Rn
, conjunto de vectores de n coordenadas,
Rn
= {x = (x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ R, i = 1, 2, . . . , n},
definiendo las operaciones
x + y = (x1, x2, . . . xn) + (y1, y2, . . . , xn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn),
λ · x = λ (x1, x2, . . . xn) = (λ x1, λ x2, . . . λ xn).
Ejemplo 2.3
• El espacio R3 (vectores de 3 coordenadas) se identifica con el conjunto de los vectores
en el espacio tridimensional.
36. 22 DEFINICI´ON Y EJEMPLOS
Observaciones:
• Aunque hemos denotado a los elementos de Rn
como vectores fila de orden
n, en ocasiones, puede resultar m´as ventajoso utilizar la notaci´on de vectores
columna de orden n,
x =
x1
x2
...
xn
.
En este caso, las operaciones definidas anteriormente vendr´an dadas por
x + y =
x1
x2
...
xn
+
y1
y2
...
yn
=
x1 + y1
x2 + y2
...
xn + yn
, λ ·
x1
x2
...
xn
=
λ x1
λ x2
...
λ xn
. (2.1.2)
• Por otra parte, si x = (x1, x2, · · · , xn) es un vector fila en Rn
, tambi´en pode-
mos utilizar la operaci´on de transposici´on de matrices, para denotar por xt
=
(x1, x2, · · · , xn)t
, al correspondiente vector columna en Rn
.
x = (x1, x2, . . . , xn) ⇒ xt
=
x1
x2
...
xn
.
• En lo que sigue utilizaremos indistintamente ambas notaciones, si bien, cuando
sea necesario, distinguiremos entre vectores fila y vectores columna.
2.1.2 Subespacios vectoriales
Sea (V, +, ·) un espacio vectorial real y sea S un subconjunto no vac´ıo de V. Diremos
que S es un subespacio vectorial de V si (S, +, ·) tiene estructura de espacio vectorial
con las operaciones ‘+’ y ‘·’ definidas en V.
Notemos que el hecho de que (V, +, ·) sea un espacio vectorial real y que S ⊂ V,
simplifica mucho las cosas a la hora de probar que (S, +, ·) tiene o no estructura de
espacio vectorial.
37. Resultado 2.1.1 Sea (V, +, ·) un espacio vectorial real y S un subconjunto no
vac´ıo de V. Entonces S es un subespacio vectorial de V si, y s´olo si,
i) ∀ u, v ∈ S ⇒ u + v ∈ S,
ii) ∀ λ ∈ R, ∀ v ∈ S ⇒ λ v ∈ S.
38. ESPACIOS VECTORIALES. 23
Ejemplo 2.4
• El conjunto S de las matrices cuadradas de orden 2 de la forma
0 a
b c
es un subespacio vectorial de M2×2(R).
Soluci´on: Hemos de comprobar que se cumplen las condiciones i) y ii) del Resul-
tado 2.1.1.
i) Tomemos dos matrices A, B ∈ S y veamos que A + B ∈ S.
A =
0 a
b c
, B =
0 a
b c
,
A + B =
0 a
b c
+
0 a
b c
=
0 a + a
b + b c + c
∈ S.
1.- Tomemos λ ∈ R y A ∈ S y probemos que λ · A ∈ S.
λ · A = λ ·
0 a
b c
=
0 λ a
λ b λ c
∈ S.
Ejercicio 2.5
• Indica si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales:
1) El conjunto de funciones trigonom´etricas de la forma
x(t) = a0 + a1 cos t + b1 sen t, a0, a1, b1 ∈ R.
2) El conjunto de matrices cuadradas de orden 2 cuya traza es 0 con las operaciones
usuales.
3) El conjunto de vectores del plano cuyas coordenadas suman 1, con las operaciones
usuales.
4) El conjunto de polinomios de grado menor o igual que 2 que se anulan en el
punto x = 1, con las operaciones usuales.
2.2 COMBINACI´ON LINEAL DE VECTORES
39. Definici´on 1 Sea V un espacio vectorial. Se dice que el vector v es combinaci´on
lineal de los vectores {v1, v2, . . . , vk} ⊂ V, si puede escribirse en la forma
v = λ1v1 + λ2v2 + · · · + λkvk.
Ejemplo 2.1
• El vector v = (4, −5, −2) de R3 es combinaci´on lineal de los vectores v1 = (1, 1, 1) y
v2 = (2, −1, 0), dado que
v = −2v1 + 3v2.
• Para saber si el vector v = (3, 0, −5) es combinaci´on lineal de los vectores v1 y v2
anteriores, planteamos la igualdad
v = λ · v1 + µ · v2 ⇒ (3, 0, −5) = λ(1, 1, 1) + µ(2, −1, 0)
40. 24 COMBINACI´ON LINEAL DE VECTORES
que conduce al sistema
λ + 2µ = 3
λ − µ = 0
λ = −5
Dado que el sistema anterior es incompatible (no tiene soluci´on) concluimos que el
vector v no es combinaci´on lineal de los vectores v1 y v2.
• En M2×2(R), para averiguar si la matriz A =
3 1
−6 4
es combinaci´on lineal de
las matrices
A1 =
1 −1
2 0
, A2 =
3 −1
0 2
,
planteamos la igualdad
A = λ · A1 + µ · A2 ⇒
3 1
−6 4
= λ
1 −1
2 0
+ µ
3 −1
0 2
que conduce al sistema
λ + 3µ = 3
λ − µ = 0
2λ = −6
2µ = 4
de donde se obtiene λ = −3, µ = 2. Por tanto, la matriz A es combinaci´on lineal de
las matrices A1 y A2 ya que
A = −3A1 + 2A2.
Ejercicio 2.2
• Determina si el polinomio p(x) = −1 − 6x2 + 19x − x3 es combinaci´on lineal de los
polinomios p1(x) = 1 + 3x − x3, p2(x) = 2 − 3x + x2, p3(x) = 4x − 4x2 + 2x3.
• Determina si el vector v = (1, 0, −1, 4) de R4 es combinaci´on lineal de los vectores
v1 = (1, 1, 0, 1) y v2 = (2, 1, −1, 1).
• En M2×3(R), determina si la matriz A =
3 1 0
−6 4 2
es combinaci´on lineal de
las matrices
A1 =
1 −1 0
2 0 −1
, A2 =
3 −1 −1
0 0 2
, A3 =
0 0 −1
1 0 2
.
2.2.1 Dependencia e independencia lineal de vectores
41. Definici´on 2 Un conjunto de vectores S = {v1, v2, . . . , vk} de un espacio vec-
torial V se dice que es linealmente independiente, si ninguno de los vectores de S
puede escribirse como combinaci´on lineal de los restantes vectores de S. En caso
contrario, se dice que es un conjunto de vectores linealmente dependiente.
42. ESPACIOS VECTORIALES. 25
Ejemplo 2.3
• El conjunto S = {(−2, 1), (1, 0)} de R2 es linealmente independiente, ya que ninguno
de ellos puede ponerse como combinaci´on lineal del otro.
• El conjunto de vectores S = {(4, −5, −2), (1, 1, 1), (2, −1, 0)} de R3 es linealmente
dependiente dado que el primer vector puede escribirse como combinaci´on lineal de
los restantes:
(4, −5, −2) = −2(1, 1, 1) + 3(2, −1, 0).
43. Propiedad 2.2.1 Un conjunto de vectores S = {v1, v2, . . . , vk} es linealmente
independiente si se cumple que
λ1v1 + λ2v2 + · · · + λkvk = 0 ⇒ λ1 = λ2 = · · · = λk = 0,
es decir, si la ´unica forma de escribir el vector nulo como combinaci´on lineal de
los vectores de S es que todos los coeficientes sean nulos.
La propiedad anterior tambi´en puede enunciarse de esta otra forma:
44. Propiedad 2.2.2 Un conjunto de vectores S = {v1, v2, . . . , vk} es linealmente
dependiente si es posible expresar el vector nulo como combinaci´on lineal de ellos
con al menos un coeficiente no nulo. Dicho en t´erminos matem´aticos, es posible
encontrar n´umeros λ1, λ2, · · · , λk no todos nulos, de forma que
λ1v1 + λ2v2 + · · · + λkvk = 0
Ejemplo 2.4
• Para determinar si el conjunto de vectores S = {(−2, 1), (1, 0)} de R2 es linealmente
independiente planteamos la igualdad
λ(2, −1) + µ(1, 0) = (0, 0),
que conduce al sistema
2λ + µ = 0
−λ = 0
cuya ´unica soluci´on es λ = µ = 0. Por tanto, deducimos que el conjunto S es
linealmente independiente.
• Para determinar si el conjunto de vectores S = {(4, −5, −2), (1, 1, 1), (2, −1, 0)} de
R3 es linealmente independiente planteamos la igualdad
α(4, −5, −2) + β(1, 1, 1) + γ(2, −1, 0) = (0, 0, 0). (2.2.1)
que conduce al sistema
4α + β + 2γ = 0
−5α + β − γ = 0
−2α + β = 0
que admite soluciones distintas de la trivial:
α = t
β = 2t
γ = −3t
, t ∈ R.
45. 26 COMBINACI´ON LINEAL DE VECTORES
Tomando, por ejemplo, t = 1, obtenemos la soluci´on particular α = 1, β = 2,
γ = −3, por lo que la igualdad (2.2.1) nos asegura que es posible expresar el vector
nulo como una combinaci´on lineal de los vectores de S con coeficientes no nulos.
En el caso particular de que trabajemos con vectores de Rn
, podemos aplicar el
siguiente resultado para determinar si son linealmente independientes:
46. Resultado 2.2.1 El conjunto de vectores S = {v1, v2, . . . , vk} de Rn
es lineal-
mente independiente si, y solo si,
rango (v1 | v2 | . . . | vk) = k.
Ejemplo 2.5
• El conjunto de vectores S = {(−2, 1), (1, 0)} de R2 es linealmente independiente ya
que
−2 1
1 0
= 0.
• Para determinar si el conjunto de vectores S = {(4, −5, −2, 4), (1, 1, 1, 1), (2, −1, 0, 2)}
de R4 es linealmente independiente calculamos el rango de la matriz
A =
4 −5 −2 4
1 1 1 1
2 −1 0 2
.
1) En primer lugar observamos que la 4a columna es igual que la 1a por lo que
puede suprimirse, es decir,
rango
4 −5 −2 4
1 1 1 1
2 −1 0 2
= rango
4 −5 −2
1 1 1
2 −1 0
.
2) Por otra parte,
4 −5
1 1
= 9 = 0,
4 −5 −2
1 1 1
2 −1 0
= 0,
de donde se concluye que rango(A) = 2 y por tanto, el conjunto de vectores S es
linealmente dependiente.
48. Propiedad 2.2.3 En un espacio vectorial V se cumplen las siguientes
propiedades:
1) El conjunto S = {v} formado por un s´olo vector es linealmente dependiente
si, y solamente si, v = 0.
2) Si 0 ∈ S, entonces S es un conjunto linealmente dependiente.
3) El conjunto S = {u, v} es linealmente dependiente si, y solamente si, v = λu
(vectores proporcionales).
4) Si S es un conjunto linealmente independiente y S ⊂ S, entonces S es lin-
ealmente independiente.
5) Si S es un conjunto linealmente dependiente y S ⊂ S , entonces S es lineal-
mente dependiente.
2.2.2 Subespacio vectorial generado por un conjunto de vectores
Sea S = {v1, v2, . . . , vn} un conjunto de vectores de un espacio vectorial V. El
conjunto L(S) de todos los vectores que se pueden obtener como combinaci´on lineal
de los vectores de S es subespacio vectorial de V que se llama subespacio vectorial
generado por S y se representa por
L(S) = v1, v2, . . . , vn .
El conjunto S se llama sistema de generadores de L(S).
Un vector x ∈ L(S) si se puede expresar como combinaci´on lineal de los vectores de
S, es decir, si x se puede escribir en la forma
x = λ1v1 + λ2v2 + · · · + λnvn, λ1, λ2, . . . , λn ∈ R.
Ejemplo 2.6
• Sea S = {u, v} un conjunto de vectores de R4 con u = (1, −1, 1, 2) y v = (1, 3, −2, 1).
El subespacio vectorial L(S) viene dado por el conjunto de vectores x ∈ R4 tales
que
x = λ u + µ v, con λ, µ ∈ R.
Si tomamos x = (x1, x2, x3, x4), la igualdad anterior se escribe como
(x1, x2, x3, x4) = λ(1, −1, 1, 2) + µ(1, 3, −2, 1), λ, µ ∈ R.
La igualdad anterior se denomina ecuaci´on vectorial de L(S).
De la ecuaci´on anterior se obtienen las igualdades
x1 = λ + µ
x2 = −λ + 3µ
x3 = λ − 2µ
x4 = 2λ + µ
, λ, µ ∈ R.
Los n´umeros λ, µ son n´umeros reales arbitrarios que reciben el nombre de par´ametros.
De ah´ı que a las ecuaciones anteriores se denominen ecuaciones param´etricas de
L(S).
Las ecuaciones param´etricas son ´utiles para obtener vectores que pertenezcan a
L(S). Para ello basta darle valores concretos a los par´ametros λ y µ. Por ejemplo,
para λ = 1 y µ = 1, se obtiene el vector x = (2, 2, −1, 3) ∈ L(S).
49. 28 COMBINACI´ON LINEAL DE VECTORES
Si despejamos (por ejemplo) λ en la primera igualdad λ = x1 − µ y sustituimos en
las restantes ecuaciones se obtiene
x2 = −(x1 − µ) + 3µ
x3 = (x1 − µ) − 2µ
x4 = 2(x1 − µ) + µ
⇒
x2 = −x1 + 4µ
x3 = x1 − 3µ
x4 = 2x1 − µ
Si ahora repetimos lo mismo con el par´ametro µ (lo despejamos en la ´ultima ecuaci´on
porque es m´as f´acil), µ = 2x1 − x4 , y sustituimos en las restantes ecuaciones, se
obtiene
x2 = −x1 + 4(2x1 − x4)
x3 = x1 − 3(2x1 − x4)
⇒
7x1 − x2 − 4x4 = 0
5x1 + x3 − 3x4 = 0
Se obtienen 2 ecuaciones donde no intervienen los par´ametros λ, µ. Estas ecuaciones
se denominan ecuaciones cartesianas o ecuaciones impl´ıcitas de L(S).
Las ecuaciones cartesianas de L(S) son ´utiles para comprobar si un determinado
vector pertenece o no a L(S). Por ejemplo, el vector (2, −1, 3, 4) no pertenece a
L(S) ya que no se cumplen las dos ecuaciones param´etricas.
7x1 − x2 − 4x4 = 7(2) − (−1) − 4(4) = −2 = 0.
El vector (3, 1, 0, 5) ∈ L(S) ya que
7x1 − x2 − 4x4 = 7(3) − (1) − 4(5) = 0, 5x1 + x3 − 3x4 = 5(3) + (0) − 3(5) = 0.
• Sea M el subespacio vectorial de R3 dado por las ecuaciones param´etricas
x1 = µ
x2 = λ − µ
x3 = λ + 2µ
, λ, µ ∈ R.
Para determinar un sistema de generadores de M podemos escribir las ecuaciones
param´etricas en la forma
x1
x2
x3
= λ
0
1
1
+ µ
1
−1
2
.
Entonces resulta que S = {(0, 1, 1), (1, −1, 2)} es un sistema de generadores de L, es
decir, podemos escribir
M = L(S) = (0, 1, 1), (1, −1, 2)
• Sea L el subespacio vectorial de R5 determinado por las ecuaciones cartesianas
x1 − 2x3 + x5 = 0
x1 + 2x2 − 3x3 + x4 = 0
Para determinar un sistema de generadores de L resolvemos el sistema dado por las
ecuaciones cartesianas.
51. Propiedad 2.2.4 Sean S = {v1, v2, . . . , vn} y S = {v1, v2, . . . , vn, w}. Si w es
combinaci´on lineal de v1, v2, . . . , vn, entonces se cumple que:
L(S) = L(S ),
es decir, los subespacios vectoriales generados por S y S son el mismo.
2.3 BASES Y DIMENSI´ON
52. Definici´on 3 Sea V un espacio vectorial y L un subespacio vectorial de V. Se
dice que L es finitamente generado si existe un conjunto de vectores S = {v1, v2, . . . , vn}
de V de forma que
L = L(S) = v1, v2, . . . , vn .
El conjunto S se dice que es un sistema de generadores del subespacio L. Si adem´as,
S es un conjunto de vectores linealmente independientes entonces se dice que S es
una base del subespacio vectorial L.
La propiedad 2.2.4 nos dice que si S es un sistema de generadores de L y elimi-
namos aquellos vectores de S que sean combinaci´on lineal de los restantes, entonces
seguimos teniendo un sistema de generadores de L. De esta forma siempre ser´a
posible obtener un sistema de generadores que adem´as sea linelmente independiente
y, en definitiva, siempre ser´a posible obtener una base de un subespacio vectorial
finitamente generado.
Ejemplo 2.7
• Los vectores {(1, 0), (0, 1)} forman un base de R2.
• Sea S el subespacio vectorial de R3 generado por los vectores
v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (2, −1, 0, 1), v3 = (0, 3, 2, 1).
El conjunto {v1, v2, v3} es un sistema de generadores de S, sin embargo no es una
base de S dado que no son linealmente independientes al ser v3 combinaci´on lineal
de v1 y v2,
v3 = 2v1 − v2.
Ahora bien, teniendo en cuenta que
S = v1, v2, v3 = v1, v2 ,
donde ahora los vectores v1 y v2 son linealmente independientes. Por tanto, podemos
concluir diciendo que {v1, v2} es una base de S.
53. Propiedad 2.3.1 Un conjunto de vectores B = {v1, v2, . . . , vn} es una base de
un espacio vectorial V si, y s´olo si, cualquier vector de V se expresa de forma ´unica
como combinaci´on de los vectores de B.
Sea B = {v1, v2, . . . , vn} una base de V. Por la Propiedad 2.3.1, cualquier vector
v ∈ V puede escribirse como combinaci´on lineal ´unica de los vectores de B, es decir,
v = λ1 v1 + λ2 v2 + λk vk,
54. 30 BASES Y DIMENSI´ON
donde λ1, λ2, . . . , λk, son n´umeros reales un´ıvocamente determinados.
Los n´umeros reales λ1, λ2, . . . , λk se denominan coordenadas del vector v respecto de
la base B.
2.3.1 Base can´onica de Rn
Como sabemos el conjunto B = {(1, 0), (0, 1)} es una base de R2
. Dicha base recibe
el nombre de base can´onica de R2
y es la que suele utilizarse para estudiar los
problemas de geometr´ıa en el plano. Cualquier vector de R2
viene determinado de
forma ´unica como combinaci´on lineal de los vectores de B. M´as concretamente,
cualquier (x, y) ∈ R2
, puede escribirse como
(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1).
Los n´umeros x e y se denominan coordenadas del vector (x, y).
En general, el conjunto B = {e1, e2, · · · , en} de vectores de Rn
, definidos por
ei = (0, 0, . . . ,
i
1 , 0, . . . , 0),
para i = 1, 2, · · · , n, determinan una base de Rn
que se denomina base can´onica de
Rn
. Cualquier vector x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn
se escribe como
x = x1e1 + x2e2 + · · · + xnen.
2.3.2 Dimensi´on de un espacio vectorial
Un espacio vectorial V no tiene una base ´unica. As´ı, por ejemplo, los conjuntos
B = {(1, 0), (0, 1)} y B = {(1, 1), (0, 1)} son bases de R2
(De hecho, una base de
R2
estar´a formada por dos vectores cualesquiera v1 y v2, no nulos, que no sean
proporcionales; geom´etricamente significar´ıa que tienen distinta direcci´on).
Sin embargo, todas las bases de un espacio vectorial V tienen algo en com´un: el
mismo n´umero de vectores. A tal n´umero se le llamar´a dimensi´on del espacio vec-
torial V, y lo denotaremos mediante dim(V ).
Ejemplo 2.8
• Dado que la base can´onica de Rn tiene n vectores, podemos asegurar que cualquier
base de Rn tendr´a n vectores y que, por tanto, dim(Rn) = n. .
• El conjunto de polinomios {1, x, x2, x3, . . . , xn} forman una base de Pn[x], por lo que
dim(Pn[x]) = n + 1.
• Las matrices
1 0
0 0
,
0 1
0 0
,
0 0
1 0
,
0 0
0 1
forman una base de M2(R), por lo que dim (M2×2(R)) = 4.
En general, se cumple que dim (Mm×m(R)) = m n.
55. ESPACIOS VECTORIALES. 31
El siguiente resultado nos permite decidir cuando un conjunto de n vectores de Rn
forman una base de Rn
.
56. Resultado 2.3.1 Un conjunto B = {v1, v2, . . . , vn} de vectores de Rn
es una
base de R si, y s´olo si,
det (v1 | v2 | . . . | vn) = 0.
Ejemplo 2.9
• Los vectores v1 = (1, 0, 1), v2 = (0, −1, 3) y v3 = (3, 1, 1) forman una base de R3,
dado que
det (v1 | v2 | v3) =
1 0 3
0 −1 1
1 3 1
= −1 = 0.
• Los vectores v1 = (1, 2), v2 = (−2, −4) no son una base de R2, dado que
det (v1 | v2) =
1 −2
−2 4
= 0.
El resultado anterior puede establecerse de manera m´as general como sigue,
57. Resultado 2.3.2 Sea S = v1, v2, . . . , vk , donde v1, v2, . . . , vk ∈ Rn
. En-
tonces se cumple que
dim(S) = rango (v1 | v2 | . . . | vk) .
Ejemplo 2.10
• Sea S el subespacio vectorial de R4, generado por los vectores,
v1 = (1, 1, 1, 1) , v2 = (2, −1, 0, 1) y v3 = (0, 3, 2, 1) .
Entonces, dim(S) = rango (v1 | v2 | v3) = rango
1 1 1 1
2 −1 0 1
0 3 2 1
= 2.
2.3.3 Cambio de base en un espacio vectorial
Sea V un espacio vectorial de dimensi´on n y supongamos que tenemos dos bases
B = {u1, u2, . . . , un} y B = {v1, v2, . . . , vn}. Como sabemos, cualquier vector x de
V podr´a escribirse de forma ´unica como combinaci´on lineal de los vectores de B y
de B .
Respecto de la base B, el vector x tendr´a unas coordenadas (x1, x2, . . . , xn), es decir,
se podr´a expresar en la forma
x = x1u1 + x2u2 + · · · + xnun = (x1, x2, . . . , xn)
u1
u2
...
un
. (2.3.1)
58. 32 BASES Y DIMENSI´ON
An´alogamente, el vector x tendr´a unas coordenadas (x1, x2, . . . , xn) respecto de la
base B , es decir,
x = x1v1 + x2v2 + · · · + xnvn = (x1, x2, . . . , xn)
v1
v2
...
vn
. (2.3.2)
¿Qu´e relaci´on existe entre (x1, x2, . . . , xn) y (x1, x2, . . . , xn)?
A partir de (2.3.1) y (2.3.2) obtenemos la igualdad en forma matricial
(x1, x2, . . . , xn)
u1
u2
...
un
= (x1, x2, . . . , xn)
v1
v2
...
vn
(2.3.3)
que se llama ecuaci´on general del cambio de base. La ecuaci´on (2.3.3) puede es-
cribirse abreviadamente en la forma
(x1, x2, . . . , xn)B = (x1, x2, . . . , xn)B , (2.3.4)
donde B y B son las matrices cuyos vectores fila son las coordenadas de los vectores
de las bases B y B respectivamente. Dado que B y B son bases, entonces necesari-
amente las matrices B y B son regulares (su determinantes es distinto de cero) y,
por tanto, existen sus matrices inversas B−1
y (B )−1
.
La ecuaci´on (2.3.3) nos permite conocer las coordenadas (x1, x2, . . . , xn) respecto de
B conocidas las coordenadas (x1, x2, . . . , xn) respecto de B o viceversa, mediante las
igualdades
(x1, x2, . . . , xn) = (x1, x2, . . . , xn)B(B )−1
,
(x1, x2, . . . , xn) = (x1, x2, . . . , xn)B B−1
.
Ejemplo 2.11
• En R2 se consideran la base can´onica B = {(1, 0), (0, 1)} y la base B = {(2, −1), (3, 0)}.
La ecuaci´on general del cambio de base vendr´a dada por
(x1, x2)
1 0
0 1
= (x1, x2)
2 −1
3 0
.
Si el vector x = (1, −5) respecto de la base B para determinar sus coordenadas
respecto de la base B utilizamos la igualdad
(1, −5)
1 0
0 1
= (x1, x2)
2 −1
3 0
,
de donde se obtiene que
(x1, x2) = (1, −5)
1 0
0 1
2 −1
3 0
−1
= (1, −5)
0 1
3
−1 2
3
= (13, −1),
luego x = (13, −1) respecto de B .
59. ESPACIOS VECTORIALES. 33
Ejercicio 2.12
• Si x = (1, 2, −1) respecto de la base B = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}, hallar las coor-
denadas del vector x respecto de la base can´onica de R3.
• Sean B = {u1, u2, u3} y B = {v1, v2, v3} dos bases de R3 , tales que v1 = u2 + u3,
v2 = u1 + u3 y v3 = u1 + u2. Hallar las ecuaciones del cambio de la base B a B y
de la base B a B.
• Dadas las bases de R3, B = {u1 = (2, 1, 0), u2 = (−1, 0, 1), u3 = (0, 1, −2)} y B =
{v1 = (0, 1, 1), v2 = (1, 0, 0), v3 = (2, 0, 1)}.
a) Hallar la expresi´on anal´ıtica del cambio de base de B a B , de B a B y de B a
la base can´onica.
b) Si a = (1, 1, 1) respecto de B, ¿cu´ales son sus coordenadas respecto de B .?
c) Si b = v1 − v2, escribir la expresi´on de b respecto de B.
2.4 SUMA E INTERSECCI´ON DE SUBESPACIOS
2.4.1 Suma de subespacios
60. Definici´on 4 Sea V un espacio vectorial y L y M dos subespacios vectoriales
de V. Se define el conjunto
L + M = {w : w = u + v con u ∈ L, v ∈ M},
es decir, un vector w ∈ L + M si se puede escribir como suma de un vector de L y
un vector de M.
El conjunto L + M es un subespacio vectorial de V que llamaremos subespacio vec-
torial suma de L y M.
Si conocemos un sistema de generadores de los espacios L y M, entonces es muy
f´acil determinar cu´al es el subespacio L + M.
61. Propiedad 2.4.1 Si L = L(S) y M = L(S ), entonces L + M = L(S ∪ S ).
Ejemplo 2.13
• Consideremos los subespacios vectoriales de R4 dados por
L = (1, 2, 3, 4), (−1, 1, 2, 1) , M =
2x2 − x3 = 0
x1 + x4 = 0
.
Para determinar el subespacio L+M necesitamos conocer un sitema de generadores
de L y de M. En nuestro caso, s´olo hemos de determinar un sistema de generadores
de M. Para ello resolvemos el sistema dado por las ecuaciones cartesianas de M.
2x2 − x3 = 0
x1 + x4 = 0
⇒
x1 = −x4
x3 = 2x2
⇒
x1 = −x4
x2 = λ
x3 = 2x2
x4 = µ
⇒
x1 = −µ
x2 = λ
x3 = 2λ
x4 = µ
⇒
x1
x2
x3
x4
= λ
−1
0
0
1
+ µ
0
1
2
0
.
62. 34 SUMA E INTERSECCI´ON DE SUBESPACIOS
Luego M = (−1, 0, 0, 1), (0, 1, 2, 0) y, por tanto,
L + M = (1, 2, 3, 4), (−1, 1, 2, 1), (−1, 0, 0, 1), (0, 1, 2, 0) .
Ahora bien, dado que
1 2 3 4
−1 1 2 1
−1 0 0 1
0 1 2 0
= 0
dichos vectores no forman una base de L + M.
Para determinar una base de L+M debemos seleccionar un conjunto de vectores que
sean linealmente independientes. Para ello podemos calcular el rango de la matriz
A =
1 2 3 4
−1 1 2 1
−1 0 0 1
0 1 2 0
De esta forma sabremos cu´antos vectores hay linealmente independiente y cu´ales
son. Para ello procedemos de la siguiente forma:
1) Seleccionamos un menor de orden 2 distinto de cero. En nuestro caso, podemos
tomar el menor formado por las dos primeras filas y las dos primeras columnas
dado que
1 2
−1 1
= 0.
2) Tomamos los menores de orden 3 obtenidos orlando filas y columnas al menor
de orden 2 seleccionado anteriormente hasta encontrar un menor de orden 3 que
sea distinto de cero.
Orlamos la 3a fila y la 3a columna
1 2 3
−1 1 2
−1 0 0
= −1 = 0,
Por lo que concluimos que rango(A)=3 y que una base de L + M viene dada por
los vectores {(1, 2, 3, 4), (−1, 1, 2, 1), (−1, 0, 0, 1)}. Por tanto, dim(L + M) = 3.
2.4.2 Intersecci´on de dos subespacios
63. Definici´on 5 Sea V un espacio vectorial y L y M dos subespacios vectoriales
de V. Se define el conjunto
L ∩ M = {w : w ∈ L y w ∈ M}.
El conjunto L ∩ M es un subespacio vectorial de V que llamaremos subespacio vec-
torial intersecci´on de L y M.
64. Propiedad 2.4.2 Las ecuaciones cartesianas de L ∩ M vienen dadas por el
sistema formado por las ecuaciones cartesianas de L y las de M.
65. ESPACIOS VECTORIALES. 35
Ejemplo 2.14
• Consideremos los subespacios vectoriales de R4 dados por
L = (1, 2, 3, 4), (−1, 1, 2, 1) , M =
2x2 − x3 = 0
x1 + x4 = 0
.
Para determinar el subespacio L∩M necesitamos conocer las ecuaciones cartesianas
de L y de M. En nuestro caso, s´olo hemos de determinar las ecuaciones cartesianas
de L. Para ello partimos de las ecuaci´ones param´etricas
x ∈ L ⇒
x1
x2
x3
x4
= λ
1
2
3
4
+ µ
−1
1
2
1
⇒
x1 = λ − µ
x2 = 2λ + µ
x3 = 3λ + 2µ
x4 = 4λ + µ
.
Eliminando los par´ametros λ y µ en las ecuaciones param´etricas de L se obtienen
las ecuaciones cartesianas
L =
x1 − 5x2 + 3x3 = 0
2x1 + 5x2 − 3x4 = 0
.
Por tanto, el subespacio vectorial L ∩ M viene dado por las ecuaciones cartesianas
L ∩ M =
x1 − 5x2 + 3x3 = 0
2x1 + 5x2 − 3x4 = 0
2x2 − x3 = 0
x1 + x4 = 0
Resolviendo el sistema anterior se obtiene
x1 = −α
x2 = α
x3 = 2α
x4 = α
, α ∈ R ⇒
x1
x2
x3
x4
= α
−1
1
2
1
,
por lo que L ∩ M = (−1, 1, 2, 1) y, en consecuencia, dim(L ∩ M) = 1.
2.4.3 Teorema de la dimensi´on
66. Resultado 2.4.1 Sean L y M subespacios vectoriales de V. Entonces se
cumple que
dim(L + M) = dim(L) + dim(M) − dim(L ∩ M).
Ejercicio 2.15
• Probar que se cumple el Teorema de la dimensi´on para los subespacios L y M del
Ejemplo 2.10.
• Sea L el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2 tales que la suma de sus
columnas es cero y M el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2 tales que las
suma de sus filas es cero.
a) Probar que L y M son subespacios vectoriales de M2×2(R).
b) Obtener una base de L, M, L + M y L ∩ M.
c) Calcular dim(L), dim(M), dim(L + M) y dim(L ∩ M).
67. 36 SUMA E INTERSECCI´ON DE SUBESPACIOS
d) Comprobar que se cumple el Teorema de la dimensi´on.
• Sean L y M los siguientes subconjuntos de P4[x], el conjunto de los polinomios de
grado menor o igual que 4 en la variable x, dados por
L = {p(x) ∈ P4[x] : p(1) = 0, p (1) = 0}, M = 1 − x, 3 − 4x + x4
.
a) Probar que L es un subespacios vectorial de P4[x].
b) Obtener una base de L, M, L + M y L ∩ M.
c) Calcular dim(L), dim(M), dim(L + M) y dim(L ∩ M).
4) Comprobar que se cumple el Teorema de la dimensi´on.
2.4.4 Suma directa de dos subespacios. Subespacios complementarios.
68. Definici´on 6 Sean L y M dos subespacios vectoriales de V. Si L ∩ M = {0},
entonces al subespacio vectorial L+M se le denomina suma directa de los subespacios
L y M y se denota por L ⊕ M.
Aplicando el Teorema de la dimensi´on se obtiene que:
dim(L ⊕ M) = dim(L) + dim(M) .
69. Definici´on 7 Sean L y M dos subespacios vectoriales de V. Se dice que L y M
son subespacios complementarios si,
V = L ⊕ M.
Ejemplo 2.16
• En P2[x] consideramos el subespacio vectorial L formado por todos los polinomios
tales que p (1) = 0. Nos planteamos encontrar el subespacio vectorial complemen-
tario de L, es decir, un subespacio M de P2[x] de forma que
L ⊕ M = P2[x].
Cualquier polinomio p(x) ∈ P2[x] puede escribirse en la forma
p(x) = a0 + a1x + a2x2
.
Observemos que el polinomio p(x) puede identificarse con el vector de R3 dado por
p = (a0, a1, a2), es decir,
P2[x] ←→ R3
p(x) = a0 + a1x + a2x2 ←→ p = (a0, a1, a2)
Esta identificaci´on nos permite trabajar exactamente igual que lo har´ıamos con
vectores de R3.
La condici´on p (1) = 0 se transforma en la ecuaci´on a1 + 2a2 = 0. En efecto,
p (x) = a1 + 2a2x, p (1) = 0 ⇒ a1 + 2a2 = 0,
que determina la ecuaci´on cartesiana del subespacio L. Resolviendo esta ecuaci´on
obtenemos
a1 + 2a2 = 0 ⇒
a0 = λ
a1 = −2µ
a2 = µ
⇒
a0
a1
a2
= λ
1
0
0
+ µ
0
−2
1
70. ESPACIOS VECTORIALES. 37
por lo que un sistema de generadores de L viene dado por los vectores p1 = (1, 0, 0) y
p2 = (0, −2, 1) que se corresponden con los polinomios p1(x) = 1 y p2(x) = −2x+x2,
es decir,
L = p1, p2 = (1, 0, 0), (0, −2, 1) = p1(x), p2(x) = 1, −2x + x2
.
Adem´as, puesto que los vectores p1 y p2 son linealmente independientes podemos
asegurar que {p1, p2} forman una base de L.
Para determinar el subespacio M lo que se hace es completar la base de L hasta
obtener una base de R3. Para ello basta a˜nadir un vector p3 de forma que
det(p1|p2|p3) = 0.
En nuestro caso, podemos considerar el vector p3 = (0, 0, 1) dado que
det(p1|p2|p3) =
1 0 0
0 −2 1
0 0 1
= −2 = 0.
El subespacio M complementario de L ser´a el generado por el vector p3 = (0, 0, 1)
que se corresponde con el subespacio vectorial de P2[x] generado por el polinomio
p3(x) = x2, es decir,
M = p3 = (0, 0, 1) = p3(x) = x2
.
Ejercicio 2.17
• Sea L el subespacio vectorial de M2×2(R) formado por las matrices tales que la suma
de las filas es cero. Determinar el espacio complementario de L.
• En R4 se consideran los subespacios dados por
L =
x1 + x2 + x3 + x4 = 0
x1 − x4 = 0
, M = (1, 0, −1, 0), (0, 2, 0, 1) .
Probar que L ⊕ M = R4.
2.5 EJERCICIOS PROPUESTOS EN EX´AMENES ANTERIORES
1.- En el espacio vectorial M2×3(R) se considera el conjunto de matrices
S =
a b a
0 c 0
: a, b, c ∈ R .
a) ] Probar que S es un subespacio vectorial de M2×3(R).
b) Escribir las ecuaciones cartesianas y param´etricas de S.
c) Calcular la dimensi´on de S y encontar una base de S.
d) Encontrar un subespacio T de M2×3(R) de forma que
S ⊕ T = M2×3(R).
2.- Sea H el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2 dado por
H =
λ λ + µ
λ − µ λ
: λ, µ ∈ R .
71. 38 EJERCICIOS PROPUESTOS EN EX´AMENES ANTERIORES
a) Probar que H es un subespacio vectorial de M2×2(R).
b) Escribir las ecuaciones cartesianas y param´etricas de H.
c) Calcular la dimensi´on de H y encontrar una base de H.
d) Dado el subespacio
H1 =
0 1
a 0
,
1 0
0 1
,
obtener, si es posible, el valor de a para que H1 = H.
3.- Dados los subespacios vectoriales L y M de R4
definidos por
L = (1, 2, α, 1), (1, 0, 1, 1) ,
M = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4
: x2 − x3 = 0, x1 − x2 + x4 = 0},
determinar, si es posible, el valor de α para que L ⊕ M = R4
.
4.- Sean B y B dos bases de R2
. Obtener la base B sabiendo que B = {(1, 1), (2, −1)}
y que la matriz del cambio de base de B a B es
1 2
2 5
.
5.- Sea F el espacio vectorial de las funciones continuas de R en R. Se considera
el subespacio vectorial L generado por las funciones f1(x) = 1, f2(x) = sen2
x,
f3(x) = cos2
x, f4(x) = sen 2x y f5(x) = cos 2x.
a) Determinar una base de L.
b) Calcular las coordenadas de f(x) = cos 2x + sen 2x respecto de la base ante-
rior.
Nota: Se sabe que sen2
x =
1 − cos 2x
2
y cos2
x =
1 + cos 2x
2
.
6.- Sea P2[x] el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2 y
W1 el subespacio vectorial vectorial de P2[x] dado por
W1 = {p(x) ∈ P2[x] : p(x) = a + c + (2b + c − a)x + (b + c)x2
, a, b, c ∈ R}.
a) Encontrar las ecuaciones impl´ıcitas de W1.
b) Determinar un subespacio vectorial W2 de P2[x] de forma que
W1 ⊕ W2 = P2[x].
7.- Dados los subespacios vectoriales de M2×2(R) definidos por
F = {A ∈ M2×2(R) : tr(A) = 0}, G = I2 .
a) Determinar las ecuaciones cartesianas y param´etricas de F.
b) Probar que F ⊕ G = M2×2(R).
72. 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en cualquier campo de la ciencia.
Este cap´ıtulo trata sobre los t´opicos relativos a la resoluci´on de sistemas de
ecuaciones lineales. Estudiaremos su clasificaci´on y algunos m´etodos de res-
oluci´on de los mismos, como el teorema de Rouch´e-Fr¨obenius y el m´etodo de
Gauss.
3.1 PRELIMINARES.
3.1.1 Primeros conceptos
Consideremos los siguientes sistemas de ecuaciones de orden 2 × 2.
S1 ≡
x + 2y = 3
2x − y = 1
, S2 ≡
2x − y = 1
4x − 2y = 8
, S3 ≡
2x − y = 1
4x − 2y = 2
.
Estos sistemas pueden resolverse utilizando cualquiera de los m´etodos algebraicos
conocidos (reducci´on, igualaci´on o sustituci´on).
Por otra parte, si consideramos cada una de las ecuaciones de los sistemas anteriores
como la ecuaci´on de una recta en el plano podemos dar una interpretaci´on gr´afica
de la soluciones de cada uno de los sistemas.
Las soluciones ser´an precisamente los
puntos de intersecci´on de ambas rectas.
El sistema S1 est´a formado por las ecua-
ciones de dos rectas r y s que se cortan
en el punto (1, 1). El sistema S1 tiene
soluci´on ´unica:
x = 1
y = 1
.
(1, 1)
s:2x−y=1
r : x + 2y = 3
39
73. 40 PRELIMINARES.
r:2x−y=1
r:4x−2y=8
El sistema S2 est´a formado por las ecua-
ciones de dos rectas r y s que son
paralelas. Por tanto, las rectas r y s
no tienen ning´un punto en com´un, lo
que significa que el sistema S2 no tiene
soluci´on.
Finalmente, el sistema S3 est´a formado
por las ecuaciones de dos rectas coinci-
dentes. El sistema tiene, por tanto, infi-
nitas soluciones. Cualquier punto de la
recta r es soluci´on del sistema. Para obte-
ner soluciones particulares del sistema
damos un valor a la inc´ognita x y, susti-
tuyendo en la ecuaci´on 2x − y = 1, obte-
nemos el correspondiente valor de y.
x = 1 ⇒ y = 1.
r:2x−y=1
s:4x−2y=2
Para expresar la soluci´on general del sistema damos a x un valor arbitrario (x =
λ, λ ∈ R) y calculamos el correspondiente valor de y.
x = λ ⇒ y = 2λ − 1.
La soluci´on general del sistema S3 ser´a,
x = λ
y = 2λ − 1
, λ ∈ R.
El n´umero λ se llama par´ametro. Obs´ervese que la soluci´on general del sistema viene
dada, precisamente, por las ecuaciones param´etricas de la recta r.
Resolvamos algebraicamente los sistemas anteriores, utilizando el m´etodo de re-
ducci´on, para ver c´omo se traducen estas tres situaciones:
S1 ≡
x + 2y = 3
2x − y = 1
⇔
E1 → E1
E2 → E2 − 2E1
⇔
x + 2y = −1
−5y = −5
.
La segunda ecuaci´on del sistema resultante nos permite despejar la inc´ognita y. Se
obtiene y = 1. Sustituyendo este valor en la primera ecuaci´on se llega a que x = 1.
S2 ≡
2x − y = 1
4x − 2y = 8
⇔
E1 → E1
E2 → E2 − 2E1
⇔
2x − y = 1
0 = 6
.
La segunda ecuaci´on del sistema resultante es una contradicci´on. Esto significa que
las ecuaciones del sistema son incompatibles. El sistema no tiene soluci´on.
S2 ≡
2x − y = 1
4x − 2y = 2
⇔
E1 → E1
E2 → E2 − 2E1
⇔
2x − y = 1
0 = 0
.
74. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 41
La segunda ecuaci´on del sistema resultante es una identidad. Esto significa que la
ecuaci´on 4x − 2y = 2 no aporta nada al sistema y podr´ıa suprimirse. De hecho, se
observa que esta ecuaci´on es combinaci´on lineal de la primera (E1 = 2E2).
3.1.2 Definiciones y notaciones
Un sistema lineal de m ecuaciones y n inc´ognitas es un conjunto de ecuaciones de
la forma
S ≡
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = c1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = c2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = cm
, (3.1.1)
siendo aij ∈ R, los coeficientes, ci ∈ R, los t´erminos independientes y xj las
inc´ognitas, para i = 1, . . . , m y j = 1, . . . , n.
Una soluci´on del sistema (3.1.1) es cualquier conjunto de n valores reales
(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn
que satisfacen el sistema. Resolver un sistema lineal consistir´a en:
1.- determinar si tiene soluci´on y,
2.- en caso afirmativo, hallar el conjunto de todas sus soluciones, que notaremos
por CS.
Ejemplo 3.1
• Las ternas (−3, 0, 0) y (2, 4, 1) son soluciones del sistema
S ≡
−x + 2y + 3z = 3
y + 4z = 0
x − y + z = −3
x + 5z = −3
En este caso, el conjunto soluci´on del sistema S es
CS = {(−3 − 5λ, −4λ, λ), λ ∈ R},
que habitualmente se indica en la forma
x = −3 − 5λ
y = −4λ
z = λ
, λ ∈ R.
La expresi´on anterior recibe el nombre de soluci´on general del sistema o ecuaciones
param´etricas del sistema.
3.1.2.1 Expresi´on matricial de un sistema. El sistema (3.1.1) puede escribirse
en forma matricial como
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
an1 an2 · · · amn
x1
x2
...
xn
=
c1
c2
...
cm
.
75. 42 PRELIMINARES.
Llamando
A =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
an1 an2 · · · amn
, X =
x1
x2
...
xn
, C =
c1
c2
...
cm
,
el sistema (3.1.1) puede escribirse abreviadamente como
A · X = C. (3.1.2)
La matriz A se denomina matriz de coeficientes del sistema, X vector columna de
inc´ognitas y C vector columna de t´erminos independientes.
En lo que sigue tambi´en consideraremos la matriz
B =
a11 a12 · · · a1n c1
a21 a22 · · · a2n c2
...
...
...
...
an1 an2 · · · amn cm
que llamaremos matriz ampliada del sistema.
Ejemplo 3.2
• El sistema S ≡
−x + 2y + 3z = 3
y + 4z = 0
x − y + z = −3
x + 5z = −3
puede escribirse matricialmente como
−1 2 3
0 1 4
1 −1 1
1 0 5
x
y
z
=
3
0
−3
−3
.
En este caso,
A =
−1 2 3
0 1 4
1 −1 1
1 0 5
, X =
x
y
z
, C =
3
0
−3
−3
, B =
−1 2 3 3
0 1 4 0
1 −1 1 −3
1 0 5 −3
.
3.1.3 Clasificaci´on de los sistemas lineales
Los ejemplos que hemos comentado en la secci´on 2.1 muestran las 3 situaciones
que nos podemos encontrar cuando resolvamos un sistema de ecuaciones lineales.
Atendiendo al conjunto de soluciones, los sistemas pueden ser:
Sistema
COMPATIBLE Tiene soluci´on
DETERMINADO Soluci´on ´unica
INDETERMINADO Infinitas soluciones
INCOMPATIBLE No tiene soluci´on
Por otra parte, atendiendo al vector de t´erminos independientes un sistema se dice
homog´eneo si la matriz C = 0; en caso contrario, el sistema se dice completo.
76. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 43
Obs´ervese que cualquier sistema homog´eneo admite siempre como soluci´on a la
soluci´on trivial (0, · · · , 0), as´ı todo sistema homog´eneo es compatible.
Ejemplo 3.3
• El sistema S ≡
x + y + z = 0
x − y − z = 0
2x + 2y + z = 0
es un sistema homog´eneo y compatible determi-
nado con soluci´on trivial (x, y, z) = (0, 0, 0).
3.1.4 Teorema de Rouch´e-Frobenius.
El siguiente teorema nos permite clasificar los sistemas de ecuaciones lineales medi-
ante el c´alculo de los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada.
77. Teorema 3.1.1 Consideremos el sistema
S ≡
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = c1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = c2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = cm
Entonces se cumple que el sistema S es
i) compatible determinado si, y s´olo si, rango(A) = rango(B) = n,
ii) compatible indeterminado si, y s´olo si, rango(A) = rango(B) n.
iii) Incompatible si, y s´olo si, rango(A) = rango(B).
Resulta evidente que no existe la posibilidad de que rango(A) = rango(B) n, pues
A ∈ Mm×n.
Ejemplo 3.4
• Consideremos el sistema
x + t = 1
y + z + t = 1
y + z = 0
−x + y = 1
x − t = 0
⇔
1 0 0 1
0 1 1 1
0 1 1 0
−1 1 0 0
1 0 0 −1
x
y
z
t
=
1
1
0
1
0
.
En primer lugar observemos que rango(A) = 4, dado que podemos seleccionar un
menor de orden 4 en la matriz A que es distinto de cero,
1 0 0 1
0 1 1 0
−1 1 0 0
1 0 0 −1
= −
1 0 1
−1 1 0
1 0 −1
= −
1 1
1 −1
= 2 = 0.
A continuaci´on estudiamos el rango de la matriz ampliada
B =
1 0 0 1 1
0 1 1 1 1
0 1 1 0 0
−1 1 0 0 1
1 0 0 −1 0
.
78. 44 RESOLUCI´ON DE SISTEMAS
Puesto que |B| = −1 = 0, resulta que rango(B) = 5.
Como rango(A) = rango(B), el teorema de Rouch´e-Frobenius nos asegura que el
sistema es incompatible.
Ejercicio 3.5
• Clasificar el siguiente sistema seg´un los diferentes valores de m
(m + 2)x1 + x2 + x3 + mx4 = 0
mx1 + (m − 1)x2 + x3 + (m − 1)x4 = −1 − m
(m + 1)x1 + (m + 1)x3 = −4
Soluci´on: Estudiamos el rango de la matriz
A =
m + 2 1 1 m
m m − 1 1 m − 1
m + 1 0 m + 1 0
.
Para ello, calculamos el valor de los posibles menores de orden 3 de la matriz A,
1 1 m
m − 1 1 m − 1
0 m + 1 0
= (m + 1) (m − 1)2
m + 2 1 m
m 1 m − 1
m + 1 m + 1 0
= −m2
+ 1
m + 2 1 m
m m − 1 m − 1
m + 1 0 0
= (m + 1) 2m − 1 − m2
m + 2 1 1
m m − 1 1
m + 1 0 m + 1
= (m − 1) m (m + 1) .
Todos los menores de orden 3 se anulan simult´aneamente s´olo cuando m = −1. As´ı resulta
que, para m = −1, rango(A) = 3. Sustituyendo el valor m = −1 en la matriz A se deduce
f´acilmente que, en este caso, rango(A) = 2.
Estudiaremos, a continuaci´on, el rango de la matriz ampliada. Puede comprobarse que
para cualquier valor de m
rango(B) = rango
m + 2 1 1 m 0
m m − 1 1 m − 1 −1 − m
m + 1 0 m + 1 0 −4
= 3.
Resumiendo, pueden presentarse los siguientes casos:
1.- m = −1 rango(A) = rango(B) = 3 = n´umero de inc´ognitas ⇒ sistema compatible
determinado
2.- m = −1 rango(A) = 2 = rango(B) = 3 ⇒ sistema incompatible.
79. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 45
3.2 RESOLUCI´ON DE SISTEMAS
3.2.1 Sistemas diagonales
Obviamente, los sistemas de ecuaciones lineales m´as f´aciles de resolver son los que
“ya est´an resueltos”. En estos sistemas, la matriz de coeficientes es la matriz iden-
tidad,
1 0 · · · 0
0 1 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 1
x1
x2
...
xn
=
c1
c2
...
cn
,
y las ecuaciones del sistema son sencillamente de la forma xi = ci, i = 1, 2, · · · , n.
Estos sistemas son un sistema particular de sistemas diagonales. Un sistema se dice
diagonal si la matriz de coeficientes del sistema es una matriz diagonal. En forma
matricial, un sistema diagonal, viene dado por
a11 0 · · · 0
0 a22 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · ann
x1
x2
...
xn
=
c1
c2
...
cn
.
Las ecuaciones de un sistema diagonal son de la forma
aii xi = ci, i = 1, 2, · · · , n.
Si aii = 0, para cada i = 1, 2, · · · , n, la soluci´on se obtiene directamente en la
forma xi = ci/aii, i = 1, 2, · · · , n, y el sistema ser´a compatible determinado. Por
el contrario, si aii = 0 para alg´un valor de i, el sistema ser´a indeterminado si el
correspondiente ci = 0 (la ecuaci´on i-´esima ser´a de la forma 0 = 0) o incompatible
si ci = 0 (la ecuaci´on i-´esima resulta una contradicci´on 0 = ci = 0).
3.2.2 Sistemas triangulares
Un sistema de ecuaciones lineales de orden m × n se llama triangular superior si se
verifica que
aii = 0, i = 0, 1, · · · , k ; aij = 0, si i j,
siendo k = min{m, n}; es decir, la matriz de coeficientes verifica que los elementos
situados en la diagonal principal son todos distintos de cero y los elementos situados
debajo de la diagonal principal son todos nulos.
3.2.2.1 Resoluci´on de sistemas triangulares. Podemos encontrarnos con las si-
guientes situaciones:
1.- m = n El n´umero de ecuaciones es igual al n´umeros de inc´ognitas.
En este caso, el sistema ser´a de la forma
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = c1
a22x2 + · · · + a2nxn = c2
· · · · · · · · · · · ·
annxn = cn
La soluci´on del sistema se obtiene de forma recursiva:
80. 46 RESOLUCI´ON DE SISTEMAS
• Despejamos xn en la ´ultima ecuaci´on.
• Sustituimos su valor en la ecuaci´on anterior y despejamos xn−1.
• Continuamos el proceso hasta determinar el valor de cada una de las inc´ognitas.
Observemos que esto es posible por la condici´on de que aii = 0, i =
1, 2, · · · , n.
La soluci´on viene dada por
xnn =
cn
ann
, xi =
1
aii
ci −
n
j=i
aijxj , i = n − 1, · · · , 1.
El sistema tiene, por tanto, soluci´on ´unica, es decir, se trata de un sistema
compatible determinado.
2.- m n El n´umero de ecuaciones es mayor que el n´umeros de inc´ognitas.
El sistema ser´a de la forma
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = c1
a22x2 + · · · + a2nxn = c2
· · · · · · · · · · · ·
annxn = cn
0 = cn+1
...
0 = cm
Si alguno de los ci, i = n+1, · · · , m, es distinto de cero, entonces se presenta una
contradicci´on, es decir, el sistema es incompatible. En cambio, si ci = 0 para
i = n + 1, · · · , m, las ´ultimas m − n ecuaciones quedan reducidas a igualdades
del tipo 0 = 0, es decir, no aportan nada al sistema y pueden suprimirse. A
continuaci´on se procede como en el caso a).
3.- m n El n´umero de ecuaciones es menor que el n´umero de inc´ognitas
El sistema ser´a del tipo
a11x1 + a12x2 + · · · + a1m + · · · + a1nxn = c1
a22x2 + · · · + a2m + · · · + a2nxn = c2
· · · · · · · · · · · ·
amm + · · · amnxn = cm
En este caso se dice que las inc´ognitas xm+1, · · · , xn “no est´an sometidas a
control” y, por tanto, podr´an tomar valores arbitrarios. Para resolver el sistema
procedemos de la siguiente manera:
• Asignamos a las variables xm+1, · · · , xn valores arbitrarios
xn+1 = λ1, xn = λn−m.
• A continuaci´on despejamos el resto de las inc´ognitas xi, j = m, · · · , 1, si-
guiendo el procedimiento descrito en el caso a). Los valores de estas inc´og-
nitas vendr´an dados en funci´on de λ1, · · · , λm−n que se llaman par´ametros.
El sistema es, por tanto, compatible indeterminado (con n−m par´ametros).
81. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 47
Ejemplo 3.6
• El sistema
S ≡
−x + 2y + 3z − 3t = 3
y + 4z − 2t = 11
,
es un sistema triangular con 2 ecuaciones y 4 inc´ognitas. Las inc´ognitas z y t no
est´an sometidas a control. Para resolver el sistema asignamos a estas inc´ognitas
valores arbitrarios,
S ≡
−x + 2y + 3z − 3t = 3
y + 4z − 2t = 11
z = λ
t = µ
, λ, µ ∈ R.
Ahora podemos despejar el valor de las inc´ognitas y y x, de forma recursiva,
x = 19 − 6λ + 3µ
y = 11 − 4λ + 3µ
z = λ
t = µ
, λ, µ ∈ R.
Se trata de un sistema compatible indeterminado (con 2 par´ametros).
3.2.3 Sistemas equivalentes. M´etodo de resoluci´on de Gauss
Dos sistemas de ecuaciones S y S se dicen equivalentes cuando ambos tienen el
mismo conjunto de soluciones, es decir, toda soluci´on de S es tambi´en soluci´on de
S y viceversa. Resolver un sistema ser´a, por tanto, lo mismo que resolver otro que
sea equivalente a ´el.
82. Resultado 3.2.1 Las operaciones que permiten pasar de un sistema lineal a
otro equivalente son:
1.- Cambiar de orden las inc´ognitas.
2.- Cambiar de orden las ecuaciones.
3.- Multiplicar una ecuaci´on por un n´umero distinto de cero.
4.- Sumar a una ecuaci´on una combinaci´on lineal de las restantes.
5.- Suprimir del sistema una ecuaci´on que sea combinaci´on lineal de las restantes.
Observemos que estas operaciones guardan una estrecha relaci´on con las operaciones
elementales sobre matrices que no alteraban el rango de una matriz. De hecho,
en el m´etodo de Gauss (que exponemos a continuaci´on), las operaciones b)-e) se
traducir´an en hacer operaciones elementales en las filas de la matriz ampliada del
sistema.
3.2.3.1 M´etodo de Gauss. El m´etodo de Gauss consiste en aplicar operaciones
elementales sobre un sistema S para transformarlo en otro que sea equivalente a ´el
y adem´as sea triangular superior.
83. 48 RESOLUCI´ON DE SISTEMAS
Consideremos el sistema
S ≡
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = c1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = c2
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = cm
El m´etodo de Gauss consiste en lo siguiente:
1) Suponemos que a11 = 0. Si esto no fuera cierto reordenamos las ecuaciones y/o
las inc´ognitas del sistema para situar en la posici´on (1, 1) un coeficiente distinto
de cero.(En la pr´actica es aconsejable que a11 = 1, esto podr´ıa conseguirse
dividiendo la primera ecuaci´on por −a11 o reordenando las ecuaciones y/o las
inc´ognitas, seg´un lo que m´as interese).
2) A continuaci´on mantenemos la 1a
ecuaci´on E1 → E1 y transformamos el resto
de las ecuaciones sum´andoles la primera ecuaci´on multiplicada por −ai1/a11,
Ei → Ei −
ai1
a11
E1 , i = 2, · · · , m.
Tras esta operaci´on se consigue un sistema S , equivalente al anterior, dado por
S ≡
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · · + a1nxn = c1
a∗
22x2 + a∗
23x3 + · · ·+ a∗
2nxn = c∗
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a∗
m2x2 + a∗
m3x3 + · · · + a∗
mnxn = c∗
m
donde, a∗
ij = aij −
ai1a1j
a11
, c∗
i = ci −
ai1c1
a11
, i = 2, · · · , m, j = 2, · · · , n.
3) Ahora repetimos el procedimiento anterior para el subsistema (∗), suponiendo
que a∗
22 = 0. En caso contrario reordenamos las ecuaciones y/o las inc´ognitas
del subsistema (∗) para conseguir situar un elemento en la posici´on (2, 2) que
sea distinto de cero, ... (En el caso de que sea necesaria una reordenaci´on de
las inc´ognitas ´esta tambi´en afectar´a a la ecuaci´on primera).
4) Reiteramos el procedimiento hasta encontrarnos con alguna de las siguientes
situaciones:
• Hemos agotado todas las ecuaciones.
• Hemos agotado todas las inc´ognitas.
• Todos los coeficientes del subsistema obtenido son cero.
La resoluci´on del sistema triangular resultante se har´a teniendo en cuenta la t´ecnica
descrita en la secci´on 3.2.2.
Ejercicio 3.7
• Resolver el sistema S ≡
x + y = 2
−2x − y + 2z = −3
2x − 4z = 2
aplicando el m´etodo de Gauss
84. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 49
Soluci´on:
S ≡
x + y = 2
−2x − y + 2z = −3
2x − 4z = 2
⇔
E1 → E1
E2 → E2 + 2E1
E3 → E3 − 2E1
⇔
x + y = 2
y + 2z = 1
−2z − 4z = −2
⇔
E1 → E1
E2 → E2
E3 → E3 + 2E2
⇔
x + y = 2
y + 2z = 1
0 = 0
La inc´ognita z no est´a sometida a control, por lo que le asignamos un valor arbitrario
x + y = 2
y + 2z = 1
z = λ
, λ ∈ R.
Despejando las inc´ognitas y y x se obtiene
x = 1 + 2λ
y = 1 − 2λ
z = λ
, λ ∈ R.
Se trata de un sistema compatible indeterminado (con 1 par´ametro).
En la pr´actica, con objeto de simplificar las notaciones, las transformaciones anteriores
se aplican directamente sobre la matriz de coeficientes del sistema. Las operaciones sobre
cada una de las ecuaciones del sistema se traducen en las correspondientes operaciones
elementales sobre las filas de la matriz ampliada.
x + y = 2
−2x − y + 2z = −3
2x − 4z = 2
⇔
1 1 0 2
−2 −1 2 −3
2 0 −4 2
⇔
F1 → F1
F2 → F2 + 2F1
F3 → F3 − 2F1
⇔
1 1 0 2
0 1 2 1
0 −2 −4 −2
⇔
F1 → F1
F2 → F2
F3 → F3 + 2F2
⇔
1 1 0 2
0 1 2 1
0 0 0 0
⇔
x + y = 2
y + 2z = 1
0 = 0
Por otra parte, las transformaciones que hemos efectuado sobre las filas de la matriz
ampliada pueden expresarse matricialmente en la forma
F1 → F1
F2 → F2 + 2F1
F3 → F3 − 2F1
⇔
F1
F2
F3
→
1 0 0
2 1 0
−2 0 1
F1
F2
F3
F1 → F1
F2 → F2
F3 → F3 + 2F2
⇔
F1
F2
F3
→
1 0 0
0 1 0
0 2 1
F1
F2
F3
.
Las matrices
M1 =
1 0 0
−2 1 0
2 0 1
y M2 =
1 0 0
0 1 0
0 2 1
,
se llaman matrices de cambio correspondientes a cada una de las transformaciones. El
efecto producido sobre la matriz ampliada del sistema por cada una de estas transfor-
maciones puede obtenerse multiplicando a izquierda por cada una de estas matrices de
cambio. M´as concretamente, la transformaci´on 1a puede expresarse como
M1 · B =
1 0 0
−2 1 0
2 0 1
1 1 0 2
−2 −1 2 −3
2 0 −4 2
=
1 1 0 2
0 1 2 1
0 −2 −4 −2
= B
85. 50 RESOLUCI´ON DE SISTEMAS
y la transformaci´on 2a se corresponde con el producto,
M2 · B =
1 0 0
0 1 0
0 2 1
1 1 0 2
0 1 2 1
0 −2 −4 −2
= B .
La matriz B resultante tras estas transformaciones se puede escribir
B = M2 · B = M2 · (M1 · B) = (M2 · M1) · B = M · B,
donde M = M2 · M1 =
1 0 0
0 1 0
0 2 1
·
1 0 0
0 1 0
0 2 1
=
1 0 0
2 1 0
−2 2 1
.
Podemos decir que la matriz M es la matriz que sintetiza todos las transformaciones que
hemos de efectuar sobre las filas de la matriz ampliada o sobre las ecuaciones del sistema
para convertirlo en un sistema triangular equivalente.
Adem´as, puesto que la 3a fila de la matriz final es nula, la 3a fila de la matriz M tiene un
significado especial:
−2F1 + 2F2 + 3F3 = 0 ⇒ F3 = 2F1 − 2F2,
lo que nos dice que la 3a fila de la matriz B es combinaci´on lineal de la 1a y la 2a filas, o
lo que es lo mismo, que la 3a ecuaci´on del sistema S es combinaci´on lineal de la 1a y de la
2a. De hecho, E3 = −2E1 + 2E2 como puede comprobarse directamente.
3.2.4 M´etodo de Cramer
Un sistema lineal de n ecuaciones y n inc´ognitas se dice que es un sistema de Cramer
si la matriz de coeficientes del sistema es regular.
Si escribimos el sistema en la forma matricial abreviada
A · X = C, (3.2.1)
donde A ∈ Mn, entonces la condici´on para que (3.2.1) sea un sistema de Cramer es
que det(A) = 0. Esta condici´on es equivalente a que rango(A) = n, lo que implica
que tambi´en rango(B) = n. Por tanto, aplicando el Teorema de Rouch´e-Frob¨enius
concluimos que todo sistema de Cramer es compatible determinado. Adem´as, la
´unica soluci´on del sistema (3.2.1) se puede obtener como
X = A−1
· C, (3.2.2)
o equivalentemente, en cada coordenada
i
xi =
a11 · · · c1 · · · a1n
a21 · · · c2 · · · a2n
...
...
...
...
...
an1 · · · cn · · · ann
|A|
, i = 1, 2, · · · , n, (3.2.3)
donde el determinante que figura en el numerador es el determinante de la matriz de
coeficientes en la que hemos sustituido la i-´esima columna por el vector de t´erminos
independientes.
86. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 51
Ejemplo 3.8
• El sistema
x − z = 0
2x − y + z = 3
x − y + 3z = 4
⇔
1 0 −1
2 −1 1
1 −1 3
·
x
y
z
=
0
3
4
,
es un sistema de Cramer, dado que
det(A) =
1 0 −1
2 −1 1
1 −1 3
= −1 = 0.
Para calcular la soluci´on del sistema podemos utilizar la igualdad (3.2.2),
X = A−1
· C ⇒
x
y
z
=
1 0 −1
2 −1 1
1 −1 3
−1
0
3
4
=
2 −1 1
5 −4 3
1 −1 1
0
3
4
=
1
0
1
.
El mismo resultado obtendr´ıamos si hacemos uso de la f´ormula (3.2.3):
x =
0 0 −1
3 −1 1
4 −1 3
|A|
= 1, y =
1 0 −1
2 3 1
1 4 3
|A|
= 0, z =
1 0 0
2 −1 3
1 −1 4
|A|
= 1.
3.2.4.1 M´etodo de Cramer generalizado. La f´ormula (3.2.3) puede aplicarse
tambi´en para resolver sistemas compatibles que no son de Cramer; es decir, a sis-
temas donde A no es cuadrada o A no es regular. El m´etodo consistir´a en reducir
el sistema inicial a otro sistema que sea de Cramer eliminando las ecuaciones que
sean combinaci´on lineal de las restantes y pasando al segundo t´ermino las inc´ognitas
que no est´en controladas (a las que asignaremos valores arbitrarios). Ilustramos el
m´etodo con el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3.9
• Consideremos el sistema S ≡
3x − 2y − 2z = 8
−x + 3y + 4z = 5
2x + 5y + 2z = 13
En primer lugar, observamos que no es de Cramer, dado que
det(A) =
3 2 −4
−1 3 4
2 5 2
= 0,
lo que significa que rango(A) ≤ 3.
Veamos si se trata de un sistema compatible. Para ello estudiamos los rangos de la
matriz A y de la matriz ampliada del sistema.
A =
3 2 −4
−1 3 4
2 5 2
, B =
3 2 −4 8
−1 3 4 5
2 5 2 13
.
Puesto que
3 2
−1 3
= 11 = 0 ⇒ rango(A) = 2,
3 2 8
−1 3 5
2 5 13
= 0 ⇒ rango(B) = 2.
87. 52 RESOLUCI´ON DE SISTEMAS
Luego, rango(A) = rango(B) = 2 3 = n´umero de inc´ognitas y el sistema es com-
patible indeterminado. Para resolver el sistema procedemos de la siguiente forma:
1) Tomamos el menor distinto de cero que hemos seleccionado para determinar el
rango del sistema,
x y
↓ ↓
E1 → 3 2
E2 → −1 3
obtenido tomando las dos primeras filas de la matriz A y las dos primeras colum-
nas (que corresponden a las variables x e y).
2) Suprimimos aquellas ecuaciones que no intervienen en este menor (dado que
ser´an combinaci´on lineal de las ecuaciones que s´ı intervienen en ´el). En nuestro
caso, suprimimos la 3a.
3) Aquellas inc´ognitas que no intervengan en el menor seleccionado (en nuestro
caso la z) las pasamos al otro t´ermino y le asignamos un valor arbitrario (tales
inc´ognitas no est´an sometidas a control).
Tras estas operaciones, el sistema resultante ser´a:
3x + 2y = 8 + 2z
−x + 3y = 5 − 4z
Finalmente, resolvemos el sistema anterior aplicando la f´ormula de Cramer (3.2.3),
x =
8 + 2z 2
5 − 4z 3
3 2
−1 3
=
14 + 14z
11
,
4 8 + 2z
−1 5 − 4z
3 2
−1 3
=
23 − 10z
11
, z = λ, λ ∈ R.
La soluci´on vendr´a dada por
x =
14
11
+
14
11
λ
y =
23
11
−
20
11
λ
z = λ
, λ ∈ R.
3.2.5 M´etodo de Gauss-Jordan para el c´alculo de la matriz inversa
En la pr´actica, la f´ormula
X = A−1
· C,
para resolver sistemas de Cramer resulta muy poco operativa debido a que el c´alculo
de la matriz inversa (utilizando la matriz adjunta) es demasiado engorroso para
n ≥ 2. Por otra parte, el c´alculo de la matriz inversa es una operaci´on que tiene
inter´es en si mismo dado que tiene muchas aplicaciones. El m´etodo de Gauss-Jordan
simplifica notablemente el c´alculo de la inversa de una matriz regular por medio de
la realizaci´on de combinaciones lineales sobre las filas de ´esta y est´a fundamentado
en la siguiente propiedad que ya pusimos de manifiesto en la segunda parte del
Ejemplo 2.5.